橢圓-2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)卷（新高考專(zhuān)用）（解析版）

一、單選題（共60分，每題5分）

丫2

1.命題“三加￡77\曲線(xiàn)--FJ/?=1是橢圓”的否定是（）

m

22

A.\/meN,曲線(xiàn)二+9=1是橢圓B.\/m^N,曲線(xiàn)二+;/=1不是橢圓

mm

22

C.0meN*，曲線(xiàn)工+y2=l是橢圓D.m/neN*，曲線(xiàn)土+丁=1不是橢圓

mm

【答案】B

【解析】因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，

22

所以命題FmeN,曲線(xiàn)上+y2=1是橢圓”的否定是VmeN,曲線(xiàn)上+y?=1不是橢圓,

mm

故選:B.

22

2.已知橢圓C:土+乙=1,點(diǎn)則點(diǎn)A與橢圓C的位置關(guān)系是（）.

95

A.點(diǎn)A在橢圓C上B.點(diǎn)A在橢圓C內(nèi)C.點(diǎn)A在橢圓C外D.無(wú)法判斷

【答案】B

代入橢圓得到—半，平t

【解析】當(dāng)X=1時(shí),

故點(diǎn)A（l,l）在橢圓內(nèi)

故選：B

X2

3.己知橢圓一+22=l（a〉6〉0）,K，B分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓的下頂點(diǎn)，直線(xiàn)AK交

a~b2

橢圓于另一點(diǎn)尸,若I尸耳|=|則，則橢圓的離心率為（）

71A1

B.-R/2D.-

322

【答案】A

【解析】解：如圖,

點(diǎn)尸在橢圓上,所以|「耳|+|尸閭=2a,

由|P凰=|上4|=|「6|+|然隹|=a,代入上式得,附卜$,|P周三

防「+用「-附「

在△APK，cos/PAF]=

21gliM

又cosNPAE=1—2sin2/OA4=-,所以sin/OAf；=—

313

即sinZOAF,=—=e=，

1a3

4.黃金分割比例具有嚴(yán)格的比例性，藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價(jià)值.這一比值能夠引起

2

人們的美感，被稱(chēng)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.我們把離心率6=避二1?的橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”，則

2

以下四種說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）

22

①橢圓j+—4=1是“黃金橢圓；

2V5+1

22

y

②若橢圓二+—1，（^^/^（^的右焦點(diǎn)/伍⑼且滿(mǎn)足步二公，則該橢圓為“黃金橢圓

ab2

V2y1

③設(shè)橢圓—1,（。>/?>0）的左焦點(diǎn)為足上頂點(diǎn)為8,右頂點(diǎn)為A,若NABP=90。，則該橢圓

ab2

為“黃金橢圓”；

④設(shè)橢圓，工+4=1,（。＞占＞0）的左右頂點(diǎn)分別A,B,左右焦點(diǎn)分別是耳，工，若|至山閭，

ab

陽(yáng)可成等比數(shù)列，則該橢圓為“黃金橢圓”；

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①/=6+1，b-=2,故6=、1—4=叵口■是“黃金橢圓”；

Va22

②/=ac即4―故e?+e—1=0,則e=避二1或《=也二1（舍），是“黃金橢圓”；

22

③由NABE=90°可知(a+c)2=4+方2+b2+。2,化簡(jiǎn)可知e2+e_]=o,貝麋=嚀4或e=^二1

（舍），是“黃金橢圓

④若|前|,閨閭，閨可成等比數(shù)列，則（2c）2=（a—c）（a+c）,則6=半，不是“黃金橢圓.

故選：C

5.橢圓焦點(diǎn)在x軸上，A為該橢圓右頂點(diǎn)，P在橢圓上一點(diǎn)，出；硬修？=&『'，則該橢圓的離心率e的范圍

是（）

A.T1,1）B.匡]c.D.今

【答案】B

【解析】設(shè)P（羽y）則OP=（無(wú),y）,AP=（x—a,y）.又由于NOPA=90°,所以。PAP=0即可得

a

（x—+y2=[j],所以點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上.及橢圓與該圓有公共點(diǎn).C+r=C

22消去y

%+廠-1

L3一i

得f僅2一4）+/工—=o.由于過(guò)點(diǎn)A所以有一個(gè)根為a,另一個(gè)根設(shè)為x,則由韋達(dá)定理可得

/?3后

%+〃=—z5~T,又因?yàn)?<x〈a.所以解得e〉.故選B.

b2-a2c22

22

6.已知《、B為橢圓=+當(dāng)=1（?！?〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)工作橢圓的弦A3,若的周長(zhǎng)為16,

ab

橢圓離心率6=且，則橢圓的方程為()

2

22227222

A,土+JB.二+匕=1C.三+匕=1D.。匕=1

43164162163

【答案】C

【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)有以=|明|+忸閭=2a.因?yàn)锳A43的周長(zhǎng)為16,所以

|陰+仙用+|%|=16.而|叫=,可+|3閭，所以|4用+|4引+|3用+|和|=4"=16,解得。=4.因

為橢圓的離心率6=￡=且，所以c=2g，從而02=4,所以橢圓方程為三+2二=1，故

a2164

選D

7.如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形內(nèi)有一個(gè)橢圓，某同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法求橢圓的面積.若在正方形內(nèi)隨

機(jī)產(chǎn)生2000個(gè)點(diǎn)，并記錄落在橢圓區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有680個(gè)，則橢圓區(qū)域的面積約為()

A.34B.66C.68D.132

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓區(qū)域的面積為S.

由題知，正方形的面積5正=10x10=100,

若在正方形內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生2000個(gè)點(diǎn)，并已錄落在橢圓區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有680個(gè)，則滿(mǎn)足」"=幽",

1002000

解得5=0.34x100=34.

故選：A.

8.能夠把橢圓C：三+匚=1的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分的函數(shù)f(x)稱(chēng)為橢圓。的“親和函數(shù)”,

48

下列函數(shù)是橢圓C的“親和函數(shù)”的是()

A./(x)=x'+x:

B./(x)=ln|—

D十JC

C./（x）=sinx+cosx

D.f（x）=ex+e-z

【答案】B

【解析】橢圓的中心為原點(diǎn)，選項(xiàng)B中函數(shù)是奇函數(shù)且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)原點(diǎn)，故是親和函數(shù)。

9.已知點(diǎn)A（—2,。），5（2,0）,2（%,%）是直線(xiàn)丁=1+4上任意一點(diǎn)，以A5為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)P,記

橢圓離心率e關(guān)于M的函數(shù)為e（x°）,那么下列結(jié)論正確的是

A.e與％---對(duì)應(yīng)B.函數(shù)e（x（））是增函數(shù)

C.函數(shù)6（/）無(wú)最小值，有最大值D.函數(shù)e（x（））有最小值，無(wú)最大值

【答案】C

【解析】由題意可得c=2,橢圓離心率e=2.

a

故當(dāng)a取最大值時(shí)e取最小，a取最小值時(shí)e取最大.

PAPg

由橢圓的定義可得|PA|+|PB|=2a,Q=ll+ll

由于|PA|+|PB|有最小值而沒(méi)有最大值，

即a有最小值而沒(méi)有最大值,故橢圓離心率e有最大值而沒(méi)有最小值,故C正確，且D不正確.當(dāng)直線(xiàn)y=x+4

和橢圓相交時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和相等，都等于2a,

故這兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的離心率e相同，故A不正確.

由于當(dāng)xo的取值趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，|PA|+|PB|=2a趨于正無(wú)窮大；

而當(dāng)xo的取值趨于正無(wú)窮大時(shí)，|PA|+|PB|=2a也趨于正無(wú)窮大，

故函數(shù)e（xo）不是增函數(shù)，故B不正確.

故選C.

10.給出下列兩個(gè)命題：命題?：空間任意三個(gè)向量都是共面向量；命題，若a〉0,b>0,則方程

ax2+乃2=1表示的曲線(xiàn)一定是橢圓.那么下列命題中為真命題的是（）

A.pzqB.pyqc.（可）八<7D.（^/?）vq

【答案】D

【解析】命題p:空間任意三個(gè)向量都是共面向量，為假命題;

當(dāng)。=/?>0時(shí)，方程勿2=1表示圓，故q為假命題;

故0A4,pvq,（可）Aq為假命題，（rp）\/q為真命題.

故選：D.

尤2

11.已知橢圓C：a+V=l，A（2,0），點(diǎn)P在橢圓。上，且。尸，B4,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P的

坐標(biāo)為（）

（22⑥（262）（22向（2752）

A.-,±-^B.+-C.——，士D.一一—,±-

33333333

【答案】A

【解析】由題意得，設(shè)P（x,y）,由。尸，B4,則。PLPA,所以

OP=（X,y）?（2—%,—y）=%（2—x）—丁=0,與橢圓方程J+丁2=j聯(lián)立，解得％=|,y=±當(dāng),

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為士,土壬,故選A.

33

\7

12.已知橢圓1_+?=1的焦點(diǎn)為耳，工，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,4）,且/耳P耳為銳角，則力的

取值范圍是（）.

【答案】A

22

【解析】由橢圓三+、=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（—6,。）,耳（6,0）,

設(shè)尸（%,為）,由/耳「鳥(niǎo)為銳角時(shí)，則尸E?朋=片一5+常>0，

22222

又由點(diǎn)尸在橢圓、■+（=：!上，可得￡+號(hào)=1,即其=9（1-?

代入可得9(1—皆)一5+y〉0,整理得此＜不，即―4小

又由當(dāng)先=0時(shí)，此時(shí)/耳「耳=。(不符合題意，舍去)，

所以”的取值范圍是

故選：A.

二、填空題(共20分，每題5分)

22

13.已知橢圓c：L+2L=i,片,F2分別為橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)p橢圓在橢圓上，且|%|=3,則AP片工

1612

的面積為.

【答案】6

【解析】

怛月|+|?笈|=2。=8.」尸耳|=8_3=5；|片瑪|=2o=4

???PF21FXF2.■,S=-\PF2\\PFi\=-x3x4=6

14.已知橢圓土+匕=1及以下3個(gè)函數(shù)：①/(x)=x；②〃x)=sin無(wú)；③/(x)=xsinx,其中函數(shù)圖

169

象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè).

【答案】2

【解析】???①/(x)=x為奇函數(shù)，作出其圖象,

由圖可知“X)=》能等分該橢圓面積；

同理，②/(x)=sinx為奇函數(shù)，能等分該橢圓面積;

③〃x）=xsinx為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于》軸對(duì)稱(chēng),

在y軸右側(cè)為?0,%）時(shí),f（x）＞o,

只有xe（匹4）時(shí)/（力＜0,故不能等分該橢圓面積.

故答案為：2.

22

15.己知橢圓=耳、B分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P。,—I）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。在橢圓上,

則|PQ|+1。制的最大值為.

【答案】5

【解析】|P@+|Q周=|尸@+（4—|。即）=4+（|尸0]—坦聞）44+|尸同=4+1=5,

故答案為：5.

16.一般地，我們把離心率為避二1的橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”.對(duì)于下列命題：

2

22

①橢圓土+＜=1是黃金橢圓;

1612

②若橢圓二+上=1是黃金橢圓，貝b九=66—6；

12m

③在AA3C中，B（-2,0）,C（2,0）,且點(diǎn)A在以5c為焦點(diǎn)的黃金橢圓上，則AABC的周長(zhǎng)為6+2百；

r2y2

④過(guò)黃金橢圓二+=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)/（。,0）作垂直于長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)，交橢圓于A3兩點(diǎn)，則

ab2

22

⑤設(shè)耳，鳥(niǎo)是黃金橢圓C:工+'=1（。〉6〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓C上滿(mǎn)足NRPFz=90°的點(diǎn)P不存

ab~

在.

其中所有正確命題的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

【答案】③④⑤

1J5-1

【解析】對(duì)①，a=4,c=2,e=—,①不正確；對(duì)②，若焦點(diǎn)在x軸上，則“二=‘土’，解得

2V122

m=6y/5-6,若焦點(diǎn)在》軸上，則J*2―-,解得根=61^+6，②不正確；對(duì)③，c=2,

yjm2

c/5-12a+2c=6+2石，③正確;對(duì)④,|陰=里=4a2-c2

=2；=（6-1"④正確；對(duì)⑤,

a2aa

,?,?m+n=2a2

設(shè)1所卜刈P閭』，則｛而:療+后,mn=2/-2c之,而I=_￡,所以mn=2a-2

2a

=（、/?—1）〃，與m+“二？。聯(lián)立無(wú)實(shí)數(shù)解.因此橢圓石上滿(mǎn)足=90。的點(diǎn)尸不存在，⑤正確，故

答案為③④⑤.

三、解答題

17.（10分）已知橢圓M：二+==1（?！?〉0）的焦距為2,點(diǎn)。（0,6）在橢圓M上，過(guò)原點(diǎn)。作直

a~b’

線(xiàn)交橢圓M于A、3兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不是橢圓M的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作左軸的垂線(xiàn)，垂足為“，點(diǎn)C是線(xiàn)段AH

的中點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓M于點(diǎn)P,連接AP

（1）求橢圓M的方程及離心率；

（2）求證：AB±AP.

Y-C1

【答案】（1）橢圓M的方程為二+乙=1,離心率e=—=—；（2）見(jiàn)解析

43a2

【解析】（1）由題可知：2c=2/=6,又儲(chǔ)=^+02

所以c=l,a=2

r2v2C1

故橢圓”的方程為土+匕=1,離心率e=—=—

43a2

（2）設(shè)點(diǎn)A（x,%）,3（-%,-乂）,P（x0,yQ）

由點(diǎn)C是線(xiàn)段AH的中點(diǎn)，所以c[x],年）

2222

由工+里=1①，二+二=1②

4343

2_2

則②-①：為2f,3

5f4

由瓦C,P三點(diǎn)共線(xiàn)，所以凝c=?BP

L="=含，%="

2x14x1x0+%]

則普="=入=與7

4x,%玉3（%+xJ

kAB-kAP=^-%—X=4（%+y）.%-X

X]/一玉3（X0+%1）Xo-%1

即八

所以A3LAP

18.（12分）已知中心在原點(diǎn)。，左焦點(diǎn)為4（-1,0）的橢圓C的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為3,6到直線(xiàn)A5

的距離為立|。5|.

（1）求橢圓C的方程;

2222

（2）若橢圓C]：二+二=1（〃2〉〃〉0）,橢圓G：二方+與=4（2>0,且力wl）,則稱(chēng)橢圓。2是

mn"m"n"

橢圓G的4倍相似橢圓.已知。2是橢圓。的3倍相似橢圓，若直線(xiàn),=辰+人與兩橢圓。2、。交于四點(diǎn)

（依次為P、Q、R、S）,且PS+RS=2QS,試研究動(dòng)點(diǎn)E（左/）的軌跡方程.

f4/2

【答案】（1）土+工=1；（2）竺竺=1.

4393

22

【解析】（1）設(shè)橢圓G方程為：與+工=1（。〉人〉0）n直線(xiàn)A3方程為二+2=ln4（—1,0）到直

ab—ab

線(xiàn)A5距離d=?上”=且十=>。2+方=7（0—1）2,又/=儲(chǔ)一in「=2,5=唐=橢圓g的方

J/+/7

2222

程為K=l；（2）橢圓C]的3倍相似橢圓。2的方程為會(huì)+亍=1，設(shè)Q、H、P、S坐標(biāo),將尸奴+6

代入橢圓G方程n（3+4左2）/+8助x+4〃-12=0=>△]=48（4產(chǎn)+3—匕2）〉0,（*）和

8kb4〃—12,,r------—473（4左2+3—表2）日工用一位

XXx）

石+工2=-3+4）F'12=~3+4^r=>I--r21=+2--4^2=3+4A，2-----，同理可得

8kb4^2-36,,4j3（12/+9-/）曰在小讀

X.+X,=----------------7,%3%4=--------------r，IM-尤41=----------；------=>X[+々=&+%，可得線(xiàn)段P3、

343+442343+4423413+4/1234

QR中點(diǎn)相同n|PQ|=|RS|nPS+RS=2QSnPQ=QRn|PS|=3|QR|n

|%%|=31X]—々In5/^2/+?―/）=§*4{3（4女2=設(shè)左？+9=4步滿(mǎn)足（*）式n動(dòng)

3+4左23+4公

4b24“2

點(diǎn)E（k,b）的軌跡方程為——（=1.

22

試題解析：（1）設(shè)橢圓G方程為：左+方=1（。〉6〉0）,

所以直線(xiàn)A5方程為二+2=1.

-ab

...4（—1,0）到直線(xiàn)A3距離d=中一如=電。,整理得/+〃=73—1）2,

y/a2+b27

又82=/—1,解得a=2,b=上,

22

所以橢圓G的方程為:+g=L

⑵橢圓G的3倍相似橢圓c2的方程為^-+^-=1,

設(shè)。、R、P、S各點(diǎn)坐標(biāo)依次為（X1,%）、（了2，y2）、（X3，丁3）、（/，y4），

將y=辰+5代入橢圓G方程，得（3+4k2）x2+8kbx+4/—12=0,

A=（8妨8―4（3+4左2）（4活_12）=48（4左?+3—〃）＞o,（*）

8kb4/—12

此時(shí),Xy+%2=一%1^2二--------------

3+442123+4女2

453(4左2+3—/)

|王一光21=+%2)2—4%無(wú)2=

3+4F

將丁=辰+人代入橢圓。2方程，得（3+4左2）Y+8劃次+4/—36=0,

8kb4/-36

%/3(12/+9—/)

,,I%3—%41=

3+4產(chǎn)

.?.石+々=%+%4,可得線(xiàn)段PS、QR中點(diǎn)相同，所以|PQ|=|RS|,

由尸S+RS=2QS,可得PQ=QR,所以|PS|=3|QR|,可得|演—/1=3I%—4|,

.4j3(12/+9—/)4,3(44+3—9?)

"3+4——*3+4/即12/+9=4/滿(mǎn)足(*)式,

Ah24G2

故動(dòng)點(diǎn)E（k,b）的軌跡方程為p——；=1.

2222

19.（12分）已知橢圓耳：鼻+七=i（〃〉b〉0）,若橢圓月2：j+-^―=1(^>/?>0,m>1),則

abmamb

稱(chēng)橢圓E2與橢圓片“相似”.

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(、歷,1),且與橢圓4：1+產(chǎn)=1“相似”的橢圓外的方程;

(2)若加=4,橢圓月的離心率為巨，尸在橢圓月2上，過(guò)尸的直線(xiàn)/交橢圓月于A，8兩點(diǎn)，且

2一

AP=AAB-

①若3的坐標(biāo)為(0,2),且;1=2,求直線(xiàn)/的方程;

②若直線(xiàn)OP,的斜率之積為-4，求實(shí)數(shù)2的值.

2

22

【答案】(1)—+^=1;(2)①y=±x+2，②2=-.

42-102

2222

【解析】⑴設(shè)橢圓石2的方程為工+匕=1，結(jié)合橢圓過(guò)點(diǎn)(72,1)可得橢圓E］的方程為］+］=1.

2mm

⑵由題意設(shè)橢圓耳:x2+2y2=2b2,橢圓紇-X2+2y-=8/,設(shè)4%,%),*/，%)，尸(如為)，

①方法一：聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程可得(1+2K)/+8"=O,則

'—8k2-4左2、(8k2+12左21,代入橢圓后2可得20r+4左2—3=0,解得左=土我,

A,P

J+2k2'l+2k\J+2產(chǎn)’1+2/J10

直線(xiàn)/的方程為＞=土畫(huà)x+2.

-10

22

方法二：由題意得6=2,則橢圓片：/+2/=8,E2-.X+2y=32,

設(shè)A(x,y),5(0,2),則P(—x,4—y),聯(lián)立橢圓方程可得左=±尊，則直線(xiàn)/的方程為

y=±?+2.

-10

②方法一：由題意得焉+2y；=8/,x；+2y；=2〃,考+2y；=2〃，結(jié)合AP=2AB，則

XQ+(X—1)X]'%+(X-1)%)

+2=2",

7

S

整理計(jì)算得到關(guān)于2的方程：4+（2-1）-9=22,2=-.

2-Jlb

方法二：不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，直線(xiàn)OP:y=^（左＞0）,與橢圓方程聯(lián)立可得則

41+25

2也bk12bkb

'則'=而隸’結(jié)合

yQ=r-——,直線(xiàn)OP,04的斜率之積為-一，計(jì)算可得%=一/——q

71+2^2,1+242

AP=AAB>可得8)2+(4—1)2?2〃=2^2/,即4+(X—=2?,2=|

試題解析:

22

⑴設(shè)橢圓的方程為三+上=代入點(diǎn)（點(diǎn),得

E21,1）m=2,

2mm'7

22

所以橢圓E2的方程為?+、=1.

⑵因?yàn)闄E圓片的離心率為正，故儲(chǔ)=2尸，所以橢圓與：/+2/=2〃,

2

又橢圓E2與橢圓片“相似”，且機(jī)=4,所以橢圓心：爐+2/=8/,

設(shè)A&，乂），8（孫％），尸（如為），

①方法一：由題意得b=2,所以橢圓g:爐+2/=8,將直線(xiàn)/:y=Ax+2,

代入橢圓耳：—+2/=8得（1+2左2）9+8依=0,

-8左2-4k2

解得X]=]+2左2，々=°,故％=市正辦=2,

'—8k2-442、

所以A

J+2/'1+242,

'8k2+1242、

又AP=2A8，即5為4尸中點(diǎn),所以P

J+242'1+2左2,

2\2

8k(2+1242

代入橢圓反：/+2/=32得I+2=32,

1+24211+242)

即20左4+4左2_3=o,即(10左2—3)(2左2+1)=0,所以左=±嚕,

所以直線(xiàn)/的方程為y=±Y3°x+2.

10

22

方法二：由題意得6=2,所以橢圓與：爐+2/=8,E2-.x+2y=32,

設(shè)A（x,y）,B（0,2）,則P（-羽4-y）,

x2+2y2=81后

代入橢圓得《f+2(4-?=32'解得尸5’故.丁

所以一嚶，

所以直線(xiàn)/的方程為y=±Y30x+2.

-10

②方法一：由題意得需+2y：=8b2,X12+=2b2,xf+=2b2,

即1%西+2%%=0,

X。X]/

XQ+(4—1)石

2

AP=XAB>則(％—玉,%—%)=九(%2一%，%—X),解得<

%

2

\2\2

XQ+(X—1)玉XTM

所以+2'%+()2b2,

、^工-

則x；+2(2-1)玉玉+。T『%；+2y；+4(2—1)為%+2(彳-if才=2A2b2，

(片+2y；)+2(2—1)(5%+2y°y)+(%—l)2(考+2寸)=2A2b2,

所以8〃+(4—ip.2)2=242/,BP4+(1-1)2=22,所以X=g.

方法二：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)直線(xiàn)OP:y=Ax（左＞0）,代入橢圓七2：/+2/=8/,

141b2立bk

解得/=則y=

J1+2左20g2k2

直線(xiàn)OP,QA的斜率之積為―L，則直線(xiàn)。l:y=—工工，代入橢圓耳：必+2/=2/,

22左

2bkb

=—^==T，則%=/——十

41+2/,1+242，

XQ+(2—1)再

2

AP=AAB,貝U(Xo—%，yo—X)=X(X2—X，y2—X)，解得,

%+(%-1)%

%

2

所以]\+(XT)x[+2f%+("1)葉=2bL

則片+2(2_1)/玉+(x_]『X；+2y；+4(2_1)為M+2(2T)2寸=2彳2",

(龍：+2y：)+2(2—1)(尤0石+2%%)+(/1—1)(xf+2y1)=2A2b~,

2bk2222

所以8/+2(2—1)[2?.L}+2乎bk.b[+^-l)-2b=2Ab,

(Jl+2左2(y/l+2k2)g2k2Vl+2^2J

UP8Z?2+(2-l)2-2Z72=22V,即4+(2—=%，所以x=g.

20.(12分)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于橢圓，正方形EFGH和正方形UHK中的頂點(diǎn)E、H、I在橢圓上，頂

點(diǎn)K、H、G在邊AB上，頂點(diǎn)J在邊HE上，已知正方形ABCD與正方形EFGH的面積比為4：1求正方形UHK

與正方形EFGH的面積比（精確到0.001）.

【答案】0.144:1

22「一

【解析】設(shè)橢圓的方程為二+2=1正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2m.則2m,2

a2b2L2j

下十萬(wàn)

2

①x4-q消去。得〃=”5m.

4

0x4-力消去。得“2=5m2?

24V2

于是，橢圓的方程可以寫(xiě)為x二+土二=1,③

5m25m2

[HZ、

設(shè)正方形UHK的邊長(zhǎng)為t.則/[根+/,萬(wàn)+%I.

將點(diǎn)/的坐標(biāo)代入式?得（加+/）2+4（5+4

5m25m2

即5t2+6初—3加=0.解得I=3*2限m（負(fù)值舍去）.

5

2

于是，正方形UHK的面積為d=[-3+2==0』442加

I5J

故正方形IJHK與正方形EFGH的面積比為0.144:1.

22

21.（12分）設(shè)橢圓C：3+與=1（。＞匕＞0）,左、右焦點(diǎn)分別是可、工且閨周=2石似可為圓

ab

心,3為半徑的圓與以F2為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓C上的點(diǎn)K

（1）求橢圓C的方程；

22

（2）設(shè)橢圓E：二+'—=1,「為橢圓。上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)「的直線(xiàn)》=履+機(jī)交橢圓后于4,8兩點(diǎn),射

4a之4b②

線(xiàn)尸0交橢圓E于點(diǎn)。

lod

①求畫(huà)的值；

②令/記=''求△AB。的面積/（'）的最大值.

尤20Q廣

【答案】（1）—+v2=l（2）①工=2②6