2023-2024學(xué)年廣東省深圳高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷及答案

試卷

2023-2024學(xué)年度高一第一學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號碼等信息填寫在答題卡上.

2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.如圖，0是全集，M,N,尸是°的子集，則陰影部分表示的集合是（）

B.

c.（av）c（Nc尸）D.(6

2.下列兩個函數(shù)為同一函數(shù)的為（）

X2

A.y=x；y=——B.y=cosx-tanx；y=siwc

x

2

c.=log2x；y=log4x

3.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地

震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震級數(shù)"之間的關(guān)系式為lg￡=4.8+L5M.2O22

年9月18日14時44分在中國臺灣花蓮發(fā)生的6.9級地震所釋放出來的能量是2020年12

月30日8時35分在日本本州東海岸發(fā)生的5.1級地震的加倍，則下列各數(shù)中最接近加的

值為（）

A.100B.310C.500D.1000

4.己知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對的弦長為4,則該扇形的面積為（）

試卷1

試卷

44

A.——B.——C.4sin2lD.

sin21COS1

4cos21

4162c一

5.若兩個正實數(shù)％,y滿足x+y=3,且不等式+—＞m-3掰+5恒成立，則實數(shù)加

x+1y

的取值范圍為()

A.m|-4<加<1}B.加|加＜一1或加＞4}

Cm-1<m<4D.<0或加>3}

a,a>b,a>c

6.已知函數(shù)y=max{a,b,b,b>a,b>c,

c>a,c>b

/(x)的最小值為()

3+#)3

A.1B.C.9D.-

24

7.已知函數(shù)/(x)=cos(sinx),/(x)=-相在［-兀述］內(nèi)解的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

1(x=l)

8.已知函數(shù)/(%)=］ln|x—w(xwl)'若方程/2(x)+4(x)+》二°有九個不同實根，

則Qb的取值范圍是()

A.(―%―2)U(—2,0)B.(—8,-l)U(—l,+8)

D.(-2,+oo)

二、多選題：本題共4個小題，每小題5分,共20分，每個小題至少有兩個正

確選項，漏選得2分，錯選或多選得0分.

9.下列條件中，其中P是9的充分不必要條件的是()

A.p:a>l,b>l；q:a+b>2

兀

B.p:tana=1；q:a=-GZ)

試卷2

試卷

C.p；q:ln（e*+l）>l

D.p:a2<1；q：函數(shù)=f+（2—Q）X—2a在（0,1）上有零點

萬

10.設(shè)函數(shù)/（x）=sinxcosx+Gcos2%———?給出下列命題，正確的是（）

A./（X）的圖象關(guān)于點對稱

B.若|/（西）一/（%）|=2，則忖―》2L="

C.把/（x）的圖象向左平移5個單位長度，得到一個偶函數(shù)的圖象

117

D.在（0,2萬）內(nèi)使/（x）=5的所有x的和為了"

11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱號，用其名字命

名的“高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則丁=[可稱為高斯函

數(shù).例如：[一2.3]=—3,[3.2]=3,下列命題正確的是（）

A.[盯]=[x]3B.[x+y]^[x]+[y]

C.[x+1]=[x]+lD,[x]+x+—=[2x]

12.已知%是函數(shù)/（x）=e'+x—2的零點（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)），下列

說法正確的是()

A.xoe(O,1)

B.ln(2-x0)=x0

xx

C.x0-e-°<0D.Xg~°>e

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

,貝!]cos12a+?

13.已知ae

14.寫出一個符合下列要求的函數(shù)：

①的值域為R②〃x+l）為偶函數(shù)

試卷3

試卷

15.函數(shù)〃X）=|X-1|與函數(shù)g（X）=2cOSy（X-l）的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為

16.函數(shù)/（M=止士11在區(qū)間［-6,-1］可1,6］上的最大值與最小值之和為

13

a+〉0,6〉0）,則一+一的最小值為______.

ab

四、解答題：本題共6個小題，其中第17題10,第18到22題每題12分，共

及70分

2

17⑴計算：6Iog67+21g5-（sinl）°+lg4+'

（2）已知一+必=6，求婷+》3的值.

18.如圖，已知單位圓。與x軸正半軸交于點點45在單位圓上，其中點A在第一象

限，且NNO8=（,記NMOA=a,NMOB=0.

（2）若點A的坐標(biāo)為求sina-sin"的值.

19.湖南株洲市某高科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備.生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本

為500萬元，每生產(chǎn)x臺，需要另投入成本〃（X）（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量小于60臺時，

/Z（X）=X2+20X（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于60臺時"x）=102x+%W-2080（萬元）.

X

若每臺設(shè)備的售價為100萬元，通過市場分析，假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售.

（1）求年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量%（臺）的函數(shù)關(guān)系式？

（2）年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一款電子設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？

試卷4

試卷

20.設(shè)函數(shù)/(x)=Gsinxcosx+Ssin?%-］.

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)＞=/(%)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖

7TTT37r

象向左平移一個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在［-7,一-］上的值域.

444

V一〃

21.已知函數(shù)/("=有長是奇函數(shù).

(1)求。的值，判斷/(x)的單調(diào)性(不必證明)。

(2)解不等式：log2|/(x)|+2V0.

22.歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等

函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì).例如，歐拉引入了"倒函數(shù)''的定義：對于函數(shù)v=/(x),如果

對于其定義域。中任意給定的實數(shù)X,都有-xe。，并且=就稱函數(shù)

＞=/(%)為“倒函數(shù)”.

2—X

(1)已知/(x)=10"，g(x)=-——,判斷＞=/(x)和歹=g(x)是不是倒函數(shù)，并說

明理由；

⑵若/(X)是定義在R上的倒函數(shù)，當(dāng)XW0時，/(%)=4,方程/(x)=2023

3+X

是否有整數(shù)解？并說明理由；

(3)若/(X)是定義在R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R上單調(diào)遞增.記

"(x)]2T

尸(x)=證明：玉+馬〉o是尸(石)+/(馬)〉0的充要條件.

/(x)

試卷5

試卷

2023-2024學(xué)年度高一第一學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號碼等信息填寫在答題卡上.

2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.如圖，0是全集，M,N,尸是U的子集，則陰影部分表示的集合是（）

B.Mu(NcP)

c.（d〃）c（NcP）D.(aWu(Ncp)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)文氏圖的意義，陰影部分為集合M的外部與集合N集合尸交集內(nèi)部的公共部

分，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，陰影部分為集合M的外部與集合N集合尸交集內(nèi)部的公共部分，

即(dV)c(NcP).

故選：C.

2.下列兩個函數(shù)為同一函數(shù)的為（）

試卷6

試卷

A.y=x；v=—B.y=cosx-tanx；y-sinx

x

2

C.J=log2x；y=log4xD.j=|x|；y=E

【答案】D

【解析】

【分析】同一函數(shù)要滿足中兩個條件：第一：定義域相同，第二：對應(yīng)關(guān)系完全一致，根據(jù)

兩個條件即可判斷.

2

【詳解】對于選項A,y=x定義域為R,y=土定義域為{X|XHO},函數(shù)定義域不相

同，不是同一函數(shù)，故A不符合題意；

對于B,y=cosx-tanx定義域為+kez1,y=sinx定義域為R,函數(shù)定

義域不相同，不是同一函數(shù)，故B不符合題意；

對于C,y=log2X定義域為{x|x>0},函數(shù)y=log/2定義域為{x|x。0},函數(shù)定義

域不相同，不是同一函數(shù)，故C不符合題意；

對于D,>=國定義域為R,了=值定義域為R,且了="=葉函數(shù)定義域相同，

對應(yīng)關(guān)系完全一致，是同一函數(shù)，故D符合題意.

故選：D.

3.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，己經(jīng)對地震有所了解.例如，地

震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震級數(shù)M之間的關(guān)系式為lgE=4.8+1.5M.2O22

年9月18日14時44分在中國臺灣花蓮發(fā)生的6.9級地震所釋放出來的能量是2020年12

月30日8時35分在日本本州東海岸發(fā)生的5.1級地震的加倍，則下列各數(shù)中最接近加的

值為（）

A.100B.310C.500D,1000

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)地震釋放出的能量E與地震級數(shù)M之間的關(guān)系式lgE=4.8+1.5M,將兩次地

震等級分別代入，利用對數(shù)運算法則可得兩次能量E的比值，近似計算可確定選項.

試卷7

試卷

【詳解】設(shè)6.9級地震所釋放出來的能量是耳，日本5.1級地震所釋放出來的能量是62,

則lgg=4.8+1.5x6.9,lg￡,2=4.8+1.5x5.1；

可得lgg_lg￡2=lgg=2.7,所以a=m=IO"e（io，,io3）

而"5=g=1OOV1O?316,即加?（316,1000）.

故選：C

4.已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對的弦長為4,則該扇形的面積為（）

44

A.-z-B.---T-C.4sin21D.

sin2lcos1

4cos21

【答案】A

【解析】

【分析】由扇形的弧長和面積公式求解即可.

【詳解】因為扇形的圓心角弧度為2,所對弦長為4,。為圓心，如下圖，

取48的中點D,連接0。，則。則NZOZ）=1,

則扇形的半徑r=——2，所以扇形的弧長/=2x'7-=4」_,

sin1sin1sin1

1424

則扇形的面積為5=-x——x——=-

2sinlsinlsin1

416

5.若兩個正實數(shù)x,了滿足x+y=3,且不等式----+一＞加2-3加+5恒成立，則實數(shù)加

x+1y

的取值范圍為（）

A.1m|-4＜m＜11B,{加何＜—1或加＞4}

C.{加|-1＜冽＜4}D.{加加＜0或加＞3}

【答案】C

試卷8

試卷

【解析】

【分析】先由/匚+”=!（x+l+--7+—結(jié)合基本不等式求出的最小

x+1y4\x+lyJx+1y

值，進而得機2—3m+5<9,再解一元二次不等式即可.

【詳解】由題意知，

4161/1/416、4y16（x+l）

---+——=—（x+l+y）----+——=—4+——+-----+16

x+1y4（x+1yJ4x+1y

4+2也.巫叫=9,

4\x+ly

4y16（x+l）184162rL

當(dāng)且僅當(dāng)一L——L,即x=—y=—時取等，又不等式一；■+—〉機--3m+5恒

x+1j3"3x+1j

成立，則不等式機2-3m+5<9，

即（機一4）（機+1）<0,解得—1（加<4.

故選：C.

a,a>b,a>c

6.已知函數(shù)了=max{a,b,b,b>a,b>c,設(shè)/（x）=max,?,|x_“,3x},則

c,c>a,c>b

/（x）的最小值為（)

3+V53

A.1B.C.9D.-

24

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，在同一個直角坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)的圖象，結(jié)合最大值的含義可直接

得出最小值.

【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2/=k-l|/=3x,

試卷9

試卷

根據(jù)題意可得函數(shù)/（X）=max{x*2*4i3x}為圖中黑線表示部分,

根據(jù)圖像可得，點A為函數(shù)＞=/與y=—的交點，

所以/=1—x解得故點A的橫坐標(biāo)為三5,

22

點B為函數(shù)y=3x與y=|x—的交點，

所以3x=l—X,解得x=—,故點B的橫坐標(biāo)為工，

44

點C為函數(shù)y=/與＞=3x,（x＞l）的交點，

所以必=3%，得X=3,故點C的橫坐標(biāo)為3,

1-V5

,x3

1-V5

所以函數(shù)/（x）=,卜-11<X<—,

4

3x—<x<3

4

i3

由圖像可知，當(dāng)x=z時，函數(shù)/（X）有最小值為4.

故選：D.

7.已知函數(shù)/(X)=cos(sinx),/(x)=—在［一再可內(nèi)解的個數(shù)為（

試卷10

試卷

【答案】D

【解析】

【分析】依題意，得sinx=工或-工，再結(jié)合圖象進行判斷

66

【詳解】解：依題意，得cos(sinx)=亨，

因為xe[—zr,句,所以sinxe[—1,1],

得sinx=工或一工,

66

因為,

結(jié)合圖象：

有四個不同的交點.

故選：D

1(x=l)

8.己知函數(shù)/(x)=j時(X/]),若方程/2(%)+叭%)+6=0有九個不同實根，

則ab的取值范圍是()

A.(―℃,-2)U(-2,0)B.(―℃,—1)U(-1,+℃)

C.(―co,—]D.(—2,+oo)

4

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出/(x)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖形可得本題等價于g(/)=/+at+b在(0,+a)有兩個零點,

試卷11

試卷

g⑴=1+a+b=0

其中1個零點為1,則可列出不等式組<A=/-46〉0求出。的范圍，進而求出結(jié)果.

g(0)=…

【詳解】畫出/(x)的函數(shù)圖象如下,

由圖可知，若方程/2(x)+4(x)+b=0有九個不同實根,

則/(x)=l或/(x)=/，其中0<1或t>l,

令g?)=F+at+b,

則g(。在(0,+e)有兩個零點，其中1個零點為1,

g⑴=l+a+b=0

則<公=。2-46〉0,解得。<一1且aw-2,

g(0)=b〉0

ab<0且ab0一2,

故ab的取值范圍是(一叫一2)U(-2,0).

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)方程解的個數(shù)求參數(shù)范圍，解決本題

的關(guān)鍵是畫出函數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)圖象可知要使方程有9個根，等價于

g(/)=〃+a/+6在(0,+s)有兩個零點，其中1個零點為1,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解

決.解決函數(shù)與方程的問題常用數(shù)形結(jié)合的方法，因此畫函數(shù)圖象、分析圖形能力是必備能

力.

試卷12

試卷

二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，每個小題至少有兩個正

確選項，漏選得2分，錯選或多選得0分.

9.下列條件中，其中。是鄉(xiāng)的充分不必要條件的是（）

A.p'.a>\,b>\-q:a+b>2

兀

B./>:tana=l；q;a=kn+—（k

C.p:.x^l；q:In（e*+1）>1

D.p:a2<hQ：函數(shù)/（x）=d+（2-a）x-2a在（0,1）上有零點

【答案】AC

【解析】

【分析】由不等式的性質(zhì)判斷選項A,由正切函數(shù)的特點判斷選項B,由對數(shù)復(fù)合函數(shù)的性

質(zhì)判斷選項C,由二次函數(shù)的特點判斷選項D.

【詳解】對于A,由顯然可得。+3之2,反之不成立，故正確；

兀

對于B,12口。=1是。=布1+—（左￡2）充要條件，不正確；

4

對于C,丁工〉1,二.eXAe,e*+l>e,反之不成立，正確；

對于D,當(dāng)一1<〃<0時，/（x）=x2+（2—Q）X—2Q=（x—Q）（X+2）在（0,1）上沒有零點,

D不正確.

故選：AC

n

10.設(shè)函數(shù)/（x）=sinxcosx+Gcos?%———?給出下列命題，正確的是（）

A./（X）的圖象關(guān)于點>寸稱

B.若|/（芭）—/（%）|=2,則民一/L=?

C.把/（"的圖象向左平移5個單位長度，得到一個偶函數(shù)的圖象

1

D.在（0,2乃）內(nèi)使/（%）=5的所有x的和為了"

【答案】ACD

【解析】

試卷13

試卷

【分析】對原函數(shù)使用輔助角公式.對于A選項，根據(jù)對稱中心的定義即可；對于B選項,

/(xj和/(%)一個為函數(shù)/(x)的最大值，一個為最小值即可求解；對于C選項，求出

711n13%

g(x),根據(jù)偶函數(shù)的定義即可;對于D選項，令/=2x+—,求出sin/一在/e

32亍

的根即可.

【詳解】〃x）=gsin2x+—cos2x=sinf2x+-l

23

A：當(dāng)x=g時，/(x)=0,經(jīng)檢驗§,0)是它的一個對稱中心，故A正確;

B：若|/(西)一/(%)|=2,則/(xj和/(%)一個為函數(shù)/(x)的最大值,一個為最小值,

xx

?■?Ii-2|min=f=f;故B錯誤;

C：/(x)的圖象向左平移5個單位長度得到g(x)=cos2x,g(x)為偶函數(shù)，故C正確

n13萬

令/=2x+j,：xe（0,27）,e

t丁

.1+n13乃5兀13萬VI71254

sin/>在/e的根分別為:\---,?！?---,4=----,%=----

216263646

.7115TI

則有玉=1，X2—,x——，在(°，2萬)內(nèi)使/(X)=2的所有X的和為

1234

Xl+X2+X3+X4=^,故D正確.

故選：ACD.

11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱號，用其名字命

名的“高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則丁=［可稱為高斯函

數(shù).例如：［-2.3］=-3,［3.2］=3,下列命題正確的是()

A.B.[x+y]=[x]+[y]

1

[x+1]=[']+1D+XH—=[2x]

-M2

【答案】CD

試卷14

試卷

【解析】

【分析】

令x=1.5,y=1.5,可判定A、B不正確；設(shè)x=7z+r,其中"為x的整數(shù)部分，廠為小數(shù)

部分，結(jié)合"高斯函數(shù)"，可判定C、D正確.

【詳解】對于A中，例如[L5xl.5]=[2.25]=2,[L5][1.5]=lxl=l,所以不正確；

對于B中，例如[1.5+1.5]=[3]=3,[1.5]+[1.5]=2,所以不正確；

設(shè)x=〃+r,其中“為x的整數(shù)部分，廠為小數(shù)部分，HP[x]=n,

對于C中，[x+l]=[〃+r+l]=〃+l,[x]+l=[〃+r]+l=〃+l,所以是正確的；

1n+r]+〃+〃+；,

對于D中，[x]+XH--=[

2

若可得[x]+X+；=2”，[2x]=[2n+2r]=2n；

若<1,可得[x]+x+—=2〃+1,[2x]=[2n+2r]=+1,

2_2_

所以D是正確的.

故選：CD.

【點睛】對于函數(shù)的新定義試題的求解：

1、根據(jù)函數(shù)的定義，可通過舉出反例，說明不正確；

2、正確理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義進行推理、論證求解.

12.已知%是函數(shù)/(x)=e'+x—2的零點(其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))，下列

說法正確的是()

A.x0e(0,1)B.ln(2-x0)=x0

C.x0-e/<0D.>e

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件確定％所在區(qū)間，再逐一分析各個選項即可判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=e'+x—2在R上單調(diào)遞增，/(0)=e°-2=-l<0,

試卷15

試卷

/(}=*-2=五—|〉0,

而%是方程/(》)=6工+%—2的零點，因此XoC(O,g),A正確；

由/(%)=°得：2—/=6跖，兩邊取對數(shù)得：ln(2—%)=%，B正確;

因0</<4，且;；=》—在(0,工)上單調(diào)遞增，則/—e』<1-3<0,c正確;

222Ve

19_

當(dāng)0</<5，2-x0>1,則須)2』</<1,D錯誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

nV3

13.已知ae（0,乃）,若sina---,貝!|cos[2a+W）=

6

【答案】土子

【解析】

n

【分析】根據(jù)同角的基本關(guān)系可得cosa--±Jl-sin2a--=-+—,再根據(jù)正

63

巫,再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得

弦的二倍角公式，可得sin2a—(=±

3

[71\71/71\

cos2a+—=cos2l=_sin21a—wj，由此即可求出結(jié)果.

I6

【詳解】因為sin]a—看]=。，ae(O㈤,

所以sin2^a~~2V2

~T~

所以

試卷16

試卷

2、"=—sin2H迪

cos2a+—=cos2a---+—=cos

I6I32I6j2_lI6)3

故答案為：土迪.

3

14.寫出一個符合下列要求的函數(shù)：。

①/(x)的值域為R②/(x+1)為偶函數(shù)

【答案】/(x)=ln|x-l|(答案不唯一)

【解析】

【分析】由函數(shù)的值域以及奇偶性直接能得到答案.

【詳解】/(x)=ln|x—1|時，/(x+l)=ln|x|,滿足/⑶值域為R,且/(x+1)為偶函數(shù)，

故答案為：/(x)=ln|x-l|(答案不唯一).

「5兀~

15.函數(shù)/("=卜-1|與函數(shù)g(x)=2cosy(x-l)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為

【答案】10

【解析】

【分析】判斷函數(shù)/(X)的性質(zhì)與最小值，判斷函數(shù)g(x)的性質(zhì)，作出函數(shù)/(X)與g(x)

的大致圖象，判斷兩個圖象在(1,+”)上的交點情況，根據(jù)對稱性得結(jié)果.

【詳解】因為"2—x)=|2—X—=—x|=/(x),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l

對稱，

且/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+。)上單調(diào)遞增，

所以/(X)的最小值為/(1)=0.

g(x)=2cos-^-(x-1)=2cos[]x-]J=2singx

所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且g(X)的最大值為2.

由于/(x)的圖象和g(x)的圖象都關(guān)于直線x=1對稱，

試卷17

試卷

所以先考慮兩個圖象在(1,+”)上的情形，

易知g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在［］,段■］上單調(diào)遞減,

在［二,二］上單調(diào)遞增，在［《,3］上單調(diào)遞減.

易知/〃3H3-1|=2,

所以可作出函數(shù)/(x)與g(x)的大致圖象如圖所示，

所以/(X)的圖象和g(x)的圖象在(1,+”)上有5個交點.

根據(jù)對稱性可知兩函數(shù)圖象共有10個交點，且兩兩關(guān)于直線x=l對稱，

因此所有交點的橫坐標(biāo)之和為2x5=10.

故答案為：10.

16.函數(shù)=在區(qū)間［-e,-上的最大值與最小值之和為

13

<7+6(<7>0,Z)>0),則一+一的最小值為.

a0

【答案】V3+2##2+V3

【解析】

【分析】將解析式變形為/(x)=i+ln(e*+e］,令g(x)」n(e*+e)利用奇偶性

XJC

即可得Q+6=2,然后妙用“1”求解即可.

試卷18

試卷

2xxxlX

lnfe+llne(e"+e-)lne+ln(e+e

【詳解】/(x)=

xxX

x+ln(e'+尸Ine'+e

=1+—-----

xx

.In+e-x

令g(x)=—xe[-e,-l]o[l,e],

X

Ine-x+ex

因為定義域關(guān)于原點對稱，且g(-x)==-g(%>

—x

所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在區(qū)間[-e,-l]o[l,e]上的最大值與最小值之和為0,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間[-e,-l]u[l,e]上的最大值與最小值之和為2,即a+6=2.

又a>0,b>0,

…131137、1If.b3a].1(b3a

所以一十不二7—+—a7

ab2ab2abJ2ab

>2+1x2b3a=V3+2,

ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=現(xiàn)

a+b=2,即a=G-l，b=3-6)，等號成立.

ab

故答案為：V3+2

【點睛】難點點睛:本題難點在于對函數(shù)解析式的變形，然后根據(jù)奇偶性得到a+b=2,

從而利用“1”的妙用得解.

四、解答題：本題共6個小題，其中第17題10,第18到22題每題12分，共

及70分

2

3

17.(1)計算：610g67+21g5-(sinl)°+lg4+A

(2)已知%-2+%2=6，求%-3十%3的值.

76廠

【答案】(1)g；(2)±100.

【解析】

【分析】(1)利用對數(shù)運算性質(zhì)求解;

試卷19

試卷

⑵先求出X-1+X=±2A/2，再利用/+d=(—+x)(r2+--1)求解.

【詳解】⑴解：原式=6+2(lg5+lg2)

76

=8+r~9

(2)因為獷2+》2=6,

所以(%T+xj=/+%2+2=8,

所以尸+x=±2A/2>

所以X-3+丁=+X)(》-2+—])=±2拒X5=±10A/2

18.如圖，已知單位圓。與x軸正半軸交于點M,點48在單位圓上，其中點A在第一象

(2)若點A的坐標(biāo)為［g,機］,求sina-sin"的值.

【答案】(1)A,8兩點坐標(biāo)分別為［不2二2］乂,22)

(2)」

5

【解析】

【分析】(1)直接利用三角函數(shù)的定義求解點的坐標(biāo)即可；

、61

(2)根據(jù)/的坐標(biāo)求出sina=1，利用角的關(guān)系及特殊角的函數(shù)值求解sin￡=5,從

而得解.

【小問1詳解】

試卷20

試卷

、

兀1

因為。=一，所以cose=二，sintz=,所以點A坐標(biāo)為

3222

27

因為夕=]+1=￥，所以cos4=—等，sin〃=；，所以點8坐標(biāo)為一

2'2.

所以43兩點坐標(biāo)分別為

222'2「

7

【小問2詳解】

4+m2=l,又點A位于第一象限，則機=|

由A點在單位圓上，得

即sino=|4

所以點A的坐標(biāo)為costz=—,所以

714

sin，=sin--\~CC=cosa=—

25

所以sina-sin/=一;.

19.湖南株洲市某高科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備.生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本

為500萬元，每生產(chǎn)x臺，需要另投入成本〃（X）（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量小于60臺時,

/Z（X）=X2+20X（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于60臺時/z（x）=102x+%W-2080（萬元）.

若每臺設(shè)備的售價為100萬元，通過市場分析，假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售.

（1）求年利潤/（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式?

（2）年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一款電子設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大?

—x~+80x—500,0<x<60

【答案】y=]1580—2x+言；（2）年產(chǎn)量為70臺時，最大獲得1300

,x>60

萬元.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)條件，利潤了等于設(shè)備的售價減去投入成本〃（工）再減去年固定成本即可求解;

（2）對（1）中的函數(shù)關(guān)系式分別利用二次函數(shù)和基本不等式求兩段的最大值，再取最大的

試卷21

試卷

即可