2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量及其應(yīng)用（新高考專用）

平面向量及其應(yīng)用

內(nèi)容概覽

01專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）

02號(hào)情分析?解密高考

03高領(lǐng)考一點(diǎn)?以考定法（三大命題方向-四道高考預(yù)測(cè)試題，高考必考5分）

＞命題點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

》命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算

＞命題點(diǎn)3平面向量綜合應(yīng)用

高考猜題

04創(chuàng)新好題?分層訓(xùn)練（★精選8道最新名校模擬試題-8道易錯(cuò)提升）

專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖?

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色〉考情分析?解密高考?

解三角形是新高考中必考點(diǎn)，一般以一道小題形式出現(xiàn)，一般作為選擇題或者是填空題的

形式出現(xiàn)，難度不大。

真題多維細(xì)目表

考點(diǎn)考向考題

①平面向量的數(shù)量積運(yùn)算2023新全國(guó)I卷T3新高考H卷T13

全國(guó)乙卷（文）T6全國(guó)甲（文）T3（理）T4

解三角形

2022新高考II卷T4全國(guó)乙卷T3全國(guó)甲T13

2021新高考n卷T15新全國(guó)I卷T10（多選）

全國(guó)乙卷（文）T13（理）T14

全國(guó)甲（文）T13（理）T14

②平面向量的線性運(yùn)算2022新全國(guó)I卷T3

③平面向量綜合應(yīng)用2023乙卷（理）T12

密》高頻考點(diǎn)?以考定由

??高考解密<<

命題點(diǎn)1平面向量數(shù)量積運(yùn)算

典例01（2023?全國(guó)新課標(biāo)I卷）已知向量￡=（□）1=（-1）,若0+蘇）_L（G+位）,則（）

A.2+〃=1B.2+4=-1

C.加=1D.加=T

典例02(多選題)(2021?全國(guó)高考I卷)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)平ssaSna),Bfcos^-siii^),

A(8s(a+A),sin(a+0),J(1,0),貝”()

A.西卜畫B.畫=|兩

C.OAOP^OPOP:D.OAOP=OP:OP,

命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算

典例01(2022?全國(guó)新高考I卷)在dLBC中，點(diǎn)。在邊.45上，BD=2DA.記。=沌而=力，貝|而=

()

A.3m-liiB.-2w+3SC.3m+2wD.2m+3?i

典例02(2020?新高考U卷)在"LBC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，則而=()

A.2CD+CAB.CD-2C4C.2CD-CAD.CD+2CA

命題點(diǎn)3平面向量綜合應(yīng)用

典例01(2023?全國(guó)高考乙卷)已知。。的半徑為1,直線PA與。。相切于點(diǎn).4,直線P5與。。交于3,

C兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，若戶。卜立，則瓦.廂的最大值為()

A,討B(tài).匕逑

22

C.1+72D?2+&

A高考猜題預(yù)計(jì)2024年高考會(huì)向量數(shù)量積運(yùn)算問題，并以單選或者是多選的形式出現(xiàn)

一、單選題

1.若￡［是夾角為60,的兩個(gè)單位向量，總+》與-3^+2%垂直，則()

A.-B.—C.--D.—

8484

2.如圖，在平行四邊形."CD中，E是對(duì)角線NC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸在3E上且為中點(diǎn)，若

AF=xAB^yAD,貝ijx+y=()

二、多選題

3.已知向量￡=（抬」），1=（8sdsi"）（0"?*）,"=（L0）,則下列命題正確的是（）

A.若a_L%,則tan8=&B.存在8,使得「+耳=卜-可

c.向量口（當(dāng),；）是與￡共線的單位向量D.￡在2上的投影向量為小乙

0）》創(chuàng)新好題?分層訓(xùn)練?（★精選8道最新名校模擬考試題-8道易錯(cuò)提升）

A。新題速遞

1.（2022上山西運(yùn)城高三統(tǒng)考期中）已知向量￡=（⑺5=（T1）,且（2+可口，貝平-可等于（）

A.5B.2/C.277D.2備

2.（2023?海南?？诤Ｄ先A僑中學(xué)?？级＃┤鐖D，在"15。中，E是43的中點(diǎn)，BD=2DC,FC=^AF,EF

與4D交于點(diǎn)31,則工立=（）

3—3—3—3—2—8—3—4—

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

3.(2023?杭州?模擬預(yù)測(cè))已知向量；=(2+1,2),方=(1.-2),若力石，則向量Z=(L2)在向量￡+否上的投

影向量為()

A.(孫B.(U)C.圖D?圖

4.(2023上山東煙臺(tái)?高三統(tǒng)考期中)在平行四邊形ABCD中，4B=30,加=2,屈=函ZBAD==,

4

則ACDE=（）

A.2B.272C.D.4

5.（2023?河北滄州??？既＃┰谥?，若網(wǎng)=|麗卜甌卜閉，閡=|的=2,.4=123,則》.詬

的取值范圍為（）

A.[-2,8]B.[-2,6]C.[-1,6]D.㈠閭

二、多選題

6.（2023上云南楚雄高三統(tǒng)考期中）設(shè)非零向量各滿足缶4_13-；，；，問=應(yīng)用，則（）

A?a//bB?a±b

C.P+*PTD.

7.（2023上福建莆田高三莆田第十中學(xué)校考期中）已知平面向量瓦時(shí)滿足：i=2a=4,fij±（5-d）,

卜-可=/，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面向量1為的夾角為g

B.與向量石共線的單位向量為

4

C.卜斗2出

D.F-司的最大值為器

8.（2023上安徽高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知尸（2,0）,a（8s%sina）,3（cos昆仙0，

.4,5兩點(diǎn)不重合，則（）

A.國(guó)-麗|的最大值為2

B.國(guó)+國(guó)的最大值為2

C.若可=癡,國(guó)-尸耳最大值為器

D.若無(wú)5=癡，國(guó)+詞最大值為4

。易錯(cuò)提升

一、單選題

1.（2023福建漳州福建省漳州第一中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知％b,2均為單位向量，且滿足￡+%+2=6,

貝1「卜一20=（）

算C兀c兀e2兀

A.—B?-C?-D?——

6323

2.（2023?山西晉城?統(tǒng)考三模）已知向量￡=（L-1）5=（羽1町，貝=是￡/否的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?河北?聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在菱形-458中，43=1,&4D=60°,,i^AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,

貝lja-2+Z-c+a-d+a-c=（）

31

A.—1B?——C?——D?0

22

4.（2023?河北唐山高三階段練習(xí)）若平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，目|￡H^=L|"|=3,則|￡+石+21

（）

A.2B.5C.2或5D.6或小

5.（2023湖北武漢武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知.405是半徑為2,圓心角為的扇形，點(diǎn)后尸分

別在。4。3上，目。4=3。及。3=3。尸，點(diǎn)尸是圓弧々上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則詼.市的最小值為（）

16

D.

T

二、多選題

6.（2023?廣東珠海?珠海市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知萬(wàn)=&避）5=（-2,2）Q=GU）,下列結(jié)論正確的

是（）

A.與向量G垂直目模長(zhǎng)是2的向量是（-2/,2）和（26,-2）

與向量5反向共線的單位向量是?與T\

B.

向量方在向量3上的投影向量是「空，空

C.

D.向量2與向量g所成的角是銳角，則人的取值范圍是2<1

7.（2023?安徽淮南?統(tǒng)考二模）已知單位向量入"則下列命題正確的是（）

A.向量入杯共線，則伍+可乂【可

d=(cosa,sma),且貝Utana=4

B.若。#4

c.若F-圖三/，記向量kg的夾角為e,貝加的最小值為寺.

一一2兀__1一

D.若SM=丁，則向量2在向量〃上的投影向量是不。

8.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)月（85仇孤夕），B\cos（；鋁商sin3割

4兀

C（cos（8+竿）sin（8+部,則（）

3

A.|JB|=|BC|B.OA+OB=CO

ULMULU

C.OA7OB0D.OA(OB+OC)>0.

專題3-4平面向量及其應(yīng)用

內(nèi)容概覽

01專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）

02號(hào)情分析?解密高考

03高領(lǐng)考一點(diǎn)?以考定法（三大命題方向-四道高考預(yù)測(cè)試題，高考必考5分）

A命題點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

》命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算

>命題點(diǎn)3平面向量綜合應(yīng)用

高考猜題

04創(chuàng)新好題?分層訓(xùn)練（★精選8道最新名校模擬試題-8道易錯(cuò)提升）

專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖?

三京喇

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平而同■的線性退■皿：世冊(cè)1“向?，Mw-?aa?A*a-u.

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山為均為4ft.Kal.tSg，禮04#謫足加回?Qf.u"=I網(wǎng)4).戶dftMl

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由〉考情分析?解密高考?

解三角形是新高考中必考點(diǎn)，一般以一道小題形式出現(xiàn)，一般作為選擇題或者是填空題的

形式出現(xiàn)，難度不大。

真題多維細(xì)目表

考點(diǎn)考向考題

①平面向量的數(shù)量積運(yùn)算2023新全國(guó)I卷T3新高考H卷T13

全國(guó)乙卷（文）T6全國(guó)甲（文）T3（理）T4

解三角形

2022新高考II卷T4全國(guó)乙卷T3全國(guó)甲T13

2021新高考n卷T15新全國(guó)I卷T10（多選）

全國(guó)乙卷（文）T13（理）T14

全國(guó)甲（文）T13（理）T14

②平面向量的線性運(yùn)算2022新全國(guó)I卷T3

③平面向量綜合應(yīng)用2023乙卷（理）T12

密》高頻考點(diǎn)?以考定由

??高考解密<<

命題點(diǎn)1平面向量數(shù)量積運(yùn)算

典例01（2023?全國(guó)新課標(biāo)I卷）已知向量￡=（□）1=（-1）,若0+蘇）_L（G+位）,則（）

A.2+〃=1B.2+4=-1

C.加=1D.加=T

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出￡+蘇，G+而，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)椤?(1,1)3=(1,-1),所以￡+宓=(1+〃4),￡+應(yīng)=(1+41-4),

由(a+蘇)_L(a+而)可得，(a+蘇>(4+〃%)=0,

即(1+2)(1+〃)+(1-2)(1-〃)=0,整理得:加=7.

故選：D.

典例02(多選題)(2021?全國(guó)高考I卷)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)彳(8sa,sina),g(8s￡,-sin用,

X(8s(a+/?),sin(a+￡)),NQ0),貝U()

A.西=|西B.園=|西

C.OAOP^O^OP,D.OAOPy=OP,OP.

【答案】AC

________ULI*UUU

【分析】A、B寫出詬，。耳、.4々，/月的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的

坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.

2

【詳解】A:0Pi=(cosa,sina),OR=(8s￡,-sin￡),所以|。1|=-8S，a+sina=1)

IOR卜J(cos￡y+(-sin向'=1>故I。<HORI,正確；

B：APy=(cosa-lssina),AP,=(cos/?-l,-sin>S),所以

2

22272Q-cosa)=^4sin^21s嗚|,同理

|'APX|=5/(cosa-1)+sina=-Vcos^a^cosa+l+sina

|亞卜J(8s￡—D'+si廢戶=2|sm(|,故|詼|,|西不一定相等，錯(cuò)誤;

C:由題意得：OAOPi=1Xcos(a+^)+0Xsin(a+>3)=cos(a+fl),

OJ^OP.=cosacos/3+sina-sin>5)=cos(a+fl)正確;

D：由題意得：Q4OR=lxcosa+0xsina=8sa〉OP工OP、=cosxcos(a+/?)+(-siny5)xsin(a+y3)

=cos（p+（a+p））=cos（a+2p）,故一般來說德瓦*恒.而故錯(cuò)誤；

故選：AC

命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算

典例01（2022?全國(guó)新高考I卷）在d4BC中，點(diǎn)。在邊.45上，即=2".記a=m￡D=力，則而

（）

A.3ih-2nB.一加+3萬(wàn)C.3而+2力D.2?n+3w

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊.45上，BD=2DA,所以詼=2而，即詼-而=2（曰-3），

所以而=3而一20=3三一2k=一加+3萬(wàn).

故選：B.

典例02（2020?新高考II卷）在"LBC中，。是4B邊上的中點(diǎn)，則而=（）

A.2CD+CAB.CD-2C4C.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.

【詳解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡(jiǎn)單.

命題點(diǎn)3平面向量綜合應(yīng)用

典例011.（2023?全國(guó)高考乙卷）已知。。的半徑為1,直線24與。。相切于點(diǎn).4,直線與。。交

于B,C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若戶。卜也，則西.麗的最大值為（）

A.上囪B.匕這

22

C.1+72D.2+41

【答案】A

【詳解】如圖所示，\0A\=l,\0P\=y/2,則由題意可知：乙田。=%

由勾股定理可得|向|=dOP-O星=1

當(dāng)點(diǎn)4D位于直線m異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)NOR?=a0<a<-,

34

則：西歷TPN|?|PD|8s[a+；；

=lx5/2cosacosja+：；

=V2cosaj^-cosa-^-sinaj

=cos*a-sinacosa

l+cos2a1._

=------------sin2a

22

1點(diǎn)/C

22I4j

0<a<-,貝卜工42a-工（工

4444

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線m同側(cè)時(shí)，設(shè)NOR7%0<a<J,

則：瓦麗=|P-4MPD|8S；a-￡；

=lx\/2cosacos；a-：\

122J

=cos2a+sinacosa

l+cos2a1.r

----------1"一sin2a

22

=—+——sin,2a+—,>

22I4J

0<a<—,貝ij—K2a+—<—

4444

二當(dāng)2a+￡=g時(shí)，瓦而有最大值與2

綜上可得，石.麗的最大值為E.

故選：A.

??技巧解密<<

此類綜合題中難度較大。本題中對(duì)于向量與解析幾何結(jié)合問題一般來說采用數(shù)形結(jié)合

思想，將向量的運(yùn)算通過角度轉(zhuǎn)化成數(shù)量積運(yùn)算，通過設(shè)夾角，將向量轉(zhuǎn)化成關(guān)于夾角的數(shù)量積，從而再利用輔助

角公式即可。

A高考猜題預(yù)計(jì)2024年高考會(huì)向量數(shù)量積運(yùn)算問題，并以單選或者是多選的形式出現(xiàn)

一、單選題

1.若￡3是夾角為阿,的兩個(gè)單位向量，總+1與-3^+2%垂直，則兀=()

A.-B.-C.—D.—

8484

【答案】B

【分析】由題意先分別算出二,鏟二萬(wàn)的值，然后將“zlG+l與-3Z+2'垂直'等價(jià)轉(zhuǎn)換為

(^+i)-(-3a+2d)=0,從而即可求解.

【詳解】由題意有一叩j=1方=砰=1./=樸⑹的可二卜卜工；，

又因?yàn)?￡+%與-3)+2%垂直,

^^(Aa+b)\-3a+2b)=-3Aa：+(22—3而萬(wàn)+2不=一32+；*(22—3)+2=0,

整理得—2/l+g=0,解得

故選：B.

2.如圖，在平行四邊形4BCD中，E是對(duì)角線/C上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸在3E上且為中點(diǎn)，若

AF=\AB^yAD,貝ijx+y=()

【分析】利用向量加減法的幾何意義即三角形法則與平行四邊形法則，進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】???點(diǎn)尸在3H上且為中點(diǎn)，且七是對(duì)角線.4C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

————1——1—1—1—1—1—12—

[ill]AF=AB+BF=AB+-BE=-45+—AE——AB=—AB+-AE=—AB+—x—月C

J22222223

1—l——\

=--4S-+-—(zABAD|

5—1—

=—ABH"—AD

63

7

二x+j，=7

故選：A.

二、多選題

3.已知向量i=(cos^sin^)(0<^<J),"=(L0),則下列命題正確的是()

A.若大鼠貝i_|tanJ=4B.存在8,使得口+可=卜一?|

C.向蚩三([，)是與￡共線的單位向量D.￡在2上的投影向量為力士

【答案】BCD

【分析】根據(jù)向量關(guān)系依次計(jì)算判斷即可.

【詳解】對(duì)A,若小鼠貝加藤=J58s9+sine=0,貝加1=一小，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,要使p+N=|*,則￡$=0,則tan”-5因?yàn)?“4萬(wàn)，所以9故存在夕，使得

|5+d|=|fl-d|,故B正確;

對(duì)c,因?yàn)?xg-lx*=O,

所以露，又F卜/當(dāng)+6'；=1,所以向量三(省冷是與"共線的單

位向量，故C正確;

對(duì)D,因?yàn)?=(L0)為單位向量，則"在￡上的投影向量為首三有2,故D正確.

故選：BCD.

函》創(chuàng)新好題?分層訓(xùn)練?(★精選8道最新名校模擬考試題-8道易錯(cuò)提升)

A。新題速遞

1.(2022上山西運(yùn)城高三統(tǒng)考期中)已知向量￡=(Lf)5=(Tl),且(方+可口，貝平-可等于()

A.5B.2書C.2幣D.2*

【答案】A

【分析】根據(jù)(匯+可?得到r=-2,再計(jì)算p-目即可.

【詳解】因?yàn)椤?(⑺5=(-3,1),(齒+可?，

所以(2+不)工=垢$+另'=2(-3+/)+9+1=0,解得=-2.

所以1(1,-2)5=(—3,1),a-b=(4-3),*N=F+(-3『=5.

故選：A

2.(2023海南海口海南華僑中學(xué)?？级?如圖，在HBC中，E是.45的中點(diǎn)，BD=2DC,FC=^AF,EF

與4D交于點(diǎn)則而=()

3—3—3—3—2—8—3—4—

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

【答案】A

【分析】根據(jù)向量之間的共線關(guān)系，結(jié)合共線定理的推論，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得

答案.

【詳解】在"LBC中，設(shè)而由而=2比，可得益=；亞+=4,故

......-1-2—

AM=AAD=—AABH—AAC.

33

又E是.43的中點(diǎn)，而=；而，所以羽=2檢萬(wàn)V赤，所以翔=2而="后+白赤.

由點(diǎn)及產(chǎn)三點(diǎn)共線，可得一+'="解得人仃，

3914

___3—3一

故幺入＜=日為8+7月C.

故選：A.

3.(2023?杭州模抵預(yù)測(cè))已知向量方=僅+1,2)3=(1,叫，若力仁則向量Z=(L2)在向量3+否上的投

題向量為()

A.⑺)B.(1.3)C.d)D.圖

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直求出力后，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算寫出￡+否的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的概念即可求解.

【詳解】依題意得：=(2+L2)3=(LT),＞方=0,所以4+1-22=0,解得”1,

所以：=(2,2)%=(LT),所以￡+另=(3,1),

則向量IL2)在向量"+%上的投影向量為工^谷=號(hào)上.笆_=點(diǎn)31)=："；.

卜+耳。+"43一+-寸3?+11U\1L)

故選：D.

4.(2023上山東煙臺(tái)?高三統(tǒng)考期中)在平行四邊形ABCD中，AB=3垃，AD=2,屈=EB,ZBAD=?，

4

則ACDE=()

A.2B.2aC.2書D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，將就與麗都用刀與表示，再求數(shù)量積即可.

【詳解】在平行四邊形且88中，如圖所示:

—1—

因?yàn)樗?/p>