第04講一次方程及方程組（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第04講一次方程及方程組（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會解一元一次方程；2.了解二元一次方程組的定義，會用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會方程思想和轉(zhuǎn)化思想.【知識導圖】【考點梳理】一、一元一次方程1.等式性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為零），結(jié)果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的過程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化成1；⑥檢驗(檢驗步驟可以不寫出來).要點詮釋：解一元一次方程的一般步驟步驟名稱方法依據(jù)注意事項1去分母在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）等式性質(zhì)21、不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；2、分子是多項式的一定要先用括號括起來.2去括號去括號法則（可先分配再去括號）乘法分配律注意正確的去掉括號前帶負數(shù)的括號3移項把未知項移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項移到另一邊（右邊）等式性質(zhì)1移項一定要改變符號4合并同類項分別將未知項的系數(shù)相加、常數(shù)項相加1、整式的加減；2、有理數(shù)的加法法則單獨的一個未知數(shù)的系數(shù)為“±1”5系數(shù)化為“1”在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)（或方程兩邊同時乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）等式性質(zhì)2不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計算出結(jié)果.①若左邊＝右邊，則x=a是方程的解；②若左邊≠右邊，則x=a不是方程的解.注：當題目要求時，此步驟必須表達出來.說明：（1）上表僅說明了在解一元一次方程時經(jīng)常用到的幾個步驟，但并不是說，解每一個方程都必須經(jīng)過六個步驟；（2）解方程時，一定要先認真觀察方程的形式，再選擇步驟和方法；（3）對于形式較復雜的方程，可依據(jù)有效的數(shù)學知識將其轉(zhuǎn)化或變形成我們常見的形式，再依照一般方法解.二、二元一次方程組1.二元一次方程組的定義兩個含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組.要點詮釋：判斷一個方程組是不是二元一次方程組應從方程組的整體上看，若一個方程組內(nèi)含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組．2.二元一次方程組的一般形式要點詮釋：a1、a2不同時為0，b1、b2不同時為0，a1、b1不同時為0，a2、b2不同時為0.3.二元一次方程組的解法(1)代入消元法；(2)加減消元法.要點詮釋：（1）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、無限多解．教材中主要是研究有唯一解的情況，對于其他情況，可根據(jù)學生的接受能力給予滲透．（2）一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系：當二元一次方程中的一個未知數(shù)的取值確定范圍時，可利用一元一次不等式組確定另一個未知數(shù)的取值范圍，由于任何二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，所以解二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當y＝0時，求x的值.從圖象上看，這相當于已知縱坐標，確定橫坐標的值.三、一次方程（組）的應用列方程(組)解應用題的一般步驟：1.審:分析題意，找出已知、未知之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2.設(shè):選擇恰當?shù)奈粗獢?shù)(直接或間接設(shè)元)，注意單位的統(tǒng)一和語言完整；3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系，正確列出代數(shù)式和方程(組)；4.解:解所列的方程(組)；5.驗:(有三次檢驗①是否是所列方程(組)的解；②是否使代數(shù)式有意義；③是否滿足實際意義)；6.答:注意單位和語言完整.要點詮釋：列方程應注意：（1）方程兩邊表示同類量；（2）方程兩邊單位一定要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值相等.【典型例題】題型一、一元一次方程及其應用 【例1-1】如果方程是關(guān)于x的一元一次方程，則n的值為().A.2B.4C.3D.1【例1-2】某道路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36米，現(xiàn)計劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0米，則需更換的新型節(jié)能燈有（）A．54盞 B．55盞C．56盞 D．57盞【變式1】“五一”期間，某電器按成本價提高30%后標價，再打8折（標價的80%）銷售，售價為2080元．設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．B．C．D．【變式2】已知關(guān)于x的方程4x-3m=2的解是x=5，則m的值為.【變式3】若a，b為定值，關(guān)于x的一元一次方程無論k為何值時，它的解總是1，求a，b的值．題型二、二元一次方程組及其應用①②【例2-1】解方程組①②【例2-2】小王購買了一套經(jīng)濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結(jié)構(gòu)如圖所示．根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：），解答下列問題：（1）寫出用含x、y的代數(shù)式表示的地面總面積；（2）已知客廳面積比衛(wèi)生間面積多212，且地面總面積是衛(wèi)生間面積的15倍，鋪12地磚的平均費用為80元，求鋪地磚的總費用為多少元？【變式1】利用兩塊長方體木塊測量一張桌子的高度．首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置．測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【變式2】解方程組題型三、一次方程（組）的綜合運用【例3-1】某縣為鼓勵失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)，在2012年對60位自主創(chuàng)業(yè)的失地農(nóng)民進行獎勵，共計劃獎勵10萬元.獎勵標準是：失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的給予1000元獎勵；自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎勵.問：該縣失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民分別有多少人？【例3-2】在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調(diào)查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車輛數(shù)），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛”；乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛”；丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍”；請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？【變式】某公園的門票價格如下表所示：購票人數(shù)1～50人51～100人100人以上票價10元／人8元／人5元／人某校七年級甲、乙兩班共多人去該公園舉行聯(lián)歡活動，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班為單位分別買票，兩個班一共應付元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一團體購票，一共只要付元．問：甲、乙兩班分別有多少人？【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共2小題）1．（2008?上海）如果x＝2是方程x+a＝﹣1的根，那么a的值是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣62．（2008?上海）如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6二．填空題（共2小題）3．（2019?上海）《九章算術(shù)》中有一道題的條件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛斛米．（注：斛是古代一種容量單位）4．（2002?上海）如果f（x）＝kx，f（2）＝﹣4，那么k＝．三．解答題（共3小題）5．（2007?上海）2001年以來，我國曾五次實施藥品降價，累計降價的總金額為269億元，五次藥品降價的年份與相應降價金額如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相關(guān)數(shù)據(jù)．已知2007年藥品降價金額是2003年藥品降價金額的6倍，結(jié)合表中信息，求2003年和2007年的藥品降價金額．年份20012003200420052007降價金額（億元）5435406．（1997?上海）某紙品加工廠為了制作甲、乙兩種無蓋的長方體小盒（圖1），利用邊角料裁成正方形和長方形兩種硬紙片，長方形的寬和正方形邊長相等（圖2），現(xiàn)將150張正方形紙片和300張長方形紙片全部用于制作這種小盒，求可做成甲、乙兩種小盒各多少個？7．（2002?上海）某班進行個人投籃比賽，受污損的下表記錄了在規(guī)定時間內(nèi)投進n個球的人數(shù)分布情況，同時，已知進球3個或3個以上的人平均每人投進3.5個球；進球4個或4個以下的人平均每人投進2.5個球，問投進3個球和4個球的各有多少人？進球數(shù)n012345投進n個球的人數(shù)1272【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共2小題）1．（2022?徐匯區(qū)模擬）下列結(jié)論中不能由a+b＝0得到的是（）A．a(chǎn)2＝﹣ab B．|a|＝|b| C．a(chǎn)＝0，b＝0 D．a(chǎn)2＝b22．（2022?楊浦區(qū)二模）下列方程中，二元一次方程的是（）A．xy＝1 B．x2﹣1＝0 C．x﹣y＝1 D．二．填空題（共8小題）3．（2022?奉賢區(qū)二模）某眼鏡店假期間開展學生配鏡優(yōu)惠活動．某款式眼鏡的廣告如下，那么廣告牌上填的原價是元．原價：______元暑假八折優(yōu)惠現(xiàn)價：160元4．（2022?寶山區(qū)二模）《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出資買某物品，每人出8錢，盈余3錢；每人出7錢，不足4錢．那么根據(jù)條件，該物品值錢．5．（2022?徐匯區(qū)模擬）《九章算術(shù)》中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？譯文是：今有人合伙購物，每人出8錢會多3錢；每人出7錢又會差4錢，問人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，列出的方程為．（無需化簡）6．（2022?徐匯區(qū)校級模擬）方程3﹣x＝﹣2的解是x＝．7．（2022?松江區(qū)校級模擬）李明早上騎自行車上學，中途因道路施工推車步行了一段路，到學校共用時15分鐘．如果他騎自行車的平均速度是每分鐘250米，推車步行的平均速度是每分鐘80米，他家離學校的路程是2900米，設(shè)他推車步行的時間為x分鐘，那么可列出的方程是．8．（2022?崇明區(qū)二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相同，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)黃金每枚重x兩，白銀每枚重y兩，根據(jù)題意可列方程組．9．（2022?閔行區(qū)二模）明代數(shù)學家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托．”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺，那么竿長尺．（注：“托”和“尺”為古代的長度單位，1托＝5尺）10．（2022?寶山區(qū)模擬）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可列方程組為．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）已知|x﹣y﹣3|+2＝0，則x+y的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3二．填空題（共5小題）2．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）方程組的解為．3．（2012?長寧區(qū)校級自主招生）大小紙盒共30只，如果每個大盒放8個甜橙，每個小盒放6個甜橙，那么還剩34個，如果每個大盒放10個甜橙，每個小盒放7個甜橙，這樣會多出2個小盒子，那么甜橙共有個．4．（2021?寶山區(qū)校級自主招生）關(guān)于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，則m的取值范圍是．5．（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）如圖，正方形ABCD的邊長為100米，甲、乙兩個動點分別從A點和B點同時出發(fā)按逆時針方向移動．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，經(jīng)過秒，甲、乙兩動點第一次位于正方形的同一條邊上．6．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）有一個魚缸它的底為100cm×40cm，