湖北省部分高中2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)考試題含解析

湖北省部分高中高二九月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

★祝考試順利★

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

I已知直線4：2x+2y-l=0,/2：4x+〃y+3=0,/3：，〃x+6y-l=0,若“/4且，~L4,則加+”的值

為（）

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由兩直線的平行與垂直求得〃，加值后可得結(jié)論.

4〃3

【詳解】由題意一=—k一,〃=4,2m+12=0.m=—6,

22-1

所以m+n=-2.

故選：C.

2.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間［0,10］內(nèi)的

一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某市居民，他們的幸福感指數(shù)為3,4,

5,5,6,7,7,8,9,10,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先計(jì)算80%分位數(shù)的位置，再求出這個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由題意，這10個(gè)人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列，

因80%xl0=8，

所以這10個(gè)人的80%分位數(shù)為幺上=85

2

故選：C.

3.己知三棱錐O-A6C中，點(diǎn)材為棱。4的中點(diǎn)，點(diǎn)。為_(kāi)45c的重心，設(shè)。4=。，OB=b，OC=c，

則向量MG=（）

A.——a+-b-\"-cB.—a——h——cC.-a+-b+—cD.——a+—b——c

633633633633

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意知0G='a+,6+,c,OM=-a,

3332

.-111

則MG=OG—OM=——a+-b+-c,

633

故選：A

4.從裝有2個(gè)紅球、4個(gè)白球的袋子中任意摸出2個(gè)球，事件A=“至少有1個(gè)紅球"，事件B="至多

有1個(gè)白球”，則（）

A.P（A）＜P（B）B.P（A）=P⑻

C.P（4B）=P（A）+P（B）D.P（A）+P（B）=1

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型的概率公式求出尸（A）,P（B）,即可得到答案

【詳解】記2個(gè)紅球分別為。，。，4個(gè)白球分別為4,8,C,。，

則從袋子中任意摸出2個(gè)球的所有情況為：ab，aA,aB,aC,aD,

bA,bB,bC,bD,AB，AC,AD,BC,BD，CD,共15種，

其中事件A=“至少有1個(gè)紅球”包括：ab,aA,aB,aC,aD,

bA,bB,bC,bD,共9種，

事件8=“至多有1個(gè)白球”包括：ab,aA,aB,aC,aD,

bA,bB,bC,bD,共9種，

9393

故P（A）P⑻

15515-5

：.P（A）=P（B）,

故選：B

5.數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一

條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知一A8C的頂點(diǎn)分別為A（3,I）,8（4,2）,。（2,3）,則ABC的

2

歐拉線方程為()

A.x+y-5=0B.x+y+5=0

C.x—y-]=0D.x+2_y—7-0

【答案】A

【解析】

【分析】求出重心坐標(biāo)，求出邊上高和4C邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出

歐拉線方程.

【詳解】由題可知，.A3C的重心為G(3,2),

1-2

可得直線46的斜率為——=1,則46邊上高所在的直線斜率為-1，

3-4

則方程為y-3=—(%—2),即x+y—5=0,

直線4C的斜率為？」=-2,則〃■邊上高所在的直線斜率為:，

2-32

則方程為y-2=g(x—4),即x—2y=0,

_12

x+y—5=0X~3f105^

聯(lián)立方程〈.八，解得〈：，即_他。的垂心為“刀,彳，

x-2y=0_5\33y

2--

則直線0/斜率為一需=-1，則可得直線打方程為y—2=一(尤一3),

3----

3

故一ABC的歐拉線方程為x+y-5=0.

故選：A.

6.一個(gè)透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體容器，則水面在容器

中形成的所有可能的形狀是()

①三角形②非正方形的菱形③五邊形④正方形⑤正六邊形

A.②④B.③④⑤C.②④⑤D.①②③④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】正方體容器中盛有一半容積的水，無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過(guò)正方體的中心，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為過(guò)正方體中心，作正方體的截面問(wèn)題.

3

【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過(guò)正方體的中心，

過(guò)正方體一面上一邊的中點(diǎn)和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，且不為正方

形，所以②是正確的；

過(guò)正方體一面上相對(duì)兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，所以④是正確的;

過(guò)正方體的一個(gè)面相鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以⑤是正確的;

過(guò)正方體的中心的平面截正方體得到的截面，且該截面將正方體的體積平分，顯然截面不能是三角形和五

邊形；

故選：C.

7.定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算a③匕=忖?1卜足,力），則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立

的有（）

B.（a<S）A?）（S）c=a（2）（b（2）c）

C.（a+h]?c^（a?c\+（b?c]

4

D.若"=(占,乂)，人=(々，%)，則=1y2-工2叩

【答案】D

【解析】

【分析】A.按；I的正負(fù)分類(lèi)討論可得，B.由新定義的意義判斷，C.可舉反例說(shuō)明進(jìn)行判斷，D.與平面

向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，用數(shù)量積求出兩向量夾角的余弦值，轉(zhuǎn)化為正弦值，代入計(jì)算可判斷.

【詳解】A.(Atz)?/>=|/l6(||/J|sin<Aa,b>,

2>0時(shí)，</la,/?>=<a,Z?〉，(Atz)0^=/l|fl||Zj|sin<a,Z?>=/l(a0/?),

4=0時(shí)，==0,成立，

2<0ff'f,<Aa,b>-n-<a,b>,sin<Aa,b>=sin(^--<a,h>)=sin<a,h>

(zla)0^=-A|a||^|sin<a,Zj>=-A(tz0/?),

綜上，A不恒成立；

B.。(8)人是一個(gè)實(shí)數(shù)，(aG)匕2c無(wú)意義，B不成立；

C.若￡=(0,1)出=(1,0),c=(l,l),則a+b=(l,l),

<a+b,c>=0<(a+〃)區(qū)c=[a+4Msin0=0x0x0=0,

71,71

<a,c>=一,<b,c>=一,

44

(a(8)c)+(b(8)c)=1xV2xsin+1xV2xsin=2,

(a+Z?)(S)cH(a(8)c)+R(8)c),C錯(cuò)誤;

D.若a=(X],yJ,6=5，%)，則卜卜,慟=加+y；,

cos<a,b>=/*W+")2

M+寸xJ-+￡

|%%一9必|

sin<a,b>=Jl-cos2<a,b>=11---,

V(x；+y；)(￥+￡)“X；+才)(考+工)

所以a0^=|?||^|sin<a,^>=|xfy2-x2|,成立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是理解新定義，并能運(yùn)用新定義求解.解題方法一種方法

是直接利用新定義的意義判斷求解，另一種方法是把新定義與向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，把新定義中的

5

sin<>用cos<a,b>,而余弦可由數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算.

8.八卦文化是中華文化的精髓，襄陽(yáng)市古隆中景區(qū)建有一巨型八卦圖(圖1),其輪廓分別為正八邊形

ABCDEFGH和圓0(圖2),其中正八邊形的中心是點(diǎn)0,魚(yú)眼(黑白兩點(diǎn))P,Q是圓0半徑的中點(diǎn)，

且關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，若04=8近，圓。的半徑為6,當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動(dòng)(即圓面。及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí),

P4QC的最小值為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算,化簡(jiǎn)得到PA?QC=—9+0P?C4,結(jié)合（0P,CA）e[0,兀],

進(jìn)而求得P4QC取得最小值，得到答案.

【詳解】由題意，點(diǎn)P,Q是圓0半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，設(shè)P,。的位置，如圖所示,

在八卦圖中，知。A_LOC,OQ=—。2，

又由倒=8夜,同卜匹卜3,國(guó)卜16,

則由PAQC=(OA-OP)(OC-OQ)=OAOC+OPOQ-OPOC-OAOQ

=0-9+0P(QA-0C)=-9+OPC4=-9+3xl6cos(OP,C4),

當(dāng)八卦圖轉(zhuǎn)動(dòng)(即圓面0及其內(nèi)部點(diǎn)繞0轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，(OP,CA)e[0,7t],

當(dāng)時(shí)，PAQC取得最小值，最小值為—9+3xl6cos7t=—57.

故選：C.

6

AB

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的有()

A.若直線y="+匕經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則仕力)在第二象限.

B.直線版一丁一2左+3=0不過(guò)定點(diǎn).

C.過(guò)點(diǎn)(2,-1),且斜率為-右的直線的點(diǎn)斜式方程為y+l=-G(x-2).

D.斜率為-2,且在>軸上的截距為3的直線方程為y=-2x±3.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)定義一一判定即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若直線>=依+8經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則％<0力>0,即仕力)在第二象限正確；

對(duì)于B項(xiàng)，直線方程立一了一2左+3=0可化為A:(x—2)=y—3,易知X=2時(shí)y=3,故該直線過(guò)定點(diǎn)(2,3),

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由點(diǎn)斜式方程的定義可知其正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由斜截式方程的定義可知斜率為-2,且在V軸上的截距為3的直線方程為y=-2x+3,即D

錯(cuò)誤.

故選：AC

IT

10.在二ABC中，內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為且。=1,A=],則()

A.b=2as\r\BB.sinB=bsinA

lllUlUUIUI

c..ABC周長(zhǎng)的最大值為3D.的最大值為5

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于AB,利用正弦定理判斷即可，對(duì)于C,利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷，對(duì)于D,由選項(xiàng)

7

C可知從+c2-bc=i，結(jié)合基本不等式可得bqj,從而可求出AB?AC的最大值

a_b

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)锳=J,所以由正弦定理得.萬(wàn)=而萬(wàn),所以匕=2口.sinB，所以A錯(cuò)誤.

3sin—3

3D

對(duì)于B,因?yàn)椤?1,所以由正弦定理得一!一=-^,所以sinB=AinA,所以B正確.

smAsinB

?222122ii

對(duì)于c,根據(jù)余弦定理得cosA=+C-。=+匚=工，所以/+一兒=1,即S+c）2-3bc=1,

2bc2bc2

所以S+c）2—3機(jī)，=LS+c）2—=-（b+c）2,所以8+c,,2,當(dāng)且僅當(dāng)。=c=l時(shí)，等號(hào)成

I2）4

立，所以b+c+lW3,所以C正確.

對(duì)于D,由選項(xiàng)C可知尸+c，2-0c=l，所以〃+。2=1+歷..2秘，則比，1，當(dāng)且僅當(dāng)。=c=l時(shí)，等

號(hào)成立.AB-AC=bccosA=—bc?—>所以D正確.

22

故選:BCD

11.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，

記事件/為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件6為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件C為“兩次能

看見(jiàn)的所有面向上的數(shù)字之和不小于15”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件/與事件8相互獨(dú)立

B事件/與事件B互斥

3

C.P(AoB)=-

D.P(C).

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)古典概型求尸（A）,尸（B）,P（A3）,結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件分析判斷；對(duì)于C：

根據(jù)事件的運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)古典概型運(yùn)算求解.

21

【詳解】由題意可知：第一次向下的數(shù)字為1,2,3,4,共4個(gè)基本事件，則P（A）=w=]

設(shè)（a,b）為連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次向下的數(shù)字組合，其中。為第一次向下的數(shù)字，〃為第二次向

下的數(shù)字，

8

則有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,

共16個(gè)基本事件，

Q1

可知事件8包含（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,3），共8個(gè)基本事件,則P（B）=捺=：,

162

事件包含（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,共4個(gè)基本事件，則P（A8）=±=[,

164

可知P（A）P（6）=；=P（A5）NO,

所以事件力與事件6相互獨(dú)立，且事件1與事件6不互斥，故A正確，B錯(cuò)誤；

1113

因?yàn)镻（A8）=P（A）+P（8）—P（AB）=]+5-故C正確；

事件C等價(jià)于為“兩次向下的數(shù)字之和小于等于5”，

包含（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（21）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,共10個(gè)基本事件，

則P（C）=—故D正確；

168

故選：ACD.

12.如圖，在正方體A5CD-AUGA中，A6=l，點(diǎn)"在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的

是（）

A.若M為棱CG的中點(diǎn)，則直線AG〃平面

B.若材在線段8G上運(yùn)動(dòng)，則CM+MD,的最小值為2+6

C當(dāng)出與2重合時(shí)，以，〃為球心，坐為半徑的球與側(cè)面網(wǎng)”的交線長(zhǎng)盯

D.若"在線段8,上運(yùn)動(dòng)，則必到直線CC的最短距離為1

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于A：作AC,BD交點(diǎn)、O,連接可證AGOM,進(jìn)而得到AG〃平面BOAZ；對(duì)于

B：展開(kāi)△5GA與BCG到同一平面上，由兩點(diǎn)間直線段最短，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；對(duì)于C：2在

9

側(cè)面上的射影為q,確定交線為以C1為圓心的圓弧，結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解；對(duì)于D：根據(jù)垂直關(guān)

系分析可知直線與直線CG的距離為OC,當(dāng)M為8。中點(diǎn)，E為CC1中點(diǎn)時(shí)，可得M￡=oc，

即能找出此點(diǎn)恰在BO］上.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：作AC,BD交點(diǎn)0,連接OM,

因?yàn)椤锳C中點(diǎn)，，1/為棱CC,的中點(diǎn)，則AC,//OM,

且QMu平面BDM，AC,(Z平面BDM，所以AC1〃平面BDM，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：展開(kāi)△8GA與BCG到同一平面上如圖:

可知CM+MD1>CD,=^l2+l2-2xlxlxcosl35°=也+血，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：材與2重合時(shí)，在側(cè)面GC上的射影為G,

故交線是以G為圓心的一段圓弧G個(gè)圓)，且圓半徑”

2

1兀

故圓弧長(zhǎng)=一乂2"=一，故C正確;

44

10

對(duì)于選項(xiàng)1）：取8。的中點(diǎn)。，則OC±BD,

因?yàn)?。〃，平面ABC。，OCu平面ABC。，則。

且8。DD[=D,8。,。，u平面,所以O(shè)C_L平面6。2片，

由BD}u平面BDD&I,則OC1BD],

又因?yàn)镈Q//CC,,則OC1CC,,所以直線BD}與直線CC,的距離為OC,

當(dāng)M為6,中點(diǎn)，￡為CG中點(diǎn)時(shí)，

則且OM且CE〃DD[,KC￡=|DD,,

可得OM//CE,且OM=CE,可知OCEM為平行四邊形,

則ME//OC,且ME=OC，

所以何E為"到直線CC,最短距離也，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

2

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線1的一方向向量為（1,百）.則直線1的傾斜角為

【答案】608#1

【解析】

【分析】根據(jù)直線斜率公式結(jié)合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)斜率求解傾斜角.

11

【詳解】解：因?yàn)橹本€，的一方向向量為(i,G),

所以直線/的斜率為％=后，，

設(shè)直線1的傾斜角e,則ee[o,萬(wàn))，

所以tan6=6，即。=60.

故答案為：60

14.已知。=(2,—1,3))=(一l,4,2),c=(—3,5,2),若2,己c三向量共面,則實(shí)數(shù)知=.

【答案】-1

【解析】

【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定X的值.

【詳解】由題意可知，存在實(shí)數(shù)，"》"滿足：c=7wa+“〃，

-3=2m-n

據(jù)此可得方程組：,5=-m+4〃，求解方程組可得：-〃=1.

A-3m+In2=—1

故答案為-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量基本定理，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解

能力.

15.某校高二年級(jí)有男生400人和女生600人，為分析期末物理調(diào)研測(cè)試成績(jī)，按照男女比例通過(guò)分層隨

機(jī)抽樣方法取到一個(gè)樣本，樣本中男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為10,女生的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差

為20,由此可以估計(jì)該校高二年級(jí)期末物理調(diào)研測(cè)試成績(jī)的方差為.

【答案】112

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，利用平均數(shù)以及方差的計(jì)算，建立方程，可得答案.

【詳解】由400:600=2:3,不妨設(shè)樣本由男生2人和女生3人組成.由題設(shè)：

2222

；(%+%)=80,1[(X1+X^)-2X80]=10,解得藥+々=160,^+x^=2(80+10)=12820；

g(X+%+%)=60,g[(y；+￥+y；)-3x6°1=2°

解得y+%+為=】80,犬+￡+父=3(602+20)=10860；

12

所以樣本的平均分7=((160+180)=68,樣本的方差S2=([(12820+10860)—5x68?]=112.

故答案為：112.

16.《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)

有陽(yáng)馬P—ABCD(如圖)，PA_L平面ABC。，PA=AB^2,AD=6,點(diǎn)E，/分別在AB，BC

上，當(dāng)空間四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐P-A"外接球的表面積為.

【解析】

【分析】把ARPB剪開(kāi)，使得△PA8與矩形ABCO在同一個(gè)平面內(nèi).延長(zhǎng)。。到M，使得GW=OC,

則四點(diǎn)尸'，E,凡M在同一條直線上時(shí)，PE+EF+&)取得最小值，即空間四邊形PE/7)的周長(zhǎng)取得最

1DF

小值.可得3=一尸'。=4,8尸=2.設(shè)的外心為Q，外接圓的半徑為八則2r=--------,利

2sin45°

用勾股定理進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，把AP,PB剪開(kāi)，使得△PA5與矩形ABCQ在同一個(gè)平面內(nèi).

延長(zhǎng)。。到M使得CM=DC，則四點(diǎn)P，E,凡"在同一條直線上時(shí)，PE+所+也＞取得最小值，即

空間四邊形PEED的周長(zhǎng)取得最小值.

在△P'MD中，，是助9的中點(diǎn)，又b〃P'。，得CF=，P￡)=4,BF=2.

2

設(shè)△AED的外心為。?，外接圓的半徑為r,由AB=BF=2得ZFAD=45，

DF7CF+C?=.4?+22=26，則2r=^^=2石x亞=2質(zhì)，BPr=V10.

13

設(shè)三棱錐尸—AW外接球的半徑為只球心為“連接。。，則。。=g/M=gx2=l,

則/?2=r+。?！?.2+[2=1]

所以三棱錐P-AD戶外接球的表面積等于4成2=44兀.

故答案為：44K.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,l）,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.

（2）己知」WC的頂點(diǎn)A（2』），48邊上的中線，所在的直線方程為2x+y-1=（）,“'邊上的高H/所

在直線方程為x-y=（）,求直線的方程;

【答案】（1）x+y-3=（）；（2）6x+y+7=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件及直線的截距式方程即可求解；

（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在直線上，結(jié)合直線垂直斜率的關(guān)系及兩直線相交求交點(diǎn)的方法，再利用直線

的兩點(diǎn)式方程即可求解.

【詳解】（1）設(shè)直線在x，＞軸上的截距分別為

當(dāng)。=。=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線斜率％=上0=,，

2-02

，直線方程為y=即x-2y=0：

當(dāng)。=/,H0時(shí)，可設(shè)直線方程為x+y=a,則a=2+l=3,

直線方程為x+y-3=（）；

（2）由題意知：點(diǎn)3在直線x-y=0上，則可設(shè)6（〃2/九），

14

m+2m+1

A8中點(diǎn)為2,-T-

-加+2m+1<八Ep

/.2x--------1---------1=0,解得：m=-\,

22

5(—1,—1)

BHLAC,

「?々AC二一1，

???直線AC方程為：y-l=-(x—2),即x+y_3=0,

fx+y-3=0x=-2

111[2x+y-l=0得:）即C（-2,5）；

y=5

y+1_x+1

直線BC的方程為:即6x+y+7=0；

5+1--2+l

18.在.A8C中，力,c分別為內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，acosC+（2/?+c）cosA=0.

（1）求4

7

（2）若。是線段BC的中點(diǎn)，且4。=—,AC=5,求_A8C的面積.

2

2兀

【答案】（1）A=y

（2）10x/3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解即可：

（2）法一：取AC中點(diǎn)E，連接OE，在VAOE中，利用余弦定理可得。E=4,進(jìn)而可得A3，再利

用面積公式運(yùn)算求解；法二：根據(jù)中線的向量關(guān)系可得2AD=AB+AC，結(jié)合數(shù)量積可得A6,再利用

面積公式運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閍cosC+（2匕+c）cosA=0,

根據(jù)正弦定理邊角互化得sinAcosC+2sinBcosA+sinCcosA=0,

整理得sin（A+C）+2sin58sA=0,BPsinB+2sinBcosA=0,

15

因?yàn)锽e(0,兀)，則sinBwO,

可得cosA=-g,且Ae(O,7i),所以A=5.

【小問(wèn)2詳解】

法一：如圖，取AC中點(diǎn)E，連接。E，

因?yàn)椤Ｊ蔷€段BC的中點(diǎn)，所以。E//AB,￡>E=LA3,

2

r\r-j

又因?yàn)閆BAC=」，AO=—,4C=5，

32

K57

在VADE中，NAEO=—,AE=-,AO=—,

322

492551

由余弦定理AD2^AE2+DE2-2AE-DEcosZAED.即一7二下+0七？—ZxqxOEx”,

4422

3

整理得20^2一5。七一12=()，解得DE=4或。E=-一(舍去)，

2

可得AB=2DE=8,

11/a

所以_ABC的面積為S=—AB-AC-sinA=—x8x5x±=10百；

222

法二：因?yàn)镺是線段8C中點(diǎn)，則2A￡)=A8+AC，

?口UUUloUUflUUU-49.-.7c.nu/CU

可得4Ao=AB2+2ABAC+AC2'即4X1=A8+2ABx5xl--1+25,

可得AB?-5AB-24=0，解得AB=8或AB=-3(舍去)，

iin

所以一ABC的面積為S=—AB-AC-sinA=—X8X5X4=10百.

222

19.已知函數(shù)/(x)=a?-法—1,集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分別從集合凡。中隨機(jī)抽取一

個(gè)數(shù)a和方，構(gòu)成數(shù)對(duì)(a,6).

(1)記事件/為“函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8)”，求事件4的概率；

(2)記事件夕為“方程|/(x)|=2有4個(gè)根”，求事件6的概率.

16

【答案】(1)-

4

⑵H

16

【解析】

【分析】(1)列舉樣本空間所有的樣本點(diǎn)，依題意有。=2。，列舉滿足條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率

公式計(jì)算；

(2)依題意有廿〉4。，列出所有符合條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算.

【小問(wèn)1詳解】

由題知ae{1,2,3,4}力e{2,4,6,8},所以，數(shù)對(duì)知,6)的可能取值為:

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16對(duì).

b

若函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,住)，則函數(shù)"X)的對(duì)稱軸為X=——=1,即b=2a

2a

所以，滿足條件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),共4對(duì)，

41

所以，事件力的概率為P(A)=—=一

164

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椤?gt;0,二次函數(shù)開(kāi)口向上，

所以,方程l/(x)l=2有4個(gè)根，即〃x)=2和/(幻=一2各有2個(gè)根，

所以，二次函數(shù)/。)=必2一加一1的最小值小于一2.

—4〃一h~

所以<—2,即^>4a，

4a

滿足條件的基本事件有:(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11對(duì),

所以，事件8的概率P(B)=E.

16

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A6C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且

7T

/尸4。=一，點(diǎn)/為棱PC上的點(diǎn)，平面AD尸與棱P3交于點(diǎn)￡.

2

17

p

(1)求證：EFHAD-.

(2)若PB上FD，AE=e，求證：平面平面ABCO.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)先證得AD//平面PBC,然后利用線面平行的性質(zhì)定理來(lái)證得EF//AD.

(2)通過(guò)證明API平面A8CD來(lái)證得平面RLO_L平面ABCD.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AD〃BC,

BCu平面P8C，ADg平面P8C,所以AD〃平面P8C,

又因?yàn)槠矫鍭DF與PB交于點(diǎn)E，ADu平面ADFE，

平面PBCc平面ADFE=EF，所以EF//AD.

【小問(wèn)2詳解】

7T

側(cè)面24。為等腰直角三角形，且/24。=彳，即Q4=AT>=2，PA±AD，

2

因?yàn)锳DIAB，PAAB=A,且兩直線在平面RW內(nèi)，可得AO,平面Q4B，

因?yàn)镻Bu平面以5，則AO_LP3.

又因?yàn)槭珺LFD，ADED=。，且兩直線在平面AO莊內(nèi)，

則依，平面ADFE，

因?yàn)锳Eu平面ADFE，則PBLAE,

因?yàn)锽4=A5,所以‘TVS為等腰三角形，所以點(diǎn)E為總的中點(diǎn).

又因?yàn)?所以為等腰直角三角形，

因?yàn)锳DJ_AP,ABLAP,AD\A3=A,AD,A3u平面ABC。，

所以API平面ABC。，因?yàn)锳Pu平面4PO,所以面AP￡>,平面A3CZ).

21.“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”

18

Y

的計(jì)算公式為L(zhǎng)=1-一，其中/為難度系數(shù)，y為樣本平均失分，/為試卷總分（一般為100分或150分）.某

W

校高二年級(jí)的老師命制了某專題共5套測(cè)試卷（總分150分），用于對(duì)該校高二年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)

試，測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示:

試卷序號(hào)i12345

考前預(yù)估難度系數(shù)40.70.640.60.60.55

測(cè)試后，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:

試卷序號(hào)i12345

平均分/分10299939387

（1）根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；

（2）試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差，設(shè)為第/套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù)，并定義統(tǒng)

計(jì)量-4）2+（4—+（"—4）［，若S<0.001,則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，

否則認(rèn)為不合理.以樣本平均分估計(jì)總體平均分，試檢驗(yàn)這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理.

（3）聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時(shí)解答上述試卷易錯(cuò)題進(jìn)行“智力競(jìng)賽”，規(guī)則如下:

雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計(jì)?0分，先多得2分者為勝方.若在此次

競(jìng)賽中，聰聰選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿閨,明明選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿楦黝}的結(jié)果相互獨(dú)立，二人

約定從0:0計(jì)分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.

【答案】（1）96分;

（2）預(yù)估合理（3）|

【解析】

【分析】（1）根據(jù)考前預(yù)估難度系數(shù)即可求出平均分；

（2）計(jì)算出各試卷難度系數(shù)，求出統(tǒng)計(jì)量，即可預(yù)估這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理；

（3）根據(jù)規(guī)則即可求出聰聰3:1獲勝的概率.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，

19

Y

由試卷2的難度系數(shù)0.64=1-----,

解得平均失分：丫=54,

...這480名學(xué)生第2套試卷的平均分為150-54=96分;

【小問(wèn)2詳解】

由題意及(1)得，

0.62,

1150-150r150

,,150-93150-87

L.-1---------=0.62,4=1一=0.58,

150150

222

則S=([(0.68-0.7『+僅66-0.64『+(062_06)+(0.62-0.6)+(0.58-0