2023-2024學(xué)年湖南省婁底市高三年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年湖南省婁底市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)

模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

］已知集合/={xlG+D（x—4）<0},8={xx—34。},則（）

A{x|-1<x<4}B{NO〈尤43}

C{x|-l<^<3}D{xl0<x<4}

2.已知復(fù)數(shù)z=6-i）（l+i）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為尸」為虛數(shù)單位，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

A（2,-1）R（1,1）「G,-l）口（3,1）

A.D.C.JJ.

3.一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為4cm,高為8cm,將該圓柱注滿水，然后將一個(gè)半徑為

4cm的實(shí)心球緩慢放入該容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底部時(shí)，留在圓柱形容器內(nèi)的水的體積為

（）

3201288064

-----兀cm3--兀cm3——兀cm3——兀cm3

A.3B.3C.3D.3

4.恩格爾系數(shù)是由德國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩斯特?恩格爾提出的，計(jì)算公式是“恩格爾系數(shù)=

食物支出金額mn。/

總支出金額”.恩格爾系數(shù)是國(guó)際上通用的衡量居民生活水平高低的一項(xiàng)重要指標(biāo)，

一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，

50%~60%為溫飽，40%~50%為小康，30%?4。%為富裕,低于30%為最富裕,如圖是近十

年我國(guó)農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知下列結(jié)論正確的是（）

一?-農(nóng)村屠民恩格爾系M%）-T鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)（%）

A.城鎮(zhèn)居民從2013年開(kāi)始進(jìn)入“最富裕”水平

B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%

D.全國(guó)居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)

5.已知函數(shù)>=/"）的圖象如圖所示，則函數(shù)/（無(wú)）的解析式可能是（）

/(x)X

B.X2-1

11

/?=

g/(x)=

C.D.

6.已知平面非零向量生，的夾角為60。，且滿足“"一卜十斗，則回村的最小值為（）

16+85/3

A.3B.12C.8/D.24

7.已知拋物線0：產(chǎn)=2"（?>0）的焦點(diǎn)為尸，拋物線C的準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A的

直線與拋物線°相切于點(diǎn)尸，連接尸尸，在A/勿中，設(shè)sin/P4b='sin//FP,則為的值為

（）

V2

A.2B.1C.>/2D.2

8.已知函數(shù)/Q）的定義域?yàn)镽,對(duì)任意xeR,有/'（X）-/（x）>。，則“x<0”是“

eV（x+l）>e4/（2x-3）“的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.已知傾斜角為45。的直線/過(guò)點(diǎn),（3,0）,動(dòng)點(diǎn)尸在直線/上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。滿足

\QA\=2\QO\,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/的方程為y=x+3

B.動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為0+1）2+產(chǎn)=4

C.陽(yáng)?的最大值為2①+2

D.歸0的最小值為2點(diǎn)-2

/(x)=sinlcox-—|(co>0)八”）4在（°,兀）的解為

10.已知函數(shù)I3>的最小正周期為兀，方程

丁2y則下列結(jié)論正確的是（）

A.8=2

函數(shù)/G）的圖象關(guān)于點(diǎn)

B.對(duì)稱

4)停]]

C.函如在1121上單調(diào)遞減

cos(x+x)=-^A

D.122

xInx,x>0

/(%)=<0,x=0

11.已知函數(shù)[xln(-x),x<0,下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/G）的圖象關(guān)于點(diǎn)（°，°）中心對(duì)稱

B.函數(shù)/G）存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)

c.若函數(shù)gG）=/G）一加有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)粼的取值范圍是J」）

D,對(duì)任意丁2式-U）,不等式‘訃展恒成立

12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為a。為底面N8C。的中心，/￡交平面

4即于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為棱CD的中點(diǎn)，則（）

A.4，E，°三點(diǎn)共線

4逐

B.點(diǎn)q到平面4s。的距離為丁

56

c.用過(guò)點(diǎn)4潭,廠的平面截該正方體所得的較小部分的體積為§

D.用過(guò)點(diǎn)尸且平行于平面的平面截該正方體，則截得的兩個(gè)多面體的能容納的最大球

的半徑均為3-6

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

X~p（X>\）~

13.已知隨機(jī)變量I3九則八.

14.已知數(shù)列｛"〃｝滿足0廣2,?！浮Ｏ?2",則彳。的值為.

c（x1）2

is,已知直線/與曲線q：k*1相切于點(diǎn)尸6“），且與曲線2-y--2~相切于點(diǎn)

°（1匕），則2x「x「.

16.已知雙曲線UR-瓦=1（“>°，'>°）,直線4和4相互平行，直線4與雙曲線C交于48兩

點(diǎn)，直線4與雙曲線C交于2E兩點(diǎn)，直線/￡和3D交于點(diǎn)尸（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線〈的

斜率為3,直線（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率上21,則雙曲線C的離心率的取值范圍為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17,設(shè)等差數(shù)列'J的前〃項(xiàng)和為1牝+月=60,斗=49.

（1）求數(shù)列“J的通項(xiàng)公式；

b_2〃+1

SS

⑵設(shè)數(shù)列｝的前〃項(xiàng)和為I,若",n+l,求證：［<1.

18.某無(wú)人飛機(jī)研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無(wú)人飛機(jī)，在投放市場(chǎng)前對(duì)100架新能源無(wú)

人飛機(jī)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直

方圖：

頻率

1UR>|

0.009卜］

0.004b------------IF--1

0.0025.......?

0.00）卜:…土一卜…

0180230280330380430唯次最大續(xù)航里程阡米

（1）估計(jì)這100架新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值朝（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點(diǎn)值代表）；

（2）經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50,根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款新

能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程x近似地服從正態(tài)分布NO，。？）（用樣本平均數(shù)亍和標(biāo)準(zhǔn)

差s分別作為日和0的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無(wú)人飛機(jī)，求它的單次最大續(xù)航里程

Xe［250,40。］的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量"~”日。），則

產(chǎn)（ji-G4XWji+ci）aO.6827,P（）i-2bWXWN+2b）a0.9545,P（）i-3cyWXWN+3B”0.9973

）

（3）該無(wú)人飛機(jī)研發(fā)中心依據(jù)新能源無(wú)人飛機(jī)的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型、卓越B型和

卓越°型，統(tǒng)計(jì)分析可知卓越/型、卓越8型和卓越C型的分布比例為3:2:1,研發(fā)中心在投

放市場(chǎng)前決定分別按卓期型、卓越B型和卓越°型的分布比例分層隨機(jī)共抽聯(lián)架，然后再

從這6架中隨機(jī)抽取3架進(jìn)行綜合性能測(cè)試，記隨機(jī)變量是綜合性能測(cè)試的3架中卓越/

型的架數(shù)，求隨機(jī)變置的分布列和數(shù)學(xué)期望

19.如圖所示，在平面四邊舲8EC中，角A為鈍角，且

sinZABC-sinZACB+1=cosZABC-cosZACB-cos2/

(1)求鈍角A的大小；

(2)若BC=2,EC=>/3AC,/ACE=120°,ZEBC=30。，求/ABC的大小

20.在四棱錐「一/BCD中，底面4BCO是長(zhǎng)方形，側(cè)棱尸。，底面/BCD,且

尸O=OC,E是側(cè)棱尸。的中點(diǎn)，尸是側(cè)棱心上(異于端點(diǎn))的點(diǎn)，且小工町連接

DE,DF,BD,BE

(1)求證：PB工平面DEF；

回

(2)若℃=2,8C=；U)cq>0),銳二面角尸一。￡_8的余弦值為丁，求四棱錐

尸一"8co的體積.

/(x)=axex--x2-x

21.已知函數(shù)2

(1)當(dāng)。=i時(shí)，討論函數(shù)/G)的單調(diào)性；

,1「1、

/(x)<X2Inx-X3+—X2-x—+°0

(2)若不等式2在Le?1上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

c：_+Zi=i(a>z)>o)°=逅

22.已知橢圓aibi的右焦點(diǎn)為尸，離心率，-行，橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)。到

產(chǎn)的距離的最小值為&-2

⑴求橢圓°的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)斜率為的直線/過(guò)尸點(diǎn)，交橢圓C于48兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為N,直線

ON交直線x=3于點(diǎn)加，直線旅交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)，求的大小，并求四邊形

APBQ面積的最小值.

1.c

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)榧?={xH<x<4},八"x"},所以/c8={x1—l<x43}.

故選：C.

2.D

【分析】由復(fù)數(shù)乘法以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】因?yàn)閦=（2T）（l+i）=3+i,所以點(diǎn)「坐標(biāo)是（3,1）.

故選：D.

3.B

【分析】分別求出圓柱體積及球的體積，再相減即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知留在容器內(nèi)水的體積為等于圓柱體積減去實(shí)心球的體積，

"“。4”128

V=71x42X8-—71x43=------71

即33cm3.

故選：B

4.C

【分析】對(duì)于A,直接觀察折線統(tǒng)計(jì)圖即可判斷；對(duì)于B,結(jié)合平均數(shù)的定義以及圖中數(shù)據(jù)

判斷即可；對(duì)于C,結(jié)合百分位數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于D,無(wú)法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民

的比例，由此即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：從折線統(tǒng)計(jì)圖可知2015年開(kāi)始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于3。%,

即從2015年開(kāi)始進(jìn)入“最富?！彼剑蔄錯(cuò)誤；

對(duì)于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017,2018,2019這三年在30%到32%之間，

其余年份均大于32%,且2012、2013這兩年大于（等于）34%,

故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于32%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對(duì)應(yīng)的年份）前5位分別為

2019、2018、2017、2021、2020,因?yàn)閘°x45%=4.5,

所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高

于29%,故C正確；

對(duì)于D：由于無(wú)法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，

故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國(guó)居民恩格爾系數(shù)，故

D錯(cuò)誤.

故選：c.

5.D

【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

/G）=-

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由心一1,得八1,不符合函數(shù)圖象，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤,

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)椋?x）2-lX2-1,且/（X）的定義域?yàn)镮RXW」，，

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以〃x）是奇函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

/G）=i~5~?（?

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)楦?的定義域?yàn)镾I不符合函數(shù)圖象，所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤,

故選：D.

6.D

a-b=2〃+引

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把II的兩邊平方，利用基本不等式進(jìn)行

轉(zhuǎn)化求解即可.

-~*1~?

a-b=|^|h|cos60°=—Itzlhl

【詳解】由已知非零向量"力的夾角為60。，所以1111"I,

,a-b=|2Q+ZJ|,、

由II,兩邊平萬(wàn)得

；卜.6卜=4a2+人2+4。=4Q2+Zn+2同,戶41dMl+2］磯6卜6|?||/）|

當(dāng)且僅當(dāng)20=向時(shí)等號(hào)成立，所以K臥24,

所以同W的最小值為24.

故選：D.

7.A

【分析】由拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，利用正弦定理即可求解.

【詳解】由已知"il'H,設(shè)點(diǎn)尸在準(zhǔn)線上的射影為。，則即=叫

y=左（%+彳］（左w0）

因?yàn)橹眻D尸與拋物線C相切.設(shè)P4的方程為I2）,

與尸:2川聯(lián)立得夕4夕,

,A=Q2—21p2-p2k4=0

由，

/2

sinZPAQ=—

解得左=±1,當(dāng)左=±1時(shí)，2.

在三角形4。尸中由正弦定理可知:

8.A

g（x3<4

【分析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)&，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可解得x<4,再由

集合間的關(guān)系可得結(jié)論.

g"蟲(chóng)

【詳解】設(shè)&，該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

,（）rG）-/G）、nz、

則e，,所以在R上單調(diào)遞增.

—/（2x-3）

由ex/U+l）>e4/（2x-3）可得ex+1>,

即g（x+l）>g（2x-3）,又g（x）在R上單調(diào)遞增，所以x+l>2x-3,解得x<4,

顯然集合&B<0｝是集合&|x<4｝的真子集，

所以“x<0”是"G+D>e4/（2x-3）?的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù),Q）一/Q）>°構(gòu)造函數(shù)，并將不等式

ex_/G+l）>e4/（2x-3）變形,利用單調(diào)性解不等式即可得結(jié)論.

9.BD

【分析】根據(jù)斜率及點(diǎn)斜式判斷A選項(xiàng)；根據(jù)軌跡方程判讀B選項(xiàng)；根據(jù)點(diǎn)到直線距離判斷

C,D選項(xiàng).

【詳解】由傾斜角為45。得出斜率為1,,直線/過(guò)點(diǎn)（3，°）,得直線/的方程為夕='-3,故選

項(xiàng)A錯(cuò)誤；

設(shè)0（彳,口）,：|。/|=2怯0|,“0/卜=4怛0|*,.?.（尤-3）+產(chǎn)=4（x2+產(chǎn)）

可得動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為圓C：（X+1）2+V=4,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)閳A心C（T°）到直線/的距離/+（-），所以由阿耳邙一國(guó)償"一2

可知線段忙9最小值為"一2=2點(diǎn)-2,線段I尸9無(wú)最大值，所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤、D正確.

故選:BD.

10.ABD

兀

]E—-2---=兀

【分析】由8即可判斷A,由代入檢驗(yàn)法即可判斷B,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)

單調(diào)性即可判斷，通過(guò)數(shù)形結(jié)合以及對(duì)稱性即可驗(yàn)算.

/（x）=sin（Ox-—（0>0）?=竺=兀

【詳解】由函數(shù)I3>的最小正周期為兀，得6，所以3=2,故

選項(xiàng)A正確；

所以函數(shù)/G）的圖象關(guān)于點(diǎn)〔J對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確;

5兀

<2X<71

—<x<兀#2-33,所以函刎6）在〔適巧上先減后增，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

由12

71[71571

當(dāng)xe（0,7i）時(shí)，Gri'Tsin2x--I=sin2x--I=—>0

依題意有<,3><23>3

結(jié)合圖象可知，?3232,即?26,

(\5兀

cos\x+xJ=cos——=---

所以I262,故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

11.ABD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷選項(xiàng)A；先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/G）在（。，"°）上的單調(diào)性,

求出最值，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)作出了G）的大致圖象可判斷選項(xiàng)B；先將函數(shù)

g（x）=/（x）一加有三個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=與了=加的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

再利用函數(shù)/G）的大致圖象可判斷選項(xiàng)C;結(jié)合函數(shù)/G）的大致圖象求出

再根據(jù)『STYIV/QL-/々L即可判斷選項(xiàng)D.

［詳解］因?yàn)?(°)=°；當(dāng)"0時(shí)，/G)+/(-x)=xln|x|-xln|x|=0

所以/G）為奇函數(shù),

則/G）關(guān)于點(diǎn)（°'°）對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確;

當(dāng)x>0時(shí)，/&）=尿+1

'/Q)在

又由/G）=+8,可得/G）的大致圖象如下所

故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)楹瘮?shù)gG"/Q）一加有三個(gè)不同的零點(diǎn),

所以函數(shù)v=/Q）與>=機(jī)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn).

由圖象可得：實(shí)數(shù)加的取值范圍是,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

因?yàn)?（1）=。，/（-1）=0

=

V—F（Y）11/（X）f

所以結(jié)合函數(shù)'一八’的圖象可得：當(dāng)XCL1,1」時(shí)，max

/G)=/

min

xxe(-l1)|/G)-/(X|V/G)-7'(x)=-

所以對(duì)任意1'2J,12maxmine,故選項(xiàng)D正確.

故選ABD.

12.ACD

【分析】對(duì)于A,只需證明4，區(qū)°三點(diǎn)都在平面4so與平面/cqq上（即在交線上）即可

判斷；對(duì)于B,首先證明“q，平面/產(chǎn)”，然后通過(guò)解三角形知識(shí)即可驗(yàn)算；對(duì)于c,首先

得出過(guò)點(diǎn)尸的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺(tái)。尸G-"Bq,結(jié)合棱臺(tái)體積公

式驗(yàn)算即可；對(duì)于D,首先算出百°廣2的，"-18=%再4=1嶼，

S小尹「白6無(wú)x66X4=18出

【詳解】由已知。/Cu平面ACCA,EEAC^平面ACCA^A^e平面/84,

又0eBDu平面ABD,Ee平面ABD,4e平面//D

與平面NCC4的交線上，即4,瓦。三點(diǎn)共線，故A正確;

因?yàn)椤鉌,平面/2。聞U平面ABCD

所以皿qc

又BDlAC,ACnCC=C,AC,CCcz平面/c￡4,

所以平面/cqq,

又/Qu平面NCC4

所以瓦

同理可得4'

因?yàn)锽DcAB=B,BDABu亞福4BD

1平面1

心、）AC±中市4BD則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)q到平面4"1的距離,

所以I平面Iof

顯然￡為正三角形4"的中心,

e立T'zjrABCD—ABCD/,L-Li/立

因?yàn)檎f(wàn)體iiii的棱長(zhǎng)為4A,

2>/3,,-476

所以正三角形4'”的邊長(zhǎng)為4。，所以1-3X^~X?一一二

28E

CE=ylAC2—AE2=(472)2-E

-4口，所以1

85/3

即點(diǎn)q到平面4"的距離為了，故B錯(cuò)誤;

取巳。的中點(diǎn)G,連接/GG/產(chǎn)，因?yàn)镕G11CDIIV

所以等腰梯形尸G就是過(guò)點(diǎn)4,昆尸的平面截該正方體所得的截面,

所以過(guò)點(diǎn)411的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺(tái)ORG-NR%

r=-G+S+X[S~S)-71D=iG+8+>/2^8)x4=—

其體積為3"G5V.DFG…33,故c正確；

過(guò)點(diǎn)尸且平行平面的平面截該正方體，所截得的兩個(gè)多面體全等，如下圖所示,

該七面體能容納的最大球亦為正三棱錐為一4、巳的內(nèi)切球（如下圖所示）,

BD=6y[2,AD=1（3應(yīng)）2+（3點(diǎn)）2=6

2222N，

設(shè)Q為△色?的中心，貝『《告460=2m高?”硬書=2“,

設(shè)正三棱錐一2qq的內(nèi)切球的半徑為，

V=-AOS=lrG+S+S+S）

則3213s,5再4,①

在△々qq中AD=4C=6,C。=65/2

222222

S=lx6^x6V2x^l=18V3

s=18=S=s當(dāng)c也22

何^A2C2D2^A2B2D292c2，

6

=3—\/3

代入①，得3+4故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形計(jì)算正三棱錐汽-qqq的表面積體

積，由等體積法即可順利得解.

8

13.9

【分析】由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可得解.

X~尸（X21）=C1x-xfl-->|+C2xf-Y=-

【詳解】因?yàn)镮3人所以23I3>2<3J9

8

故答案為：9.

14.32

【分析】由遞推式向=2"推導(dǎo)出｛方）構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可

求得（要注意下標(biāo)為連續(xù)的偶數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)應(yīng)是下標(biāo)的一半）

—wi2=2（1

【詳解】因?yàn)閆+L?",所以、：*+2=2向，兩式相除得a?,故數(shù)列巴J是公比為

2的等比數(shù)列，

由。2=2,所以，,="2.25一=25=32.

故答案為：32.

15.3

ex-i=l-x>0

2

ex-iU-xJ=-a——

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，即可得到112,從而得解.

【詳解】由已知直線/與曲線G：kei相切于點(diǎn)0&，e『），

因?yàn)榱?ei,所以直繳的方程#-evl=e中G_5）,即尸e『x+e『（1-x）,

C:y=_?-(x-l)2Q\x—(x-l)2

又直線與曲線22相切于點(diǎn)<222

>>+—(x_1>=-(X-l)(x-x)

因?yàn)?一一5一”，所以直線’的方程為2222

ex-i=1-x>01-x>0

22

即尸（1》+早<(.\X2-1\X2-1

ex-\\[-x)=^——(1-X)(1-X

12:

，所以I，所以I212

1X+1

1-X———3o_Q

即I2,所以留一“2=3

bz

~y——jc

其次由題意由點(diǎn)差法得M3a2”①，同理

，上X2二

N3a2N②,由P,M,N三點(diǎn)共線，所以％-尤。己7。，代入得3sX。結(jié)

合離心率公式即可得解.

【詳解】

由題意，

,?A(x,y\B(X,y\D(X,y),E(x,y),P(x,y\AB...^M(x,y\DE.

吠1122334400的中原MM的甲總

N(x,y)

NN,

X22

T44

--,

Q22=1x+,

12J-y_bl

x22-------i------

4

去XXyy

『1-=11~2-i~l-0X]+X[\-x,al

〃22

,兩式相減，得mb2,化簡(jiǎn)得2-12

bix_y1-y3bib2

---------地---__3y-xy=---x

所以"24'J"，所以"3或〃①,同理N3a2N②,

工=2^2；

11

因?yàn)?8DE,所以尸，MN三點(diǎn)共線,亦[、/X-XXT

/TTM0N0?

Z>2b2

—x-y—x-y

3Q2M0_3〃2N0=0

將①②代入得\-x(

區(qū)上=0處＞3

因?yàn)樗?GX。，所以。2

—

所以雙曲線C的離心率為。2

r…,擊井閏、/2,、,同）口（'訪,+00

所以雙曲線C的離心率的取值范圍為L(zhǎng)

故答案為:

t>2bl

y-...xy=---x

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用點(diǎn)差法來(lái)得到M3a2"①，同理N3a2”②，結(jié)合

三點(diǎn)共線以及離心率公式即可順利得解.

17.⑴。“=2"T

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由已知條件，列出關(guān)于等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的方程組，進(jìn)行求解即可.

（2）利用裂項(xiàng)相消求出再結(jié)合不等式的性質(zhì)證明

【詳解】(1)設(shè)｛"J的公差為d,

5(a+3d)+5a+d=60,

<ii2

7。J*6d-49,

依題意可得12

[2彳+5d=12,=1,

即1%+3d=7,解得jd=2,

七~a-a+G-1)(7=1+G-1)X2=2H-1

所以〃i

(1+2〃-1)〃

S=-----------=〃2

(2)由(1)可得〃2,

b7=--2n-+-l-=—1—---1-

所以〃〃2(〃+1)2〃2(JI4-1)2

<1

(〃+1)2

18.(1)300

（2）0.8186

3

（3）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為5

【分析】（1）由直方圖中每個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率再相加可得；

（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)計(jì)算；

（3）隨機(jī)變量y的可能取值為分別求出其概率后得分布列，再由期望公式計(jì)算期

望.

【詳解】（1）估計(jì)這100架新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值為：

x=205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300

..?X~N（300,502）

P（250<^<400）=P（|i-ey<.￥<n+2cy）?06827+°~9545=0.8186

22

（3）由題設(shè)可知抽取的6架新能源無(wú)人飛機(jī)中，卓越/型、卓越3型和卓越°型的架數(shù)分別

為3架、2架和1架，隨機(jī)變量y的可能取值為°』",3.

P(y=o)=2HC1C29

C3C320

66

22”詈吟…3”詈片

66

隨機(jī)變量Y的分布列如下表:

Y0123

1991

P

20202020

￡，(K)=0x—+lx—+2x—+3x—=—

202020202

19.(1)120°

(2)15。

【分析】（1）利用兩角和的余弦公式，二倍角余弦公式，誘導(dǎo)公式將條件式化簡(jiǎn)，求得

cosN的值得解；

(2)設(shè)/N2C=a,由正弦定理求得EC/。，結(jié)合條件5。二喬/。，求得2a-5，結(jié)合

角0的范圍求得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)?由/"0與11//。3+1=。054'0-054。5—。。52次,

所以l+cos2/=cosN45C—05/4(73-sin乙43c與1144。5,所以2cos2A=cos(ZABC+ZACB)

^A+ZABC+ZACB=180°；所以2cos2"=cos"80。即2cos2/+cos/=0

cos/--1

解得cos一］或者cos/=0,又A為鈍角，所以N=120°.

（2）設(shè)乙4BC=a,四邊形內(nèi)角和為360。，

由（1）的結(jié)論知：a+NE=90。，

BC_AC.=-na』na

在“8C中，由正弦定理得：siir4sina,即sinA3

EC_BCRC1

EC=——sinZCBE=——

在ABCE中，sinZCBEsinE1,即sinEsinE

EC=y/3AC,:.4sina=―1—

又sinE,

則4sinasin（90。-a）=1,即4sinacosa=1,即向2a一2

A=12Q°,A+a+ZACB=180°,.,.0<a<60°gp0<2a<120°

.?.2a=30。,即a=15。,即N/3C的大小為15。

20.(1)證明見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)先證平面尸8C,得PBLDE,根據(jù)線面垂直的判定即可證;

大紅「

(2)利用空間向量法可求2或九=12,然后利用體積公式即得.

【詳解】(1)因?yàn)閃底面/BCD/Cu底面/BCD,所以W3C,

由底面4sCD為長(zhǎng)方形，有BC,CD,而尸OcCD=D,尸2cDu平面PDC,

所以8C_L平面尸CD,而。Eu平面PDC,所以8C_LD￡,

又因?yàn)槭珼=C。，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE,PC,

而尸CcCS=C,PC,C3u平面P5C,所以DEJ_平面尸SC,

而PBu平面PBC,所以尸

又DF上PB,DEcDF=D,DE,DFu平面DEF,

所以「8,平面。跖.

（2）由已知兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線04℃,。尸分別為x，％z軸的正半軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镈C=2,BC=}DC,則。（0,0,0）,"0,0,2）,5（2九,2,0）,。（0,2,0）,點(diǎn)￡是「（7的中點(diǎn)，所

以￡（0,1,1）,

由⑴PB1平面DEF,又收=（2兒2,-2）

所以取平面DEF的法向量為"=（入，1，一1）

設(shè)平面DE8的法向量為"=G,%Z）,又￡>E=（0,l,l）m=3,2,0）,

DE?〃=y+z=0,尸—Z,_

<—?

）=一九羽令得〃（一九，九）

所以=2九x+2y=0,即1=],=1,

J2九2+132+210

入交

當(dāng)1■時(shí)，BC3,

=jSPD=1x2x72x2=^^

V

所以A皿3皿33

當(dāng)九=&時(shí)，BC=2收,

V=-SPD=-x2x242x2=^-

所以P-ABCD3皿33.

21.⑴/G）在（一叫一。上單調(diào)遞增，在（TQ）上單調(diào)遞減，在（°，甘°）上單調(diào)遞增

1

—00,---

⑵e2

【分析】（1）直接由ra）＞°得增區(qū)間，由/'（、）＜°得減區(qū)間;

「1、xInx-%2+x

xe[—,+oo）a＜---------------

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意e,a恒成立，引入函數(shù)

7/、xlnx-%2+xl、

〃(x)=------------,XG[r—,+8)

e%,利用導(dǎo)數(shù)求出〃（x）的最小值即可.為此需要求出則

(l-x)(lnx-x+

一,并令中（口=皿-》+2,則中6）=不確定存在1＜一2時(shí),

ex

“，（、0）二°,然后得出〃⑴的極值，比較以修和Ke-）的大小即可得.

f（x）=xex--%2-x

【詳解】（1）由。=1得函數(shù)2,

匕r2/'G）=G+l）ex=（x+l）Gx-1）

所以，

令/'Q）＜0得一1＜%＜0,令/'G）＞。得或x＞0

所以/G）在J0—）上單調(diào)遞增，在（T°）上單調(diào)遞減，在（°產(chǎn)）上單調(diào)遞增.

1

/(X)<X2Inx-X3+—X2-x一,+C0

(2)由2，得axQx<X2Inx—X3+%2,又

1、x]nx-x2+x

XG[-,4-00)a<

所以ae*Wxlnx—m+x,即對(duì)任意eCx恒成立,

2）

x\nx-x2+x，尤e[l,+s)〃(x)=(j)(lnxT+

h(x)=

令e則ex

令(p(x)=hKF+2,則8G”一

1＜%＜1(p"(x)<0

所以當(dāng)e時(shí),當(dāng)》＞1時(shí),

所以中（°在上單調(diào)遞增，在"'”）上單調(diào)遞減,

(p(l)=1-->0,(p(l)=1>0,(p(e2)=4-e2<0

又ee

1一1時(shí)，中（0在Q?）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)％,

xe一,+8

所以當(dāng)e

XG時(shí)，（P（x）＞0,”（x）＞0,〃（x）單調(diào)遞增，當(dāng)xe（l,x。）時(shí),

所以當(dāng)

(pG)>0,h'G)<o,hG)單調(diào)遞減,

當(dāng)xeQ，M)時(shí)，心)"，"(“;°，“。單調(diào)遞增,

={/7(X),〃(1)}

A(x)

所以m,n0emin

h乂①(x)=血-x+2=0t；<>\?Inx—x+1=—1,x=

因?yàn)?00>/TIooo

7/、xInx-x2+xx(Inx-x+1)-x-e%-21

/z(x)=—0000-=—000=——0-=------------=———

所以。氣氣ex0ex0e2,

4.A(—)>h(x)〃(x)=h(x)=--

因?yàn)?e?e>—e-2,所以e°,所以-°e2,

1

-w?--------

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為e2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立求參數(shù)范圍，可通過(guò)分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為

7/、x\nx-x2+xrl、

n{x)=--------------------------,x6+oo)

求新函數(shù)的最值.難點(diǎn)在于新函數(shù)以e的最值，求出導(dǎo)函數(shù)

“(x)_(l-x)(lnx-x+2)

''一最后其零點(diǎn)不能直接確定，需要對(duì)其中的一部分函數(shù)

(p(x)=lnx-x+2進(jìn)行定性確定零點(diǎn)二(利用層層確定其存在性及范圍)，然后確定“(/)是極

K-)

小值，還要與e(端點(diǎn)處函數(shù)值)比較.

X2V2

--+---=1

22.(1)62

71

(2)2,3

e=—=^-,a-c=V6-2

【分析】(1)由題意。3,結(jié)合平方關(guān)系即可得解.

(2)由題意設(shè)/(「?)'8G2'八)，直線’的方程為了=*6-2),聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定

理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式得"坐標(biāo)，ON方程，聯(lián)立》=3進(jìn)而得