蘇州大學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

蘇州大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)四模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

x+y>0

1.設(shè)不等式組《'廠表示的平面區(qū)域?yàn)镼,若從圓C：V+,2=4的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn)p,則「取自Q的

x-sj3y<0

概率為（）

571117

A.——B.——C.—D.——

24242424

2.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要

貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前

一個(gè)單音的頻率的比都等于啦.若第一個(gè)單音的頻率為了,則第八個(gè)單音的頻率為

A.^2/B.在于

C.療/D.他于

3.要得到函數(shù)y=的圖象，只需將函數(shù)y=Gsin12x-三）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）

JT

A.伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移;個(gè)單位長度

4

1T

B.伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移一個(gè)單位長度

4

15萬

C.縮短到原來的一倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移二個(gè)單位長度

224

D.縮短到原來的工倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移當(dāng)個(gè)單位長度

224

4.復(fù)數(shù)滿足z+|z|=4+8i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2019

5.若（1-無=/+o1a+1）++a2019（x+1）,xeR,則%?3+g-32++,3刈9的值為（）

A.-1-22019B.-1+22019C.1-22019D.1+22019

7.設(shè)S“為等差數(shù)列｛a.｝的前〃項(xiàng)和，若2(%+%+%)+3(線+%2)=66,則=

A.56B.66

C.77D.78

8.(39+/)(2—J).展開式中x2的系數(shù)為()

X

A.-1280B.4864C.一4864D.1280

9.已知函數(shù)/(x)=xx-ln-,關(guān)于“的方程/(x)=。存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

Va7

A.(0,1)U(1,e)B.

C.D.(0,1)

已知°滿足sina=工，則cos(工71+a]cosK=(

10.)

3U4)

7777

A.B.-C.——D.——

189189

2

11.函數(shù)/(%)=三-“cos%圖象的大致形狀是()

l+e

g(x)=Acosox的圖象，只需將/(x)的圖象()

A.向左平移三個(gè)單位B.向右平移注個(gè)單位

124

71

C.向左平移4個(gè)單位D.向右平移W個(gè)單位

4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校高二(4)班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間，有7人用時(shí)為6分鐘，有14人用時(shí)7分鐘，有15人用時(shí)為

8分鐘，還有4人用時(shí)為10分鐘，則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為一分鐘.

14.函數(shù)/(x)—X2-xlnx的圖象在x=l處的切線方程為.

15.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)耳，鳥的橢圓G與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且橢圓4的離心率為雙曲線的

離心率為e2,若02=3e1,貝!]G=.

16.已知向量8滿足忖=2,慟=1,k一0=百，則向量。在匕的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=sinox+cos|OX+3其中xeR,?>0.

(1)當(dāng)o=l時(shí)，求/的值;

71

⑵當(dāng)了⑺的最小正周期為萬時(shí)，求，⑺在0,-上的值域.

18.(12分)已知/(%)=21n(%+2)-(%+l)2,g(%)=左(％+1).

(1)求/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)上=2時(shí)，求證：對于以>—1,/(x)<g(x)恒成立；

(3)若存在天〉-1,使得當(dāng)xw(-L,Xo)時(shí)，恒有/(x)>g(x)成立，試求人的取值范圍.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)P是直線/:x=-1上的動點(diǎn)，/。,0)為定點(diǎn)，點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)，動點(diǎn)〃

滿足/=0,且MP=2OF(2GR),設(shè)點(diǎn)"的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)廠的直線交曲線。于A,B兩點(diǎn),T為曲線C上異于4,3的任意一點(diǎn)，直線7X,TB分別交直線/于。，

E兩點(diǎn).問NOEE是否為定值？若是，求NOEE的值；若不是，請說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)-In-S.(aeR).

(I)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在工2］上最小值.

21.(12分)如圖，在三棱柱ADE-5CE中，平面A3CD，平面?zhèn)让鍭3CD為平行四邊形，側(cè)面至防為

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,M為ED的中點(diǎn).

(1)求證：尸B//平面AQW；

(2)求二面角M—AC—/的大小.

22.(10分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”、

“不合格”兩個(gè)等級，同時(shí)對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記。分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績，統(tǒng)計(jì)結(jié)

果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:

等級不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)6X24y

(I)若測試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人、8人、16人、4人,

完成2x2列聯(lián)表，并判斷：是否有90%以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)？

是否合格

不合格合格總計(jì)

性別

男生

女生

總計(jì)

(II)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取10人進(jìn)行座談，現(xiàn)再從這10人中任選4

人，記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(III)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)"(加=黑!，其中D(X)表示X的方差)來評估該校安全教育活動的成效，若M20.7,

則認(rèn)定教育活動是有效的；否則認(rèn)定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(II)的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安

全教育方案？

附表及公式：K2=------也"—---------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k°2.0722.7063.8415.0246.635

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.

【詳解】

作出Q中在圓C內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示,

因?yàn)橹本€x+y=O,X-6y=o的傾斜角分別為電，B，

-46

3171

所以由圖可得P取自Q的概率為王二&=

In-24

故選:B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查幾何概型的計(jì)算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.

詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為咫，

所以an=啦%T（〃>2,weN+），

又4=/，則為=%/=/（啦［=步/

故選D.

點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下

兩種：

aa

(1)定義法，若3=4(q彳O,neN*)或4=q(q手QnN2,neN*),數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列

anan-i

(2)等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列｛4｝中，且。3=可用“_2(〃23,“eN*),則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

3、B

【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

詳解：將函數(shù)y=6sin12x-圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，

得至I]y=也5譏(工x2x—工)=Qs沅(x—工)，

*233

再將得到的圖象向左平移:個(gè)單位長度得到y(tǒng)=&加(x-g+?)=Ain(x—2),

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合。和9的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

4、B

【解析】

22

設(shè)z=a+bi(a,Ae&,則z+忖=a+bi+y/a+b=4+&?，可得＜二心+”=‘,即可得到z，進(jìn)而找到對應(yīng)的點(diǎn)所

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+4(a,beR),則z+\z\=a+bi+^cr+tr=4+8z,

.a+^a2+b2=46

[b=8U=8

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為(-6,8)，在第二象限.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算能力.

5、A

【解析】

2019

取x=—1,得至！)%=22°i9,取光=2,則4+a/3+g-32++a2019.3=-1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

019

取1=-1,得至!j旬=2~89；取了=2,則%+q?3+a2.3一++a2019-3"=—1.

20192019

故?！?+2.32++672019-3=-1-2.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，?。?-1和x=2是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.

【詳解】

_log“(_x)，X<-1,

x+1

〃x)=log〃|x|={log〃(—x),-1<X<O,

k+l

logflx,x>0.

故選C.

【點(diǎn)睛】

識圖常用的方法

⑴定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征分析解決問題;

⑵定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；

⑶函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

7、C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2（%+々5+々7）+3（。8+.2）=6%+6%0=66,即%+4o=11，

所以幾=以色產(chǎn)2=7（%+/）=77,故選C.

8、A

【解析】

34

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：（3x）+x化簡求值即可.

【詳解】

根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號里出3d項(xiàng)，第二個(gè)括號里出工項(xiàng)，或者第一個(gè)括號里出一,第二個(gè)括號里

X

出具體為：（3x3）C；271￡|+X4-C；261_￡]

化簡得到-1280x2

故得到答案為：A.

【點(diǎn)睛】

求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第廠+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

9、D

【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為工山工=1有四個(gè)不同的實(shí)根，換元處理令f=^，對g。）=山進(jìn)行零點(diǎn)

ayjay/aa7a<tJ

個(gè)數(shù)討論.

【詳解】

?AX

由題思，a>2,令，二一尸，

yja

（2、?19

JQJQIXX

貝!I/（x）=x—In——a-----—In—=I

、ciJa弋a(chǎn)a

_tlnt^—I^Int^——1=

0.

記g(，)=/癡

當(dāng)t<2時(shí)，g(r)=2ln(-r)-y[a(，--）單調(diào)遞減，且g（-2）=2,

t

又g(2)=2,，只需g(r)=2在(2,+8）上有兩個(gè)不等于2的不等根.

2

則Int-=0<^4^=2幾J

記力Q)=,2](￡>2且扶2),

則加⑺_(2加+2)(?一1).4d加_2(/+1)[入1叼.

"(產(chǎn)可—(?2-1)2

(/-I)?

令9(f)=-----Int,貝!1—(f)=―-----1----'----L——=

d+1)2-

r+1(/+i)2t

『一1

?：(p(2)—2,'.<p(f)=—............Int在(2,2)大于2,在(2,+co)上小于2.

r+1

：.h'(Z)在(2,2)上大于2,在(2,+oo)上小于2,

則h(/)在(2,2)上單調(diào)遞增，在(2,+oo)上單調(diào)遞減.

由hm———=hm------=1,可得JaVI,即a<2.

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.

10>A

【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

1

sin?=—,

3

n.n.Vn

cos—+acos---a|=|cos—costz-sin—sintzcos—cosa+sin—sintz

<4；<4；44八44)

2

(V2V2.YA/2」)=1(l-2sin?)=11-2XQ^=,

=—cos?----sina||—cosa'i----sincr=—cos?-sina

(22人22J2V

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

判斷函數(shù)“X)的奇偶性，可排除A、C,再判斷函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,]]上函數(shù)值與。的大小，即可得出答案.

【詳解】

(2A

解：因?yàn)閒(x)=|,*1cos.x=cosx,

xx

/]_)e-11-e

所以x)=_xcos(x)=*cosx=cosx=f(x),

、J-1匕)C1J-J-1&

所以函數(shù)/(力是奇函數(shù)，可排除A、C；

又當(dāng)〃x)<0,可排除D；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.

12、A

【解析】

2萬27r(jrA

依題意有了(%)的周期為7=石=彳皿=3,/(%)=Asin[3x+aJ.而

a.\兀兀［AC71兀

g(x)=Asin!3x+-1-=Asin3xH-----1--=Asin3+—故應(yīng)左移一.

I44412

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、7.5

【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).

【詳解】

7x6+14x7+15x8+4x10一0

-----------------------------------=7.5

7+14+15+4

故答案為：7.5

【點(diǎn)睛】

此題考查求平均數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

14、x-j=0.

【解析】

先將x=l代入函數(shù)式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步求出切線斜率，最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

【詳解】

由題意得/'(X)=2x—Inx—1,/'(I)=1,/(1)=1.

故切線方程為yT=x-L即x-y=0.

故答案為：x-y=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點(diǎn)滿足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時(shí)也考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

15、叵

3

【解析】

設(shè)

Z.FXAF2=20

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得SJFiF?="tan0=母

11

G=-9,\ax=—,—c=c——1

%ei"i)

h2

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，5八尸耳后=—/二必

tan。

口口11c。V5

即H—y—2,3e,=eq=—

e；e；253

故答案為正

3

16、-

3

【解析】

把卜-,=G平方利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡即得解.

【詳解】

因?yàn)?=2,慟=1,卜—0=百，

所以J—2。?b+//=3，二〃,b=1，

cos0——9因?yàn)?。￡[0,7i\

2

TT

所以e=—.

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)￥⑵

【解析】

TT

(1)根據(jù)。=1,得到函數(shù)/(x)=sinx+cos(x+7),然后，直接求解的值;

6

7兀1TT

(2)首先，化簡函數(shù)/(x)=sin(ox+g),然后，結(jié)合周期公式，得到啰=2,再結(jié)合xe0,-,及正弦函數(shù)的性

3

質(zhì)解答即可.

【詳解】

(1)因?yàn)閱?1,所以/(x)=sinx+cos卜+.

.兀7171=旦

sin—+cos—+—

336一彳

(2)因?yàn)?(%)=sina)x+cosa)x+—

I6

sincox+coscoxcos----sincoxsin—

66

=1…走”

22

=sinLyx+-

l3

即/(%)=sin[+三

因?yàn)槎?網(wǎng)=7，所以。=2

G)

所以/(x)=sin氟+0

W3

冗

因?yàn)?/p>

xe0,7

所以2%+彳￡-

3L3o

所以當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=B.當(dāng)x=2時(shí)，/。)=1(最大值)

212

711

當(dāng)％=丁時(shí)，/?=-

42

')1

/(X)在0,—是增函數(shù)，在—是減函數(shù).

_12J1124_

???/(X)的值域是1,1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考

查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18、(1)單調(diào)減區(qū)間為(-2,一“石),單調(diào)增區(qū)間為(-3+1,+00)；(2)詳見解析；(3)(-8,2).

22

【解析】

試題分析：(1)對函數(shù)/(%)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，可求得函數(shù)/(九)的單調(diào)區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù)

/i(x)=/(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)力(%)在(-l,y)上遞減，且1)=0,則M1)<0,故原不等式成立.(3)

同⑵構(gòu)造函數(shù)MX)=/(%)-g(x),對左分成左(2,左=2肉2三類，討論函數(shù)力⑴的單調(diào)性、極值和最值，由此

求得上的取值范圍.

試題解析：

2

⑴/(力=力-23+1)

JiI乙

-2(X2+3X+1)

=—------------(x>-2),

x+2

當(dāng)尸(x)<0時(shí)，X2+3X+1>0.

解得x〉「3歧.

2

當(dāng)/'(%)>0時(shí)，解得—2<%<-3+君.

—3+\]5

所以單調(diào)減區(qū)間為-2,J

(-3+45]

單調(diào)增區(qū)間為-2-，+G0-

⑵設(shè)/?(%)=y(x)—g(x)

=21n(x+2)-(%+1)"一女(無+l)(x〉一1),

當(dāng)左=2時(shí)，由題意，當(dāng)xe(-l,+oo)時(shí),

力(x)<0恒成立.

-2(X2+3X+1)

//'(%)=

x+2

-2(x+3)(x+l)

x+2

.?.當(dāng)X>-1時(shí)，"(x)<0恒成立，可力單調(diào)遞減.

又網(wǎng)―1)=0,

.,.當(dāng)X€(-l,+oo)時(shí)，丸(力<〃(一1)=0恒成立，即/(x)—g(x)<o.

...對于Vx>—1,/(x)<g(x)恒成立.

-2(X2+3X+1)

(3)因?yàn)椤?力=k

x+2

2%2+(左+6)x+2k+2

x+2

由(2)知，當(dāng)左=2時(shí)，/(x)<g(x)恒成立，

即對于Vx>—1,21n(x+2)-(x+l)2<2(x+l),

不存在滿足條件的飛；

當(dāng)上>2時(shí)，對于Vx>—1,x+1>0,

此時(shí)2(x+l)〈左(x+1).

:.21n(x+2)-(x+l)2<2(x+l)<^(x+1),

即/(x)<g(x)恒成立，不存在滿足條件的X。;

當(dāng)上<2時(shí)，令=—2x~—(左+6)]—(2左+2),

可知，(%)與〃'⑺符號相同，

當(dāng)xe(%o，+oo)時(shí)，r(x)<0,/：'(%)<0,

網(wǎng)龍)單調(diào)遞減.

.,.當(dāng)xe(_l,%o)時(shí)，/?(%)=0,

即/(x)-g(x)>。恒成立.

綜上，左的取值范圍為(—00,2).

點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)與不等式的證明，導(dǎo)數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

這是導(dǎo)數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導(dǎo)，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個(gè)是恒成立問

題，一個(gè)是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.

19、(1)y2=4x；(2)是定值，ZDFE=~.

2

【解析】

(1)設(shè)出拉的坐標(biāo)為(x,y),采用直接法求曲線C的方程；

⑵設(shè)A5的方程為x=O+l,A(李必)，此;%),T耳,%)，求出AT方程，聯(lián)立直線/方程得。點(diǎn)的坐標(biāo),

同理可得E點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積算所即可.

【詳解】

(1)設(shè)動點(diǎn)"的坐標(biāo)為(x,y),由=尸(4eR)知MP〃。尸，又P在直線/:兀=一1上，

所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為又尸(1,0),點(diǎn)。為PF的中點(diǎn)，所以。(04)，尸，=(2,—y),MQ=(-x,-^,

2

由尸=0得一2x+]=0,即>2=4%；

設(shè)直線A3的方程為％=。+1,代入/=4x得＞2_4?—4=0,設(shè)公住,％）,3（季為），

v2k=%一%=4

則%+%=4/,/%=-4,設(shè)T（斗,光）,貝?。霾袍?+為,

44

所以AT的直線方程為y—%=」一（X—半）即y=令X=—1,則

”。，所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為1咎/），同理E點(diǎn)的坐標(biāo)為㈠彳步）于是陽=（-2,咎/）,

ST"，所以J/

Ty；—16%+16_—16+16%+4蘇—4y：—16%+16

=4+=0,從而FD_LFE，

-4+4ty0+Jo—4+4ty0+%

77

所以ZDEE=〈是定值.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)

的關(guān)系，本題思路簡單，但計(jì)算量比較大，是一道有一定難度的題.

20、（1）見解析；（11）當(dāng)0＜。＜1112時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是/（的.二一。；當(dāng)a?ln2時(shí)，函數(shù)/X*）的最小值是

F（x：U=ln2-2a

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，并且解出它的零點(diǎn)X=,再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分三種情況加以討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小

值是-a；當(dāng)吟ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a.

【詳解】

⑴函數(shù)4%)的定義域?yàn)?0,+8).

因?yàn)椤ǎ?,令/4］)=工-4=0,可得％=,；

xa

當(dāng)0＜%＜工時(shí)，/'(X)=七竺〉0；當(dāng)%＞工時(shí)，/(%)=上竺＜0,

axax

綜上所述：可知函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［。，J］,單調(diào)遞減區(qū)間為

＜a)\a

(2)⑺當(dāng)0＜工41,即心1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，

a

/(X)的最小值是/(2)=ln2-2?

(ii)當(dāng),22,即時(shí)，函數(shù)/(元)在區(qū)間口,2］上是增函數(shù)，

a2

.??)⑴的最小值是〃1)=一。

(應(yīng))當(dāng)1＜工＜2,即!＜。＜1時(shí)，函數(shù)/(》)在］1,工］上是增函數(shù)，在［工,21上是減函數(shù).

a2ka)\aJ

又/(2)-/(l)=ln2-?,

.??當(dāng)J<。<In2時(shí)，/(元)的最小值是/(1)=-a；

當(dāng)ln2<a<1時(shí)，/(%)的最小值為〃2)=In2—2a

綜上所述，結(jié)論為當(dāng)0＜a＜In2時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值是/(x)而「二一。；

當(dāng)a21n2時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值是/(初面=山2-2a.

【點(diǎn)睛】

求函數(shù)“X)極值與最值的步驟：⑴確定函數(shù)的定義域；⑵求導(dǎo)數(shù)/'(光)；(3)解方程/'(力=0,求出函數(shù)定義域

內(nèi)的所有根；(4)列表檢查/(九)在/"(力二。的根毛左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)(左增右減)，那么/(%)在尤。

處取極大值，如果左負(fù)右正(左減右增)，那么/(x)在/處取極小值.(5)如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極

值也是最值；(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小

21、(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)連接6D,交AC與。，連接由MO//EB,得出結(jié)論；

（2）以A為原點(diǎn)，AC,AB,AF分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACM的法向量，利用夾角

公式求出即可.

【詳解】

（1）連接BD,交AC與。，連接

在ADEB中，MO//FB,

又歹6.平面ACM,MOu平面ACM,

所以EB//平面ACM；

（2）由平面A3CD_L平面ABEF,AC±AB,AB為平面ABC。與平面ABEF的交線，故AC_L平面ABEb,故

AF±AC,又所以AR，平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，AC,AB,AF分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

4（0,0,0）,C（4,0,0）,5（0,2,0）,D（4,-2,0）,F（0,0,2）,M（2-1,1）,

設(shè)平面ACM的法向量為機(jī)=（x,y,z）,AC=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

[m-AC=4x=0

由V,得7〃=(O,l,l),

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量為AB=（0,1,0）,

1