重慶市南開中學2023-2024學年高一上學期10月階段測試數(shù)學試題

重慶南開中學高2026級高一上數(shù)學測試10.29本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的值是（）A.2 B.1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合N和并集，分別討論a的值，再驗證即可.【詳解】因為，若，經(jīng)驗證不滿足題意；若，經(jīng)驗證滿足題意.所以.故選：B.2.下列四個圖象中，可以作為函數(shù)圖象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可得答案.【詳解】由函數(shù)的定義可知，對定義域內(nèi)的任意一個自變量的值，都有唯一的函數(shù)值與其對應(yīng)，故函數(shù)的圖象與直線至多有一個交點，只有圖A中圖象符合.故選：A．3.設(shè)命題，則命題的否定為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題解答即得.【詳解】因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題p的否定為．故選：D．4.函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.R【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)定義域即可求得函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，則，則，則函數(shù)的值域為.故選：C5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義判定即可.【詳解】因為，即充分性成立，當，可知，此時不成立，即必要性不成立，故“”是“”的是充分不必要條件.故選：B6.已知集合，則集合A的真子集個數(shù)為（）A.32 B.16 C.15 D.31【答案】D【解析】【分析】根據(jù)以及求出的值，可得集合中元素個數(shù)，再利用公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，即，又，所以或或或或或，當時，，符合題意；當時，，不符合題意；當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，符合題意；所以集合，其真子集的個數(shù)為個.故選：D7.設(shè)，，，則下列說法錯誤的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式證明選項AC正確，D錯誤；利用不等式證明選項B正確.【詳解】因為，，，則，當且僅當時取等號，所以選項A正確；因為，故，當且僅當時取等號,即最小值，所以選項B正確；，當且僅當且即，時取等號，所以選項C正確；，故，當且僅當時取等號，即最大值，所以選項D錯誤．故選：D．8..則當變化時，的最小值為（）A.2020 B.2019 C.2018 D.2017【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系對的值進行討論，從而求出，繼而求出其最小值即可.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，當，在上單調(diào)遞增，所以；當，即時，在上單調(diào)遞減，；當，即時，此時，無最小值；當，即時，，綜上知，的最小值為，故選：二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列命題中為真命題的有（）A.所有的素數(shù)都是奇數(shù).B.的個位數(shù)字不等于2.C.兩個三角形相似的一個充要條件為三邊成比例.D.存在一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù).【答案】BCD【解析】【分析】逐個判斷命題即可.【詳解】對于A：2也是素數(shù)，但2不是奇數(shù)，所以A錯誤；對于B：，則的末位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9，所以B正確；對于C：“兩個三角形相似”，則三邊成比例，“若三角形的三邊成比例”，則這兩個三角形是相似三角形，所以C正確；對于D：當時，為無理數(shù)，則為有理數(shù)，所以存在一個無理數(shù)，他的立方是有理數(shù)，所以D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值可以是（）A.2 B.1 C.2 D.3【答案】CD【解析】【分析】由求出的范圍即可得解.【詳解】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，故選：CD11.有以下判斷，其中是正確判斷的有（）A.與表示同一函數(shù)B.函數(shù)的圖象與直線的交點最多有1個C.函數(shù)的最小值為2D.若，則【答案】BD【解析】【分析】A選項，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)；B選項，根據(jù)函數(shù)定義進行判斷；C選項，利用基本不等式進行求解；D選項，先計算出，從而得到.【詳解】A選項，的定義域為，而定義域為R，故兩者不是同一函數(shù)，A錯誤；B選項，根據(jù)函數(shù)定義，可知的圖象與直線可以無交點，也可以有1個交點，故函數(shù)的圖象與直線的交點最多有1個，B正確；C選項，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，但無解，故等號取不到，的最小值不為2，C錯誤；D選項，，則，故，D正確.故選：BD12.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實數(shù)可能的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】ABD【解析】【分析】由奇偶性聯(lián)立方程得出，進而由得出，構(gòu)造函數(shù)，討論的值，由二次函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題得：是奇函數(shù)，所以；是偶函數(shù)，所以，將代入得：，聯(lián)立，解得：，，等價于，即，令，則在上單調(diào)遞增，①當時，函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，②當時，函數(shù)的對稱軸為，若在上單調(diào)遞增，則，得：③當時，單調(diào)遞增，滿足題意.綜上可得：故選：ABD第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本大題4個小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求解即可.【詳解】由，.故答案為：14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域為，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：15.若函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】首先由函數(shù)的解析式和性質(zhì)，得到函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，即可求解不等式.【詳解】，，即偶函數(shù)，設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)，并且在單調(diào)遞增，不等式，即，則，所以，兩邊平方后得，解得：，所以不等式的解集為.故答案為：16.已知函數(shù)當時，的最小值等于____；若對于定義域內(nèi)的任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】①.②.【解析】【分析】利用分段函數(shù)各區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，求的最小值即可；利用函數(shù)不等式在分段函數(shù)定義域上恒成立，應(yīng)用參變分離法將不等式轉(zhuǎn)化為或即可求的范圍【詳解】(1)當時，時，,得：當時，有最小值為－2，時，，得：當時，有最小值為－3，∴當時，的最小值等于－3(2)定義域內(nèi)的任意,恒成立①時，有，即：恒成立令＝在時，有最小值：∴②時，有，即：恒成立，令在時，有最大值：∴實數(shù)的取值范圍是故答案為：；【點睛】本題考查了求分段函數(shù)的最值問題，及根據(jù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍；利用分段函數(shù)的分段區(qū)間，討論各區(qū)間上最小值，然后比較它們的大小確定整個定義域上的最小值；參變分離法將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為或求參數(shù)范圍四?解答題：本大題6個小題，共70分.17.解不等式：（1）.（2）【答案】17.；18或.【解析】【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)一元二次不等式的解法即得；（2）根據(jù)絕對值不等式的解法可得或，然后利用分式不等式的解法即得.【小問1詳解】由，可得，即，解得，所以不等式的解集為；【小問2詳解】由，可得，或，所以，或，解得，或，所以不等式的解集為或.18.若集合，（Ⅰ）當時，求；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）先由題解出當時的集合，再求；（Ⅱ）若，則或,即或或或，分情況討論即可得到答案．【詳解】（Ⅰ）由題解得或，即；當時，為解得或，即，所以（Ⅱ）若，則或，由（Ⅰ）可知所以或或或當時，，即，此方程無解；當時，，即，解得或；當時，不符合題意，當時，，解得或當時，由韋達定理可得，無解綜上或【點睛】本題考查集合的基本運算，解題的關(guān)鍵是分別求出集合，且若，則，屬于一般題．19.已知二次函數(shù)，且滿足①不等式的解集為：②函數(shù)的圖象過點.（1）求函數(shù)的解折式：（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）是方程的兩個根，由韋達定理求出，結(jié)合圖象過點，得到，從而求出，，得到解析式；（2），求出對稱軸，分，與三種情況，結(jié)合單調(diào)性求出最小值，得到答案.小問1詳解】由題意得是方程的兩個根，所以，故，又的圖象過點，故，所以，解得，所以，所以；【小問2詳解】，對稱軸為，當，即時，在上單調(diào)遞增，故在取得最小值，最小值為，當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在取得最小值，最小值為，當，即時，在上單調(diào)遞減，故在取得最小值，最小值為，故.20.某企業(yè)準備投產(chǎn)一款產(chǎn)品，在前期的市場調(diào)研中發(fā)現(xiàn)：①需花費180萬元用于引進一條生產(chǎn)流水線；②每臺生產(chǎn)成本Q（x）（萬元）和產(chǎn)量x（臺）之間近似滿足Q（x）＝5，x∈N*；（注每臺生產(chǎn)成本Q（x）不包括引進生產(chǎn)流水線的費用）③每臺產(chǎn)品市場售價為10萬元；④每年產(chǎn)量最高可達到100臺；（1）若要保證投產(chǎn)這款產(chǎn)品后，一年內(nèi)實現(xiàn)盈利，求至少需要生產(chǎn)多少臺（而且可全部售出）這款產(chǎn)品；（2）進一步的調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，由于疫情，這款產(chǎn)品第一年只能銷售出60臺，而生產(chǎn)出來的產(chǎn)品如果沒有在當年銷售出去，造成積壓，則積壓的產(chǎn)品每臺將虧損1萬元，試判斷該企業(yè)能否在投產(chǎn)第一年實現(xiàn)盈利．如果可以實現(xiàn)盈利，則求出當利潤最大時的產(chǎn)量；若不能實現(xiàn)盈利，則說明理由．【答案】（1）至少生產(chǎn)并銷售63臺這款產(chǎn)品，才能實現(xiàn)盈利；（2）可以實現(xiàn)盈利，利潤最大時，產(chǎn)量為89臺．【解析】【分析】（1）由題意可得利潤函數(shù)為f（x）＝[10﹣Q（x）]x﹣180，0＜x≤100，x∈N*，由f（x）＞0求解不等式得答案；（2）把利潤函數(shù)f（x）變形，再由基本不等式求最值．【詳解】（1）由題意可知該商品的利潤函數(shù)為：f（x）＝[10﹣Q（x）]x﹣180，0＜x≤100，x∈N*，則由，解得x≥63．∴至少生產(chǎn)并銷售63臺這款產(chǎn)品，才能實現(xiàn)盈利；（2）由（1）可知，當產(chǎn)量0＜x≤60，x∈N*時，無法實現(xiàn)盈利；當產(chǎn)量60＜x≤100，x∈N*時，由題意可知利潤函數(shù)為f（x）＝[10﹣Q（x）]60﹣（x﹣60）﹣180．化簡得f（x）＝181﹣[]．當且僅當x＝89時等號成立．∴可以實現(xiàn)盈利，利潤最大時，產(chǎn)量為89臺．【點睛】本題考查分式函數(shù)模型的實際應(yīng)用，涉及利用基本不等式求最值，屬綜合基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù)，且滿足.（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明：（2）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先求得的值，再利用函數(shù)單調(diào)性定義即可求得在上的單調(diào)性；（2）先求得在上的值域和在上的值域，再利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)滿足，可得，解之得，則，在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)任意，且，則，由，可得，又，，則，則，則在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】對任意的，由在上單調(diào)遞增，可得，即，則在上的值域為對稱軸，當時，在上為增函數(shù)，值域為，由題意可得，則，解之得；當時，在上為減函數(shù)，值域為，由題意可得，則，解之得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)，其中常數(shù)．（1）若函數(shù)分別在區(qū)間，上單調(diào)，試求的取值范圍；（2）當時，方程有四個不相等的實數(shù)根，，，．①證明：；②是否存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，且的取值范圍為．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；證明見解析，(2)【解析】【分析】（1）原函數(shù)即，可設(shè)，運用雙勾函數(shù)分析；（2）當時，方程即為或，由韋達定理可證明．結(jié)合函數(shù)圖像及其單調(diào)性，分類討論分別在四個單調(diào)區(qū)間內(nèi)去求解，最后求并集即可．【詳解】（1）原函數(shù)即設(shè)∵∴函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào)且要使函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào)則只需所以的取值范圍為（2）①當時，或即或∵為方程的四個不相等的實根∴由根與系數(shù)的關(guān)系得②如圖，可知，在、、、均為單調(diào)函數(shù)（Ⅰ）當時，在上單調(diào)遞減則兩式相除整理得∵∴上式不成立即無解，無取值.（Ⅱ）當時，在上單調(diào)遞增則即在有兩個