2024-2025學年新教材高中數學第3章圓錐曲線的方程本章總結提升課件新人教A版選擇性必修第一冊

第三章本章總結提升知識網絡·整合構建專題突破·素養(yǎng)提升專題一圓錐曲線的定義及標準方程1.求圓錐曲線方程的常用方法:(1)直接法:動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關系,只需把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法:動點滿足已知曲線的定義,可先設定方程,再確定其中的基本量.(3)代入法:動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動點(稱之為相關點)而運動的.如果相關點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標,根據相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程.(4)待定系數法:根據條件能確定曲線的類型,可設出方程形式,再根據條件確定待定的系數.2.求圓錐曲線方程體現了邏輯推理和數學運算、直觀想象的數學素養(yǎng).【例1】

已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為

.

規(guī)律方法

1.應用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件.2.涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構成的三角形問題時,常用定義結合解三角形的知識來解決.3.在求有關拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離,結合幾何圖形,利用幾何意義去解決.變式訓練1P是拋物線y2=8x上的任意一點,F是拋物線的焦點,點M的坐標是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此時點P的坐標.解

拋物線y2=8x的準線方程是x=-2,那么點P到焦點F的距離等于它到準線x=-2的距離,過點P作PD垂直于準線x=-2,垂足為D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如圖所示,根據平面幾何知識,當M,P,D三點共線時,|PM|+|PF|的值最小,且最小值為|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.專題二圓錐曲線的幾何性質1.本類問題主要有兩種考查類型:(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質,其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點.(2)已知圓錐曲線的性質求其方程,基本方法是待定系數法,其步驟可以概括為“先定位、后定量”.2.圓錐曲線的性質的討論和應用充分體現了直觀想象和邏輯推理的數學素養(yǎng).規(guī)律方法

求解離心率的三種方法(1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標準方程可知,不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意兩個參數,可以求其他參數,這是基本且常用的方法.(2)方程法:建立參數a與c之間的齊次關系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.(3)幾何法:求與過焦點的三角形有關的離心率問題,根據平面幾何性質以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質,建立參數之間的關系,通過畫出圖形,觀察線段之間的關系,使問題更形象、直觀.變式訓練2已知橢圓(a>b>0)的半焦距是c,A,B分別是長軸、短軸的一個端點,O為原點,若△ABO的面積是

c2,則此橢圓的離心率是(

)A專題三直線與圓錐曲線的位置關系1.直線與圓錐曲線的位置關系,可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定,通常消去方程組中變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式.2.通過解決直線與圓錐曲線的位置關系問題培養(yǎng)數學運算的核心素養(yǎng).規(guī)律方法

1.直線與圓錐曲線的位置關系可以通過代數法判斷.2.一元二次方程的判別式、弦長公式是代數法解決問題的常用工具.變式訓練3已知橢圓E:=1(a>b>0),其焦點為F1,F2,離心率為,直線l:x+2y-2=0與x軸、y軸分別交于點A,B.(1)若A是橢圓E的一個頂點,求橢圓的方程;(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.

專題四圓錐曲線的綜合問題1.圓錐曲線的綜合問題包括位置關系證明及定點、定值、最值、探索性問題,解決的基本思路是利用代數法,通過直線與圓錐曲線的方程求解.2.圓錐曲線的綜合問題的解決培養(yǎng)邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng).(1)求橢圓E的方程;(2)P為橢圓E上一個動點,求△PAB面積的最大值.故可設橢圓E的方程為x2+4y2=4b2,①由題意可得圓心M(-2,1)是線段AB的中點,易知AB與x軸不垂直,記其方程為y=k(x+2)+1,代入①可得(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2-4b2=0,規(guī)律方法

1.最值問題常見的題型,可用建立目標函數的方法求解.2.圓錐曲線的綜合問題可以從分析問題的數量關系入手,利用直線系或曲線系方程或函數方程思想,通過聯想與類比,使問題獲解.變式訓練4已知動圓P與圓O1:x2-x+y2=0內切,且與直線x=-1相切,設動圓圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)過曲線C上一點M(2,y0)(y0>0)作兩條直線l1,l2與曲線C分別交于不同的兩點A,B,若直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且k1k2=1.證明:直線AB過定點.即y1y2-2(y1+y2)=x1x2-2(x1+x2),所以b2-2b-4m2+4m=0,所以(b-1)2=(2m-1)2,所以b=2m