專題04 與角度、面積等相關(guān)的動態(tài)問題（解析版）

專題04與角度、面積等相關(guān)的動態(tài)問題【典例解析】【例1】（2020·四川遂寧期末）Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點P在線段AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．【答案】見解析.【解析】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，由∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案為：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案為：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如圖3，設(shè)DP與BE的交點為F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如圖4，設(shè)PE與AC的交點為G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α．【變式1-1】（2020·福建龍巖期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的邊從邊開始繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為．（1）當(dāng)時；①若，則的度數(shù)為；②若，求的度數(shù)；（2）由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直？若存在，請直接寫出所有可能的值，并指出哪兩邊互相垂直（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°；（3）當(dāng)α=30°時，AD⊥CE，當(dāng)α=90°時，AC⊥CE，當(dāng)α=75°時，AD⊥BE，當(dāng)α=45°時，CD⊥BE．【解析】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，∴∠DCB=90°?30°=60°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，故答案是150°；②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠DCB=130°?90°=40°，∴∠DCE=90°?40°=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：①當(dāng)0≤α＜90°時，如圖，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；②當(dāng)α=90°時，∠ACB+∠DCE=180°，成立；③當(dāng)90°＜α＜360°時，如圖，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．綜上所述：∠ACB+∠DCE=180°；(3)存在，理由如下：①若AD⊥CE時，如圖則α=90°-∠A=90°-60°=30°，②若AC⊥CE時，如圖則α=∠ACE=90°，③若AD⊥BE時，如圖則∠EMC=90°+30°=120°，∵∠E=45°，∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，∴α=90°-15°=75°，④若CD⊥BE時，如圖則AC∥BE，∴α=∠E=45°．綜上所述：當(dāng)α=30°時，AD⊥CE，當(dāng)α=90°時，AC⊥CE，當(dāng)α=75°時，AD⊥BE，當(dāng)α=45°時，CD⊥BE．【變式1-2】（2019·上海市市期中）結(jié)合“愛市西，愛生活，會創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計了一款“地面霓虹探測燈”，增加美觀的同時也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：______；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動60秒，燈射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈射線到達(dá)之前，若射出的光束交于點，過作交于點，且，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【答案】（1）120；（2）（3）見解析．【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2:1∴∠BAM=120°，∠BAN=60°∵PQ∥MN∴∠ABP=∠BAM=120°故答案為：120；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ所需時間為180秒，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至AB所需時間為120秒，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN所需時間為90秒則t的取值范圍為：0<t<120①當(dāng)0<t≤60時，∵PQ∥MN∴∠PBD=∠BDA∵AC∥DB∴∠CAM=∠BDA∴∠CAM=∠PBD∴2t=60+t解得t=60此時，∠CAM=∠PBD=∠PBA=120°即兩燈的光束重合，舍去；②當(dāng)60＜t≤90時，如圖所示，此時燈A射線未從AN回轉(zhuǎn)同理得：60+t+180-2t=180解得t=60（舍去）③當(dāng)90<t≤120時，如圖所示，此時燈A射線旋轉(zhuǎn)至AN，并已開始回轉(zhuǎn)可得60+t+2t-180=180解得t=100，綜上，A燈轉(zhuǎn)動100秒，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC=2∠BCD，理由如下：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，∵∠CAN=180－2t∴∠BAC=∠BAN-∠CAN=2t-120又∵∠ABC=120－t∴∠BCA=180－t∵∠ACD=120°∴∠BCD=∠ACD-∠BCA=t-60∴∠BAC：∠BCD=2:1,即∠BAC=2∠BCD.【例2】（2020·湖北廣水期末）如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以O(shè)C，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動點P，Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點O勻速移動，Q點從O點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速移動，點P到達(dá)O點整個運動隨之結(jié)束．AC的中點D的坐標(biāo)是（4，3），設(shè)運動時間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點G是第二象限中一點，并且y軸平分∠GOD．點E是線段OA上一動點，連接接CE交OD于點H，當(dāng)點E在線段OA上運動的過程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．【答案】見解析.【解析】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24.（2）∵S△ODQ=2t，S△ODP=12-3t由2t=12-3t得：t=2.4∴當(dāng)t=2.4時，△ODP與△ODQ的面積相等.(3)2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y軸平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【變式2-1】（2020·山東日照期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC，點A的坐標(biāo)是（3，0），點B的坐標(biāo)是（a，b），且點C在x軸的負(fù)半軸上，且AC＝5．（1）直接寫出點B、C的坐標(biāo)；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點P，使若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）把點C往上平移3個單位得到點H，作射線CH，連接BH，點M在射線CH上運動（不與點C、H重合），試探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析.【解析】解：（1）由，得：a＝2，b＝3，∴B（2，3），∵點A的坐標(biāo)是（3，0），AC＝5，∴C（－2，0）；（2）①當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)P為（x，0）S△POB=S△ABC，即：，解得：x=±，∴點P（，0）或（-，0）；②當(dāng)點P在y軸上時，設(shè)P為（0，y）S△POB=S△ABC，即：解得：y=±5，∴點P（0,5）或（0，-5）.綜上所述，點P的坐標(biāo)為：（，0）或（-，0）或（0,5）或（0，-5）；（3）①如圖，當(dāng)點M在線段CH上時，∠BMA＝∠MAC＋∠HBM理由：過點M作MN∥BH∴∠BMN＝∠HBM∵B、H兩點的縱坐標(biāo)相等∴BH∥AC∴MN∥AC∴∠AMN＝∠MAC∴∠AMN＋∠BMN＝∠MAC＋∠HBM即∠BMA＝∠MAC＋∠HBM；②當(dāng)點M在線段CH延長線上時，∠BMA＝∠MAC－∠HBM理由：過點M作MN∥BH∴∠BMN＝∠HBM∵B、H兩點的縱坐標(biāo)相等∴BH∥AC∴MN∥AC∴∠AMN＝∠MAC∴∠AMN－∠BMN＝∠MAC－∠HBM即∠BMA＝∠MAC－∠HBM．【習(xí)題專練】1.（2020·長沙市月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，點B（0，﹣4）是y軸負(fù)半軸上一點，將點B向右平移6個單位得到點A（6，﹣4）．（1）如圖1，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BA方向運動，同時動點Q從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸向上運動，當(dāng)點P運動到點A時，P、Q同時停止運動，設(shè)點P運動時間為t秒．①用含t的式子表示P，Q兩點的坐標(biāo)．②是否存在t使△BPQ的面積為4t＋12？若存在，求出t，并寫出此時點P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（2）如圖2，點D為線段OA（端點除外）上某一點，當(dāng)點D在線段上運動時，過點D作直線EF交x軸正半軸于E，交直線AB于F，∠EOD，∠AFD的平分線相交于點N，若∠ODF＝α，請用含α的式子表示∠ONF的大小，并說明理由．【答案】見解析．【解析】解：（1）①∵將點B（0，﹣4）向右平移6個單位得到點A（6，﹣4）．∴BA∥x軸，∵點B（0，﹣4），動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BA方向運動，∴P（2t，﹣4），∵動點Q從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸向上運動，∴Q（0，3t）；②∵Q（0，3t），B（0，﹣4），∴BQ＝3t＋4，BP＝2t，∴S△BPQ＝BP·BQ＝×2t×（3t+4）＝3t2＋4t，∴3t2＋4t＝4t＋12，∴t2＝4，解得t＝2，t＝﹣2舍去，∴P（4，﹣4），Q（0，6）．（2）如圖，過點N作NM∥x軸，∵NM∥x軸，AB∥x軸，∴NM∥AB∥x軸，∴∠MNO＝∠NOE，∵ON是∠EOD的角平分線，∴∠MNO＝∠NOE＝∠EOD，又∵M(jìn)N∥AB∴∠MNF＝∠NFA，∵FN是∠AFD的角平分線，∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，∵AB∥x軸，∴∠OED＝∠AFD，∵∠ODF＝∠EOD＋∠AFD＝α，∴∠ONF＝∠MNO＋∠MNF＝（∠EOD＋∠AFD）＝α．2.（2019·湖北武昌期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，軸，點從原點出發(fā)在軸上以單位/秒的速度向軸的正方向運動，運動的時間為秒．平分．(提示：中，，若則，反之亦然)（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求A點運動的時間t；（3）當(dāng)時，求的度數(shù)(用含的式子表示，且不含絕對值)．【答案】（1）90°；（2）（3）見解析．【解析】解：（1）當(dāng)t＝4時，OA＝4，∴A（4，0），∵B（4，?2），∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，即m＝90．故答案為90．（2）延長CB交x軸于點K，過C作CT⊥BE于T，連接KT，∵S△LCT=S△LBT+S△BCT∴K（2,0），設(shè)A（n，0），又S△ABC＝S△AKC?S△AKB＝3∴·|n-2|×4=·|n-2|×2+3解得：n=5或n=-1(舍去)∴t=5秒時，△ABC的面積為3.（3）當(dāng)0＜t＜2時，∵∠ABC＝（180°?m°）＋（180°?45°）＝315?m°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝＋45°＝當(dāng)t＝2時，∠DBE＝45°或135°當(dāng)2＜t≤6時，∵OA∥BE，∴∠ABE＝∠OAB＝m°，∴∠ABC＝45°＋m°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠DBE＝∠ABE?∠ABD＝m°?＝當(dāng)t＞6時，可得：∠DBE＝∠CBE?∠CBD＝45°?＝；3.（2019·北京市期末）如圖，在直角三角形中，，．點是直線上一個動點(點不與點，重合)，連接，在線段的延長線上取一點，使得．過點作，交直線于點．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，若，則_________；（2）當(dāng)點在線段的延長線上時，在圖2中依題意補全圖形，并判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并證明；（3）在點運動的過程中，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為_________．【答案】（1）15°；（2）（3）見解析.【解析】（1）解：∵∠BPC=∠DPC=60°，∠ACB=90°∴∠ACD=90°，∠D=30°∵BE⊥DP∴∠E=90°∴∠EBD=60°∵∠BAC=45°∴∠ABC=45°∴∠ABE=15°.（2）∠ABE=∠ABP證明：∵BE⊥DP∴∠EBD+∠D=90°又∠DPC+∠D=90°∴∠EBD=∠DPC∵∠BPC=∠DPC∴∠EBD=∠BPC∵∠BAC=45°∴∠ABP=45°－∠BPC，∠ABC=45°∵∠ABE=∠ABC-∠EBD=45°-∠EBD∴∠ABE=∠ABP；（3）由（1）（2）可知，當(dāng)點P在線段AC與CA的延長線上時∠ABE=∠ABP，當(dāng)點P在AC的延長線上時，設(shè)∠D=∠DBP=x∴∠BPE=2x，∴∠PBE=90°－2x∵∠ACB=90°，∠BAC=45°∴∠ABC=45°∴∠ABE=∠ABC+∠CBP+∠PBE=135°－x，∠ABP=45°+x∴∠ABE+∠ABP=180°當(dāng)點P在線段AC與CA的延長線上時∠ABE=∠ABP，當(dāng)點P在AC的延長線上時∠ABE+∠ABP=180°.4.（2019·湖北黃石期中）如圖：已知在平面直角坐標(biāo)系中點A（a，b）點B（a，0），且滿足|2a-b|+（b-4）2=0．（1）求點A、點B的坐標(biāo)；（2）已知點C（0，b），點P從B點出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個單位每秒的速度移動，同時點Q從