河北省雞澤縣第一中學(xué)2024年高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

河北省雞澤縣第一中學(xué)2024年高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖所示，正方體ABC。-A4GA的棱A5,A2的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn),則直線所與平面相2。所成角的

正弦值為（）

7

2.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R(shí)，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.

現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

3.某中學(xué)有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中

抽取一個(gè)容量為九的樣本.若樣本中高中生恰有30人，則〃的值為（）

A.20B.50C.40D.60

已知a4'兀3兀、j,tan(cif-7i)=_3

4.9貝(1sini+coscir等于().

4

,1117

A.土一B.——C.-D.—

5555

/'0

5.設(shè)實(shí)數(shù)二二滿足條件三-二二，則二十二一二的最大值為（）

Ic-□0

A.1B.2C.3D.4

6.已知雙曲線：=/二；。，二丁。），其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為二：，點(diǎn)二是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，二為

坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足一一=「，線段二二交雙曲線于點(diǎn)二.若二為二二的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）

A.B.2C."D.7

JM

7.已知等差數(shù)列｛4｝中，。4+〃6=8貝！1〃3+〃4+。5+。6+%=（）

A.10B.16C.20D.24

8.已知4（5,力）是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，半徑為1的圓上的任意一點(diǎn)，將射線。4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)斗到08交圓

于點(diǎn)8（4,%），貝！|2%+力的最大值為（）

A.3B.2C.73D.石

9.已知耳，鳥是雙曲線C:=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，A,3是。的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過耳且斜率為走的

ab4

直線上，△243為等腰三角形，ZABP=120°,則C的漸近線方程為（）

A.y=+-xB.y=±2xC.y=±xD.y=+y/3x

.23

10.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)5處，在C處有一

座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在5處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么8,C兩點(diǎn)間的距

A.6近海里B.6G海里C.80海里D.8G海里

11.為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖

所示.勞倫茨曲線為直線OL時(shí)，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線3Z時(shí)，表示收入完全不平等.記區(qū)域A為不平

等區(qū)域，。表示其面積，S為△。蟲的面積，將Gini=?稱為基尼系數(shù).

13

￡

累

計(jì)

收100

入80

百60

分40

比

20

(%)

0K

(0)050100

累計(jì)人口百分比(%)

對(duì)于下列說法:

①Gini越小，則國民分配越公平；

②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=/(%),則對(duì)Vxe(0,l),均有改>1；

X

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=/(xe[0,l]),則Gini=；；

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=x3(x^[0,1]),則Gini=；.

其中正確的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

12.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，上4,平面ABC,AABC是邊長為26的等邊三角形，若球。

的表面積為2(%■，則直線PC與平面所成角的正切值為()

AR—/yn不

A..3B?a-----Cr?7/13?------

4374

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃同=學(xué)，g(x)=±,若函數(shù)/za)=g(〃X))+7”有3個(gè)不同的零點(diǎn)XI,X2,X3(X1<X2<X3),則

2xx—m

2/(X1)+/(X2)+/(X3)的取值范圍是.

14.已知x,ye火，i為虛數(shù)單位，且(x—2)i—y=—1+i,貝！|x+y=.

15.已知r>0,iBf(t)=￡(1-C*2x+Cl4x2-C/8x3+...-Cj128x7+256x8,則/⑺的展開式中各項(xiàng)系數(shù)

和為.

16.在AABC中，ZBAC=60,40為NR4c的角平分線，且AD=；AC+總48,若43=2,貝!|5C=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在正四棱柱ABCD—A4GA中，AB=1,M=3,過頂點(diǎn)A,Q的平面與棱8月，分

別交于M,N兩點(diǎn)(不在棱的端點(diǎn)處).

D,

（1）求證：四邊形AMC|N是平行四邊形；

（2）求證：與AN不垂直；

（3）若平面AMGN與棱所在直線交于點(diǎn)P,當(dāng)四邊形AMGN為菱形時(shí)，求PC長.

18.（12分）設(shè)拋物線C:V=2°x（p〉0）過點(diǎn)（m,2j^）（〃z〉0）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）歹是拋物線C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若B戶=2FA，求|AB|的值.

19.（12分）隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強(qiáng)，人民的生活水平逐步提高，為了進(jìn)一步改善民生，2019年1

月1日起我國實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得

額（含稅）=收入一個(gè)稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除；（3）專項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育

費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用……等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：①贍養(yǎng)老人費(fèi)用：每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用：每個(gè)

子女每月扣除1000元.新個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：

級(jí)數(shù)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)

超過3000元超過12000元超過25000元

每月應(yīng)納稅所不超過3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得額（含稅）元的部分

部分部分部分

稅率（%）3102025

（1）現(xiàn)有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養(yǎng)老人，除此之外，無其它專項(xiàng)附加扣除.請(qǐng)問李某月應(yīng)繳

納的個(gè)稅金額為多少？

（2）為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料，通過整理資料可知，

有一個(gè)孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個(gè)孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人，沒有孩子的人中有50人需

要贍養(yǎng)老人，并且他們均不符合其它專項(xiàng)附加扣除（受統(tǒng)計(jì)的500人中，任何兩人均不在一個(gè)家庭）.若他們的月收入

均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群繳納個(gè)稅金額X的分布列與期望.

20.(12分)如圖，在直角AA0B中，OA=OB=2,AAOC通過AAO3以直線。4為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

(ZBC>C=120°).點(diǎn)。為斜邊AB上一點(diǎn).點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，且“3=逑.

(1)證明：MO_L平面AOB；

(2)當(dāng)直線血。與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角3-CD-O的正弦值.

21.（12分）如圖，在三棱柱A3C—4用G中，43,平面ABC,ABLAC,且43=AC=A5=2.

(1)求棱A4與8C所成的角的大?。?/p>

(2)在棱耳G上確定一點(diǎn)尸，使二面角P-A3-4的平面角的余弦值為年.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)求函數(shù)g(x)=〃x)-x+l的零點(diǎn);

(2)設(shè)函數(shù)/(九)的圖象與函數(shù)y=x+—~1的圖象交于A(%，M),鞏占,%)(占<々)兩點(diǎn)，求證：a<西九2一%;

(3)若%>0,且不等式尤)對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求上的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

以D為原點(diǎn)，DA,DC,DDi分別為蒼軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面AAiDiD所成角

的正弦值.

【詳解】

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為2,

則石（2,1,0）,*1,0,2）,EF=（-1-1,2）,

取平面AA.D.D的法向量為n=（0,1,0）,

設(shè)直線EF與平面AAiDiD所成角為0,則sin0=|cosER,〃卜||巴1手，

EFMn|6

???直線EF與平面AA.D.D所成角的正弦值為&.

6

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

2、C

【解析】

先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素，再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分，每一個(gè)部分至少一個(gè)，再將這3部分

分配到3個(gè)不同的路口，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).

【詳解】

把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體，5個(gè)人變成了4個(gè)元素，再把這4個(gè)元素分成3部分，每部分至少有1個(gè)人，共有C：

種方法，再把這3部分分到3個(gè)不同的路口，有用種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有C>&=36種方案。

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查排列與組合，常常運(yùn)用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.

3、B

【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.

【詳解】

由題意，30=1500x--------------,解得”=50.

1500+1000

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

3

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得tan。=-二，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào)，即可得到答案.

4

【詳解】

3

由題意得tan(a-7i)=tana=——,

4

34

又aecostz^O,sin(z)0結(jié)合sin2(z+cos2a=1解得sin(z=-,costz

3_4__￡

所以sincc+coscir

5-5

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，

二二二一二-即二二-二+二-二表示直線在二軸的截距加上1,

根據(jù)圖像知，當(dāng)：］+匚=：時(shí)，且時(shí)，［］=（□+口+i有最大值為;.

12X34

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解析】

計(jì)算得到二（二三，二（二.三，代入雙曲線化簡(jiǎn)得到答案.

【詳解】

雙曲線的一條漸近線方程為二二"匚是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，一

故萼），口仁沏，故二（口.野），代入雙曲線化簡(jiǎn)得到：三二.，故二二二.

故選：二

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

7、C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到&+R=8=2%,再計(jì)算得到答案.

【詳解】

已知等差數(shù)列｛。“｝中，%+。6=8=2%=>4=4

%+/+%+%+%=5a5=20

故答案選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.

8、C

【解析】

27r

設(shè)射線。4與x軸正向所成的角為a,由三角函數(shù)的定義得力=sina,=sin(?+—),

^yA+yB=-sma+—cosa，利用輔助角公式計(jì)算即可?

22

【詳解】

設(shè)射線。4與x軸正向所成的角為a,由已知，4=cosa,%=sina,

27r27r2TC

xB=cos(cif+—),yB=sin(d<+—),所以2yA+=2sma+sin(cif+—)

2sinor--sinor+^-cosa--sinor+^-cosor二百sin(a+工)<石，

22226

7T

當(dāng)&=一時(shí)，取得等號(hào).

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí)，是一道容易題.

9、D

【解析】

根據(jù)為等腰三角形，NABP=120°可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，又由尸耳的斜率為更可得出。關(guān)系，即可求出漸

4

近線斜率得解.

【詳解】

如圖，

因?yàn)椤?為等腰三角形，ZABP=120°,

所以|P3|=|AB|=2〃，N尸5M=60。,

:.xp=|PB\cos600+a=2a,yp=|PB|sin60°=,

7y/3d—0\/3

XkpF----------——，

「A2Q+C4

:.2a=c

3a2=b1，

解得2=后，

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=土瓜,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

10、A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形A5C的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合A8可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZACD=110°,：.ZACB=110°-65°=45°,

:.ZABC=180°-30°-45°=105°.又45=24x0.5=12.

北

東

4RBC

在△ABC中，由正弦定理得-------=

sin450sin30°

12BC

即農(nóng)一1，???BC=6萬

V2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

11、A

【解析】

對(duì)于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式Gini=￡,可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積。越小，國民分配越公平，所以①正確.

對(duì)于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得Vxe（O,l）,均有y（x）＜x,可得幺工＜1,所以②錯(cuò)誤.對(duì)于

X

J.

③，因?yàn)閍=f（尤-/）*=（/一%，所以Gini=?=$=：,所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④，因?yàn)?/p>

23o3上3

2

1

。=￡（無一/）改=§*2-%4冗=；,所以Gini=/=：=；,所以④正確.故選A.

2

12、C

【解析】

設(shè)。為A6中點(diǎn),先證明CD，平面R43,得出NCP。為所求角，利用勾股定理計(jì)算PA,PD,CD,得出結(jié)論.

【詳解】

p

設(shè)。,E分別是的中點(diǎn)CD=F

24,平面ABC:.PA±CD

AABC是等邊三角形:.CD±AB

又PAAB=A

\CE)A平面R4B尸Z>為PC與平面RIB所成的角

AABC是邊長為2百的等邊三角形

2

/.CD=AE=3,A/=-A5=2且方為AA5C所在截面圓的圓心

3

球。的表面積為2071.??球。的半徑OA=y[5

:.OF=y]OA2-AF2=1

R4,平面ABC:.PA=2OF=2

PD=sIPAr+AD2=V7

:.tan/CPD=&=4=^

PD幣1

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解

出線段長，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(-1>0)

【解析】

先根據(jù)題意，求出M尤)=g(〃x))+相的解得/(力=言,或/(X)=T7Z,然后求出f(X)的導(dǎo)函數(shù)，求其單調(diào)性以及

最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)M%)=g(/(%))+加有3個(gè)不同的零點(diǎn)XI,X2,X3(X1<X2<X3),分情況討論求出

2/h)+/(x2)+/(x3)的取值范圍.

【詳解】

解：令t=f(x),函數(shù)/?(x)=g(/(x))+祖有3個(gè)不同的零點(diǎn)，

即g(力=—+m=0有兩個(gè)不同的解，解之得。=-,t2=~m

即/(x)=￡，或/(%)=—m

因?yàn)?3"的導(dǎo)函數(shù)

r(x)=e(l-F)(x〉o),令r(x)<0,解得x>e,/'(x)>0,解得0<x<e,

可得f(X)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞減；

f(x)的最大值為/(e)=；,且x---0

且f(l)=0；

要使函數(shù)Mx)=g(/(x))+〃?有3個(gè)不同的零點(diǎn)，

(1)/(力=￡,有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/(%)=—加有一個(gè)解；

(2)/(%)=—7〃有兩個(gè)不同的解，此時(shí)〃力=1，有一個(gè)解

當(dāng);?(%)=￡,有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/(%)=—加有一個(gè)解，

此時(shí)-〃Z=L,機(jī)=-!,不符合題意；

24

或是—m=0,m=0不符合題意；

—m<0

所以只能是<m1解得0<加<1

0<—<—

I22

/(%)=-和，/(x2)=/(x3)=y,

此時(shí)2/(玉)+/(%2)+/(七)=-m,

此時(shí)一1<一加<0

/(%)=-機(jī)有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/(x)=g,有一個(gè)解

rn|

此時(shí)一=—,根=1,不符合題意；

22

或是'=0,〃7=0不符合題意；

2

m八

—<0

21

所以只能是解得—5<加<。

0<-m<-2

2

=f（x2）=f（x3）=-m

此時(shí)2/（%）+/（々）+/（演）=一根，

0<—m<—

2

綜上：2/（石）+/（9）+/（七）的取值范圍是（—1,0）°］。，；

故答案為（-i，o）u（o，￡j

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想,

屬于綜合性極強(qiáng)的題目，屬于難題.

14、4

【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由工―2=l,y=l有x+y=4.

1

15、-

9

【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算，得到/（/）=-］（1-2/）9+工，令/=1,求得/。）=:，即可得到答案.

18189

【詳解】

根據(jù)定積分的計(jì)算，可得

7889

/(0=￡(1-C*2X+-或8丁+...—CJ128X+C；256x)dx=￡(1-2x)公=—f(1—2x)\'Q

=-—(l-2O9+—,

1818

令』，則/⑴=—焉(1-2><+昌，

即f(t)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得了?）的表示

是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、2A/7

【解析】

由=+求出8。,。。長度關(guān)系，利用角平分線以及面積關(guān)系，求出AC邊，再由余弦定理，即可求解.

【詳解】

AD=iAC+|AB,i(AD-AC)=1(AB-AD),

CD=3DB,:.CD=3DB,

SADCCDgAC?,sinNCADACAC

SADBBD-AB-ADsinZBADAB2

2

AC=6,BC2=AB2+AC2-2ABACCOSABAC=40-2x6=28,

BC=2后.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】

本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)PC=2.

【解析】

(1)由平面A5A4與平面DCG2沒有交點(diǎn)，可得與NG不相交，又AM與NG共面，所以AM//NG，同

理可證AN//MC1，得證；⑵由四邊形AMGN是平行四邊形，且國A。，則AMCN不可能是矩形，所以

AM與AN不垂直；(3)先證R。三Rf—GgM,可得〃為8月的中點(diǎn)，從而得出B是PC的中點(diǎn)，可得PC.

【詳解】

(1)依題意4M,G，N都在平面AG上，

因此4欣￡平面AG，NGu平面AG，

又AM1平面ABBXAX,NJc平面DCCR,

平面與平面DCG2平行，即兩個(gè)平面沒有交點(diǎn),

則AM與NG不相交，又AM與NG共面,

所以AM//NG，同理可證4V//MG，

所以四邊形AMGN是平行四邊形；

(2)因?yàn)镹兩點(diǎn)不在棱的端點(diǎn)處，所以|ACV|<|5〃|=|ACj,

又四邊形AMGN是平行四邊形，|MN|W|ACJ,

則AMC|N不可能是矩形，所以AM與AN不垂直；

(3)如圖，延長G"交CB的延長線于點(diǎn)尸，

若四邊形AMGN為菱形，則AM=MCX,易證Rt.ABM=RtQB.M,

所以BM=B1M,即M為8瓦的中點(diǎn)，

因此且BM//C￡,所以即/是PCG的中位線，

則3是PC的中點(diǎn)，所以PC=2BC=2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和線段長的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推

理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.

、，，9

18^(1)y~=4x(2)—

2

【解析】

⑴代入(辦2標(biāo))計(jì)算即可.

(2)設(shè)直線A3的方程為了=以彳-1),再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得y的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理與

BF=2E4求解3進(jìn)而利用弦長公式求解即可?

【詳解】

解：

（1）因?yàn)閽佄锞€C:_/=2px（p〉0）過點(diǎn)（相,2，而，所以4m=2pm，所以p=2,拋物線的方程為丁=4%

（2）由題意知直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-I）,A（w%）,8（%2,%）?因?yàn)锽F=2X4,所以

“一2%,聯(lián)立.y=一k{x-1），化簡(jiǎn)得9丁4-/4=。，所以%+%=小4跖一,所以y「小4；9=2,解得

k=±2s/2，所以|A5|=

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡(jiǎn)單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.

19、（1）李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為2910元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元

【解析】

（1）分段計(jì)算個(gè)人所得稅額；

（2）隨機(jī)變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可.

【詳解】

解：（1）李某月應(yīng)納稅所得額（含稅）為：29600-5000-1000-2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000x3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000x10%=900元，

超過12000元至25000元的部分稅額為9600x20%=1920元

所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+1920=2910元，

（2）有一個(gè)孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000-2000=12000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900=990元

有一個(gè)孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000=14000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+400=1390元；

沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-2000=13000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+200=1190元；

沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000=15000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+600=1590元；

3

產(chǎn)(X=990)=不

p(x=1190)=5,

P(X=1390)=1,

P(X=1590)=—

10

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X990119013901590

3111

p

5io5io

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390x-+1590x—=1150.

510510

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計(jì)算，考查了隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

20、(1)見解析；(2)上叵

35

【解析】

(1)先算出O河的長度，利用勾股定理證明03,再由已知可得Q4LQ0,利用線面垂直的判定定理即可

證明；

(2)由(1)可得NMDO為直線與平面所成的角，要使其最大，則OD應(yīng)最小，可得。為中點(diǎn)，然后

建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

【詳解】

(1)在中，ZOBC=3Q，由余弦定理得

OM=y]OB-+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

:.OM2+OB2=MB2,

：.OMLOB,

由題意可知：OA±OC,OBOC=O,

.??Q4,平面COB,

OMu平面COB,/.OA±OM,

又。4OB=O,

OM_L平面AOB.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M，OB，的方向?yàn)閤，V，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

?/OM±平面AOB,：.MD在平面AOB1.的射影是OD,

工血。與平面所成的角是最大時(shí)，即QDLAB,點(diǎn)。為AB中點(diǎn).

8(020),C(A-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(—6,2,1),

D5=(0,l,-l),00=(0,1,1),設(shè)平面CD3的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=0〃-y/3x+2y+z=0

由＜>得，,令z=l,得y=l,x=Q

n-DB=0y-z=0

所以平面CDB的法向量〃=(若,1,1),

mCD-0—y/3x+2y+z=0

同理，設(shè)平面CDO的法向量m=(x,y,z),由V,得

m-OD-0y+z=0

/

令y=l,得z=—,所以平面COO的法向量機(jī)=

.Vio5

??cos<m,n>=-----

35V3535

故二面角5—CO—O的正弦值為生夕。.

35

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

21、(1)|(2)P(l,3,2)

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)锳BLAC,AiB,平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y

軸，以過A,且平行于BAi的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=AiB=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱

AAi與BC上的兩個(gè)向量，由向量的夾角求棱AAi與BC所成的角的大??；

（2）設(shè)棱BiCi上的一點(diǎn)P,由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出兩個(gè)平面PAB與平面ABAi的一個(gè)法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值為拽，轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點(diǎn)的坐標(biāo).

5

試題解析：

解（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(2,0,0),5(0,2,0),4(022),4(0,4,2),

刈=(O,2,2),3C=4G=(2,-2,0).

NBC_-4_1

3"西國=乒『5，

7T

故A4與棱所成的角是

（2）p為棱與a中點(diǎn),

設(shè)4/=」4窗=（22,-22,0）,貝！|尸（24,4—24,2）.

設(shè)平面的法向量為々=（%,y,z）,AP=（22,4-22,2）,

n.-AP=0%+3y+2z=0z=

則4n4n4

々.A3=012y=0[y=。

故4=(1,0,-2)

%%12^/5

而平面ABA的法向量是%=（1,0,0）,貝丫05々,叼=

同?同4+%5

解得x=g,即p為棱用a中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P。,3,2）.

點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:

（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面

的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

22、(l)x=l(2)證明見解析(3)0＜七，2

【解析】

(1)令g(x)=/nr-x+l,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；

l^uc—liuc