浙江省麗水市2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省麗水市2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取=1,2）個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后

放回，此時盒中黑球的個數(shù)X，（，=1,2）,則（）

A.P（X1=3）>P（X2=3）,EX.>EX2B.P（X1=3）<P（X2=3）,EX,>EX,

C.P（X1=3）>P（X2=3）,EX,<EX2D.P（X1=3）<P（X2=3）,EXl<EX2

2

2.已知函數(shù)-2"+3瓜41,若關(guān)于上的方程/（制=丘—?恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)"的取值范圍

3.在AABC中，M是的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)尸在A"上且滿足=，則P4（PB+PC）等于（）

4444

A.-B.——C.-D.——

9933

4.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是

（1）對于命題“m/eR使得需-1<0,則力：玉eH都有三―1>0；

（2）已知XNQ,4）,則P（X>2）=0.5

（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,則回歸直線方程為》=2x-3；

（4）是“x+^22”的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）

俯視圖

A.2s/5B.4C.2D.272

6.如圖，平面ABC。，ABC。為正方形，S.PA=AD,E,尸分別是線段9，CO的中點(diǎn)，則異面直線所與

50所成角的余弦值為（）

D.交

C.工

63

7.給出下列四個命題：①若"p且q”為假命題，則。、q均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；

2

③若命題XQ>0,則命題R>：VxeA,x<0；@設(shè)集合人={1%>1},3={乂％>2},貝！

是“xe5”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

8.某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場有6名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位

參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評

分按照[70,80）,[80,90）,[90,100]分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評分969596899798

嘉賓評分的平均數(shù)為工，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為E，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為最，則下列選項

正確的是（）

,-X,+X-,,,-X+X,八一X1+X,.、——-X,+X,

A.x^———-B.x>———-C.x<———-D.x,>x>x>———-

22202

9.一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1）,則該幾何體的體積是（）

A.――B.2兀一1C.2TT—2D.2TT—4

2

47r

10.如圖所示，用一邊長為0的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為q-的

雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）

V2-16.+1

2.2

V6-16-1

2'2

11.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)（素數(shù)）之和，也就

是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想

的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）

1132

A.—B.—C.-D.一

5353

12.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、

面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài).緊跟時代脈搏的熱門APPo該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”、

，，視聽學(xué)習(xí)，，兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”.“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊。某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀

文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）

A.60B.192C.240D.432

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，貝!Isin23+2cos5的最小值

為，最大值為?

14.已知函數(shù)/（x）=-V+x+mxe—,e]與g（x）=3歷%—%-1的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則。的取值范圍為

e

15.若非零向量a，8滿足（。力）=搟，|a|=6,b+b卜則"=.

16.記實數(shù)，x”中的最大數(shù)為max{%最小數(shù)為min{%,9,…,王}.已知實數(shù)瓚ky且三數(shù)能構(gòu)

1V1Y

成三角形的三邊長，若t=max—,一,y-min—,一,y,貝!K的取值范圍是______.

[％yJ1％yJ

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1,

17.（12分）已知函數(shù)/（兀）=5以--（a-l）x—lnx（aeR,a#0）

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間

（2）記函數(shù)y=Rx）的圖象為曲線C,設(shè)點(diǎn)4（石,%）,5（々,為）是曲線C上不同兩點(diǎn)，如果在曲線C上存在點(diǎn)

加（七,為），使得①%=七三；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線A5,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當(dāng)a=2

時，函數(shù)/（%）是否存在“中值和諧切線”請說明理由

18.（12分）本小題滿分14分）

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為O=4sin，，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線/的參數(shù)

一1

X=-t,

2

方程為l。為參數(shù)），求直線/被曲線C截得的線段的長度

19.（12分）已知函數(shù)/（￡）=|2%-同+卜一l|（aeR）.

（I）當(dāng)。=1時，求不等式的解集；

（II）若存在xeR滿足不等式〃力＜4,求實數(shù)”的取值范圍.

20.（12分）如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=2AB,ZA=60°,現(xiàn)沿對角線3。將AABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)

點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線PC,PD上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.

（1）求證：MN1BD；

（2）若平面P皮），平面5C。，二面角AB-。平面角大小為30。，求直線PC與平面所成角的正弦值.

1

%=一+cosa

2

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)）.以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，》軸

y=——+sina

2

的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位，建立極坐標(biāo)系.

TT

（1）設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程為8=二，若直線/與曲線。交于兩點(diǎn)4.B,求A5的長；

12

71

（2）設(shè)M、N是曲線C上的兩點(diǎn)，若NMON=—,求AOMN面積的最大值.

2

22.（10分）已知點(diǎn)A為圓C：（工一行+丁=1上的動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P（0,4）作直線Q4的垂線（當(dāng)人、。

重合時，直線04約定為V軸），垂足為"，以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)"的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（如|（9A|

（2）直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin0+-=4,連接04并延長交/于3,求焉的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項.

【詳解】

c12C11

X=3表示取出的為一個白球，所以網(wǎng)乂=3)=寸=3.％=2表示取出一個黑球，p(X1=2)=消=可，所以

E（Xj）=3xj+2x|=|.

8

X?=3表示取出兩個球，其中一黑一白，P(X2=3)=-^=—,X2=2表示取出兩個球為黑球,

13

1「26

X?=4表示取出兩個球為白球,產(chǎn)區(qū)=4)=方所以

1515

石(乂2)=3乂［+2乂］+4乂3=￥.所以尸(3=3)>尸(*2=3),%<%.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題.

2、D

【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y=/(x)的圖象和直線y=區(qū)一;有4個交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線》=依

一上的下方，即可求得：k>g；再求得直線》=履一!和相切時，k=顯;結(jié)合圖象即可得解.

222e

【詳解】

若關(guān)于X的方程/(*)=履一|恰有4個不相等的實數(shù)根，

則y=/(x)的圖象和直線y=fcr—；有4個交點(diǎn).作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖,

：.kxl-->0,解得左>’.

22

當(dāng)直線y=fcr—：和相切時，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為機(jī)，

?11

,lnm+—1.廠

則ntl左=2=-，??m=&?

m

m

此時，k=L=?,/(x)的圖象和直線y=fcc—1有3個交點(diǎn)，不滿足條件，

me2

故所求發(fā)的取值范圍是

故選D..

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題.

3、B

【解析】

由M是的中點(diǎn)，知AM是5C邊上的中線，又由點(diǎn)P在AM上且滿足AP=2PM可得：尸是三角形ABC的重心,

根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

解：是3c的中點(diǎn)，知AM是3C邊上的中線，

C

又由點(diǎn)尸在AM上且滿足”=2PM

二尸是三角形ABC的重心

PA<PB+PC）

=PA-AP=-\PA\2

又

.,.|PA|=|

/.PA（PB+PC）=-1

故選反

【點(diǎn)睛】

判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì)：PA+PB+PC=O或

AP+BP+CP取得最小值③坐標(biāo)法：P點(diǎn)坐標(biāo)是三個頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)?

4、C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題。與/eR使得芯-1<0,則一：VxeR都有

x2-l>0,是錯誤的；

（2）中，已知X~N（2,〃），正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為x=2,所以尸（X>2）=0.5是正確的;

（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，可得

回歸直線方程為》=2x-3是正確；

（4）中，當(dāng)尤之1時，可得x+?工=2成立，當(dāng)x+^22時，只需滿足x>0,所以“龍是“x+^22”

x\xxx

成立的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性

質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識點(diǎn)的應(yīng)用，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：

由三視圖知:|AD|=2,\CE\=73,\SD\=2,

所以=\DC\=2,

所以慟=，回2+|盯=2應(yīng)倒=Jscj+阿=2血，

所以該幾何體的最長棱的長為20

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

6、C

【解析】

分別以AB,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,再利用向量法求異面直

線EF與BD所成角的余弦值.

【詳解】

由題可知，分別以AB,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

設(shè)AZ)=2.則5。=(-2,2,0),EF=(1,2,-1),cos(BD,EF)=+.

V8xV66

故異面直線EF與BD所成角的余弦值為由.

6

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

7、B

【解析】

①利用。人q真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為90,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，

④利用集合間的包含關(guān)系判斷.

【詳解】

若“。且為假命題，則q中至少有一個是假命題，故①錯誤；當(dāng)內(nèi)角為90時，不是象限角，故②錯誤；

由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為所以xeBnxeA,所以“xwA”是“尤e3”的必要條件,

故④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

計算出工、進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

-96+95+96+89+97+98

由表格中的數(shù)據(jù)可知,?95.17,

寸-------------6---------------

由頻率分布直方圖可知，x2=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則（＞五,

由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，（工產(chǎn)＜1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.

【詳解】

由幾何體的三視圖可得，

幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為行的等腰直角三角形、高為2的棱

柱，

故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，

即丫=兀?『?2—L?亞?亞?2=2兀一2,

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)

幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.

10、D

【解析】

47r

因為蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1,又因為雞蛋的體積為三，所

以球的半徑為1,所以球心到截面的距離4=/[=￥，而截面到球體最低點(diǎn)距離為1-半，而蛋巢的高度為:，

1（Ji-1

故球體到蛋巢底面的最短距離為5-1-*="廠.

點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何

體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長和勾股定理來解

決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.

11、A

【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.

【詳解】

6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),

根據(jù)古典概型知，所求概率為尸=g

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.

12、C

【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.

【詳解】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)

為閻瑪團(tuán)+A：&=240.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這

類問題的常用方法.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、W+1空

22

【解析】

〃244_/2

根據(jù)正弦定理可得勸=。+0,利用余弦定理C0S5二°以及均值不等式,可得角6的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)

lac

/(5)=sin25+2cos5,利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】

由sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列

所以2sin5=sinA+sinC

所以2b=a+cnb=a+C

2

22"+cY

222a+C

又Da+c-b-［亍）

laclac

.八3a2+3c2-2ac6ac-2ac1

化z簡可得cosB=---------------＞------------=-

SacSac2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=。時，取等號

又所以3J。,q

令/（3）=5姑23+2853,

則/（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinB

/'（B）=-2lsinB-1|（sinB+l）

當(dāng)sinB〉；，即Be年時，/,（B）＜0

當(dāng)sinB＜；,即時，/'（B）＞0

則/（5）=sin25+2cos5在卜系］遞增，在遞減

所以/㈤=/g=sin9+2cos署甲

16J3o2

由/（0）=sin0+2cos0=2,

.271乃石

t—=sm-----Fzcos—=-----Fl

⑶332

所以篇,（8）=/（f）￥+l

所以sin25+2cos5的最小值為"+1

2

最大值為記

2

故答案為："+1,巫

22

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求

出，考驗分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.

14、［2,e3-2］

【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的等價命題是方程-d+%+a=-3說c+x+1在區(qū)間A，e］上有解，化簡方程

e

。-1=%3-3/心在區(qū)間d，e］上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.

e

【詳解】

解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(x)=—f+x+adwxWe)與g(x)=31nx—x—l的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，

e

則方程-V+%+〃=-3/nx+x+l在區(qū)間［Le］上有解，

e

即方程a-］=^-3lnx在區(qū)間［-,e］上有解，

e

3

設(shè)函數(shù)g(x)=x-3lnx,其導(dǎo)數(shù)gQ)=3——3=3。3二1),

XX

又由xe［±e］,可得：當(dāng)工WxWl時，g'(x)<O,g(x)為減函數(shù)，

ee

當(dāng)1K尤We時，g'(x)>O,g(x)為增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)=/-3/zu?有最小值g⑴=1,

又由gd)=4+3,g(e)=e3—3；比較可得：g(3<g(e),

eee

故函數(shù)g(x)=*3-3歷X有最大值g(e)=e3-3,

故函數(shù)g(x)=%3—3/nx在區(qū)間g,e］上的值域為

若方程a+l=d—3配c在區(qū)間上e］上有解，

必有1W。一1W/—3，則有2W。《/一2，

即a的取值范圍是［2*3—2］；

故答案為：［2*3-2］；

【點(diǎn)睛】

本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題，函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程

/(%)=0的根,在研究方程的有關(guān)問題時,可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),

結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.

15、1

【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出|切2+3］口-4=0,解方程即可得出答案.

【詳解】

卜+。|=J(a+>)2=J|a「+2a.〃+W=百

|/?|+2xA/3xcos^-x|/?|+3=7,即|『+316|-4=0

解得|切=1或|切=—4(舍)

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

16、［1,匕罵

2

【解析】

12

1vI?1jr|Iy

試題分析：顯然'=,又uu-—，

5》JlxyJ-一

y

,l<xSy

①當(dāng)VT-時，r=，，作出可行區(qū)域?-：,因拋物線二T-與直線二及--：在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分

x

別是(1,1)和:陰/更喳.，從而：<]<1+二

"雪,,1G2

,14x4下

②當(dāng)：；、一時，：=■；,作出可行區(qū)域一1,因拋物線二丫；與直線-及.=、-：在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分

[y2x2

別是(1,1)和加電全冬喳:，從而：三r<匕苴

綜上所述，/的取值范圍是：.

■

考點(diǎn)：不等式、簡單線性規(guī)劃.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析(2)不存在，見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論。的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再令，=2,轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.

%

【詳解】

⑴函數(shù)的定義域為(0,+8)，所以，7a(x-l)(x+-)

J(X)一

X

當(dāng)a>0時，r(x)>O,x>l；/,(x)<O,O<x<l,

所以函數(shù)/⑴在。，+⑹上單調(diào)遞增

當(dāng)。<0時，

①當(dāng)」<l,a<—1,八%)>0,—Lx<l時，函數(shù)在]二,o]上遞增

aaya)

②—L=l,a=—1,顯然無增區(qū)間；

a

11/1)

③當(dāng)——>1,—1<。<0時，/(x)>O,l<x<——,函數(shù)在1,——上遞增,

aa\aJ

綜上當(dāng)〃>0,函數(shù)在［一工,1］上單調(diào)遞增.

1a)

當(dāng)a<-l時函數(shù)在［-：,+<?］上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=-1時函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間

當(dāng)—1<a<0時函數(shù)在上單調(diào)遞增

Ia)

(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”

設(shè)々，當(dāng))是曲線上不同的兩個點(diǎn)，且玉<%

A(xp%),3(V=0<

則-再一萬一玉，

XIny=x2-x2-lnx2

29=%+%-1-

2

曲線在點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為左=/'(%)=%+%T---7

00X]~HX?

1Inx-Inx2

9—+x--------

x2+-1----------------2

一西國十%

x2-2

2(^-1)

....々Tn/=2,./n三_%=0

一再再+

x2x2x>三+1

Xl

令則咐=皿-*,〃(/)=占:〉0,

Kt)單調(diào)遞增，場⑺>〃(1)=0,

故用力=0無解，假設(shè)不成立

綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18、2.2=V15

【解析】解：解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為d+>2一4>=0,

即Y+(y-2)2=4,它表示以(0,2)為圓心，2為半徑圓，..................4分

直線方程/的普通方程為y=JL+l,....8分

圓C的圓心到直線/的距離4=工，......................10分

2

故直線/被曲線C截得的線段長度為2j22Tg)2=715..........14分

19、(I)或谷1}.(II)-6<a<10

【解析】

(I)分類討論解絕對值不等式得到答案.

(II)討論aW2和?！?兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性，得到只需/(-)<4,代入計算得到答案.

【詳解】

(I)當(dāng)4=1時，不等式為——心1,

1f1r

變形為2或2或，解集為{中用或.+1}.

2—3x21[x>l聲-2_13

,1a

—3x+I+6Z,x<—

(II)當(dāng)aW2時，/(x)=|2x-tz|+|x-l|=<x—〃+1,—

2

3x-a-l,x>l

由此可知/(x)在(3,多單調(diào)遞減，在弓,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)a>2時，同樣得到了⑴在S,號單調(diào)遞減，在日+8)單調(diào)遞增，

所以7?(ElN/e),存在xwR滿足不等式/(x)<4,只需/(羨)<4,BP||-l|<4,

解得-6<a<l0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解絕對值不等式，不等式存在性問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

20、(1)證明見解析；(2)叵

5

【解析】

(1)根據(jù)余弦定理，可得利用AB//CD,可得CD//平面然后利用線面平行的性質(zhì)定理，

CD//MN,最后可得結(jié)果.

(2)根據(jù)二面角平面角大小為30，可知N為PD的中點(diǎn)，然后利用建系，計算尸。以及平面6AW的

一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)不妨設(shè)AB=2,則AD=4,

在AABD中，

BD~=AB~+AD~+2ABAD-cosA，

則BD=273，

因為AB2+B￡)2=4+12=16=AD2，

所以因為AB〃CD,

且A、B、M、N四點(diǎn)共面，所以CD//平面A5肱V.

又平面A3MN平面尸CD=MN,所以CD"MN.

而CgBD,MN±BD.

(2)因為平面。皮)，平面BCD,且PB上BD,

所以平面BCD,PB±AB,

因為所以AB,平面PSD,BNLAB,

因為平面與平面BCD夾角為30。，

所以ND5N=30°,在RtAPB。中，易知N為的中點(diǎn)，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,0),P(o,o,2),C(2,2/,o),

N(0,6l),"(1,6,1),

=(1,0,0),3N=(0,G,l),PC=(2,2A/3,-2),

設(shè)平面BMN的一個法向量為n=(%,y,z),

令y