專題05 三角形內(nèi)接矩形型（原卷版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題05三角形內(nèi)接矩形型【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的、。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例題精講】例．有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計(jì)）．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【變式訓(xùn)練2】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？【變式訓(xùn)練3】如圖已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是_____．【課后訓(xùn)練】1．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個(gè)正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長(zhǎng)________．2．一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．3．如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．4．如圖,在中，，，高，矩形的一邊在邊上，、分別在、上，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大?并求出最大面積；(3)當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，該矩形以每秒個(gè)單位的速度沿射線勻速向上運(yùn)動(dòng)(當(dāng)矩形的邊到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．5．（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，求證：；（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長(zhǎng)；②如圖3，求證MN2=DM·EN．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點(diǎn)D，以PD為邊在PD右側(cè)做正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，正方形PDEF的邊長(zhǎng)為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，求t