山西省長治市2023-2024學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

山西省長治市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為q=g—c|（"eN*）.貝!J"c<2”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的（）條件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要

2.將函數(shù)/（x）=/sin2x-2cos2》圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移二個(gè)單位長

8

度，則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

3.已知函數(shù)〃x）='一，則不等式/（"、）>/（02力的解集是（）

2

B.C.(—8,0)D.

4.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù).尸辿r圖象的是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.下列不等式正確的是（）

A.sin130>sin40>log34B.tan226<ln0.4<tan48

C.cos(-20)<sin65<Igll

D.tan410>sin80>log52

7.已知函數(shù)/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(l+x)=/(l—x),當(dāng)時(shí)，〃尤)=一*(其中e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若“2020—In2)=8,則實(shí)數(shù)。的值為()

°11

A.—3B.3C.—D.—

33

8.2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成

一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.96B.84C.120D.360

9.關(guān)于圓周率亞數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可

以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)萬的值：先請(qǐng)全校/"名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(尤,y)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)

能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(X。)的個(gè)數(shù)最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)。估計(jì)〃的值，那么可以估計(jì)〃的值約為()

4〃。+2a+2m4。+2m

A.—B.--------C.----------D.------------

mmmm

10.設(shè)集合A=bly=2x-LX^R}9B={X\-2<X<39X^Z}9貝!)Anb=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

x

11.已知x,y^R,則“X<y”是“一<1”的()

y

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.等腰直角三角形ABE的斜邊A3為正四面體ABC。側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下

列說法：

I'I

\I*

(1)四面體E-3CZ>的體積有最大值和最小值；

(2)存在某個(gè)位置，使得

(3)設(shè)二面角?！狝B—E的平面角為。，則62NZME；

(4)AE的中點(diǎn)M與A5的中點(diǎn)N連線交平面5c。于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓.

其中，正確說法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐尸-A3CD為

陽馬，側(cè)棱底面ABC。，且PA=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為「，貝！I

R

,55s6

15.已知等比數(shù)列｛(4｝的前幾項(xiàng)和為S",6+&=—,且4+&=—，則=__________.

24%

16.若則/+廿+V〒的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=e"+屁一"一2asinx(a,beR).

(1)若。=0,b=l,求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)6=-1時(shí)，若/(x)>0對(duì)一切xe(0,萬)恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)y=/(x).若在定義域內(nèi)存在/,使得/(—七)=一/(%)成立，則稱%為函數(shù)丁=/(力的局

部對(duì)稱點(diǎn).

(1)若a,且存0,證明：函數(shù)/(芯)=依2+Z?x-a有局部對(duì)稱點(diǎn)；

(2)若函數(shù)且(％)=2'+。在定義域［-1,1］內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

(3)若函數(shù)”(力=4「獷2饃+濟(jì)—3在R上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

19.（12分）如圖，在三棱柱A3C—A與G中，A5_L平面ABC,AB±AC,且AB=AC=AB=2.

(1)求棱A/與所成的角的大小；

(2)在棱與G上確定一點(diǎn)尸，使二面角P-A5-4的平面角的余弦值為年.

20.(12分)已知C(x)=|x+l]-麻-，.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式〃力＞1的解集；

(2)若xe(O,l)時(shí)不等式〃x)＞無成立，求。的取值范圍.

21.(12分)4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，

采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生

參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

小組甲乙丙丁

人數(shù)12969

(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個(gè)小組的概率；

(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

22.(10分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線「的焦點(diǎn)廠在V軸正半軸上，圓心在直線y上的圓E與x軸相切，

-2

且E,b關(guān)于點(diǎn)”(—1,0)對(duì)稱.

(1)求E和「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)M的直線/與E交于AB,與「交于C,D,求證：

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知4+1-。"〉0,解得C<“+Q,由此得到若｛g｝是遞增數(shù)列，則c<5,根據(jù)推出關(guān)系可確

定結(jié)果.

【詳解】

若“｛4｝是遞增數(shù)列”,則%=\n+l-c\-\n-c\>0,

即(“+1—c『>(〃—op,化簡得：c<〃+^,

133

又〃eN*，?.—>—，c<—，

222

則C<24｛a,,｝是遞增數(shù)列，｛%｝是遞增數(shù)列nc<2,

，“c<2”是“｛??｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

先化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)y=4譏(ox+0)的圖象變換規(guī)律，可得所求函數(shù)的解析式為y=2sin[gx-?]-1,

再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.

【詳解】

y=6sin2x-2cos之x

=V3sin2x-(l+cos

「?將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為

y=2sinf—X-->1-1,

U6)

77"

再向右平移W個(gè)單位長度,所得函數(shù)的解析式為

8

y=2sin

2n

=2sin一x---T,

34

-X--=k7l^X=-k7l+—,k&Z,

3428

左=0可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為故選D.

【點(diǎn)睛】

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,

其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與

落實(shí).三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)

解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦(余弦)

函數(shù)的性質(zhì)求解.

3、B

【解析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】

r2-111

函數(shù)/(%)==x—上，可得/'(XQI+F，

XXX

xe(0,+8)時(shí)，單調(diào)遞增,

；”>0,e2i>0，

故不等式/("')〉/(e2M)的解集等價(jià)于不等式"工>e2M的解集.

1—x>2x—1.

2

**?X<一.

3

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.

4、C

【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由丁=辿9區(qū)的圖象沿X軸向左平移1個(gè)單位而得到，因?yàn)槎?辿鼠區(qū)為

XX

奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，即可排除A、D,再根據(jù)x>0時(shí)函數(shù)值，排除8,即可得解.

【詳解】

；y=+"的定義域?yàn)椴稩%?！?},

其圖象可由y=510g3以|的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位而得到，

X

...y=51Og3|x|為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

X

：.y=皿35+11的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱.

X+1

可排除A、。項(xiàng).

當(dāng)尤>0時(shí)，y=51吧|X+1|>0,.?.呂項(xiàng)不正確.

x+1

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng)，屬于中檔

題.

5、B

【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為z=-且-求出再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

22

【詳解】

.2?.InA/31.

z=-sin-----Ficos——=-----------19

3322

.-61.

..Z—----------1----l9

22

則之在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為一彳，3,位于第二象限.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共朝復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

根據(jù)sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=sin70>sin65,利用排除法，即可求解.

【詳解】

由sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=cos20=sin70>sin65,

可排除A、B、C選項(xiàng)，

又由tan410=tan50>1>sin80>^=log545>log52,

所以tan410>sin80>log52.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得。.

【詳解】

由已知可知，/(2+月=〃-無)=-/(尤)，所以函數(shù)/(%)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，

所以〃2020-ln2)=/(-ln2)=-/(ln2)=ealn2=2fl=8,

解得a=3,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共4A：=96個(gè)，其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共A；=12個(gè),

所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為96-12=84.故選B.

9、D

【解析】

0<%<1

由試驗(yàn)結(jié)果知，"對(duì)o?1之間的均勻隨機(jī)數(shù)尤,y，滿足八，，面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(％y),

0<J<1

滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)"的

值.

【詳解】

o<%<1

解：根據(jù)題意知，加名同學(xué)取心對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（龍/），即＜

o<j<r

對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y>l

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)羽y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有

0<x<1

0<y<1

14a+2m

其面積s；則有2=?解得〃=--------

2m

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)

變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

10、C

【解析】

先求集合4,再用列舉法表示出集合8,再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】

解：?.?集合A=Uly=2*-1,x￡Z?!={jly＞-1},

B={x|-2￡r＜3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

.\AnB={0,1,2,3）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

XX

尤＜y,不能得到一＜i,二＜1成立也不能推出％＜y,即可得到答案.

yy

【詳解】

因?yàn)閤,ywR,

當(dāng)時(shí)，不妨取x=-l,y=—,—=2＞1,

2y

故無＜y時(shí)，一＜i不成立，

y

當(dāng)一＜1時(shí)，不妨取1=2,丁=一1,則不成立，

y

綜上可知，“X＜y”是“一＜1”的既不充分也不必要條件，

y

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.

12、C

【解析】

解：對(duì)于（1）,當(dāng)平面A3E,且E在的右上方時(shí)，E到平面3C。的距離最大，當(dāng)平面ABE,且E在

AB的左下方時(shí)，E到平面BCD的距離最小，

四面體E-3C。的體積有最大值和最小值，故（1）正確；

對(duì)于（2）,連接OE,若存在某個(gè)位置，使得AEL3。，又AELBE,則AE_L平面8DE,可得AEJ_OE,進(jìn)一步可得

AE=DE,此時(shí)E-ABO為正三棱錐，故（2）正確；

對(duì)于（3）,取A3中點(diǎn)0,連接O。，E0,則NOOE為二面角O-A3-E的平面角，為0,

直角邊AE繞斜邊A3旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，0￡[0,兀），

ZZ）AEe[-p-,兀），所以叫NZME不成立.（3）不正確；

對(duì)于（4）AE的中點(diǎn)M與A8的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,P到3C的距離為：dP-Bc,

因?yàn)樘?hào)吐＜1,所以點(diǎn)尸的軌跡為橢圓.（4）正確.

力-BC

故選：C.

A

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需

要認(rèn)真分析，得到結(jié)果，注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、叵

2

【解析】

該陽馬補(bǔ)形所得到的長方體的對(duì)角線為外接球的直徑，由此能求出R=內(nèi)切球。I在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是

2

AR4D的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為，|,由此能求出..

r

【詳解】

四棱錐尸-A3CD為陽馬，側(cè)棱尸底面ABC。，

且PA=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,

,該陽馬補(bǔ)形所得到的長方體的對(duì)角線為外接球的直徑，

（27?）2=AB2+AD-+AP2=16+16+9=41,

2

側(cè)棱24,底面ABC。，且底面為正方形，

???內(nèi)切球&在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,

2s

內(nèi)切球半徑為r=-^=l,

故一=-----

r2

故答案為手

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題，補(bǔ)形法的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補(bǔ)形法（構(gòu)造法），通過補(bǔ)形為長方體（正方體），球心位置即為體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點(diǎn)確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

14、1

【解析】

?1122.2

試題分析：7=金=-___=即虛部為1,故填：1.

11+JKI-H

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

15、63

【解析】

由題意知q=矢”=1,繼而利用等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為s”的公式代入求值即可.

【詳解】

%"d)%

解：由題意知“二女旦二；，所以邑=jW163.

+。3，〃6請(qǐng)q'Q-q)AA6

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬于中檔題.

16、0

【解析】

4r

由基本不等式，可得至U[2+/=(+力)+("~+"一)2"一十"+2""=(a+"廣，然后利用

222

22

a+b+一]_>(￡±^1+一/上北口，可得到最小值，要注意等號(hào)取得的條件。

(a+b)22(a+b)2\2

【詳解】

由題意，/+/=(〃+/)+("+/)2/+/+2"=(°+")2,當(dāng)且僅當(dāng)「時(shí)等號(hào)成立，

222

所以片+/+.—12("")：+_夜，當(dāng)且僅當(dāng)(“；?-=’:一時(shí)取等號(hào),

(a+A)22(a+b)2V22(a+Z?)2

31

所以當(dāng)。=人=2々時(shí)，〃+〃+再鏟取得最小值后.

【點(diǎn)睛】

利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件：

①各項(xiàng)都是正數(shù)；

②和(或積)為定值；

③等號(hào)取得的條件。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+")；(2)(—8,1]

【解析】

(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.

(2)解法一：分類討論：當(dāng)時(shí)，觀察式子可得/(力>0恒成立；當(dāng)0<aWl時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，

可知/(x)>/(0)=0；當(dāng)°>1時(shí)，4-g(-^)==ex+ex-2acosx,由/'(0)=2-2a<0,根

據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得/'(九0)=。，進(jìn)而可得在(。,天)上，/(九)單調(diào)遞減，即/(可</(0)=0不滿足題意；解法

二：通過分離參數(shù)可知條件等價(jià)于2a<紀(jì)士恒成立，進(jìn)而記g(x)=e'—e',問題轉(zhuǎn)化為求g(x)在(0,不)上的

sinxsinx

最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】

(1)當(dāng)。=0,b=l,f(x)^ex+e-x

:.f'(x)=ex-ex,

令/'(九)=0,解得尤=0,

當(dāng)了>0時(shí)，/'(尤)>0,當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)<0,

???"%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增.

(2)解法一：當(dāng)/?=一1時(shí)，函數(shù)/(%)=e"-6一"-2〃sin%,/'(x)=ex+e~x-2acosx

若a<0時(shí)，此時(shí)對(duì)任意無￡(0,萬)都有產(chǎn)―,%>0，sinx>0

所以〃x)>0恒成立；

若0<aWl時(shí)，對(duì)任意xe(0,萬)都有e*+eT>2，2acosx<2,

所以/'(x)=e*+二—2acosx>0,所以/(%)在(0,乃)上為增函數(shù)，

所以/(力>/(。)=。，即0<aWl時(shí)滿足題意；

若時(shí)，令g(x)=/'(%)=e*+eT-2acosx,

則g'(x)=/-+2asinx>0,所以/'(力在(0,不)上單調(diào)遞增，

r(0)=2-2a<0,廣圖〉。，

可知，一定存在使得/(尤°)=0,

且當(dāng)龍?0,%)時(shí)，/'(x)<0,所以在(0,/)上，/(%)單調(diào)遞減，

從而有xe(O,%)時(shí)，/(x)</(0)=0,不滿足題意；

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8』］.

解法二：當(dāng)》=一1時(shí)，函數(shù)/(%)=，一""-2asin%,

又當(dāng)工￡(0,萬)時(shí)，sinx>0,

/(X)>0對(duì)一切xe(0,萬)恒成立等價(jià)于2a<恒成立，

sinx

/、ex-e~x廿生八.，/、ex(sinx-cosx)+e~x(sinx+cosx)

記g(“二—:----，其中0〈尤〈兀，貝n！|gr'(x)二—-----------J-------------

令/z(x)=e*(sinx-cosx)+”*(sinx+cosx),則〃(x)=2(產(chǎn)一sinx>0,

丸(力在(0,不)上單調(diào)遞增，h(x)>/z(0)=0,

.??g'(x)>0恒成立,從而g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,g(x)>g(O),

由洛比達(dá)法則可知，g(0)=lim上~上」-=limg+e=2，

7(sinx/3cosx

2a<29解得〃?1.

實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、

涉及到洛比達(dá)法則等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題.

18、(1)見解析(2)——<c<—1(3)1一6MmW2M

【解析】

(1)若函數(shù)/")=辦2+加一”有局部對(duì)稱點(diǎn)，貝！］/(—X)+/(%)=0,即(以2+6》一0)+(62一原一〃)=0有解，即可求證;

(2)由題可得g(r)+g(x)=。在［-1』內(nèi)有解，即方程21+2-,20=0在區(qū)間卜1』上有解，則-2c=2X+2-x,設(shè)

Z=2x(-l<x<l)，利用導(dǎo)函數(shù)求得2『+2T的范圍，即可求得c的范圍；

(3)由題可得可―X)+"司=0在R上有解，即4T—22*1+療—3+(4*—*2>i+川—3)=0在R上有解，設(shè)

2工+2T=t(t>2),則可變形為方程產(chǎn)一2/M+2m2-8=0在區(qū)間［2+8)內(nèi)有解，進(jìn)而求解即可.

【詳解】

(1)證明:由/(.r)=ax2+Ax-a得〃-力=以2-bx-a,

代入/(f)+/(%)=0得(如2+bx-a^+(ax1-Z?x-aj=0,

則得到關(guān)于x的方程以2一。=0(。彳0),由于。6尺且a/。,所以％=±i,

所以函數(shù)/(x)=av2+法一。(。，0)必有局部對(duì)稱點(diǎn)

(2)解:由題，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2*+c在定義域［-1,1］內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)

所以g(―x)+g(x)=0在［-1,1］內(nèi)有解，即方程2*+2r+2c=0在區(qū)間［T，1］上有解，

所以-2。=2*+2-工,

設(shè)/=2%—1<工<1),則:金42,所以-20=1+：

令s(/)=1+1,則s”)=l—±="T)y+D,

t2tt

當(dāng)r七,11時(shí),s”)<0，故函數(shù)s⑺在區(qū)間9/上單調(diào)遞減，當(dāng)/?1,2)時(shí),s'⑴>0,

故函數(shù)s⑺在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

所以s(%n=s⑴=2,

因?yàn)閟《K'S(2)W，所以s?UV所以兇+;弓

所以-

(3)解:由題,/z(—x)=4-x—〃7?2-X+1+/—3,

由于〃(—％)+h(x)=0,所以4T—7〃?27+1+m2—3+(4'—相?2X+1+m2-3)=0,

所以(4工+4一工)-2M2工+2-。+2(療—3)=0(*)在R上有解,

令2X+2r=t(t>2)，則4'+4T=/—2,

所以方程(*)變?yōu)?一2m/+2機(jī)2-8=0在區(qū)間［2,+。。)內(nèi)有解,

需滿足條件：

A=4/172-8(m2-4)>0

、,I-272<m<2V2

'2m+血8一叫“'即，6V隆2萬

.2一

得l-6Wm&2也

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)的理解，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.

19、(1)|(2)P(l,3,2)

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)锳BLAC,AiB,平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y

軸，以過A,且平行于BAi的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=AiB=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱

AAi與BC上的兩個(gè)向量，由向量的夾角求棱AAi與BC所成的角的大??；

(2)設(shè)棱BiG上的一點(diǎn)P,由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出兩個(gè)平面PAB與平面ABAi的一個(gè)法向量，把二

面角P-AB-Aj的平面角的余弦值為之叵，轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點(diǎn)的坐標(biāo).

5

試題解析:

解（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則C（2,0,0）,3（0,2,0）,A（0,2,2）,Bl（0,4,2）,

A4,=（O,2,2）,JBC=B1C1=（2,-2,0）.

AA__4_1

葉畫=后后=一5'

jr

故A4與棱BC所成的角是

（2）P為棱用G中點(diǎn),

設(shè)4P=24G=（24—240）,則p（244—242）.

設(shè)平面PAB的法向量為%=（尤,％z）,AP=（22,4-22,2）,

YL-AP=0x+3y+2z=0z=-Ax

則4n4n4

n1AB=0[2y=0[y=0

故%=（1,0,-2）

,、?%12逐

而平面ABA,的法向量是%=（1,0,0）,則cos%,%=方力=在/二飛一，

解得x=g,即P為棱與a中點(diǎn)，其坐標(biāo)為p。,3,2）.

點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：

（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面

的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

20、(1)<xx>^>；(2)(0,2]

【解析】

-2,x<-1,

分析：⑴將4=1代入函數(shù)解析式，求得/(尤)=卜+1卜除一1|，利用零點(diǎn)分段將解析式化為"x)=2x,—

2,x>1.

然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式/(尤)>1的解集為；

⑵根據(jù)題中所給的XG(0,1),其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式/(%)>%可以化為時(shí)1|<1,分

情況討論即可求得結(jié)果.

-2,x<-1,

詳解：⑴當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=|x+l|-|x-l|,即〃x)=2x,—1<X<1,

2,x>1.

故不等式/(尤)>1的解集為|x|.

(2)當(dāng)xe(O,l)時(shí)k+舊依T|>X成立等價(jià)于當(dāng)xe(O,l)時(shí)阿—1]<1成立.

若aWO,則當(dāng)尤?0,1)時(shí)版一1|?1；

22

若〃>0,|依一的解集為0<%<一,所以一21,故0<。<2.

aa

綜上，。的取值范圍為(0,2].

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法，以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問

題，在解題的過程中，需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來解決，關(guān)于第二

問求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果.

134

21、(1)—(2)見解析，-

663

【解析】

(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)

生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為G；=66,這兩人來自同一小組取法共有C：+2C；+C；=13,由此可求出所求

的概率；

(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩

人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【詳解】

(1)由題設(shè)易得，問卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4,3,2,3(人),

從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法=66共有(種),

抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有戲+2C；+=13(種)，