山西省晉城市2024屆高三一模數(shù)學試題及答案

山西省晉城市2024屆高三一模數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合M=V%V5},N={y\y=x-lfxEM},則MUN=()

A.(-2,5)B.(—1,4)

C.(—2,4)D.(—1,5)

2.設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（1,-2）,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（）

A-（一行B-

C.—3)D.一1)

2222

3.若sinl80=m,則sin63°=()

A.(V1—m2—m)B.-mV1—m2

222

C.近(znV1—m2)D.6m-V1—m2

222

4.已知定義在（0,8讓的函數(shù)/（%）滿足e（0,8）y)=f(%)/(y)

,—二，/(x)>0,且/(l)"(2)=5,則f(l)=()

xyxy

A.1B.2C.2D.5

22

5.若生皿0ieN*）的展開式存在常數(shù)項，則常數(shù)項為（）

。2匕5

A.-35B.35C.-21D.21

6.吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江

東路.霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均

為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點到準線的距離為p米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連

接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為a米（將每根吊索視為線

段）.已知最中間的吊索的長度（即圖中點4到橋面的距離）為匕米，則最靠近前主塔的

吊索的長度（即圖中點B到橋面的距離）為（）

試卷第1頁，共6頁

Q169a2曾呼^D169a221蛛^

P2p

7.定義min{p,q,r}表示p,q,r中的最小值.已知實數(shù)a,b,c滿足abc=O,abc=-1,

則（）

A.min{a,b,c}的最大值是一1B.min{a,b,c}的最大值是一游

C.min{a,b,c}的最小值是一1D.min{a,b,c}的最小值是一四

8.生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮

品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2分.若

某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始.某會員參與打卡活

動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡

的那天是（）

A.3月5日或3月16日B.3月6日或3月15日

C.3月7日或3月14日D.3月8日或3月13日

二、多選題

9.若一個函數(shù)在區(qū)間。上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0,則該函數(shù)在C上純粹遞增，若一個函數(shù)在

區(qū)間。上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0,則該函數(shù)在D上純粹遞減，則（）

A.函數(shù)/（久）=X2-2%在［1,8讓純粹遞增

B.函數(shù)/1（x）=X3—2%在［1,2］上純粹遞增

C.函數(shù)/（x）=sinx-2x在［0,1］上純粹遞減

D.函數(shù)f（無）=ex—3x在［0,2］上純粹遞減

10.如圖，在正四棱柱2BC0-中,AB=2,4％=4,C^E=3EC,平面ABE

將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對應(yīng)的幾何體為。上，下部分對應(yīng)的幾何體

為。丁，則（）

下

A.Q的體積為2

下

B.。上的體積為12

試卷第2頁，共6頁

C.Q的外接球的表面積為9Tl

下

D.平面4BE截該正四棱柱所得截面的面積為2遍

11.雙曲線C:%2一y2=>0)的左、右焦點分別為FjF?,P(t,s)(s大0)為C的右

支上一點，分別以線段PF］,P%為直徑作圓。1，圓。2,線段。。2與圓°2相交于點M，其

中。為坐標原點，則()

A.1。1。21=V3ni

B.\OM\=m

C.點(t,0)為圓0］和圓。2的另一個交點

D.圓。，與圓0,有一條公切線的傾斜角為漢

1z4

12.已知函數(shù)/(%)=+Inx,貝?。?)

A.是"/(為，0一無+上乎的充要條件

X

B.“x>1”是“/(x)>e-x+In”，的充分不必要條件

X

C.當/'(%)=(e2—1)%+2時，x+Inx=2

D.當/'(x)=(e2-l)x+2時，x+Inx=e

三、填空題

13.若一個正九棱臺的棱數(shù)大于15,且各棱的長度構(gòu)成的集合為{2,3},貝版的最小值

為,該棱臺各棱的長度之和的最小值為.

14.已知兩個單位向量另的夾角為70。，則一日與1+3的夾角為.

15.某羽毛球超市銷售4種品牌(品牌4,B,C,D)的羽毛球，該超市品牌4B,C,

。的羽毛球的個數(shù)的比例為4:3:2:3,品牌4,B,C,。的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8,

0.9,0.7,0.6.若甲不買這4個品牌中的1個品牌的羽毛球，他從其他3個品牌的羽毛

球中隨機選取1個購買，已知他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8,則可推測他不買

的羽毛球的品牌為(填入4,B,C,。中的1個).

16.若函數(shù)f(x)=costi)x(0<a><100)在(it,室)上至少有兩個極大值點和兩個零點，則

a)的取值范圍為.

試卷第3頁，共6頁

四、解答題

17.在△ABC中，AB=3圾,AC=5A/3,BC=7依.

(1)求力的大??；

(2)求△ABC外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑.

18.已知數(shù)列｛3X2naJ的前?1項和S”=4ni-4.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

2

(2)設(shè)％=3(a“_2)2,求數(shù)列｛、｝的前71項和7^.

試卷第4頁，共6頁

19.某果園種植了一種水果，現(xiàn)隨機抽取這種水果的成熟果實200個，統(tǒng)計了這200個

果實的果籽數(shù)量，得到下列頻數(shù)分布表：

果籽數(shù)量1234

水果數(shù)100504010

(1)求這200個果實的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)與平均數(shù).

(2)已知這種水果的成熟果實的果籽數(shù)量會影響其市場售價，每個果實的果籽數(shù)量與果實

的價格如下表所示：

果籽數(shù)量1234

價格阮201286

以這200個果實的果籽數(shù)量各自對應(yīng)的頻率作為該果園這種成熟果實的果籽數(shù)量各自

對應(yīng)的概率，從該果園的這種成熟果實中任選2個，在被選的成熟果實中至少有1個的

果籽數(shù)量為1的前提下，設(shè)這2個果實的市場售價總和為X元，求X的分布列與數(shù)學期

望.

20.如圖，P是邊長為2的正六邊形ABCDE尸所在平面外一點，BF的中點。為P在平面

4BCDEF內(nèi)的射影，~PM=2MF.

(1)證明：ME〃平面PBD.

(2)若P4=2,二面角4—PB—D的大小為仇求cos20.

試卷第5頁，共6頁

21.已知函數(shù)/(%)=e2x—a——.

e%

(1)若/(%)20恒成立，求a的取值范圍；

(2)若/(x)有兩個零點4，芍，證明：\+<0.

22.已知橢圓P:迎+以=1的焦點是橢圓E的頂點，橢圓Q:蛙+運=1的焦點也是E的頂

6269

點.

(1)求E的方程；

(2)若/(/，彘)，C,D三點均在E上，且CF1DF,直線CF,DF,CD的斜率均存在，證

明：直線CD過定點(用％,為表示).

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】先化簡集合N,再求并集.

【詳解】因為M={x|—1<比<5},所以N={y[—2<y<4},所以MUN=(―2,5).

故選：A

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)運算法則化簡且即可求解.

zi

【詳解】依題意得z=1—2i,

所以Z=」i=(l2i)(li)=-l3i=_13i；

zi1-ii)222

則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(_\a).

zi22

故選：c

3.C

【分析】利用和角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系進行求解.

【詳解】sin63°=sin(18°45°)=應(yīng)(sinl8°cos18°)=(mV1—m2).

'22

故選：C

4.B

【分析】對于抽象函數(shù)的關(guān)系式，可考慮對進行賦值,借助于f(l)"(2)=5建立方程組,

求解即得.

【詳解】令x=y=l,得f(2)=2/(l)1-2,即f(2)-2/(1)=-KD

22

因/⑴?/(2)=5②,聯(lián)立①②解得：/(I)=2或/■(1)=-3,又f(x)>0,所以"1)=2.

4

故選：B.

5.C

【分析】先確定〃值，再利用通項公式求解.

【詳解】若正如的展開式存在常數(shù)項，則n=25=7,且常數(shù)項為第。2「亦=—嘴=

。2匕5匕5'

-C2=-21.

故選：C

6.A

【分析】建立坐標系，求出點8橫坐標，代入拋物線即可求解.

答案第1頁，共12頁

【詳解】以4為坐標原點，拋物線的對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系(橫坐

標與縱坐標的單位均為米)，

依題意可得拋物線的方程為/=2py.

因為同一邊的懸索連接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為a米，則點B的橫坐標

為—14a,

故選：A.

7.B

【分析】由題先分析出實數(shù)a,b,c一負兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值的最大

值即可.

【詳解】因為abc=—1,所以在a,b,c中，負數(shù)的個數(shù)為1或3,

又abc=0,所以在a,b,c中，1個為負數(shù),2個為正數(shù)，不妨設(shè)c<0,則min{a,b,c}=c.

因為2AoWab=-c,所以因為c<0,所以a'W-l,貝lieW—澗，

44

故min{a,b,c}的最大值是-必?，無最小值.

故選：B.

8.D

【分析】利用等差數(shù)列求和公式列方程求解.

【詳解】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項為1,

公差為2,第71天所得積分為271—1.

假設(shè)他連續(xù)打卡幾天，第n1天中斷了，

則他所得積分之和為(13???2n-1)[132(19-n)-1]

_n(l2n-l)=193,化簡得點2-197184=0,

22

解得九=7或12,所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，注意審題“一天中斷''兩次求和公式的應(yīng)用.

答案第2頁，共12頁

9.BC

【分析】求各選項函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用所給定義判斷即可求解.

【詳解】若/(%)=%2-2無，則/，(%)=2%一2,因為"(1)=0,所以A錯誤.

若/(%)=%3—2%,貝(］f，(%)=3%2—2,當％E［1,2］時，"(%)>0恒成立，所以B正確.

若/(%)=sin%—2x,則/，(%)=cosx—2<0,所以C正確.

若/(%)=e%—3%,則戶(%)=ex-3<0在［0,2］上不恒成立，所以D錯誤.

故選：BC

10.ACD

【分析】根據(jù)題意求截面，可知Q一為直三棱柱40F-BCE,進而可求相應(yīng)的體積，即可判

下

斷AB；利用補形法結(jié)合長方體的性質(zhì)求外接球的半徑和表面積，即可得判斷C；可知平面

48E截該正四棱柱所得截面為矩形4BEF,即可得面積判斷D.

［詳解］設(shè)庠=3麗，平==3HB,

連接EF,AF,BE,GF,GH,EH,

由長方體的性質(zhì)可知：EF//AB,可知/,B,E,F四點共面，

所以。為直三棱柱ADF—BCE,其體積為工X1X2X2=2,故A正確；

下2

Q上的體積為22X4—2=14,B錯誤.

Q的外接球即為長方體4BCD-GHEF的外接球，

下

所以。一的外接球的半徑R=逅三9=a,

下22

則Q的外接球的表面積為4TIR2=9冗，C正確.

下

平面ABE截該正四棱柱所得截面為矩形48EF,其面積為2x71^—22=2A/5,D正確.

故選：ACD.

11.BCD

答案第3頁，共12頁

【分析】由中點中位線性質(zhì)判斷AB；由圓與圓關(guān)系及切線性質(zhì)求得sin乙40,01=e判斷CD.

212

【詳解】C的方程可化為正一m=1,可得a=m,b=m,c=V2m.

m2m2

由。，為PF,的中點，。，為PF,的中點，得|。,。,|=工區(qū)瑪I=?m,A錯誤.

由。，為P工的中點，。為工工的中點，得|0。0|=I|PF,I,

ZZ_Lzz2，

則|0M|=\00\-\M0\=^\PF\~\P0\=^\PF\-^\PF\=a=m,B正確.

z乙2、乙2\2乙

設(shè)點Q為圓。1和圓。2的另一個交點，連接PQ,由。1。2〃、軸，

可得。1。2，「(2，0］。2為△PF10的中位線，則直線。1。2平分線段PQ，

則點Q必在x軸上，可得點Q的坐標為(t,0),C正確.

如圖，若8。為圓01與圓。2的一條公切線，B,D為切點、,

連接0口，02D,過點。2作。2人1。田，垂足為4

由|0,。,|=<2m,\0A\=\0B\-\0D\=1|PFI-1|PFI=a=m,

得sin乙4。,。，=」4以-==近，

21

\0102\V2nl2

可得44。2。1=；,由。1。2〃、軸，且0247BC,可得公切線BD的傾斜角為jD正確.

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線與圓的綜合應(yīng)用，利用圓與圓位置關(guān)系求解D是關(guān)

鍵.

12.AC

【分析】利用指對同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)g(t)=et+t結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷各選項.

【詳解】因為％2ex=ex+21nx,所以/(尤)>e-%+In*等價于ex+2inx+久+21nx>e+1,構(gòu)

X

造函數(shù)g(t)=et+t,

則g(x+21nx)>g(l),因為g(t)是增函數(shù)，所以x+21nx>l.

答案第4頁，共12頁

因為函數(shù)%(%)=%+21nx為增函數(shù)，且h(l)=1,所以久+21nx>1<=>%>1,

所以“%>1”是“/(%)>e—%+In殳”的充要條件.

X

當/(%)=(e2—1)%+2時，x+Inx=2,理由如下：

(解法一)

/(%)=(e2—1)%+2可變?yōu)閑%+2in%+為+21nx=e2x+2+Inx=e2+inx+2+Inx,

則g(x+2Inx)=g(2+Inx).因為g(t)是增函數(shù)，所以％+2Inx=2+Inx,即％+Inx=2.

(解法二)設(shè)％+In%=則In%=TH—%,em-x=%,即e%=此，

X

代入％2ex+Inx=(e2—l)x+2,得xem+m—x=(e2—l)x+2,即(em—e2)x=2—m.

假設(shè)Hl72,則等式左右異號，矛盾.所以m=2,即x+lnx=2.

故選：AC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性，關(guān)鍵是將函數(shù)變形指對同構(gòu)構(gòu)造函數(shù).

13.642

【分析】根據(jù)正幾棱臺共有3n條棱，從而得到不等式，求出n的最小值為6,得到棱的長度之

和最小值.

【詳解】因為正n棱臺的側(cè)棱有幾條，底面有2n條棱，所以正門棱臺共有3n條棱，

由3n>15,得n>5,

所以n的最小值為6,該棱臺各棱的長度之和的最小值為2x12+3x6=42.

故答案為：6,42

14.145°

【分析】利用向量加減運算結(jié)合夾角定義求解.

【詳解】設(shè)2=瓦?，b=OB,a-b=0C,因為乙3均為單位向量，

所以四邊形04CB為菱形，且0C平分乙40B,

所以日與R+3的夾角為70。+2=35°,則一日與2+3的夾角為180。-35。=145°.

-aa

故答案為:145°

答案第5頁，共12頁

15.D

【分析】先確定不是品牌B,再利用全概率公式分別計算不買品牌的概率即可求解.

【詳解】因為他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8,且0.8,0,9,0,7,0.6中只有0.9>0.8,

所以他不買的羽毛球品牌一定不是品牌B.

若他不買品牌4的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為0.9X=一0.7

323323

0.6x^—=3=0.7375.

3238

若他不買品牌C的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為0.80.9X」一

433433

0.6x」一=9=0.77.

43310

若他不買品牌。的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為0.8x^—0.9X—2—

432432

0.7x^—=0.81.

4329

故答案為：D

16.(2,2)U(X100)

【分析】先求出極大值點表達式，利用題干條件列不等式賦值求解.

【詳解】令keZ,得/的極大值點為x=血，keZ,則存在整數(shù)k,使得

to>0

—>11

2(/cl)n<51T

(x)2

解得4ki)v3<2k(keN*).

因為函數(shù)y=cosx在兩個相鄰的極大值點之間有兩個零點,

所以其u)<3<2k(kEN*).

5

當k=l時，^<a)<2,當k=2時，絲<3<4.

55

當k22時，3^)V3^)<2/C.又0<3<100,

55

所以3的取值范圍為g,2)Ue,4)U患，6)u-u(皆,100)=g,2)U已,100).

故答案為:e，2)u《,i。。)

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，求出MDvo)<2/c(/cGN*)并

5

答案第6頁，共12頁

賦值計算是解決問題關(guān)鍵.

17.(1)4=①

3

(2祥

2

【分析】（1）由余弦定理即可求解;

（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內(nèi)切圓半徑.

【詳解】（1）由余弦定理得COS2=4B24aB（?=15

2AB-AC2

因為o<a<n,所以4=生.

3

(2)設(shè)△ABC外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,由正弦定理得2R=工=至=14,

sinAQ

2

則R=7.

△ABC的面積S=1AB-AC-sinX=叁，

24

由工rQ43ACBC)=S,得7=——=3.

2ABACBC2

18.(1)。九=2九

(2)7^=4九14n6n3

【分析】（1）令％=3X2"4,利用當nN2時，Cn=SnS.1求解;

（2）利用分組求和求解.

【詳解】(1)令cn=3X2nan.

當n=1時，ci=Si=12；

當心2時，cn=SnSni=4ni4n=3x4、

因為C]=12=3X41,所以c九=3x4九,

所以3X2九a=3X4n,解得a=2".

nn

2

(2)由(1)知b=3(2“工)=3(4”2

n2n力，

所以T=3—2nU—]

n1414

4

4n14111

=3|—-2九3d薪)]=4京]4n6n3

19.(1)2.5,1.8

答案第7頁，共12頁

（2）分布列見解析，的

5

【分析】（1）由題意計算出200x笈=150對應(yīng)的果籽數(shù)量為2,即得第75百分位數(shù)為。=

1002

2.5；

（2）先求得果籽數(shù)量為1,2,3,4對應(yīng)的概率，依題要求至少有1個的果籽數(shù)量為1的前提下

這2個果實的售價之和X,屬于條件概率，而至少有1個的果籽數(shù)量為1的概率為1-

（1—1）2=3,則可對X的四個可能值40,32,28,26分別利用條件概率公式求得概率，寫

V274

出分布列即得期望.

【詳解】（1）將這200個果實的果籽數(shù)量從少到多排列，因為200X笈=150,對應(yīng)的果籽

100

數(shù)量為2,

故這200個果實的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)為口=2.5.

2

工黑口取泌

這200個果實的果籽數(shù)量的平均數(shù)為5040吐i,8.

200

（2）依題意可得果籽數(shù)量為1,2,3,4對應(yīng)的概率分別為1,1,工，工.

24520

被選的2個成熟果實中至少有1個的果籽數(shù)量為1的概率為1—（1-I）?=&.

12，4

X的可能取值為40,32,28,26,

P（X=40）=專=工，P（X=32）=與i=1,

44

P（X=28）=^i=EP(X=26)=^1i=工

4

則X的分布列為

28X二26X工=3.

15155

20.（1）證明見解析

(2)cos20=—0

35

答案第8頁，共12頁

【分析】(1)設(shè)麗=2宿，連接MN,可證四邊形EKNM為平行四邊形，所以ME〃NK,

從而得證ME〃平面PBD；

(2)由空間向量法求得二面角4—PB—D的大小為。，|cosO|=退，再由二倍角公式求解.

-35

【詳解】(1)如圖，設(shè)麗=2宿，連接MN.

因為麗=2而，所以生=￡M,所以MN//BF,且MN=2呂尸.

NBMF3

連接CE交BD于K,連接KN,

由NKDC=30。，所以NKDE=90。，

RgKDE中，KD=LKE,KC=KD,

2

所以EK=^CE=?BF=MN,

33

由CE〃BF,可得EK〃MN,所以四邊形EKNM為平行四邊形,

所以ME//NK.

又因為MEN平面PBD,NKu平面PBD,

所以ME〃平面P80.

(2)以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

易知。4=1,0D=3,OB=V3,P0=7PA2一。。2=舊,

則P(0,0,V5),B(V3,0,0),0(0,3,0),4(0,—1,0),

則麗=(-73,0,V3),AP=(0,1,V3),BD=(-73,3,0).

設(shè)平面P4B的法向量為周=(x,y,z),則■［三,竺=°「即■［丫az:0,-

1=0,1-V3%+V3z=0,

令％=1,得厚=(1,-V3,1).

設(shè)平面的法向量為虧=(4兀4),則但,竺二°尸即［一乎+%=°，

令兀=1,得虧=(73,1,73),

由cos〈冗,可〉=%嗎==逗，

12In7HnJIV5xV7yf3s

答案第9頁，共12頁

得|cos6|=S=,

，35

所以cos26=2cos2。-1=2|cos0|2—X=

35

21.(1)(—8,1]

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)判單調(diào)性，求/(%)的最小值，列不等式求解；

(2)通過證明g(%)=/(%)—/(—%)>0求解.

【詳解】(1)/，(％)=2e2x—2(1F=2(e3xl%),

e%ex

令九(%)=e3%—1x,易知九(%)單調(diào)遞增，且九(0)=0.

當%V0時,h(%)V0,即0(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當%>0時，九(%)>0,即/，(%)>0,/(%)單調(diào)遞增.

所以/(%)min=f(0)=1一。之0，即a<1，

所以a的取值范圍是(一叫1].

(2)由/(%)的單調(diào)性可設(shè)%]<0<

令g(X)=/(%)—/(一%)=e2x—e~2x一(——)=(exe-x)(ex—e-x—2%).

exe-x

令3(x)=ex—e-x—2%(x>0),則3(%)=exe-x-2>2jexe-x-2=0,

所以s(x)在(0,8讓單調(diào)遞增，則0(x)>0(0)=0,所以0(4)>0.

所以/(%2)—/(一%2)>仇即/(4)一/(一％2)>°，即/(4)>

因為當久<0時，/(久)單調(diào)遞減，且一汽2<°，所以即%“2<0，

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)恒成立問題及證明不等式，第二問將g(x)=/(%)-

八-久)分解因式判斷符號是本題關(guān)鍵.

22.(1聲史=]

43

(2)過定點(4,一區(qū)),證明見解析.

77

【分析】(