專題05 等腰三角形中的動態(tài)問題（原卷版）

專題05等腰三角形中的動態(tài)問題【典例解析】【例1-1】（2020·安徽省泗縣月考）如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有()A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【例1-2】（2020·貴州六盤水期末）如圖，在中，，，點D在邊BC上運動（點D不與點重合），連接AD，作，DE交邊AC于點E．（1）當(dāng)時，，（2）當(dāng)DC等于多少時，，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【變式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）點A的坐標(biāo)是（2，2），若點P在x軸或y軸上，且△APO是等腰三角形，這樣的點P共有（）個A．6 B．7 C．8 D．9【變式1-2】（2020·山西初二月考）綜合與探究：在中，.點從點出發(fā)以的速度沿線段向點運動．（1）如圖1，設(shè)點的運動時間為，當(dāng)______時，是直角三角形．（2）如圖2，若另一動點從點出發(fā)，沿線段向點運動，如果動點都以的速度同時出發(fā)，設(shè)運動時間為，求當(dāng)為何值時，是直角三角形．（3）如圖3，若另一動點從點出發(fā)，沿射線方向運動，連接交點，且動點都以的速度同時出發(fā)．①設(shè)運動時間為，那么當(dāng)為何值時，是等腰三角形？②如圖4，連接.請你猜想：在點的運動過程中，和的面積之間的數(shù)量關(guān)系為______．【例2】（2020·江蘇江陰月考）如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B出發(fā)都逆時針沿△ABC三邊運動，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次在△ABC的那一條邊上相遇．【例3-1】（2019·武漢市期中）如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3、…在射線ON上，點B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A9B9A10的邊長為（）A．32 B．64 C．128 D．256【例3-2】（2020·浙江溫州月考）如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③、④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn－Pn－1等于…（）A． B．3－ C．1－ D．＋【變式3-1】（2020·山東牡丹期末）如圖，已知，點，，，在射線上，點，，，在射線上，，，，均為等邊三角形．若，則的邊長為（）A． B． C． D．【變式3-2】（2019·貴州印江月考）如圖，已知……，若∠A＝70°，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【習(xí)題精練】1.（2020·山東青州期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A在第一象限，∠AOx=40°，點P在x軸上，若△POA是等腰三角形，則滿足條件的點P共有______個．2.（2019·浙江寧波模考）如圖，，點在上．以點為圓心，為半徑畫弧，交于點（點與點不重合），連接；再以點為圓心，為半徑畫弧，交于點（點與點不重合），連接；再以點為圓心，為半徑畫弧，交于點（點與點不重合），連接；……按照上面的要求一直畫下去，得到點，若之后就不能再畫出符合要求點了，則________．3.（2020·河北保定一模）如圖，，點在上．以點為圓心，為半徑畫弧，交于點（點與點不重合），連接；再以點為圓心，為半徑畫弧，交于點（點與點不重合），連接；再以點為圓心，為半徑畫弧，交于點（點與點不重合），連接；……，按照上面的要求一直畫下去，就會得到，則（1）_________；（2）與線段長度相等的線段一共有__________條（不含）．4.（2020·福建連城期中）如圖，在中，，，點是斜邊的中點．點從點出發(fā)以的速度向點運動，點同時從點出發(fā)以一定的速度沿射線方向運動，規(guī)定當(dāng)點到終點時停止運動．設(shè)運動的時間為秒，連接、．（1）填空：______；（2）當(dāng)且點運動的速度也是時，求證：；（3）若動點以的速度沿射線方向運動，在點、點運動過程中，如果存在某個時間，使得的面積是面積的兩倍，請你求出時間的值．5.（2020·廣東佛山月考）如圖，在等邊中，厘米，厘米，如果點以厘米的速度運動．（1）如果點在線段上由點向點運動．點在線段上由點向點運動，它們同時出發(fā)，若點的運動速度與點的運動速度相等：①經(jīng)過2秒后，和是否全等？請說明理由．②當(dāng)兩點的運動時間為多少秒時，剛好是一個直角三角形？（2）若點的運動速度與點的運動速度不相等，點從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，經(jīng)過秒時點與點第一次相遇，則點的運動速度是__________厘米秒．（直接寫出答案）6.（2018·湖北廣水期中）（閱讀）如圖1，等邊△ABC中，P是AC邊上一點，Q是CB延長線上一點，若AP＝BQ．則過P作PF∥BC交AB于F，可證△APF是等邊三角形，再證△PDF≌QDB可得D是FB的中點．請寫出證明過程．（運用）如圖2，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A，C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD＝30°時，求AP的長；（2）在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說明理由．7.（2020·樂清市月考）如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M、N同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）M、N同時運動

秒后，M、N兩點重合？（2）當(dāng)0＜t＜5時，M、N同時運動幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請求出此時M、N運動的時間，如果不存在請說明理由.8.（2020·南京月考）在中，，的垂直平分線交于，交于，的垂直平分線交于，交于．（1）若，，求證；（2）由（1）可知是______三角形；（3）去掉（1）中的“”的條件，其他不變，判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（4）當(dāng)與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．9.（2020·長沙月考）點P是邊長為3cm的等邊△ABC的邊AB上的動點，點P從點A出發(fā)．沿線段AB向點B運動．（1）如圖1，若另一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P，Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)，設(shè)運動時問為t（s），連換AQ、CP交于點M，①當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？②在P，Q運動的過程中，∠CMQ會發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．（2）如圖2，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動，連接PQ交AC于點D，如果動點P，Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t（s），連接PC，①當(dāng)t為何值時，△DCQ是等腰三角形？②在點P，Q的運動過程中，請?zhí)骄俊鱌CD和△QCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系．10.（2020·廣東惠來期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度沿AB勻速運動．動點Q同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當(dāng)點P到達(dá)點B時，點P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為t（s）．過點P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．（1）當(dāng)t為何值時，△BPQ為直角三角形；（2）是否存在某一時刻t，使點F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）求DE的長．11.（2019·哈爾濱市月考）如圖，，點B關(guān)于軸的對稱點為C點，點D在x軸的負(fù)半軸上，△ABD的面積是30．（1）求點坐標(biāo)；（2）若動點從點出發(fā)，沿射線運動，速度為每秒個單位，設(shè)的運動時間為秒，的面積為，求與的關(guān)系式.12.（2020·湖北襄州期末）已知等邊△ABC的邊長為4cm，點P，Q分別是直線AB，BC上的動點．圖1圖2（1）如圖1，當(dāng)點P從頂點A沿AB向B點運動，點Q同時從頂點B沿BC向C點運動，它們的速度都為lcm/s，到達(dá)終點時停止運動．設(shè)它們的運動時間為t秒，連接AQ，PQ．①當(dāng)t＝2時，求∠AQP的度數(shù)．②當(dāng)t為何值時△PBQ是直角三角形？（2）如圖2，當(dāng)點P在BA的延長線上，Q在BC上，若PQ＝PC，請判斷AP，CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13.（2019·連云港市期中）如圖