四川省眉山市2023屆高三數(shù)學(xué)一輪講義6函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性：知識(shí)梳理

一函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有A—x)=F(x),那么函

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

數(shù)Hx)是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)f與的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有A-X)=—f(x),那么

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

函數(shù)F(X)是奇函數(shù)

二對(duì)函數(shù)奇偶性的理解和性質(zhì)

1.只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)談函數(shù)的奇偶性才有意義；

2.函數(shù)/'(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；但既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè),

因?yàn)槎x域不同叫不同的函數(shù)

3.若0在奇函數(shù)的定義域中，則/

例：1.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/'(2+x)=f(2—x),則f(4)=()

A.4B.2C.0D.不確定

2.已知函數(shù)/<x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)=2x+2x+/E為常數(shù))，貝|f(—1)

的值為()

A.-3B.-1C.1D.3

三判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

L考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若不對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);

2.當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，判斷等式/(-%)=±/(x)之一是否恒成立。

3.熟悉三大奇函數(shù)

Z7V-1A-I-Y

(1)/(x)=-----(a〉0且aWl)(2)/(x)=loga-------(a>0且a#1)

ax+1b-x

(3)f(x)-log。(Jm2x2+1±m(xù)x)(m半0)(a>0且aW1)

4.奇+奇為奇；偶+偶為偶；奇X奇為偶；奇x偶為奇;偶X偶為偶;

稱為偶;

例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性

1+Xlg(l-爐)x1+2x,x>0

⑴/(%)=(%-1)(2)/(X)=(3)/(x)=<

1-X|x-2|-2-%2+2x,x<0

1

(4)6^=log2(l+4?—X(5)f(x)=x(----F—)(6)((%)=x(〃----—(a>0,?1)

Xx

2-12a+1

例2：判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(x)=ax+a~x(a>0且aWl)(2)f(x)=ax-a~x(8>0且aW1)

sinx+x2x3e—e

⑶Ax)二⑸/(%)=

2(4)

cosx+x2'+2-

2'sin(g+6x)

/、cos6x

6)y=---X--------X(7)y=

,2-2-4X-1

例3.1.已知函數(shù)/(%)=ln(x+若實(shí)數(shù)滿足/(々)+/(方-2)=0,則〃+/?=()

A.-2B.-1C.0D.2

2.設(shè)廣(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是().

A.f(x)F(—x)是奇函數(shù)B.上包是奇函數(shù)C.f(x)—f(—x)是偶函數(shù)D.F(x)+『(一x)是偶

/(f)

函數(shù)

3.函數(shù)f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2—x)(a>0且aWl),則函數(shù)戶(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)

—g(x)的奇偶性是()

A.6(x)是奇函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)B.6(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)

C.Mx)是偶函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)D.尸(x)是奇函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)

4.(14年全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(幻是奇函數(shù)，g。)是偶函數(shù)，則下

列結(jié)論正確的是()

A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)|g(X)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

四函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

1.函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))n函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

2

2.函數(shù)y=/(%)是奇函數(shù)=函數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

3.函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)=函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

4.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且值域“互為相反數(shù)”；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，且值域相同；

5.函數(shù)/(%)是偶函數(shù)=/(x)=/(|A|)對(duì)函數(shù)f(x)定義域中的任意實(shí)數(shù)x都成立。

例1.1函數(shù)y=f(x),a<x<5是偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)=?x2+x,0<x<1的最小值為?

2.若奇函數(shù)F(x)=3sinx+c的定義域是［a,b\,則a+b+c等于()

A.3B.-3C.0D.無(wú)法計(jì)算

3.已知f(x)=&^+法是定義在［a—1,2a］上的偶函數(shù)，那么a+6的值是()

1111

--B----

A.332D.2

例2.1.設(shè)偶函數(shù)/U)滿足f(x)=2'—4(x20),則不等式f(x—2)〉0的解集為.

2.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x—l)〈fQ)的x的取值范圍是()

12、J2、12、」2、

A.(Z3,3)B.~)C.(Z5,3)D.弓，g)

3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足/1(—

?,則a的取值范圍是()

13/3、3、

B.(―0°,-)U(-,+oo)C.(分5)D.(oz,+°°)

五例題分析

例L求奇偶函數(shù)的解析式或值

1.已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(X)=X2-2X,則在R上函數(shù)y=/(X)

的表達(dá)式為；

2

變形一題：已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=X-2X+3,則在R上

函數(shù)y=/(%)的表達(dá)式為；

2.已知/'(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x〈0時(shí)，f(x)=V+x,則當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)=.

3.(2019年高考全國(guó)II卷理數(shù))已知/(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(乃=—0叱若/(1112)=8,則

a—.

4.(2017?全國(guó)H卷)已知函數(shù)廣(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X￡(—8,0)時(shí)，f(^)=2x+x,

3

則A2)=.

JI

cos-x0VxW8

5.已知F(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)=j6則/■(7(一16))

」ogzxx>8，

等

于/)

\(

1V31

-2-V23

A.-2B.2D.

例2：畫出奇偶函數(shù)的草圖

1.已知函數(shù)f(x)是定義在(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，且『(；)〉0>『(一

事),則方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又『(—3)=0,則f(x)〈0的解集是()

A.U|-3<A<0,或X>3}B.{x|*—3,或0〈x〈3}

C.U|K-3,或x>3}D.{x|—3<x<0,或0〈x〈3}

3.(2020年新高考全國(guó)I卷)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0,則滿足

獷■(%-：!)20的x的取值范圍是()

A.[—1,1]」3,y)B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0].[1,+<?)D.[-1,0][1,3]

例3.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)表達(dá)式中待定字母的值

1.已知：函數(shù)〃x)="(2+D—2是奇函數(shù),貝必=

2X+1

2.若函數(shù)/(x)-------------為奇函數(shù)，則a=(

(2X+1)(X-6Z)

123

A.-B.[C.~D.1

ZO4

3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)亍、是奇函數(shù)’則@=

4.若f{x)=ln(e"+l)+ax是偶函數(shù)，則a=.

9

5.已知廣(x)=lg("j-+而為奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()

4

A.(—8,o)B.(-1,0)C.(0,1)D.(一8,o)U(1,+°o)

6.(2022年全國(guó)乙卷)若_In|a+白+力是奇函數(shù)，則。=，b=.

7.(2019年高考北京理數(shù))設(shè)函數(shù)〃尤)=e，+aer(a為常數(shù)).若/Xx)為奇函數(shù)，則年；

若/"(X)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

8.(2021?全國(guó)高考真題(理))設(shè)函數(shù)，(x)=J,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(%+1)+1

9.(2020年高考全國(guó)H卷理數(shù))設(shè)函數(shù)7'(》)=111|2》+1|-111|2犬-1|,則/U)

111

A.是偶函數(shù)，且在(一,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(--「)單調(diào)遞減

222

C.是偶函數(shù)，且在(f,-g)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(Y,-g)單調(diào)遞減

例4.一類題型:設(shè)函數(shù)f(x)=ag(x)+b,其中g(shù)(x)為奇函數(shù)，則f(ni)+f(-m)==2b。

1.已知/(x)=ax3+6sinx+l,且/'(5)=7,則/(—5)的值是()

A.-5B.-7C.5D.7

類似一題：已知函數(shù)/(x)=log(J1+9尤2—3幻+5,若/(lglg5)=2,貝I/(lglog510)=。

2.已知f(x)=x+ax+bx~S,且『(一2)=10,貝U/(2)=

/、(x+1)2+sinx

3.設(shè)函數(shù)/(%)=--g-------的最大值為M,最小值為m,則M+m=_________.

X+1

9023^+1+?A99

4.已知G0,設(shè)函數(shù)F(x)=—+2023￡(x￡[—&旬)的最大值為必最小值為"則〃

+N的值為()

5

A.2023B.2024C.4045D.4046

函數(shù)的奇偶性：知識(shí)梳理

一函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/■(—x)=f(x),那么函

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

數(shù)f(x)是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)廣(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有廣(一X)=—“X),那么

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

函數(shù)F(x)是奇函數(shù)

二對(duì)函數(shù)奇偶性的理解和性質(zhì)

1.只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)談函數(shù)的奇偶性才有意義；

2.函數(shù)/'(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；但既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè),

因?yàn)槎x域不同叫不同的函數(shù)

3.若0在奇函數(shù)的定義域中，則/'(0)=0。

例：1.已知函數(shù)y=F(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/'(2+x)=『(2—x),則f(4)=()

A.4B.2C.0D.不確定

答案：C

2.已知函數(shù)/<x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2'+2x+M0為常數(shù))，貝

的值為()

A.-3B.-1C.1D.3

答案：A

三判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

1.考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若不對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；

2.當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，判斷等式/(-%)=±/(x)之一是否恒成立。

3.熟悉三大奇函數(shù)

QX_11-I?

(1)/(x)=-----(8>0且HWI)(2)/(x)=log-----(a>0且aWl)

4+1b-x

(3)/(x)=log^(Vm2%2+1±m(xù)x)(m0)(a>0且

4.奇+奇為奇；偶+偶為偶；奇x奇為偶；奇x偶為奇;偶x偶為偶;

6

例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性

x2+2%,%>0

⑴3y⑵2(3)/(%)=

-%2+2羽x<0

，(5)/(x)=x(--—+g)/nxr(x(〃％一1)

(4)/6r?-log2(l+40—x(6)f(x)=--------(a>0,aw1)

2r-l2ax+1

答案：(1)非奇非偶函數(shù)；(2)奇函數(shù)；(3)奇函數(shù)；(4)偶函數(shù)；(5)奇函數(shù)；(6)奇函數(shù)。

例2：判斷下列函數(shù)的奇偶性

(2)/(%)=ax+a~x(a>0且aWl)(2)/(%)=ax-a~x(a〉0且aWl)

,、，、sinx+x.,2x3,、FTI「

(3)f(x)^------7(4)y=---(5)兇

cosx+x-T+2~x

2xsin(—+6%)

/、cos6x

⑹y二-------(7\v—2

/2X-2-X4'—1

例3.1.已知函數(shù)/(x)=ln(尤+JKIJ,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)+/S—2)=0,則a+b=()

A.-2B.-1C.0D.2

答案：D

2.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是).

A.f(x)f(—x)是奇函數(shù)B.且也是奇函數(shù)C.f(x)—f(—x)是偶函數(shù)D.f(x)+f(—x)是偶

/(-X)

函數(shù)

答案：D

解析：F{x)=f(x)+f(—x)=f(—x)+f(x)=6(一x).

3.函數(shù)f(x)=log式2+x),g(x)=loga(2—jr)(a>0且aWl),則函數(shù)戶(x)=f(x)+g(x),G(x)=F(x)

—g(x)的奇偶性是()

A.6(x)是奇函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)B.尸(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)

C.6(x)是偶函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)D.尸(x)是奇函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)

答案：B

解析：F(x),G(x)的定義域均為(一2,2),

由已知尸(一x)=f{~x)+g(—x)=loga(2—Jf)+loga(2+x)=F^x),

G(—x)=f{—x)—g(—x)=log,(2—x)—loga(2+x)=—G(x),

是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù).

4.(14年全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)/(X),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下

列結(jié)論正確的是()

A.f(x)g(無(wú))是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

7

C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

答案：C

解析：設(shè)E(X)=y(x)|g(九)|,貝u廠(-X)=y(-x)|g(-x)|,：/(%)是奇函數(shù)，g(%)是偶函數(shù)，，

F(-x)=-/(x)|g(x)|=-F(x),尸(x)為奇函數(shù)，選C.

四函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

1.函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))n函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

2.函數(shù)y=/(%)是奇函數(shù)=函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

3.函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)=函數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

4.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且值域“互為相反數(shù)”；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，且值域相同；

5.函數(shù)/(%)是偶函數(shù)=/(%)=/(|A-|)對(duì)函數(shù)于(X)定義域中的任意實(shí)數(shù)x都成立。

例1.1函數(shù)y=f(x),a<%<5是偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)=tzx2+%,0<x<1的最小值為。

答案：-4

2.若奇函數(shù)/'(x)=3sinx+c的定義域是［a,b］,則a+6+c等于()

A.3B.-3C.0D.無(wú)法計(jì)算

答案：C

3.(2016?蘭州模擬)已知f(x)=ax?+6x是定義在［a—1,2a］上的偶函數(shù)，那么a+6的值是()

1111

-----

A.3B.3C.2D.2

答案B

解析依題意得f(一x)=f(x),6=0,又a—1=—2a,

1

a-3-.\a-\-b=-,故選B.

例2.1.設(shè)偶函數(shù)/'(x)滿足f(x)=2'—4(x20),則不等式/"(X—2)〉0的解集為

答案：(-oo,0)0(4,+oo)

2.(2017?沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則滿足/'(2x—的x的取

值范圍是()

12、J2、12、J2、

A-(Z7TB.-)C.(Z5,3)D.5，T)

答案：A

解析：因?yàn)椤?x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于了軸對(duì)稱,

8

又f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(2x—1)〈嗎)，所以|2x—1號(hào)所以X

3.(2016?天津)已知/1(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足

心則a的取值范圍是()

113133

A.(―8,弓)B.(―0°,-)u(-+o0)C.(-,-)D.(-,+00)

乙乙乙乙乙乙

答案c

解析因?yàn)椤?X)是定義在R上的偶函數(shù)且在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增，所以f(—x)=f(x)且『(X)

在

(0,+8)上單調(diào)遞減.由/?—>『(一f(一筐)=￡(鏡)可得尸//，即|a一11,

所以51〈a〈/3

五例題分析

例1：求奇偶函數(shù)的解析式或值

1.已知函數(shù)丁=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?O時(shí)，/(x)=x2-2x,則在R上函數(shù)y=f(x)

的表達(dá)式為；

答案:=2：,x20|x|—2)

變形一題：已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x+3,則在R上

函數(shù)y=/(%)的表達(dá)式為；

x2-2x-3,x>0

答案：/(%)=0,x=0

—%2—2x+3,x<0

2.已知『(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f^x)=x+x,則當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)=.

答案：X2—X

3.【2019年高考全國(guó)H卷理數(shù)】已知/(%)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(幻=-05.若/(1112)=8,

則a=.

答案：—3

解析：由題意知/(%)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=—

又因?yàn)閘n2e(0,l),/(ln2)=8,

所以=一g,

9

兩邊取以e為底數(shù)的對(duì)數(shù)，得—aln2=31n2,

所以—。=3,即a=—3.

4.(2017?全國(guó)II卷)已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，f{x)=2x+/,

則A2)=.

答案12

解析,；xe(—8,0)時(shí)，f{x)—2,x+x,且f(x)在R上為奇函數(shù)，

A/-(2)=-A-2)=-[2X(—2)'+(—2)2]=12.

，兀

cos-x0VxW8,

5.已知F(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)=<6則/(/(—16))

log2^x>8,

等

于

1

cV23

2-D.

答案c

解析由題意/(—16)=一/1(16)=-log216=-4,

1

故廣(/*(-16))=廣(-4)=—/(4)=—cos2-

例2：畫出奇偶函數(shù)的草圖

1.己知函數(shù)/<x)是定義在(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，且/'七)》?！?■(一

/)，則方程/'(為=。的根的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案：C

2.設(shè)/<x)是奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又/'(—3)=0,則f(x)〈0的解集是()

A.{x|-3〈x〈0,或x〉3}B.{x|x〈一3,或0〈水3}

C.{x|x〈一3,或x>3}D.{x\—3<X0,或0〈x<3}

答案：D

3.[2020年新高考全國(guó)I卷】若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且『(2)=0,則滿足

獷20的x的取值范圍是()

A.[-1,1][3,y)B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0][l,y)D.[-1,0][1,3]

答案：D

解析：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)了。)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且/(2)=0,

10

所以/(X)在(0,+8)上也是單調(diào)遞減，且/(—2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)XC(—8,—2)D(0,2)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)xe(—2,0)L(2,+co)時(shí)，f(x)<0,

所以由4'(％—1)之0可得：

尤<0、jx>0、

[―2<x—1<0或X—122或;0<x—1<2或X—14—2或X-°，

解得-1WxWO或1W3,

所以滿足獷-1)?0的x的取值范圍是[-1,0]o[l,3],

故選：D.

例3.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)表達(dá)式中待定字母的值

1.已知：函數(shù)于(x)="(2；：；—2是奇函數(shù),則。=；

答案：1

Y

2.若函數(shù)/(%)二-----------為奇函數(shù)，則a=()

(2X+1)(X-6Z)

123

ACD

-2-B.3-4-

答案：A

一2"+1

3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)F(x)=F不是奇函數(shù)，則石=.

答案：2

4.若_f(x)=ln(e"+l)+ax是偶函數(shù)，則a=.

答案：一萬(wàn)

解析函數(shù)f(禽=ln(e3x+l)+ax是偶函數(shù)，故f(~x)=F(x),即ln(e-3%+l)—^=ln(e3j，+l)+ax,

i+3xI+3%

化簡(jiǎn)得Iny"P「=2ax=lne2a^,即yj=Pe2a。整理得33”+1=62.+標(biāo)3*+1),所以2ax+

e十ee十e

3

3x=0,解得z=-5.

9

5.已知廣(x)=lg(^---+而為奇函數(shù)，則使F(x)〈O的x的取值范圍是()

\~x

A.(—8,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(—8,0)U(1,+00)

答案B

999_|_o2—萬(wàn)2/

解析由/1(x)+F(—x)=0,即lg(^—+a)+lg(H+a)=lg~三—2——=lgl=0可得a=一

X1十X1-X

11

1,

1—I—V1—I—x

所以『(x)=lg=,解得。<=1,可得一l〈x〈。.

0

6.【2022年全國(guó)乙卷】若是奇函數(shù)，則0

答案:Q國(guó)

0

解析：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

00

由可得，岡,所以,解得:

即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由0可得，|B|.

0

即，在定義域內(nèi)滿足0,符合題意.

故答案為:B國(guó)

7.【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)"尤)=1+。葭”為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=；

若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

答案：—1

解析：首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于。的恒等式，據(jù)此可得。的值，然后利用/(%)20可得a的取

值范圍.

若函數(shù)/(X)=e'+aef為奇函數(shù)，貝1|/(-x)=-/(%),BPe-T+aex--(ev+aeTx,

即(a+D(e*+e-')=0對(duì)任意的x恒成立，

則a+1=0,得Q=—1.

若函數(shù)/(九)=e'+aef是R上的增函數(shù)，貝ij/'(x)=e*-“尸20在R上恒成立，

即awe?'在R上恒成立,

又e2x>0，則aW0,

即實(shí)數(shù)”的取值范圍是(Y,0].

12

8.12021?全國(guó)高考真題(理)】設(shè)函數(shù)，(x)=±W,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(%+1)+1

答案：B

1—Y2

解析：由題意可得/(')=——=—1+——，

1+x1+x

對(duì)于A,—1)—1=2—2不是奇函數(shù)；

對(duì)于B,7'(X—1)+1=2是奇函數(shù)；

對(duì)于C,/(x+l)-l=——-2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù);

x+2

對(duì)于D,/(x+l)+l=—,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

x+2

故選：B

9.【2020年高考全國(guó)H卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(尤)=ln|2尤+l|-ln|2x-l|,則/1(x)

A.是偶函數(shù)，且在(g,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-g,；)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(―,-｝單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

答案：D

解析：由/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|得/(%)定義域?yàn)椤?關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,

X/(-x)=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(%),

為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)了￡“；)時(shí)，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln（2x+1）在j

上單調(diào)遞增，y=In(1—2%)在上單調(diào)遞減,