2023屆河北保定高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.將函數(shù)/（x）=sin2x的圖象向左平移。個單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則9的值為（）

2.已知為非零向量，"a2b=62。,,為“同。=上,,,的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知復(fù)數(shù)z滿足獸下=2-，（其中1為z的共軌復(fù)數(shù)），則目的值為（）

1—1

A.1B.2C.73D.75

4.如圖所示，為了測量4、3兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在

。的北偏東15°的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達E處，此時測得3在E的北偏西30°的方向上，再開回。處，

由C向西開2n百海里到達。處，測得A在。的北偏東22.5°的方向上，則A、3兩座島嶼間的距離為（）

C.4D.4A/2

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

3216

A.32B.—C.16D.—

33

6.若則下列不等式不能成立的是(）

1111

A.—>-B.---->-C.\a\>\b\D.a2>b2

aba-ba

7.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在AABC中，角A,B,C所

1

對的邊分別為“,仇c,則AABC的面積S=（向）2—.根據(jù)此公式，若

4I2JJ

acosB+(/?+3c)cosA=0,且/一02_。2=2，則AABC的面積為()

A.72B.272C.D.2G

8.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲

線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,

且導(dǎo)1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓三+丫=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端

點'c.D為橢圓的短軸端點'動點M滿足IM扁AI=2,AMAB面積的最大值為8,AMCD面積的最小值為1,則橢

圓的離心率為()

A.交B.BC.正D.B

3322

9.已知函數(shù)/(x)=g以2—(x—l)e'(ae0若對區(qū)間[0,1]內(nèi)的任意實數(shù)和4、￡，都有/(%)+/(%)2/(%),

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[L2]B.[e,4]C.[14]D.[L2)o[e,4]

22

10.已知雙曲線5-==1(?！?力〉0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過工作一條直線與雙曲線右支交于4B兩

ab

點，坐標(biāo)原點為。，若=/+/,忸4|=5。，則該雙曲線的離心率為()

.Vi5RVw「亞nVio

2233

11.函數(shù)/(x)=sin[0x—(。>0),當(dāng)x?0,回時，/(%)的值域為一與1,則。的范圍為()

535524

6?26'3253

12.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象（

A.向左平移二個單位B.向右平移g個單位

C.向左平移2個單位D.向右平移?個單位

O

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.過直線4x+3y—10=。上一點p作圓f+y2=i的兩條切線，切點分別為a,B,則以.總的最小值是.

14.若直線近-V-左+2=。與直線x+6—2左一3=0交于點p,則。尸長度的最大值為.

15.某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團活動），排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物

理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)

和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有種.

16.若一個正四面體的棱長為1,四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，A3兩點為噴泉，圓心。

為的中點，其中=a米，半徑00=10米，市民可位于水池邊緣任意一點C處觀賞.

2萬1

（1）若當(dāng)NOBC=——時，smZBCO=~,求此時。的值；

33

（2）設(shè)y=G4?+CB2,且C4?+CB?忘232.

（i）試將V表示為。的函數(shù)，并求出“的取值范圍；

（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點C處觀賞噴泉時，觀賞角度NACB的最大值不小于試求A3兩處噴泉

間距離的最小值.

AH

18.（12分）某機構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習(xí)

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序，然后

由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為XAXBXCXD,家長猜測的序號依次為其中

X4XBXCXD和了獷或。"都是1,2,3,4四個數(shù)字的一種排列.定義隨機變量X=（XA-JA）2+（XB-2+（XC-JC）2+

（知-/）2,用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.

（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.

（1）求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；

（ii）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；

（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足XV4,請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解，說

明理由.

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=a+21nx,f（x）<ax.

⑴求。的值；

⑵令g（x）=^3在（a,+w）上最小值為加，證明：6</（m）<7.

x-a

20.（12分）已知函數(shù)/（%）=111（%+1）+￡必.

（1）當(dāng)a=—1時，求/（%）的單調(diào)區(qū)間；

rI2

⑵若函數(shù)/（九）有兩個極值點X，%2,且不<々，/（九）為了（X）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)根=/（々）+」「"'（百+1）,

求機的取值范圍，并求m取到最小值時所對應(yīng)的a的值.

21.（12分）交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性

駕駛員，其中平均車速超過90初〃〃的有30人，不超過90切2/力的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速

超過90初的有5人，不超過的有15人.

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99.9%的把握認為，家庭轎車平均車速超過90初://?與駕駛員的性

別有關(guān)；

平均車速超過90的z/〃平均車速不超過

合計

的人數(shù)90kmi方的人數(shù)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計

（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過90初z//?

的人數(shù)為自，假定抽取的結(jié)果相互獨立，求占的分布列和數(shù)學(xué)期望.

金多八4Kn(ad-bc)2

參考公式：K=-------------------------其中〃=a+b+c+d

(〃+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

臨界值表:

P(K2..k)

00.0500.0250.0100.0050.001

k°3.8415.0246.6357.87910.828

22W

22.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:、+4=l（a〉6〉0）的離心率為火，以橢圓C左頂

-a2b22

點T為圓心作圓T:（x+2）2+/=r\r>0）,設(shè)圓7與橢圓C交于點M與點N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；

（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,0為坐標(biāo)原點,求證：|O7?|-|OS|

為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

將將函數(shù)=sin2x的圖象向左平移。個單位長度，

可得函數(shù)g（x）=sin[2（尤+創(chuàng)=sin（2x+2。）

■rrk-rr

又由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，所以2夕=5+而次eZ,解得9=i+光-/eZ,

TT7T

因為0<夕《5,當(dāng)上=0時，（p=~,故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

2

由數(shù)量積的定義可得=同2>0，為實數(shù)，則由a2b=ba可得\afb=卜（a,根據(jù)共線的性質(zhì)，可判斷a=b；再根據(jù)

|a|a=\b\b判斷a=6,由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.

【詳解】

若a2b=ba成立，則同2b=卜[a，則向量a與b的方向相同，且同用=忙同，從而“=,所以a=6;

若卜卜=?,則向量a與b的方向相同，且同2=從而口=忖，所以a

所以“優(yōu)5=ba”為“，a=\b\b”的充分必要條件.

故選:B

【點睛】

本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.

3.D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出]，再寫出Z,進而求出目.

【詳解】

1+z_(l+i)2_2i__.

口—(1-z)(l+O-5一乙

——--z=2-z^>z-z=2-z^>z==-z(2-z)=-l-2z,

1-zi

z=—l+2i=>\z|=J(-if+2?=y/5.

故選：D

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共朝復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

先根據(jù)角度分析出NC5E,NAC3,ND4C的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到AC的長度，再根據(jù)正弦定理計算出的

長度，最后利用余弦定理求解出AB的長度即可.

【詳解】

由題意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180°—75?！?0°=45°,ZDAC=180°-67.5°-45°=67.5°,

所以=所以6=8=2幾，

又因為.B]=所以5c=2后x立=6，

sinZBECsinZCBE2

所以A5=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=，24+6—2x2&x&xg=36?

故選：B.

【點睛】

本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.

5.D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何

體的體積.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為工X2義2義2+-x-x2x2x2=—.

2323

故選D.

【點睛】

本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.

【詳解】

選項A：由于a<3<0,即而>0,b-a>0,所以工―工=生工〉0,所以工〉工，所以成立；

ababab

116c11

選項B：由于a<Z><0,即a—Z?<0,所以一-——=—~-<0,所以——<-,所以不成立；

a-baa{a-b)a-ba

選項C：由于a<Z><0,所以—a>—。>0,所以|a|>屹I，所以成立；

選項D：由于a<6<0,所以一a>—6>0,所以|a|>屹I，所以所以成立.

故選：B.

【點睛】

本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

根據(jù)acosB+(Z?+3c)cosA=0,利用正弦定理邊化為角得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,整理為

sinC(l+3cosA)=0,根據(jù)sinC^O,得cosA=—再由余弦定理得歷=3,又￡—廿一？=2,代入公式

【詳解】

由acos5+(/?+3c)cosA=。得sinAcos5+cosAsin5+3sinCcosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因為sinCwO,所以cosA=-,，

3

2

由余弦定理"一Z??—=-2Z?ccosA=—bc=29所以bc=3,

3

由AABC的面積公式得S=

故選：A

【點睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

8.D

【解析】

求得定點M的軌跡方程［x—=叱可得工x2ax±a=8,^x2/7><La=l,解得a,b即可.

L3J92323

【詳解】

\MA\

設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).,動點M滿足=3=2,

\MB\

則J(x+a『+y2=2"a『+y2=2,化簡得(x+y?=*.

VAMAB面積的最大值為8,AMCD面積的最小值為1,

—x2ax—<2=8,—x2bx—a=1,解得a=，

23232

.?.橢圓的離心率為Jl—2=Y3.

\a22

故選D.

【點睛】

本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題.

9.C

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)西、9、%，都有

/(%)+/(9)2/(七)，得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得/'(九)=。％-［6'+(九一1)力=依一九6"=x(a-ex).

當(dāng)a<l時，f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減,

因為對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)和馬、％3,都有/(%)+/(%2”/(%3)，

所以/(D+/⑴2/(0)，

所以一ClH-----

22

故叱1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當(dāng)Gave時，函數(shù)f(x)在［0,Ina］單調(diào)遞增，在(Ina,1］單調(diào)遞減.

12

所以/(x)max=/(ln〃)=5〃lna-aVaa+a,

因為對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)和4、％3,都有/(石)+/(%"/(X3)，

所以7(0)+/(l)2/(lna),

112

所以l+—a2—alna-a］na+a,

22

121

即一aIna—QInciH—a—1V0

121

令g(a)=］alna-a\na+—a-1.(l<a<e),

所以g'(a)=g(ln2a—1)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減，

所以g(a)max=g6=-；<0，

所以當(dāng)lSa<e時，滿足題意.

當(dāng)aNe時,函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

因為對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)芭、％、%，都有/(%)+/(%?〃七)，

所以/(0)+/(。)2/⑴，

E1

故l+l>-a,

2

所以〃<4.

故e<。<4.

綜上所述，aG［1,4］.

故選C.

點睛：本題的難點在于“對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)七、馬、》3,都有/(石)+/(七"/(X3)”的轉(zhuǎn)化油于是函

數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解

答問題.本題就是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破

口.

10.B

【解析】

由題可知|。4|=c=；內(nèi)司，瑪=90。，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得四=|陰+2a,對及.95有

的「+|陰2=網(wǎng)『,

即（卜用+2"+（,用+34=（5?！海獾脇傷|=m再對RtZiAEg,由勾股定理可得/+（3才=（2c）2,化簡

即可求解

【詳解】

如圖，因為忸周=5°,所以|%|=5a—2a=3a.因為|。4|='=；內(nèi)可所以/耳人鳥=90。.

在Rt4即中，,卻2=忸周2,即（,用+24+上用+3。）2=（5。）2,

得,司=凡則|A用=a+2a=3a.在RtA4￡K中，由"+（3"=口色得《，=巫.

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題

11.B

【解析】

首先由工?0,可，可得。x-g的范圍，結(jié)合函數(shù)/（九）的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實數(shù)。的不等式，解

不等式即可求得范圍.

【詳解】

因為XG[0,?],所以。X—-^,Ct）7V,若值域為一

所以只需工—工K包，...?！丁Ｈ?.

23363

故選：B

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

學(xué)運算的核心素養(yǎng).

12.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為/(x)=sin2x+1,再根據(jù)平移法則得到答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為/(%)=Asin(&>x+^9)+Z?,

T7171Tl

根據(jù)圖像：A=1/=0,-=故7="，即0=2,

43124

n

sin￡+°J=l,夕=3+2左",左eZ,取左=0,得到/(x)=sin12x+?J,

1233

函數(shù)向右平移個單位得到丁=sin2x.

o

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3

2

【解析】

由切線的性質(zhì)，可知網(wǎng)=網(wǎng)，切由直角三角形MO,PBO,即可設(shè)網(wǎng)=x,NAPO=(z,進而表示cosa,由圖

像觀察可知進而求出x的范圍，再用X，。的式子表示PA.P3,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.

【詳解】

由題可知,|PA|=|PB|,設(shè)=由切線的性質(zhì)可知PO=J7W，則

X2?必

cosa-t,cosa=———

%+i

|4x0+3x0-10|

顯然尸。2％_/=

A/42+32

因為PA?PB=pf.|pfi|cosZAPO=%2cos2a=x2

22")-2一”

2x2_2=，+i)+_

———=%■3

X+1x~+\x~+1'7x2+l

2

令r=x2+U?4,貝!!R4-P3=/+7—3,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間［4,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以

(PAPB}=4+——3=_

V/min42

3

故答案為：-

2

【點睛】

本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進而利用分析函

數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.

14.2A/2+1

【解析】

根據(jù)題意可知，直線6-y-%+2=。與直線為+6-2左-3=0分另U過定點，且這兩條直線互相垂直，由此可知，其交

點P在以為直徑的圓上，結(jié)合圖形求出線段OP的最大值即可.

【詳解】

由題可知,直線依_y_k+2=0可化為左(x_l)+2_y=0,

所以其過定點A。,2),

直線%+@-2左一3=0可化為x-3+左(丁一2)=0,

所以其過定點8(3,2)，且滿足左?1+(―1)?左=0,

所以直線正一y—k+2=0與直線x+6一2左一3=0互相垂直,

其交點P在以為直徑的圓上，作圖如下：

結(jié)合圖形可知，線段0P的最大值為|。。|+1,

因為。為線段的中點，

所以由中點坐標(biāo)公式可得C（2,2）,

所以線段0P的最大值為2拒+1.

故答案為：2夜+1

【點睛】

本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力;根據(jù)圓的定

義得到交點P在以A6為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

15.1344

【解析】

分四種情況討論即可

【詳解】

解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時有：C；xA：xC：=384

數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時有：C；x/xC：=288

數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時有：C；xA：xC：=288

數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時有：C：x禺xC：=384

所以共有1344種

故答案為：1344

【點睛】

考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.

“3兀

16.——

2

【解析】

將四面體補成一個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，將正四面體補形成一個正方體，

則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，

因為正四面體的棱長為1,所以正方體的棱長為正，

2

設(shè)球的半徑為R,因為球的直徑是正方體的對角線，

即2R=J(烏2+(烏2+(烏2=巫,解得氏二逅，

3兀

所以球的表面積為S==4"X

【點睛】

本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的

直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑴a=⑵(i)y=200+2/,ae(0,4］；(ii)40-2073.

【解析】

(1)在AQBC中，由正弦定理可得所求；

(2)(i)由余弦定理得AC2=100+a2-20?cosZAOC,BC2=100+a2-20?cosZBOC,兩式相加可得所求解析

式.(ii)在AABC中，由余弦定理可得cosZACB=二一>卜=1-萼=1一—絲^,根據(jù)ZACB

2CACBCA2+CB2100+a2

的最大值不小于可得關(guān)于。的不等式，解不等式可得所求.

O

【詳解】

OCOB

(1)在AO5c中，由正弦定理得---------

sinZOBCsinZBCO

10x1

OC-sin/BCO2073

所以03=3

sinAOBC,2萬

sin——9

3

即心型i

9

(2)(i)在AAOC中，由余弦定理得AC?=100+標(biāo)—20acosNAOC，

在ABOC中，由余弦定理得BC2=100+?2-20acosZBOC，

又NAOC=%—NBOC

所以G42+CB-=200+2〃，

即y=200+2/.

XG42+CB1=200+2?2<232,解得Ova"

所以所求關(guān)系式為y=200+2/,?e(O,4].

(ii)當(dāng)觀賞角度NACB的最大時，cos/ACB取得最小值.

在AABC中，由余弦定理可得

西+4-4/CA2+CB2-4a2,2a2

cosZACB二>-------------------二］------------

2CACBCA2+CB2100+a2

因為ZACB的最大值不小于￡，

O

所以1一一〈如，解得a220—10石，

100+a22

經(jīng)驗證知20-10月w(0,4],

所以2a240—206.

即A,B兩處噴泉間距離的最小值為40-20石.

【點睛】

本題考查解三角形在實際中的應(yīng)用，解題時要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進行求解.解

題時要注意三角形邊角關(guān)系的運用，同時還要注意所得結(jié)果要符合實際意義.

18.(l)(i)?(ii)分布表見解析；(2)理由見解析

【解析】

(1)(0若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有禺=24種等可

能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游

戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率.

(ii)根據(jù)G)的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=1,三輪游戲結(jié)果

都滿足“X<4”的概率為▲</一,這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)(0若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，

則家長對小孩的排序是隨意猜測的，

先考慮小孩的排序為心，XB,xc,如為1234的情況，家長的排序有父=24種等可能結(jié)果，

其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

二家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=—=-.

248

基小孩對四種食物的排序是其他情況，

只需將角標(biāo)A,B,C,O按照小孩的順序調(diào)整即可，

假設(shè)小孩的排序XA,XB,XC,X。為1423的情況，四種食物按1234的排列為

再研究yAyBycyD的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結(jié)果是一致的，

.??他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為9.

O

(?)根據(jù)⑴的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，

列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_1i1

p

248246121212624824

(2)這位家長對小孩的飲食習(xí)慣比較了解.

理由如下：

假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由(1)可知，在一輪游戲中，

P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三輪游戲結(jié)果都滿足“XV4”的概率為(2)3='<!，

62161000

這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小，

...這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.(1)。=2；(2)見解析.

【解析】

(1)將/(無)<公轉(zhuǎn)化為21nxW0對任意%>0恒成立，令丸(幻=“一依+21nx,故只需義工號明<0,即可求

出。的值；

oYoyipX2(%—2Inx—4)

⑵由⑴知g(x)=---------------(X>2),可得g'(%)=-------------------，令s(x)=x—21n%—4,可證七°￡(8,9),

x-2(x-2)

使得S(X0)=0,從而可確定g(?在(2,%)上單調(diào)遞減，在(“o,+8)上單調(diào)遞增，進而可得g。)*=<?(/)=%，即

m=xQ9即可證出/(加)=/(%)=2+21nx0=x0-2G(6,7).

【詳解】

函數(shù)的定義域為(0,+s),因為/(%)<依對任意x>。恒成立，

即a—以+21nx?0對任意叵成立，

^h(x)=a-ax+2inx9則=+2=“。%+2,

xx

當(dāng)〃<0時，〃(x)>0,故人(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又力(1)=0,所以當(dāng)X>1時，h(x)>h(X)=09不符合題意；

2

當(dāng)〃>0時，令〃(尤)=0得%=—,

a

22

當(dāng)0<%<—時，hf(x)>0；當(dāng)x>—時，hr(x)<0,

aa

所以4Q)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

(2、22

所以力(%)max=〃一\=ci-u卜21n—=〃一2+2In2—2Ina,

\a)aa

所以要使飄光)式。在x>0時恒成立，則只需〃⑴max<0,BP^-2+21n2-21na<0,

令Fzhb3dbl=a-2+21n2-21na,a>0,

所以尸(〃)=1—*2=a-2

aa

當(dāng)0<a<2時，尸(a)<0；當(dāng)。>2時，F(xiàn)\a)>0,

所以尸(a)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以尸(a)2/(2)=0,

即a-2+21n2-21na?0,Xa-2+21n2-21na<0,所以a-2+21n2-21na=0,

故滿足條件的。的值只有2

,.,.xf(x)2x+2xlnx，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(x)=,一=-------一(x>2),所以g(x)=---六----，

x-ax-2(x—2)

2r-2

令s(x)=x-21nx-4,貝！Js'(x)=l——=----,

XX

當(dāng)x>2,時s'(x)>0,即s(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增；

又s(8)<。，5(9)>0,所以玉z(8,9),使得s(尤。)=0,

當(dāng)2<X<Xo時，5(x)<0；當(dāng)X〉/時，5(x)>0,

即g(x)在(2,%)上單調(diào)遞減，在(X。,+8)上單調(diào)遞增，且%-2111%-4=0

所以ga)w=g(x。)=2"2丁=2…。(：-4)=上學(xué)=%,

即加=%,所以f(m)=/(x0)=2+21n玉；=玉；一2e(6,7),即6<f(jn)<7.

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第⑵問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同

時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題.

20.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為1-單調(diào)遞減區(qū)間為［￡^,+3］(2)〃?的取值范圍是［g+lnWJ-ln21；對

I2JI2J^24J

應(yīng)的。的值為電■.

3

【解析】

(1)當(dāng)a=—1時，求/Xx)的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)/(無)有兩個極值點再，x2,且占<馬,利用導(dǎo)

函數(shù)(⑴=—L+依="X+1,,可得。的范圍，再表達加=/(/)+W-a+i),構(gòu)造新函數(shù)可求心的取值范

圍，從而可求m取到最小值時所對應(yīng)的a的值.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)=Z”(尤+1)+￡X2

由條件得函數(shù)的定義域：{x|x>-l},

當(dāng)〃二一1時，/(%)=加(％+1),

所以：(叱士”

…時,人”

當(dāng)時，f'(x)>0,當(dāng)尤+℃)時，f(x)<0,

則函數(shù)F(x)的單調(diào)增區(qū)間為：(-1，】經(jīng))，單調(diào)遞減區(qū)間為：(嚀^，+S>；

ar+ax

(2)由條件得：x>-l,f'(x)=—+ax=tl:,

x+1x+l

由條件得。(幻=62+辦+1=0有兩根：再，x2,滿足一

△>0,可得：。<0或。>4；

由<7.例-1)>。，可得：<7>0.

a>4,

函數(shù)0(x)的對稱軸為x=-;，-1<%!<x2,

所以：x26(--,0);

,應(yīng)+但+1=0,可得：a=---,

一一無2(4+1)

/(%)=/〃(％+l)+|xf=ln{x2+1)-2(：+]),

x,+x2=-1,貝！j：xx=—x2—1,

所以：好?ra+i)=不廣(一々)ax^-ax2+11

-

OO84(X2+1)

所以：

2r-31

令h(x)=Inx------,x=x+1G(―,1),

4x22

.,...134x—3

則n〃(x)Z一彳=▽，

3133

因為："(%)=0時，x=-9所以：領(lǐng)犬)在《，/上是單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增,

因為：/?(—)=1—ln2,h(1)=—>/z(—)=—+/w—)/?(—)>h(1),

13

所以〃(元)+1-ln2).

13

即m的取值范圍是：［；+歷\,1-Z?2)；

33

%=一，所以有x=x,+1=：,

44

皿1116

貝(1%2=一'a=~

4x2(x2+1)3，

所以當(dāng)他取到最小值時所對應(yīng)的0的值為g；

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于

難題.

21.(1)填表見解析；有99.9%的把握認為，平均車速超過90如〃/z與性別有關(guān)(2)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計算出K?的值，由此判斷出有99.9%的把握認為，平均車速超過90Z〃〃/z

與性別有關(guān).

(2)利用二項分布的知識計算出分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)

平均車速超過90初〃力平均車速不超過

合計