湖南省湘潭市2024屆高三年級下冊3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖南省湘潭市2024屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

2

A=(x|x-4x+3<0)B=(x|lg(x-l)<o|AD

1.設(shè)集合L兀l岡'則&5=()

A.{鄧<x<2}B,{x[2<x<3}

C.{x[l<x<3}D.{x[0<x<2}

K答案』A

k解析U由無2-4X+3<0，解得1<X<3,所以A={x[l<x<3},

因為0<x—1<1,所以5={x[l<x<2},故AcB={x[l<x<2}.

故選：A

2.已知隨機(jī)變量X服從N(0.5,c?),若P(XW0.3)=0.3,則P(0.3<X<0.7)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

k答案』C

K解析工由題意可得P(0.3WXW0.5)=0.5—0.3=02,

所以P(0.3<X<0.7)=2P(0.3<X<0.5)=0.4.

故選：c.

3.已知z為復(fù)數(shù)，若力+i為實數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程為()

A.2x-y=0B.(x-1)2+y2=1

C.y+l=0D.x+l=0

K答案XD

k解析D設(shè)z=x+yi(x,yeR),則zi+i=(x+yi)i+i=(x+l)i—y,

因為0+i為實數(shù)，所以x+l=0.

故選：D.

4,設(shè)等差數(shù)列{%}的前幾項和為S“，若為=8,S3=18,則其=()

A.34B.35C.36D.38

（答案IB

1解析]因為｛%,｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

因為S3=〃[+〃2+/=3al=18,貝U%=6,

所以2d=g-g=2,則d=l,

所以%=9,S5=邑+%=18+8+9=35.故選：B.

5,回50。+sin70。丫的值為（）

1+cos20

13

A.1B.￡C.-D.2

22

k答案』C

K解析X?n50°+sin7°°sin(^60°-10°^+sin(^60°+10°

1+cos20°l+2cos*210°-1

_（2sin60°cosl0°y_3cos210°_3故詵:c

2cos210°2cos2102

6.實驗課上，小明將一個小球放置在圓柱形燒杯口處固定（燒杯口支撐著小球），觀察到小

球恰好接觸到燒杯底部，已知燒杯的底面半徑為2,小球的表面積為25兀，若燒杯的厚度不

計，則燒杯的側(cè)面積為（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

k答案》D

K解析工設(shè)小球的半徑為乙則S=4兀/=25兀，解得r=*，

2

設(shè)圓柱的高為〃，由勾股定理可得戶=22+0—?2,解得丸=1或〃=4（舍去），

所以燒杯的側(cè)面積為27ix2xl=47i.故選：D.

7.已知/（%）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)無之0時，/（x）=（x+a）L-jj，若/（%）有

且僅有3個零點，則關(guān)于x的不等式的解集為（）

A(-co,-2)O(2,+co)

C.(-00,-3)o(3,+00)D.(-co,-4)o(4,+00)

（答案』A

K解析》因為了⑺為偶函數(shù)，有且僅有3個零點,

2

，即（）（

所以/（0）=。0+a0—I=0,解得a=O,

33

此時當(dāng)xNO時，/（%）=,所以“尤）的零點為—2,0,—,滿足題意,

22

Q

又當(dāng)xNO時，/（%）X3-3X2+-

4

a991

由/(x)>f,得工3—3/+—%——>0,即x—，解得工〉2,

I42

又/a）為偶函數(shù)，所以I的解集為（-8,-2）J（2,+8）,

故選：A.

8.己知圓。的半徑為1,A,B,C為圓。上三點,滿足=則0C?（AC+3C）的

取值范圍為（）

A.[1,2]B.[1,3]C.2D.一,3

P2

[答案』B

k解析I依題意,取A3的中點為。,

,|(9C|=1,OCOD=lx^cosZCOD=—cosZCOD,

2

所以O(shè)C?(AC+BC)=2OCDC=2OC(OC-OD)

-2

=2OC—2OC?OD=2—cos/COD，

因為cosNC8e[—1,1],所以00（4。+8。）=2—?）5/。0。€口,3].故選：B.

二、選擇題

9.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測

站通過長時間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為，=40?[0%+三]+6（其中A>0,

。>0）,其中y（單位：m）為港口水深，x（單位：h）為時間（OWxW24）,該觀測站

觀察到水位最高點和最低點的時間間隔最少為6h,且中午12點的水深為8m,為保證安全，

當(dāng)水深超過8m時，應(yīng)限制船只出入，則下列說法正確的是（）

71

A.co=—

6

B.最高水位為12m

C.該港口從上午8點開始首次限制船只出入

D.一天內(nèi)限制船只出入的時長為4h

K答案?AC

T兀71

K解析』對于A,依題意一=—=6,所以。=:，故A正確；

2co6

兀7CI

（-xl2+-1+6=8,

解得A=4,

所以最高水位為10m,故B錯誤；

「兀兀）

對于CD,由上可知y=4cos[qX+1J+6,

令》28,解得8Vx<12或者20<x<24,

所以從上午8點開始首次開放船只出入，一天內(nèi)開放出入時長為8h,故C正確，D錯誤.

故選：AC.

10.己知圓錐SO的側(cè)面展開圖為一個半圓，AC為底面圓。的一條直徑，AC=2,B為

圓。上的一個動點（不與A,C重合），記二面角S—A3—O為a,S-BC-O為0,則

（）

A.圓錐SO的體積為走兀

3

B.三棱錐S-ABC的外接球的半徑為也

2

C.若a=。,則30_L平面&4c

D.若tanc=2tan，，則tana=JI?

(答案1ACD

k解析》設(shè)底面半徑為人母線長為/，則2“=位，即/=2廠，

由AC=2,則&4=SC=/=2,則SO=A/22—儼=也,

所以圓錐S0的體積為』x兀義產(chǎn)乂石二且兀，故A正確；

33

設(shè)三棱錐S-ABC外接球的球心為O',在SO上，設(shè)球的半徑為R,_0'0C中,

(A/3-7?)2+12=7?2,解得：尺=乎，故B錯誤；

如下圖，取的中點MN,連結(jié)SM,0M,SN,0N,0B

因為5L4=SB=SC,OA=OB=OC,

所以SN1BC,ONIBC,

所以NSMO=i,4SN0=0

若￡=/?,則QW=QV,即5C=AB,

所以A6C是等腰直角三角形,

所以O(shè)BJ_AC,因為SO,平面ABC,OBu平面ABC,

所以SOLO5,且ACSO=O,AC,SOu平面封c,

所以03_1_平面&1（7,故C正確；

一

如上圖m，tancr=SO,tan￡o=SO,

OMON

SO2SO1i

因為tana=2tan分，所以---=,則ON=2OAf,即一A3=2x—BC

OMON22

則AS=25C,且AC=2,所以3C=述，則。加=@

55

由力m='=淮=后痂「下訴

所以O(shè)M、后，故D正確.

T

故選：ACD

H.已知耳，工為雙曲線c：三―尸=“；1>0）的左、右焦點，點河（1,6卜茜足

MFXMF2=Q,N為雙曲線C的右支上的一個動點，O為坐標(biāo)原點，貝U（）

A.雙曲線C的焦距為4

B.直線加工與雙曲線C的左、右兩支各有一個交點

C.△可（?〃的面積的最小值為1

兀

D.ZONM<-

2

（答案XACD

k解析》對于A,因為西.Mg=。，所以班，“8，

則Ma=|Q￡|=|°E|=2,又|跖?|=9與=2,

22

所以c=2,雙曲線C:土—匕=1的焦距2c=4,故A正確；

22

對于B,由A知，6（2,0）,雙曲線漸近線方程為y=±x,

則直線MF］的斜率為避二2=—6<—1,

1-2

所以直線與雙曲線的右支有兩個交點，故B錯誤；

對于C,因為左ow=G，設(shè)直線/:>=+與雙曲線右支相切,

y=A/3X+m

聯(lián)立1冗2y2,消去y,得2元2+2百蛆+2+加2=0，

［22

則A=（2鬲）2—8（2+加）=0,解得利=一2或者機(jī)=2（舍去），

1-2-01

則直線與/之間的距離為d=j—=1,

V3+1

所以ANOM的面積最小值為-\OM\-d=l,故C正確；

2

對于D,以|0州|為直徑的圓的方程為［x—L］+y--=1,

II2,

由C可知，直線/:y=?x-2與雙曲線右支的切點為（0,1）,

此時，其圓心到直線/:丁=氐-2的距離為

d

V3+1

又直線ON與/兩平行線之間的距離為1,所以切點（百,1）到圓心的距離大于1,

TT

即雙曲線上的點都在圓外，所以NOM0<一,故D正確.故選：ACD.

2

三、填空題

12.在（2+x）3（l—x）的展開式中，x的一次項的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

［答案工4

k解析》因為（2+x）3的展開通項公式為％+i=G23f，（rW3/eN）,

所以x的一次項的系數(shù)為C；22+（―1）C；23=12-8=4.

故K答案U為：4.

13.已知產(chǎn)為拋物線Cy2=2px(p>0)的焦點，O為坐標(biāo)原點，過/且斜率為1的直線交

拋物線C于A,8兩點，直線AO,B0分別交拋物線C的準(zhǔn)線于P,。兩點，若AO=WP，

BO=piOQ,則2+〃=.

K答案X6

X=土=2x

K解析X設(shè)人(%,%),5(%2，%)，貝I￡p>同理〃=—11

5P

P

Dx=y—

設(shè)直線AB:x=y+2,聯(lián)立直線AB與拋物線12,

22o

b=2px

可得,2-2py_p2=0,A=4/?2+4p2>0,

則X+%=2'%%EP。，

/22、

2L2L2

所以2(西+々)~212P+2p)y;+yl(%+%)?-2%%6P2.

4+〃=----------=--------------=2—=---------2--------=一7=O

PPPPP

故K答案》為：6.

14.已知函數(shù)/(x)=x-alnx(a>0),記函數(shù)y=/(x),y=/(/(力)的值域分別為

M,N,若NM,則。的取值范圍是.

［答案工(0,1)

I［解析U因為/(x)=x—alnx(a>。)，貝1|八］)=1-0=--，

XX

當(dāng)xe(O,a)時，/'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(a,+8)時，/'(x)〉O,/(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)X=。時，/(x)取得極小值，也是最小值/(a)=a-alna,

所以M={y[y>a-a\na},

當(dāng)a—alna<0時，M=N,不符合題意，

當(dāng)a—alna>0,即0<a<e時，

令于3=t,則y=/(/(%))=/(。，t>a-a\na,

因為NM,所以必有/(a—alna)>/(a),

顯然不可能有a-alna<a,否則A/=N,不符合題意,

所以a-alna>a,解得0<°<1,

所以。的取值范圍是(0,1).故K答案》為：(0,1).

四、解答題

15.2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日(FitnessDay)是適應(yīng)人

民群眾體育的需求，促進(jìn)全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行

了跑步競賽活動，活動分為長跑、短跑兩類項目，且該班級所有同學(xué)均參加活動，每位同學(xué)

選擇一項活動參加.

長跑短跑

男同學(xué)3010

女同學(xué)a10

若采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名.

(1)求。的值以及該班同學(xué)選擇長跑的概率;

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與其性別有關(guān)?

n(ad—be?

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解：（1）因為采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2

名，所以男女同學(xué)的比例為2:1,則型土W=2,故。=10,

〃+10

該班同學(xué)選擇長跑的概率為——"士電2

—30+10+10+103

（2）依題意，完善2x2列聯(lián)表，如下，

長跑短跑總計

男同學(xué)301040

女同學(xué)101020

總計402060

零假設(shè)Ho:選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān),

60x(30x10-10x10)2=15=375<

40x20x40x204

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出Ho不成立,

因此可以認(rèn)為Ho成立，即認(rèn)為選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān).

16.設(shè)各項都不為0的數(shù)列｛4｝的前〃項積為7；,T=2^-a,4=2.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）保持?jǐn)?shù)列｛4｝中的各項順序不變，在每兩項應(yīng)與知+1之間插入一項2（4+1-火）（其

中左=1,2,3,…），組成新的數(shù)列也｝,記數(shù)列也｝的前幾項和為S"，若S">2023,求〃的

最小值.

解：（1）因為（=2^-a

5-1)5-2)2"T〃

當(dāng)時，T=2—,兩式相除可得——-

n-\n-1n

un-l

因a,產(chǎn)0,所以a,_i=2"T,

又q=2,所以4=2".

（2）依題意，S2"=a1+2（%—。1）+。2+2（%—出）++Q〃+2（%+i-〃拉）

=q+電++。九+2（%-％+%-電++。八+1一為）

=%+外++。八+2（。八+I-q）=。]+%++"八+2%+1-2%

=202）+2什2_4=3.2"+1_6,易知獷?"｝隨著九增大而增大，

1-2

當(dāng)〃=8時，4=3-28+i-6=1530<2023,

當(dāng)”=9時，工8=3-29+i—6=3066>2023,

而S"=S[6+%=$+為=1530+512=2042>2023,綜上，〃的最小值為17.

17.在三棱臺A4G—A3。中，JRC為等邊三角形，AB=2A4=2,J_平面ABC,

M,N分別為A3,AC的中點，

(1)證明：平面3。￡四//平面AMN；

(2)若A51.AC1,設(shè)。為線段上的動點，求4。與平面所成的角的正弦值

的最大值.

(1)證明：在三棱臺4用。1—A3C中，AB=2\BX=2,N為AC的中點，

所以4￡=CN,且A￡//CN,則四邊形AGCN為平行四邊形，所以cc"/AN,

又ANU平面ANM,CG<Z平面AM0,所以GC〃平面AN70,

因為M,N分別為AB，AC的中點，所以BC//MN,

又MVu平面ANM,5C(z平面AN70,所以8C〃平面ANM,

因為3Cu平面BCC&I,QCU平面BCCiBi,CBcCQ=。，

所以平面BCC、B\//平面%MN；

(2)解：連接卸7，45人。1，。?7,

因為平面ABC,且A&U平面AAGC,所以平面ABC1平面A41clC,

因為A5c為等邊三角形，N為AC的中點，所以3NJ_AC,

又平面ABCc平面A41c。=ACBNu平面ABC,

所以BN，平面A41clC,又AC】u平面441clC,所以BN，A￡,

又AB_LAC］，43cB雙=3,網(wǎng),骯(=平面BNA,所以AC】_L平面

又ANu平面3NA，則AG，AN,故四邊形AAN￡為正方形，A&=1,

以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則A(O,O,1)，G(LO,1),C(2,O,O),5(1,"O),

則CC；=(—1,0,1),BC=(1,-A/3,0),AC=(2,0,—1),

不妨設(shè)DC=ABC=(2,-A/32,0)(2e[0,1]),

則4。=4。-。。=(2-4鳳-1),

n-CC=0

設(shè)平面3CG瓦的一個法向量為〃=(x,y,z),貝叫}

n-BC=0

~X+2=0

得<廠，令y=i,可得〃=(6,1,6)，

x-yJ3y=0

|A/3(2-2)+732-A^|

則卜os〃，4￡)|二73<721

同A方V7X7(2-A)2+3A2+1A/7X7(2A-1)2+4-14

當(dāng)且僅當(dāng)2=1時取"=”，所以與平面BCC出1所成角的正弦值的最大值為答.

18.己知橢圓C：?+/=l（a〉6〉0）的離心率為巧,。為坐標(biāo)原點，耳，心為橢圓

C的左、右焦點，點P在橢圓C上（不包括端點），當(dāng)尸鳥，耳居時，△尸片鳥的面積為主8,

一-"2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點4（0,1）,8（0,—1）,直線Q4,PB分別與橢圓C交于異于點P的M、N兩點，

記直線尸0,的斜率分別為左,左2,求人上的值，

222

解：（1）當(dāng)月時，將X=C代入橢圓方程可得c二+v當(dāng)=1,解得|y|=bL,

aba

c_

a2

由題意得＜1b23A/3-

—?2c—二----

2a2

〃2=Z72+c2

22

解得a=2指*=占,0=3,所以C的方程為土+匕=1.

123

⑵設(shè)加（七,％）川（%2，%），？（％0，%），

由于4（0,1）,8（0,—1）在橢圓C的內(nèi)部，所以直線PA,P3都與橢圓C有兩個交點，

直線PA:y=^^x+l,直線P3:y=

y=—―-x+1

聯(lián)立《，毛，消去〉整理可得（2—%）/+/（%—l）x—x：=O,

工+廠-1

1123

所以玉玉；=-~Y°，故再=/c，

2-%%-2

則M=上又一^+1=卡，故

xo%-2%-21%-2%-2J

y=y°+1x+l

聯(lián)立《,”,消去y整理可得（為+2）d—%（為+1卜—兀：=0,

廠"-1

1123

x

所以尤2%=」^故"--7nT

為+2%+2

/、

Z%+L1x%1.2%L+32%+3

貝uy2=-^4-=-^v,故N-

%%+2%+2%+2%+2,

2y0-3?2%+3

故心2%+2_分；—12：.

2xx

菁一尤2o?o2y0x02%

為―2%+2

又尤=：，所以左芯=&[_￥、]=_；，

/玉）（2ylJ2

19.已知函數(shù)/（X）=xlnx—"|x2-1,?eR.

（1）當(dāng)a=l時，求/（x