四川省眉山市2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義4解斜三角形

解斜三角形：知識(shí)梳理

一正弦定理

1.正弦定理的推導(dǎo)：（法1：面積相等；法2：外接圓中找直徑；）

在△力6c中，若角4B,，所對(duì)的邊分別是a,b,c,〃為△46C外接圓半徑，則

a______b______c___

sinAsinBsinC

2.正弦定理的基礎(chǔ)應(yīng)用

應(yīng)用一：已知兩角及一邊求三角形

注意：].△/火中，已知兩角，則第三角也就已知了；

2.已知某角的一個(gè)三角函數(shù)的值，該角也就已知了，只不過(guò)不是特殊角而已。

jiJI,、

例1.已知△/阿中，A=—B=—,a=l,則6等于（）

6f4

A.2B.1C./D.y[2

_it1

例2.在t△Z6C中t，右b=5,3=7，sinA=~,則a=.

qo

45

例3.（16年全國(guó)卷I）AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=—,cosC=—，a=l,

513

貝ijb=________

應(yīng)用二：已知兩邊及一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角（注意：應(yīng)判斷三角形的個(gè)數(shù)）

法1：幾何法：在△/6C中，已知a泊邊以及A角，解斜三角形

4為銳角力為鈍角或直角

C

cC

圖形吐

A…A'"、?…….--B4

4B

關(guān)系式a=bsinA6sinA《a〈ba^ba>baWb

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解

法2：代數(shù)法：在△/回中，已知。力邊以及A角，解斜三角形

oh

第一步：由一^=—^求出的值；

sinAsmbsin3

第二步：看sinB的值是否比1大，若比1大，則這樣的三角形不存在；

第三步：若sin3的值等于1,這樣的三角形只有一個(gè)

第三步：若sin3的值小于于1,看a是否成立，若成立，這樣的三角形只有一個(gè)；若成

立，則這樣的三角形有兩個(gè)。

1

例1.在AABC中，。=羽6=2,3=45°,若三角形有兩解，則x的取值范圍是:

例2.在△/回中，已知a=2,b=#,2=45°,則滿足條件的三角形有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.無(wú)法確定

例3.AABC中，已知。=5后,。=10,4=30°則C=（）

A.45°B.60°C.135°D.45°或315°

例4.（2017?全國(guó)III卷）△一寬的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知(7=60°,b=#,c—3,

貝I4=.

例5.（2017?全國(guó)I卷）的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a，b,c.已知sin8+sinZ(sinC—cos6)

=0,a=2,c=y[i,則。=()

JIJIJIJI

A訪B.不C-TD.可

應(yīng)用三：邊角互化：邊的齊次式轉(zhuǎn)化為內(nèi)角正弦的齊次式,內(nèi)角正弦的齊次式轉(zhuǎn)化為邊的齊次式

abc

正弦定理的常見(jiàn)變形:(1)a=27?sinA,b—2Rsix\B,c=27?sinC；(2)sin/=^,sin8=^,sin0=礪

⑶a：bc=sin/:sin6:sinC；

兩個(gè)解題意識(shí)：1.只要一個(gè)等式中有邊有角，應(yīng)想到邊角互化；

2.一個(gè)等式中有4B、，三個(gè)角，應(yīng)想到利用/步憶消掉一個(gè)角。

例1.在中，acosA=bcosB,則這個(gè)三角形的形狀為.

例2.在銳角中，若C=2A，貝1J,的范圍（）

h

A.B.|6.2）C.（0.2）D.（V2.2）

例3.(2019全國(guó)一卷17)AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求小(2)若J^a+Z?=2c,求sinC.

2

2、也

例4.的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos。=二一，bcosA+acosB=2,則△A6C的外接

圓面積為（)

A.4兀B.8兀C.9兀D.36兀

二余弦定理：

1.余弦定理的推導(dǎo)：（法1：向量方法；法2：勾股定理法）

在△Z6C中，若角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,則-=62+1—26ccos4A2=c2+a2—2cacosB；

c—a+tf—2abcosC

2.余弦定理的基礎(chǔ)應(yīng)用

應(yīng)用一：已知兩邊及兩邊的夾角求第三邊

C\[5r],\

例1.（2018?全國(guó)II卷）在回中,cos5=5'6-5,則46=()

A.4^/2D.2部

例2.在AABC中,已知角A、B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a=3,c=8,B=60,則sinA的

值是（)

33「3百7

A.—B.c.----

161416

3JI

例3.在中，A=AB=6,4噌，點(diǎn)，在6c邊上，AD=BD,求4?的長(zhǎng).

應(yīng)用二：已知三邊求三內(nèi)角

2I222I2j2

b7-vc~ac-va—b

在△28C中，若角4B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,則JcosA=-------；cosB=---------

IbcZac

2Ij22

a-vb-c

cosC=--z-;

2ab

例1.在△/比■中，AB=5,47=3,BC=1,則/掰C=()

JIJI2JI5兀

A?飛B-TC,亍D-v

例2.三角形的三邊之比為3:5:7,則其最大角為(

B.全?3

C.—7TD.-n

Ay46

例3.（2014?天津）在△四。中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知

2sin￡=3sinC,則cosA的值為.

3

應(yīng)用三：已知兩邊及一邊的對(duì)角求第三邊（注意：能判斷三角形的個(gè)數(shù)）

2

例1.（2016?全國(guó)I卷）△/回的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=也，c=2,cos則

b=（）

A.^/2B./C.2D.3

一7E

例2.（2019全國(guó)二卷15）AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,4c.若b=6,a=2c,3=—,則

3

AABC的面積為.

例3.在AABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,若角A、B、C依次成等差數(shù)列，且

1

a=L/?=g,則5Mge=（）

A.V2B.V3C.—D.2

2

例4.（2017?全國(guó)III卷）△/回的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin/+45cosA=0,a=2巾，

6=2.

⑴求c；⑵設(shè)2為寬邊上一點(diǎn)，且求△/劭的面積.

三面積定理：

1.面積定理的推導(dǎo)：

2.常用的三角形的面積公式：

S=Jx底x高=1邊x邊x兩邊夾角的正弦,x周長(zhǎng)x內(nèi)切圓半徑=」辿”也￡川

2222sinB

注意：已知三邊的三角形的面積的求法：

法1：先求出某角的余弦值，再求出該角的正弦值，最后用面積定理求解。

法2：（海倫公式）S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）其中p=；（a+，+c）

例1.三角形有一個(gè)角是60°,夾在這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)分別為8和5,則它的內(nèi)切圓面積為（）

A.3nB.6兀C.12兀D,兀

例2.（2014?江西）在△49C中，內(nèi)角4B,「所對(duì)的邊分別是a,b,c.若d=（a—6）?+6,C=~,

o

則△/回的面積是（）

4

9m

C.D.3^3

1-2

例3.在△ABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,如果滿足26=a+c,N5=30。,

3

AABC的為面積為一，那么b等于

2

例4.[2018全國(guó)三卷9]"BC的內(nèi)角[的對(duì)邊分別為門(mén)，口，口，若的面積為

C.D.

例5.(18,全國(guó)I卷改編)△/比?的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知AsinC+csin6=4dsin咫in

C,t^+c-a=8,則△/回的面積為()

A.號(hào)B.平C.fD.畢

3363

rr

例6.在△ABC中，內(nèi)角AB,。對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,已知c=2,C=-.

3

(I)若ZkABC的面積等于6,求a,匕；

(II)若sinC+sinCB—A)=2sin2A,求△ABC的面積.

V5Vio

例7.在AABC中，cosA=y,cosB=i鼠，則

(I)求角口;(II)設(shè)，求的面積.

四三角形中常用結(jié)論

1.A+B+C=?O?—+—g

/??、A+BCA+B

2.sin(/十⑹=sinC；cos{A+B)=~cosC；sin-~=cos/；cos---,=:s.inc.

5

3.在△/阿中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，給必^d>b=sin&sin8=>cos水cosB.

6

4.邊長(zhǎng)為。的正三角形：高匚。，面積)一4,外切圓半徑=。，內(nèi)切圓半徑;y_。

2

5.頂角為120°的等腰三角形三邊之比1:1:73

2I,2_2

6.在△26C中，若甘十欣由cosC=a〈0,可知角。為鈍角，則△/勿為鈍角三角形.

Za。b1°

7.直角三角形中的射影定理：在RtAABC中，ZA=90°,ADLBC,

貝UAB?=BDBC;AC?=CDCB;AD?=BDDC。

8.在RtAABC中，a、b為直角邊，c為斜邊，貝URt△ABC的外接圓半徑R=,內(nèi)切圓半徑r=,

斜邊上的高為he=,斜邊被垂足分成兩線段之長(zhǎng)為；

9.重心：(1)定義：三中線的交點(diǎn)。

(2)分中線所成的比：重心把中線分成2:1兩段。

(3)重心坐標(biāo)公式：三頂點(diǎn)坐標(biāo)之和除以3.

(4)中線長(zhǎng)公式：補(bǔ)成平行四邊形，利用平行四邊形定理：對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和。

10.內(nèi)心：(1)定義：三條角平分線的交點(diǎn)。

(2)角平分線定理1：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。

(3)角平分線定理2：角平分線分對(duì)邊之比等于其夾邊之比。

(4)內(nèi)切圓半徑的求法：S=!周長(zhǎng)x內(nèi)切圓半徑。了解正三角形和直角三角形內(nèi)切圓半徑的

2

求法。

11.外心：(1)定義：三中垂線的交點(diǎn)。

(2)中垂線定理：中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

(3)外接圓半徑的求法：正弦定理。了解正三角形和直角三角形外接圓半徑的求法。

12.垂心：定義：三高線的交點(diǎn)。

例1.在AABC中，AB=4,AC=8,6c邊上的中線4?=3,則6C的長(zhǎng)是()

A.2V13B.2vHC.2+V31D.2+V13

例2.在△ABC中，B=60°,AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為

例3.在直角三角形中，斜邊上的高為6cm,且把斜邊分成3：2兩段，則斜邊上的中線的長(zhǎng)為()

A.§娓cmB.4^/6cmC.546cmD.cm

例4.在AABC中，J=60°,c:6=8:5,內(nèi)切圓的面積為12m,則△ABC的外接圓半徑為.

五三大定理綜合應(yīng)用解斜三角形

(一)三大定理的初步綜合：大不了三大定理套

6

例1.在中，cos%=4（a,b,c分別為角4B,C的對(duì)邊），則的形狀為（）

z2c

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

例2.（2021?全國(guó)?高考真題（理））記一ABC的內(nèi)角46,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為白，8=60。，

a2+（r=3ac,貝!Ib=.

例3.（2022?全國(guó)?高考真題）記ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊

長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為5,邑,S3,已知d-S2+S3=孚,sin5=g.

（1）求ABC的面積；（2）若sinAsinC,求

3

例4.（2022?全國(guó)?高考真題（理））記乙回。的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為〃,瓦。，已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

25一.

⑴證明：2Q2=/+°2；(2)若Q=5,cosA=/，求ABC的周長(zhǎng).

例5.（2019?鄭州二模）在回中，4B,。的對(duì)邊分別為2b,c若2cos2-^——cos2C=1,

4sin夕=3sinA,a-b=l,則。的值為（）

A.713B.巾C.y[37D.6

例6.在△力回中，a,b,。分別是內(nèi)角4B,。的對(duì)邊，且分為銳角，若一一sinB=^~,Sw

sin8Zb4

=平，則6的值為.

例7.在△46。中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若/=《，至Uk|=2sin/sin8,

3cosC

且6=6,貝Uc=（）

A.2B.3C.4D.6

例8.在AABC中，已知a2-c2=2"且sinB=4cosAsinC,求b.

7

例9.已知△力6c的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a-ab~21j^.

JI2兀

(1)若方=*7~,求/,C；(2)若。=一丁，c=14,求Sk腕.

63

JT

例10.【2018天津卷15】在ZkABC中，內(nèi)角4夕,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsin4=

(I)求角8的大?。?H)設(shè)爐2,爐3,求6和sin(2A—5)的值.

例H.(2014?浙江)在△/回中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a豐b,°=小,cos2A-cos2B

=^/3sinAcos4—，^sin比osB.

4

(1)求角。的大??；(2)若sinA=-,求△/a1的面積.

5

2

例12.(2017?全國(guó)I卷)△力加的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△/6C的面積為「二二

3sinA

(1)求sin5sinC；(2)若6cosBcosC=l,a=3,求的周長(zhǎng).

(二)多個(gè)三角形問(wèn)題和四邊形中的三角形問(wèn)題：

把已知條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，然后在該三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.或者尋找各個(gè)三

角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正

弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來(lái).

A

例1.(2018?福州模擬)如圖，在△26C中，已知點(diǎn)，在回邊上，ADVAC,sinABAC

=平,AB=3y[2,AD=3,則劭的長(zhǎng)為.BDC

例2.(2022?全國(guó)?高考真題(理))已知.ABC中，點(diǎn)，在邊況上，NAT出=120。,AD=2,8=28。.當(dāng)

會(huì)AT取得最小值時(shí)，BD=.

例3.在△/8C中，〃為8c邊上一點(diǎn)，DC=2BD,AD=y[2,ZADC=45°.若AC=^AB,則初等于（）

A.2+小B.4C.2+/D.3+^5

8

例4.（2021?全國(guó)?高考真題）記ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知〃=改,點(diǎn)

。在邊AC上，BDsmZABC=asinC.

（1）證明：BD=b；(2)若AD=2DC,求cos/ABC.

例5.（15年全國(guó)卷II）MBC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分NBAC,MBD是AVDC面積的2倍。

⑴求然（II）若A￡）=l,OC=正求和AC的長(zhǎng).

2

例6.【2018全國(guó)一卷17】在平面四邊形ABCD中，ZADC=90,NA=45,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB；(2)若DC=2日求3c.

例7.如圖，在△48C中，BD-sinB^CD-sinC,Bg2DC=2pAD=2,

則△/8C的面積為()

A.B.3yC.3^3D.3小

（三）實(shí)際問(wèn)題中的三角形問(wèn)題

1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水

平視線下方叫俯角（如圖1）.

2.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°,北偏西45。等.

3.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

例1.江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°,而且兩

條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距（）

A.10米B.100米C.30米D.20米

例2.（必修5Pli例1改編）如圖所示，設(shè)48兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在/所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)

C,測(cè)出AC的距離為50m,N//=45°,/。6=105°后，就可以計(jì)算出46兩點(diǎn)的距離為（)

A.50^2mB.50^3mC.25-\f2mD.-~~m

例3.（2019?雅禮中學(xué)月考）如圖，兩座燈塔4和8與海岸觀察站C的距離相等,

塔/在觀察站南偏西40°,燈塔6在觀察站南偏東60°,則燈塔/在燈塔方的（

A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°

例4.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到4處時(shí)測(cè)得公路北

側(cè)一山頂，在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)6處，測(cè)得此山頂

在西偏北75°的方向上，仰角為30°,則此山的高度切=m.

例5.（2021?全國(guó)?高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第

一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，DE和尸G是兩個(gè)垂直于水平面且等高的

測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表/朱大，'一

距"，GC和E”都稱為“表目距”，GC與EHj—y

的差稱為''表目距的差”則海島的高AB=:：°

（）

.表高x表距表高x表距表高x表距表高x表距一

A，表目距的差一表回表目距的差一表問(wèn)表目距的差一表距表目距的差表距

例6.（2021?全國(guó)?高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程

為8848.86（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)

示意圖，現(xiàn)有48c三點(diǎn)，且48,C在同一水平面上的投影A',2',C滿足NA，C6=45。，

ZAB'C'=6O°.由C點(diǎn)測(cè)得8點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC的差為100；由8點(diǎn)測(cè)

得力點(diǎn)的仰角為45。，則4。兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)4'-CC'約為

一一二廠十

（6*1.732）（）'「4”

A.346B.373C.446D.473

例7.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C

與D,測(cè)得,/BDC=30°,切=30,并在點(diǎn)。測(cè)得塔頂力的仰角為

60°,則塔高等于()

A.5#B.15^/3C.5$D.15m

例&一艘海輪從4處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40。的方向直線航

行，30分鐘后到達(dá)6處，在。處有一座燈塔，海輪在4處觀察燈塔，其方向是

南偏東70°,在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65°,那么6,C兩點(diǎn)間的距

離是（）

A.10鎘海里B.海里C.28\伺海里D.20鏡海里

例9.（2019?深圳模擬）一架直升飛機(jī)在200m高度處進(jìn)行測(cè)繪,測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30°

和60°,則塔高為（）

40040M200A/3200

A.~~z~mB.—mC.—mD.~~r~m

0000

（四）求相關(guān)量的范圍

1.已知一邊及邊的對(duì)角，求所求量的范圍

3

例1.在AABC中，sinA=—=則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（)

4

B.(10,+oo)C.(0,10)D釁］

例2.（14年全國(guó)卷I）已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角C的對(duì)邊，a=2,且

(2+/7)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則A43C面積的最大值為.

例3.（17年全國(guó)卷I）.在AABC中，角A,B,C成等差數(shù)列且/>，則AABC的外接圓面積為—

例4.（2018?大理模擬）在△/灰中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足asin6=/ZTCOSA.

若a=4,則△成周長(zhǎng)的最大值為.

例5.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且acosC+—c=b.

2

（I）求角A的大?。唬↖I）若”=1,求AABC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

11

例6.（2022?成都測(cè)試）在△板中，AB=2,0=看，則〃+/%的最大值為（）

A.巾B.2^7C.3小D.4小

例7.在△46。中，三個(gè)內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若（gb-sinC）cosA=sinAcosC,且女

=2事,則△極7面積的最大值為.

例8.已知a,b,c分別是內(nèi)角Z,B,。的對(duì)邊，且滿足（d+6+c）（sin6+sin。-sin/）=6sin

⑴求角力的大??；（2）設(shè)a=/,S為△/8C的面積，求S+/cosBcosC的最大值.

例9.（2022?太原調(diào)研）設(shè)△/6C的內(nèi)角A,6,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知△/回的外接圓面積為16n,

且cos'C—cosZjnsinM+sin/sinC,則a+c的最大值為.

2.結(jié)合已知條件，畫(huà)出圖形的草圖，通過(guò)圖形的動(dòng)態(tài)變化確定所求量的范圍

（上面的例1,例2,例7用畫(huà)圖法再做一遍）

例1.AABC中，若46=1,BC=2,則NC的取值范圍是.

例2.（15年全國(guó)卷I）在平面四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,則AB的取值范圍是

A+C

例3.（2019全國(guó)三卷18）2\力比1的內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知asin-----=Z?sinA.

2

（1）求8；（2）若△46C為銳角三角形，且右1,求△力固面積的取值范圍.

3.要利用三大定理，己知條件不夠，引入一個(gè)中間量，所求量用中間量表示出來(lái)

例1.（2014?江蘇）若的內(nèi)角滿足sin/+，Lin6=2sinC,則cosC的最小值是.

例2.已知△4%的內(nèi)角/、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c,sin/+q^sin6=2sinC,6=3,當(dāng)內(nèi)角C最大

時(shí)，△/回的面積等于（）

A9+3第D6+3四劍2乖一由3乖-3乖

A.AD..L..1）..

12

例3.【2018江蘇卷13】在△ABC中，角A氏。所對(duì)的邊分別為Zz4BC=120°,NABC的平分

線交AC于點(diǎn)〃且瓦）=1,則4〃+。的最小值為

cosAsinIB

例4.（2022?全國(guó)?高考真題）記.ABC的內(nèi)角46,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

1+sinA1+cos25

⑵求心三的最小值.

(1)若C=y求民

C

4.建系

例1.若AB=2,AC=y[2BC,則以胸的最大值

解斜三角形：知識(shí)梳理

一正弦定理

1.正弦定理的推導(dǎo)：（法1：面積相等；法2：外接圓中找直徑；）

在△/6C中，若角4B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,〃為△48C外接圓半徑，則

abc

-----=-----=-----=2R.

sinAsinBsinC

2.正弦定理的基礎(chǔ)應(yīng)用

應(yīng)用一：已知兩角及一邊求三角形

注意：[△/6C中，已知兩角，則第三角也就已知了；

2.已知某角的一個(gè)三角函數(shù)的值，該角也就已知了，只不過(guò)不是特殊角而已。

…JIJI

例1.（2018?沈陽(yáng)質(zhì)檢）已知△A5C中，A=—,B=~,a=l,則6等于（）

b4

A.2B.1C.73D.72

答案D

ab得一^b

解析由正弦定理

sinAsinE兀

sin-sin-

64

.?.]=',b=^2.

22

,兀1

例2.在中，若6=5,B=q,sinA=—,貝Ua

T：O

5V2

答案:

例3.（16年全國(guó)卷若

則

13

答案:

應(yīng)用二：已知兩邊及一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角（注意：應(yīng)判斷三角形的個(gè)數(shù)）

法1：幾何法：在△力6c中，已知a,b邊以及A角，解斜二角形

A為銳角A為鈍角或直角

圖形r□u□

關(guān)系式a=6sinAZ?sinA〈水ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解

法2：代數(shù)法：在△47C中，已知氏。邊以及A角，解斜三角形

第一步：由一^=，^出5旭3的值；

smAsinB

第二步：看sin3的值是否比1大，若比1大，則這樣的三角形不存在；

第三步：若sin3的值等于1,這樣的三角形只有一個(gè)

第三步：若sin3的值小于于1,看a之。是否成立，若成立，這樣的三角形只有一個(gè)；若a<6成

立，則這樣的三角形有兩個(gè)。

例1.在AABC中，。=1力=2,8=45°,若三角形有兩解，則x的取值范圍是:

答案：2<x<2后

例2.在中，已知a=2,b=y[6,4=45°,則滿足條件的三角形有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.無(wú)法確定

答案：B

解析：VAsin4=/木,.'"sinA〈a〈b.

???滿足條件的三角形有2個(gè).

例3.AABC中，已知。=5亞,。=10,4=30"則C=（）

A.[C.D.

14

答案：D

例4.（2017?全國(guó)III卷）△49C的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=乖,c=3,

則A=

答案：75。

Acjnr

解析：由正弦定理，得sinB——-

c32

結(jié)合伙c得8=45°,則/=180°-5-<7=75°.

例5.（2017?全國(guó)I卷）△/回的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為ab,c.已知sin8+sin/(sinC—cos6)

=0,a=2,c=y[2f則。=()

JIitJIJI

A——R——r—D.—

1264

答案：B

解析：由題意得sin(/+0+sinZ(sin61—cos0=0,

.'.sinAcosC+cosZsinC+sin/sinC—sinAcosC=0,

則sinC(sinZ+cosA)=y[2sin氏in(/+^j=O,

因?yàn)椤！?0,兀)，所以sin今0,所以sin0+T")=O,

JI3JI

又因?yàn)閐e(0,n),所以/+丁=m,所以

由正弦定理二得—

sinAsm63兀sin6

sin丁

1n

得

貝Hs?na-J\-

u12JIZc=6

應(yīng)用三：邊