上海市南匯中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷

上海市南匯中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知集合/={1,2,3},5={3,4,5}>則——?

2.已知扇形的圓心角為60。，所在圓的半徑為10cw，則扇形的面積是—c病.

OC1Qinci=

3.已知角是第四象限角，且COSQ=L則.

3

人-krtana=2sina-cosa

4.1已知，mil則--------=—.

sina+cosa

5.若10"=21g3=b，則10898=----(結(jié)果用。、6表示).

6.已知/(x)是定義在Z)={x|xw0}上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=x2-x>則當(dāng)

x<0時,/(%)=------

7.已知角凌的終邊與單位圓的交點為尸V，則cos生“=

8.已知偶函數(shù)/卜)部分圖象如圖所示，且/(3)=0,則不等式切(切<0的解集為——

9.不等式3*+log？x>10的解為-----

10.高斯是著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名

字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)xeR,用［可表示不超過x的最大整數(shù)，則了=卜］稱為高

試卷第11頁，共33頁

,已知

斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如:[-3.7]=.4,[2,3]=22—,則函數(shù)

2Y+1

y=[/（x）]的值域為一

11.函數(shù)y=x2-log“（x+l）-4x+4,若xe（l,2）時，函數(shù)值均小于。，則實數(shù)。的取值

范圍為一?

12.設(shè)。是含數(shù)1的有限實數(shù)集，y=/（x）是定義在。上的函數(shù)，若y=〃x）的圖像

繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)巳后與原圖像重合’則在以下各項中'/⑴的可能取值是一一（填

寫序號）

①追@0

3

二、單選題

13.“。=2左，+巴左eZ”是“sinc=L”的（）

62

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）

A.y=-lB.>=2'Cy=lnx1

D.y=x^

X

15.已知函數(shù)＞的定義域為口回，值域為[0,1],貝產(chǎn)一"的最大值為（）

_3_

1O2

A-log31B.§3C.lOg3|D.2

為無理數(shù)，有下列兩個結(jié)論:

16.已知函數(shù)〃x）=

x,x為有理數(shù)

試卷第21頁，共33頁

①〃X）的值域為R;

②對任意的正有理數(shù)a,g（x）=〃x）-a存在奇數(shù)個零點

則下列判斷正確的是（）

A.①②均正確B.①②均錯誤C.①對②錯D.①錯②對

三、解答題

17.設(shè)函數(shù)y=lg（2-士］的定義域為集合4函數(shù)了=x-?的定義域為集合

B.

（1）若全集為R,求彳；

（2）若ZUB=R，求實數(shù)。的取值范圍.

18.已知函數(shù)的表達(dá)式為〃尤）=2/+巴.

（1）證明：當(dāng)a=l時，函數(shù)y=/（x）在工+oo）上是嚴(yán)格增函數(shù)；

⑵判斷函數(shù)y=/（x）的奇偶性，并說明理由.

19.習(xí)近平總書記指出：“綠水青山就是金山銀山.”某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號召，因地制宜

地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量

少（單位：kg）與肥料費(fèi)用〔ox（單位：元）滿足如下關(guān)系：

5（x2+2）0<x<220x

/代）="。""，其他成本投入（如培育管理等人工費(fèi)）為（單位：

J48-￡,2X5

、X+1

元）.已知這種水果的市場售價大約為10元/kg,且供不應(yīng)求.記該單株水果樹獲得的

利潤為1（X）（單位：元）.

⑴求的函數(shù)關(guān)系式;

試卷第31頁，共33頁

(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時，該單株水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少元?

20.已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為〃x)=2'_2r?

⑴求函數(shù)y=/(x)的零點；

(2)解不等式：/(口討2；

⑶若關(guān)于龍的方程〃x)="2，-21T-q加只有一個實根，求實數(shù)加的取值范圍?

21.設(shè)集合={〃x)|存在正實數(shù)夕，使得定義域內(nèi)任意x都有〃x+0>/(x)}.

(1)若〃月=無2，證明：/(X)e必；

⑵若g(x)=d一$+3,且g(x)eM],求實數(shù)。的取值范圍；

(3)?rh(x)=log3fx+—e[l,-H?),A：eR,且人⑴仁必，求函數(shù)")的最小值.

試卷第41頁，共33頁

參考答案：

L⑶

【分析】根據(jù)交集直接計算即可.

【詳解】由題可知：4={1,2,3},8={3,4,5}，所以4門8={3}

故答案為：{3}

C50〃2

2.---------cm

3

【詳解】試題分析：由扇形的面積公式，得該扇形的面積為

-1z17…507

S=-8R'=—x—xlOO=-----

2233

；故填50

——71

3

考點：扇形的面積公式.

3.謔/二亞

33

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和各象限三角函數(shù)值的特征進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為角a是第四象限角，所以

olllCX、

因為cosa=§，所以sitio:=—Jl—cos2a=-Jl-g=-■

故答案為：一迪

3

]_

4.

3

【分析】化弦為切齊次化計算即可.

答案第11頁，共22頁

sma]

sina-cosacosa~_tano:-l_2-l_l

【詳解】sina+cosasin。?]tana+12+13

cosa

故答案為：；

3〃

}—

-2b

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則直接計算即可.

【詳解】由題意得，10。=2，即a=lg2,Z>=1g3,

所以皿譚二張老

故答案為：!

6.-x2-x'

【分析】首先，根據(jù)當(dāng)x>0時，/(x)=x2-x>令x<0，則-x>0，然后結(jié)合函數(shù)為奇函

數(shù)，求解相對應(yīng)的解析式.

【詳解】令》<0,則“o.

f(-X)=(-X)2-(-x)=X2+X)

函數(shù)"X)是定義在D={x\x^0}上的奇函數(shù)，

-/(x)=x2+x'

/(x)=-x2-x

答案第21頁，共22頁

故答案為：-X?-X

【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求解析式，需掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)

題.

r37—0.6

5

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得角0的三角函數(shù)值，再利用誘導(dǎo)公式化簡即可得解.

【詳解】因為角凌的終邊與單位圓的交點為P,I1

所以sina=貝Ijcos(尹a]=-sina=一《.

故答案為：0d

5

8.(一叫一3)。(0,3)

【分析】根據(jù)/卜)為偶函數(shù)，可以補(bǔ)全V軸左側(cè)的圖象，再對x<0和x>0分類討論，確

定y(x)的正負(fù)，由函數(shù)圖象即可確定最后的取值范圍

【詳解】根據(jù)函數(shù)部分圖象和偶函數(shù)可以補(bǔ)全了軸左側(cè)的圖象，

由引力<0，

當(dāng)尤>0時，/3<0，結(jié)合圖象可得0<x<3;

當(dāng)x<0時，/(x)〉0，可得％<—3,

答案第31頁，共22頁

所以引力＜0的解為卜卜＜-3或O＜X＜3卜

故答案為：（-00,-3）u（0,3）.

%（2,+8）

【分析】設(shè)小尸+bg）在（。,+功上單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解］設(shè)/卜）=3，+1。瓦工在（0,+8）上單調(diào)遞增，

x

因為〃2）=3?+log22=10,所以解不等式3+log2x＞10即/（X）＞/（2），

所以X4

故答案為：（2,+8）

18{-1,0,1}

［分析］先把函數(shù)/（力=馬（分離常數(shù)，然后求分離常數(shù)后的取值范圍，最后根據(jù)取值

范圍求解了=[/（》）].

【詳解】.“目：2--12X2，+2-3_2（2、+1）-3—23

?八J2、+12X+12、+12、+1

133

又??,2X>0/.2X+1>1/.0<-----<1-3<------<0/.-1<2——-——<2，

2X+12、+12X+1

當(dāng)一一-*＜。時，上―1，所以尸卜⑼的值域里有」

3a=o,所以y=［/（x”的值域里有°

當(dāng)0?2———<1時2------

2X+12X+1

答案第41頁，共22頁

當(dāng)1<2--^-<2時/2-一—1=1，所以”[“X)]的值域里有1

2A+12A+1

所以產(chǎn)"⑺]的值域為{-1,0,1}

故答案為：{-1,0,1}

1L(1,2]

【分析】對。分類討論，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

2

【詳解】y=x-loga(x+l)-4x+4=(x-2)--logfl(JC+1)，

當(dāng)a>l時，xe(l,2)，V是減函數(shù)，y<y,l=1=1-loga2<0,1<a<2；

當(dāng)0<。<1時，(x-2)2>0,-log“(x+l)>0,.,.y=(x-2)2-log"(x+l)>0'不符合題意；

故答案為：ae(l,2]?

12.②

【分析】先閱讀理解題意，則問題可轉(zhuǎn)化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)

百個單位后與下一個點會重合，再結(jié)合函數(shù)的定義逐一檢驗即可.

6

【詳解】由題意可得，問題可轉(zhuǎn)化為圓上有12個點為一組，

每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)四個單位后與下一個點會重合，

6

則通過代入和賦值的方法，當(dāng)〃1)=6,1,0時，此時得到圓心角為黃一,0,

然而此時X=()或》=1時，都有2個y與之對應(yīng)，

根據(jù)函數(shù)的定義，自變量與應(yīng)變量只能“一對一”或“多對一”，不能“一對多”，

答案第51頁，共22頁

因此，只有當(dāng)x=@時，此時旋轉(zhuǎn)火，滿足一個“對應(yīng)一個'，

26

所以「⑴的可能值只能是

2

故答案為：②

13.A

【分析】根據(jù)充分、必要條件結(jié)合任意角的正弦函數(shù)分析判斷.

【詳解】若。=2￡+2左EZ,貝！Jsina=sin（2左si班叫L,-=—keZ成立:

616）62

1jrSjrjr.

若sina=—,則a=2左，+—左￡Z或a=2ft,H-----kwZ,故a=2左，+—keZ不一定成立;

2666

綜上所述：“a=2依+工keZ”是“sina”的充分不必要條件.

62

故選：A.

14.D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性相關(guān)知識逐一判斷即可.

【詳解】對于A,夕二-1在6—0和e+動單調(diào)遞增，在定義域（一。。川向+⑹不單調(diào)

遞增，故A錯誤；

對于B,y=2、是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C,y=lnx是非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D,尸x；定義域（一叫十°°），（-j+xL+」=0,故函數(shù)為奇函數(shù)，由累函數(shù)單

調(diào)性可知，＞=工（在（一°0'+8）單調(diào)遞增，故D正確.

答案第61頁，共22頁

故選：D

15.B

【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象相關(guān)性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算

即可.

【詳解】由題意得，”

11[-3x+l,x<0

作出函數(shù)圖象如圖所示，

令解得X=k)g3：或X=log3|"，

則當(dāng)/julogsg,a=k)g31■時，6"取得最大值，

42

止匕時b-a=log3--log3—=log32.

故選：B

16.D

【分析】根據(jù)值域中不含負(fù)無理數(shù)可判斷①；根據(jù)》=。戶為有理數(shù)或為無理數(shù),

解出可判斷②.

【詳解】對于①，因為外公二1-"為無理數(shù)，顯然"X)的值域中不含負(fù)無理數(shù)，

71尤,尤為有理數(shù)

故/(X)的值域不為R，故錯誤；

對于②，g(x)=/(x)-a的零點，即x=a,x為有理數(shù)或/=.亦為無理數(shù)，

答案第71頁，共22頁

對于x=a,x為有理數(shù)，必有解x=a，

對于為無理數(shù)，必有解》=±血或無解，

故gQ）=/（尤）零點有三個或一個，故正確；

故選：D

17.（l）yl=|x|-l<X<--^-j

「3I

（2）--,0

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域和補(bǔ)集相關(guān)知識求解即可；

（2）根據(jù)題意得到8=卜,-14工（°+1｝，結(jié)合4U3=R列出不等式組求解即可-

【詳解】（1）因為函數(shù)y=lg（2—

的定義域為集合4

kx+1

所以令2--匚=至±1>0,

x+1X+1

即J(2x+l)(x+l)>。,解得x<T或

]x+lw02

即/={x|x<T或x>T，

所以/=卜—1<X<

（2）因為函數(shù)了=的定義域為集合斐

所以令1一|工一。20，解得a-lVxVa+l，所以8=國"1VxVa+1｝，

答案第81頁，共22頁

"U八R卜-小1工”0

因為，所以1，解得2一~

6Z+1>——

I2

所以實數(shù)。的取值范圍為-3,0

2

18.（1）證明見解析

（2）當(dāng)〃=0,是偶函數(shù)；當(dāng)awO，〃x）是非奇非偶函數(shù)―

【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義證明，即可得證；

（2）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，分〃一。與〃討論，即可得到結(jié)果.

CI-V1/7-V

77—11

【詳解】（1）當(dāng)時，/（x）=2x2+p

任取玉<工2￡[L+00），

則/（xj—/（X2）=12x：++—

\XlJ\X27

=2(^1+X2)-x2)+—

—（X]-%）2（演+）-----，

|_XxX2_

,

因為玉<%2G[1,+8）'則再一'2<0'玉X2>1'2（X1+X2）>4

則2（再+々）一一—>0,所以/&）一/（切<0,即/&）</」2）,

所以函數(shù)y=/（x）在口,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù).

答案第91頁，共22頁

（2）因為/（X）的定義域為eg‘O,ue'+s）關(guān)于原點對稱,

當(dāng)。=0時,〃冷=24則/（X）為偶函數(shù);

當(dāng)"0時，〃l)=2+aJ(T)=2_a，則/⑴/㈠)1)，

所以是非奇非偶函數(shù).

50x2-30x+100,0<x<2

1%(l)/(x)=480

----------30x+480,2<x<5

、x+1

（2）當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.

【分析】（1）結(jié)合已知條件，表示出/⑴即可；（2）利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式

即可求解.

5(x2+2),0<x<2/(x)=10/x)T0%-20x

【詳解】（1）因為少（無）=，48，

48--------,2<x<5

x+1

5Ox2-30x+100,0<x<2

所以/(x)=<480

----------30x+480,2<x<5

、x+1

22

(2)當(dāng)。"V2時，y-w=50x-30x+100=50(x-^)+,

由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知，“X）在［0，5］上單調(diào)遞減，在（、,2］上單調(diào)遞增,

>/(0)=100</(2)=240

從而“X)max="2)=240,

即/（X）在［0,2］上的最大值為240；

答案第101頁，共22頁

當(dāng)2<xV5時，/(x)=—當(dāng)一30x+480=—[當(dāng)+30(x+l)]+510,

x+1x+1

因為幽+30(x+l)>2J^--30(x+l)=240'

x+1Vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)絲9=30(X+1),即"=3時，不等式取等號，

X+1

從而/(x)=-[—+30(x+l)]+510<270,

x+1

即當(dāng)x=3時，/(x)有最大值270,

此時肥料費(fèi)用10x=3().

綜上所述，當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.

20.(1)?

⑵卜8,噢2(行+1))

(3){-3}U(1,+O))

【分析】（1）利用單調(diào)函數(shù)至多一個零點這個知識點即可得出答案;

（2）利用對數(shù)運(yùn)算法則計算即可；

（3）利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式即可解題.

【詳解】（1）設(shè)再=0<2/（2"2=2超—2/）0........①

/（均-/（匹）=（2「L）-（2「2f=2-2』+^fl=（2，=2w）/會j……②

；

①代入②有:/(X2)-/(%1)>0

答案第111頁，共22頁

.../(X)在定義域內(nèi)單增n/(x)至多一個零點；且注意到/(0)=0,

綜上可知/(x)有唯一零點x=0-

(2)/(x)<2n2"-2-工<2n2工一(<2n(2?一2義2*<1n(2,-1丫<2........①

①式兩邊開方有：忙-1|<啦=>1-&<2，<1+0........②

又2*>0........③

②③取交集為：0<2'<1+收0》<1嗎(啦+1),

(3)若關(guān)于x的方程/(x)=m-2、--g加只有一個實根；

4

即^機(jī)=2'-2"……④

3

3(m-l)22x-4/n-2x-3=0........⑤

作變量代換令”2,>0……?

將⑥式代入⑤式有：3(刃--4加-3=0……⑦；

當(dāng)"'T時⑦式為一次函數(shù)，解得2不在定義域內(nèi)，故機(jī)=i不滿足題意,

4

當(dāng)加N1時，

當(dāng)△立時方程有唯一解，△隹4加2升通隹=>機(jī)口一或加=。；

答案第121頁，共22頁

3t=-?3

當(dāng)時，代入⑦式，解得，不在定義域內(nèi)，故加=7舍去；

當(dāng)"=一3時，代入⑦式，解得/=l>0,/=」在定義域內(nèi)，故心=一3滿足題意.

22

當(dāng)公心時，方程⑦有兩個解，但只需要保證有一個根在定義域，而另一個根不在定義域,

則此時的加即可滿足題意；

設(shè)方程⑦有兩個根.<0<q；

由分析可知：tlt2<0……⑧

由韋達(dá)定理可知：區(qū)=/-3……⑨

聯(lián)立⑧⑨可得：f也=—7—~—r(0n而1.

3(加一1)

綜上可得優(yōu)的取值范圍為：｛.3｝口(1,+8).

2L(1)證明見解析；

(2)a>1

log3(l+A：),-l<A：<1

⑶〃(X)mm='ogj(2〃卜1V左<3

【分析】(1)利用集合定義證明即可；

(2)/@+0)_/(尤)>0,化簡，通過判別式小于仇求出。的范圍即可.

(3)由/(x+a)-/(x)>。，推出〃(x+2)—%(x)=log3(X+2)H——-log3fx+—>0,

答案第131頁，共2