廣東省2024屆高三年級下冊3月一模數(shù)學試題 含答案

★啟用前注意保密

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試（一）

數(shù)學

本試卷共5頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學校、班級、姓名、考場

號、座位號和考生號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上

角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目

選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答

案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各

題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫

上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.記復數(shù)z的共舸復數(shù)為京,若z（l+i）=2-2i,則國=

A.1B.JlC.2D.2#

2.已知集合月=卜卜&ez},B=|x=y+/CTT,/cwZ[,貝【]

A.A=BB.AQB=0C.AQBD.A^B

3.雙曲線l的頂點到其漸近線的距離為

A.QB.IC.§D.挈

ND

4,過4（-I,0）,8（0,3）,C（9,0）三點的圓與y軸交于M,4兩點,則|MN|=

A.3B.4C.8D.6

5.假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基

礎上進步2%,而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.那么，大

約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍.（參考數(shù)據(jù)；1g102=2.0086,

lg99?1,9956,]g2ko.3010）

A.23B.100C.150D.232

數(shù)學模擬測試（一）第1頁（共5頁）

6.%=9+。(儲2)”是“遮火"”過=6+1”的

4sinacosa

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.分別以銳角三角形48c的邊48,BC,4C為旋轉軸旋轉一周后得到的幾何體體積之

比為百：歷：2,貝ljcos8=

5有5。3V2口也

A-ITB-12~C-812

8.已知集合4={-J,-y,y,y,2,3卜若a,6,j且互不相等，則使得指

數(shù)函數(shù)y=U,對數(shù)函數(shù)y=lo&x,寨函數(shù)y=x'中至少有兩個函數(shù)在(0,+?))上單

調遞增的有序數(shù)對(。，b,c)的個數(shù)是

A.16B.24C.32D.48

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.已知向量4=(1,有)，6=(cosa,sina),則下列結論正確的是

A.若。〃b,則tana=7T

B.若aLb,則tana=-專

C.若a與》的夾角為半，則|a3=3

D.若〃與b方向相反，則方在〃上的投影向量的坐標是(-，-到

10.已知偶函數(shù)/(*)的定義域為R,小寺工+1)為奇函數(shù)，且/(%)在［0,□上單調遞

增，則下列結論正確的是

A./(-y)<0B./(y)>0C,f(3)<0D./(等)>0

11.已知正方體A8CZ)-4&G，的各個頂點都在表面積為3F,的球面上，點尸為該球

面上的任意一點，則下列結論正確的是

A.有無數(shù)個點P,使得4P〃平面80G

B.有無數(shù)個點P,使得4P.L平面目OC,

C,若點Pe平面8CC6,則四棱錐P-48co的體積的最大值為在尹

D.若點Pe平面8CG國,則4P+PG的最大值為市

數(shù)學模擬測試(一)第2頁(共5頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.隨機變量工~件(〃，a),若P(XN70)=P(XW9O)且P(72WXW8O)=0.3,則隨

機變量X的第80百分位數(shù)是―

13.已知函數(shù)/(#)=sin(g+w)(3〉0)在區(qū)間信，⑶上單調，且滿足/信)=T,

14.已知直線/與橢圓C：？+?=1在第一象限交于P,。兩點，/與工軸，y軸分別

交于吼7V兩點，且滿足嚼上隅=微+瑞，貝心的斜率為-------.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知0<a<l,函數(shù)/(工)=”一(.%^0).

(1)求/(工)的單調區(qū)間.

(2)討論方程/(工)=a的根的個數(shù).

16.(15分)

如圖，已知圓柱。。?的軸截面4BCO是邊長為2的正方形，點P是圓01上異于點

C,O的任意一點.

(1)若點0到平面4cp的距離為手，證明：OtP±CD.

(2)求OC與平面4cp所成角的正弦值的取值范圍.

數(shù)學模擬測試(一)第3頁(共5頁)

17.(15分)

如圖，已知拋物線C：?=4y,其上有定點A(-2,1),8(6,9),動點P在拋物

線上，且點P位于點48之間的曲線段上(不與點九/3重合)，過點8作直線

4P的垂線，垂足為。,

(1)若點P是4Q的中點，求點P的坐標.

(2)求18。|的最大值.

18.(17分)

某單位進行招聘面試，已知參加面試的N名學生全都來自A,B,C三所學校，其

中來自A校的學生人數(shù)為Mn〉l).該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機

給每人安排一個面試號碼版上=1,2,3,N),按面試號碼上由小到大依次進

行面試，每人面試時長5分鐘，面試完成后自行離場.

(1)求面試號碼為2的學生來自A校的概率.

(2)若N=40,n=10,且B,C兩所學校參加面試的學生人數(shù)比為1：2,求A校

參加面試的學生先于其他兩校學生完成面試(A校所有參加面試的學生完成面試

后，B,C兩校都還有學生未完成面試)的概率.

(3)記隨機變量X表示最后一名A校學生完成面試所用的時長(從第1名學生開始

面試到最后一名A校學生完成面試所用的時間)，E(X)是X的數(shù)學期望，證明：

E(X)=5"—+1).

n+1

數(shù)學模擬測試(一)第4頁(共5頁)

19.（17分）

數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學的一個重要分支，其主要研究對象包括向

量和矩陣.對于平面向量a=（%y）,其模定義為laI=，金類似地，對于〃行

<aHo12013**?5。、

021a12a23…01A

,其模可由向量模拓展為||All=（XZ$）

幾列1的矩陣40，=a3l%2a33…%

an2an3…。?

（其中均為矩陣中第i行第/列的數(shù)，工為求和符號），記作||A||八我們稱這樣的

矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣4。=：：）=￡：）,其矩陣模

||A||"（￡￡W）｝=/2?+7+32+5?=34弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機器學習等前

i=V=1”

沿領域有重要的應用.

f100...0\

0"0…0

(1)VneN-,n^3,矩陣=00#...0，求使IIB||F>33的口

、000,,,*1^,1

的最小值.

(2)VneN',23,矩陣以=

(1cos6cos6cos0cos0COS0

0-sin0-sin6cos0-sin0cos0-sin0cos0-sin0cos0

00sin20sin28cos0sin20cos0sin20cos0

0000(-1尸sin』(-1)"'in"-?0cos9

<00000(-1)"飛/

求IIC||「

o...0、

o...0

(3)矩陣Dnn=,證明:

*r…0

百

ln(T)"…h(huán)⑸J

VneN*,3,

數(shù)學模擬測試（一）第5頁（共5頁）

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2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試（一）

數(shù)學參考答案

評分標準：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則。

2.對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的

內(nèi)容和難度，可視澎響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應

得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分。

3.解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)。

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

題號91011

答案ABDBDACD

三、填空題：本題共3小題,每小題5分.共15分。

12.8813.y14.-y

四、解答題：本題共5小題，共77分。

15.解：（1）求導得r（x）=!11￡二二二1=”二與二11...................3分

X*X2

因為“>o,e'-d>0,.................................................4分

所以當/'（X）<。時，*<1且X*。；當/'（X）>。時，x>L..............6分

所以/（、）在（-8,0）,（0.1）上單調遞減，在（1,+oo）上單調遞增.……7分

（2）①當x<0時，因為“>0,>0,所以/U）="二<0<出.......8分

X

所以/（.，：）="在（0）上有。個根.................................-9分

②當x>0時，由⑴得，*>0時，/（*）的最小值為/（I）=，，』”.......10分

數(shù)學模擬測試（一）參考答案第1頁（共7頁）

因為所以。vl-avl.所以

所以/(I...............................................11分

所以/(')=“在(0,+8)上以()個根...............................12分

綜上所述，方程/(*)="有()個根....................................13分

16.(1)證明：如圖1,連接"/，，過點。作。KL/1P.垂足為M............1分

因為CD是圓(入的直徑，所以CP.LDP...............................2分

因為AD是圓柱側面的母級，所以AD1平面CDP.

因為CPU平而所AD1CP...................................3分

又因為/"Y平而八〃/二=所以C/U平而.......“4分

因為〃〃(：平而4平，所以"H1CP.

又因為DHLIP.AP,PCU平而/ICP,/”，□/(=兒所以/加，平而/I5.…5分

所以點/J到平而ACP的距離為“〃，即〃〃=弩.

設/〃，="(“>()),則=Ja2+4.

_____2/T

由A/)?DP=AP?DH,得2,a=J6+4,——,解得“=丘.............6分

因為C"=2,所以l)P=PC=A

因為億是的中點，所以儲〃1C"................................7分

(2)解：(方法一)如圖2.在平面PCD內(nèi)，過點億作()[E^()}C交圓0,于點￡.

連接0(\.

因為平而PC",所以億心兩兩相互垂直，以。?為原點，分別

以OR()C所在直線為x.y,二軸建立空間直角坐標系，.........8分

則()(0,0,2),C(0,1,0),4(0,-1,2).

設點〃("i,0),因為點〃在圓a上，所以〃/+，/=1,且"e(-1,1).

則方才=((),1,-2),正=((),2,-2),CP=(n),n-1.0)..........9分

設平而/ICP的法向量為"=(x.),工)，

H?無二0.2v-2z=0,

則即解得

.cr=(),rztv+(〃-1)y=(),

數(shù)學模擬測試(一)參考答案第2頁(共7頁)

取x="-1,得"=（"-1,-in,m).1()分

設〃C與平面八。,所成加為以

I說?〃I

則sinf)=|cns<OC,n>

17元11〃IR?+(〃-1尸萬./?+(〃_])■

Vm2

后向平................12分

因吟平4^^=一圖一+急且吃。"

14分

所以〃C與平面ACP所成角的正弦值的取值范圍是15分

（方法二）由（1）知，點D到平面的距離為DH.

連接〃/）交AC于點/；,如圖3.

因為OA//CI）,且OA-CD,所以OF=y/）/<

所以點0到平面ACI1的距離為:/）〃...........二汽.4C

9分D————、一■一

P

在Rt△,中，由等Ifll積法得DH=W'!)P=2DP

4,/4+"尸圖3

/>/Je(0,2).“分

所以叫湍X/幕=2

1——JE(0,萬).13分

4+DP-

設〃。與平面AC/，所成角為仇

..y/w］）H

所以〃C與平面AC〃所成用的正弦值.sin-——.14分

〃c26

所以sin0=—zz&0,

26

所以OC與平面AC〃所成角的正弦值的取值范用*0.15分

數(shù)學模擬測試（一）參考答案第3頁（共7頁）

17.解：⑴由點〃在拋物線上，設點〃的坐標為卜八y）.-2<V0<6,……1分

2

由點〃是,4。的中點,且點，4的坐標為（-2,1）,得點。的坐標為（2%+2,與-1）.

....................................................................2分

故,lP=N+2,y-Ij,而=（2工o+2-6,1-9）=（2%-4,3-1。）

....................................................................4分

因為，1/-L/3。，所以.療?那=0,即（%+2）（2%-4）+（手=0.

....................................................................5分

整理得上（工。+2尸（％-2尸=0........................................6分

1。

解得%=2,或％=-2（舍）.

所以點〃的坐標為（2,1）............................................7分

（2）當宜線AP的斜率為0時，直線BQ的斜率不存在，此時點〃的坐標為（2,1）,

點。的坐標為（6,1）,得|/坦|=8...................................8分

顯然直線，〃的斜率存在，當宜線八〃的斜率不為0時，設直線八〃的斜率為A（A^0）,

則直線8。的斜率為-%則直線，'T=Mx+2）,/,*y-9=-6）,

rin

....................................................................9分

解得/『，/"。的交點Q的橫坐標為均=:2%..................10分

n邙+I：

所以“=戶見…?嚕詈卜

絲心：（丘0）.....................................................12分

+1

因為^^=8產(chǎn)1^=8〃一含=8/-會,人#°,………13分

il]A-+-j-e（-cc,-2]U[2,+8）,得1801=*1上2-1W8

k/FTT

當且僅當*+/也即A-時等號成立.........................14分

綜上所述.I8。I的最大值為8叵...................................

15分

數(shù)學模擬測試（一）參考答案第4頁（共7頁）

18.解:(1)記“而試號碼為2的學生來自A校”為事件兒..................1分

將A校"名學生面試號碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點總數(shù)為C'；,……2分

事件/I表示A校有1名學生的面試號碼為2,其他〃-1名學生的面試號碼在剩余

N-I個面試號碼中隨機安排.則事件4包含的樣本點數(shù)為C；1C；.........3分

(W-D!____

p(<\C；-；C：("-〃)！n八

依'、！=N............................4分

?!(A'-H)!

(說明：根據(jù)每名參加面試的學生在任意次序面試都等可能.直接寫出概率3給2分)

(2)設B校參加面試的學生有a名，由題意得^—=上解得x=10.

所以B校參加面試的學生有10名，C校參加面試的學生有20名........5分

記“最后面試的學生來自B?！睘槭录浴白詈蠖嚨膶W生來白C校”為事件C,

顯然事件"，C互斥.記“A校參加面試的學生先于其他兩校學生完成面試”為事件

I),則〃=8/)+0).....................................................7分

當事件8發(fā)生時，只需考慮A,C兩所學校所有參加面試的學生中最后面試的那位

來白C校.

則P(/3")=P(/3)P(〃I8)段=：..............................8分

4(J-5(Jo

當事件C發(fā)生時，只需考慮A.B兩所學校所有參加面試的學生中最后面試的那位

來自B校，

貝=P（C）/，（〃IC）..............................9分

所以/，(〃)“(/，〃)+/，(如4+/小..........................1。分

(3)由題知隨機變量X的取值為5〃，5(〃+1),…，5M.................H分

-I

則隨機變量X的分布列為/，(X=5A)/="，"+1，…，N.......12分

Lv

所以隨機變量:X的期望E(x)=E5A-?編

&=〃C.

13分

5f（-1）;5Rkl_5，W「

15分

（；；，="（“-】）?。?-"）!C'；<="“?。?-〃）！Cyt=,1L

關(Q+C"+(：：?+…+3)端((：：：：+%+以+…+5)=沏:；-16分

555

數(shù)學模擬測試(一)參考答案第5頁(共7頁)

_5〃___________(■+1)!_5〃(N+1)

A,!(〃+】)！(A'-〃)！-〃十1

〃！(,、-〃)！

所以E(X)...........................................................................................17

n+1

19.解：(I)由題意得||8||：.=￡=i>=1+2+3++(?-))+〃="("熱).

ta1/sIX,=tL

.........................................................................................................................................3分

若11811r>36則R+D>45,即―+"-90>0.....................................4分

因式分解得5-9)(〃+10)>0,因為〃eN?，所以“>9.

所以使II8||f>3萬的"的最小值是10...............................................................5分

(2)由題得笫I對角線上的平方和為1+由/0+sin"+…+而…0=I-'in；。

第2時角線上的平方和為

22242

cos0(1+sin0+?一+sin"0)=cos0?--0_-=1-sin?"40.

I-siir0

第A?對角線上的平方和為

1*2”-2k+2q

一KI"(7i-2”-2Xa2.

cos1+sinb十?’?十sinu)=<*()su?-----.....-----------=I-sin6,