2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 圖形的旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱 專項(xiàng)練習(xí)

圖形的旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱專項(xiàng)練習(xí)

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等★

圖形的旋轉(zhuǎn)

能按要求作出簡(jiǎn)單的平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角★★

中心對(duì)稱會(huì)識(shí)別中心對(duì)稱圖形

二、核心綱要

1.旋轉(zhuǎn)的定義及其有關(guān)概念

D'

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)O沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，定點(diǎn)0稱

為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角；如右圖所示,線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90。得到A'B',X與A',B；

A1/

與夕是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)O就是旋轉(zhuǎn)中心，/BOB'乙4。"是旋轉(zhuǎn)角./'、、、：/‘

注：旋轉(zhuǎn)的三要素：⑴旋轉(zhuǎn)中心；(2)旋轉(zhuǎn)方向；(3)旋轉(zhuǎn)角./

2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)B°

(D旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

(3)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角.

3.旋轉(zhuǎn)作圖

旋轉(zhuǎn)作圖的步驟：⑴明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

(2)找出原圖形中的各頂點(diǎn)在新圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.

(3)按原圖形中各頂點(diǎn)的排列規(guī)律，將這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成一個(gè)新的圖形.

(4)寫出結(jié)論.

4.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)

的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角大于(0。,小于360°).

5.中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

(1)中心對(duì)稱的定義：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與另一個(gè)圖形完全重合，則這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)是對(duì)

稱中心.這兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn).

(2)中心對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.

③關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行(或者在同一條直線上)且相等.

(3)中心對(duì)稱圖形的定義：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與自身重合，則這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.

(4)中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的聯(lián)系和區(qū)別

①區(qū)別：中心對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的對(duì)稱關(guān)系，而中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形兩部分的對(duì)稱關(guān)系.

②聯(lián)系：都是把圖形旋轉(zhuǎn)180。;如果把中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形；如果把一個(gè)中心對(duì)

稱圖形相互對(duì)稱的兩部分看作兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形就成中心對(duì)稱.

6.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo):P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱P'(-x,-y)

本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)作圖，兩個(gè)性質(zhì)，四個(gè)定義（旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形）.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

2.如圖23-1-1所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的頂點(diǎn)E固定在正方形ABCD的對(duì)稱中心位置，正方形EF

GH繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)它們重疊部分的面積為S,旋轉(zhuǎn)的角度為0,S與6的函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（）.

3.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（百,1）,將OA繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。得OB,則點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的

坐標(biāo)為（）.

A.（l,V3）-V3）C.（-V3--l）D.（2,0）

4.如圖23-1-2所示，點(diǎn)D是等邊△4BC內(nèi)一點(diǎn)，若A4BD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能與A4CE重合，則旋轉(zhuǎn)了__度.

5.如圖23-1-3所示,在AABC中,NC=30。,將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至以ADE,AE與BC交于點(diǎn)F廁，乙4FB=?,,直線CB與DE

所夾銳角的度數(shù)為一.

6.如圖23-1-4所示.在AABC中,.乙4cB=90。,乙4BC=30。,4c=1..將AABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AABC,使得點(diǎn)A”恰好落在AB上，連

接BB；則BB的長(zhǎng)度為

圖23-1-2圖23-1-3圖23-1-4

7.如圖23-1-5所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AOAB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)將AOAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,畫出旋轉(zhuǎn)

后的AOA'B’.

圖23-1-5

8.如圖23-1-6所示，在RtAABC中,/ABC=90。,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BD=AB過(guò)B作BE_LAC,與BD的垂線DE交于點(diǎn)E,

⑴求證:AABC注ZiBDE.

（2）ABDE可由AABC旋轉(zhuǎn)得到，利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心0（保留作圖痕跡，不寫作法）.

圖23-1-6

能力提升

9.如圖23-1-7所示QA_L0B,等腰直角三角形CDE的腰CD在0B上,NECD=45。,將三角形CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

N恰好落在0A上貝嘿的值為（）.

A-B.iC.V2D.—

233

10.如圖23-1-8所示，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與A、B重合）,連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。彳導(dǎo)線段PE,連接

BE,則NCBE等于（）.

A.75°B.60°C.45°D.30°

11.如圖23-1-9所示,E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)BE=CF,.連接AE、BF.將△ABE繞正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)O按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到ABCF，則旋轉(zhuǎn)角是（）.

A.450B.1200

圖23-1-7圖23-1-8圖23-1-9

12.如圖23-1-10所示，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PB=遮.下列結(jié)

論:①4APD當(dāng)AAEB;②點(diǎn)B至！J直線AE的距離為③EB_LED;④SAAPD+SAAPB=1+遙;⑤S正方形ABCD=4+遙其中正確結(jié)論的

序號(hào)是（）..

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

13.如圖23-1-11所示在RtAABC中,AB=AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn).NMDN=9（T,NMDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DM、DN分別與邊AB、AC交于E、

F兩點(diǎn).下列結(jié)論:（①BE+CF=:BC②SAEF＜衿BC，③S四邊形AEDF=AD.EF,④AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

().

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

圖23-1-10圖23-1-11

14如圖23-1-12所示，在AABC中,AB=BC,將AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到AAIBCIAB交AC于點(diǎn)E,AC分別交AC、BC于點(diǎn)D、

F,下列結(jié)論:①NCDF=a，②AiE=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤AjF=CE其中正確的是___（寫出正確結(jié)論的序號(hào)）.

15.如圖23-1-13所小,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上,AABO是直角二角形,/ABO=9O0j^B的坐標(biāo)為（-1,2）,將AABO繞原點(diǎn)O順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到AAiBiO,則點(diǎn)Bi關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為一.

16.如圖23-1-14所示，已知正方形ABCD,點(diǎn)E在BC邊上,將ADCE繞某點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)得到ACBF,點(diǎn)F恰好在AB邊上.

(1)請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)中心G(保留畫圖痕跡)，并連接GF、GE.

(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2a,當(dāng)CE=一時(shí),SSFGE=SFBE-,當(dāng)CE=一時(shí)，SpGE=3SFBE.

17.如圖23-1-155)所示,已知/人8?=90。,小8￡是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合)，連接AP,將線段AP繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,連接QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.

(1)如圖23-l-15(b),當(dāng)BP=BA時(shí),/EBF=___。，猜想NQFC=___°.

(2)如圖23-l-15(a),當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí),猜想NQFC的度數(shù),并加以證明.

(3)已知線段.AB=2值,，設(shè)BP=x，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

(a)(b)

圖23-1-15

18.已知:在AAOB與ACOD中QA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=90。.

⑴如圖23116(a)所示，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連接AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連接OM，則線段AD與OM之間的

數(shù)量關(guān)系是__位置關(guān)系是_.

⑵如圖23-l-16(b)所示，將圖23-L16(a)中的ACOD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(a(0°<a<90。)..連接AD、BC,點(diǎn)M為線段B

C的中點(diǎn)，連接OM.請(qǐng)你判斷(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶如圖23-1-16?所示，將圖23-L16(a)中的ACOD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使.ACOD的一邊OD恰好與AAOB的邊OA在同一條直

線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn).請(qǐng)你判斷

⑴中線段1AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是工否發(fā)生變化，寫出你的猜想,并加以證明.

OcA0ADOA

<a)(b)(c)

圖23-1-16

中考鏈接

19.（北京）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）.

D.

20.（江西南昌）如圖23-1-17所示,正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，將AAEF繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)BE=DF時(shí),NB

AE的大小可以是—.

圖23-1-17

21.（湖南懷化）如圖23118（a）所示,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3/2的正方形,長(zhǎng)方形AEFG的寬AE=攝長(zhǎng)EF=：點(diǎn)將長(zhǎng)方形AEFG繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到長(zhǎng)方形AMNH（如圖23-1-18（b）所示）這時(shí)BD與MN相交于點(diǎn)O.

(l)SZDOM的度數(shù).

（2）在圖23118（b）所示中，求D、N兩點(diǎn)間的距離.

⑶若把長(zhǎng)方形AMNH繞點(diǎn)A再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到長(zhǎng)方形ARTZ,請(qǐng)問(wèn)此時(shí)點(diǎn)B在矩形ARTZ的內(nèi)部、外部、還是邊上?并說(shuō)明理

由.

(a)(b)

圖23-1-18

巔峰突破

22如圖23-1-19所示在RtAABC中，已知乙C=90°,ZB=50。,點(diǎn)D在邊BC上,.BD=2CD把1△4BC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m(0°<m

<180。)后，如果點(diǎn)B恰好落在初始.RtA4BC的邊上，那么m=.

A

cKDB

圖23-1-19

23.如圖23-1-20所示，已知正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正1半軸上，點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn).等腰直

角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，E、F分別在OA、OC上，且。A=4,?！?2.將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至.△的

位置，連接CFr.AEr.

(1)求證：△OAE±=△OCFL

(2)若三角板OEF繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得(OEillC%..若存在，請(qǐng)求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

圖23-1-20

基礎(chǔ)演練

1.C2.B3.B4.605.90;60°6.g7.略

8.⑴證明:在R3ABC中.

ZABC=90°,AZABE+ZDBE=90°.

VBE±AC,.\ZABE+ZA=90°.

:.ZA=ZDBE.

??,DE是BD的垂線,ZD=90°.

ZA=ZDBE,AB=BD,ZABC=ZD,

AAABC^ABDE.

⑵作法一：如下左圖所示，點(diǎn)O就是所求的旋轉(zhuǎn)中心.作法二：如下右圖所示，點(diǎn)O就是所求的旋轉(zhuǎn)中心.

9.C10.C11.D12.D13.C

14.①②⑤15.(-2,-1)

16.⑴參考下圖：

G、2+V2-2-V2

(2)。,^—。或一^―a.

17.(1)ZEBF=30°.ZQFC=60°.

(2)NQFC=60。.不妨設(shè)BP＞百AB.如下圖所示

VZBAP二ZBAE+ZEAP=60°+ZEAP,ZEAQ二

ZQAP+ZEAP=60°+ZEAP,:.NBAP=NEAQ.

在2kABP和21AEQ中,AB二AE,NBAP=NEAQ,

AP=AQ.Z.AABP^AAEQ.

ZAEQ=ZABP=90°.AZBEF=180°-ZAEQ-4AEB=180°-90°-60°=30°.

乙QFC=乙EBF+乙BEF=30°+30°=60°.

⑶在下圖中，過(guò)點(diǎn)F作FG±BE于點(diǎn)G.

:△ABE是等邊三角形.

：.BE=AB=28,,由(1)得NEBF=30。.

在RtABGF中,3G=詈=V5.BF=2.EF=2

'：AABP^AAEQ.QE=BP=x.

.?.QF=QE+EF=x+2.

過(guò)點(diǎn)Q作QH_LBC,垂足為H,在RtAQHF中,y=QH=y(x+2)(x)0).

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：y=fx+V5,

18.(1)線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM,位置關(guān)系是AD±OM.

(2)(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.

證明：如右圖所示，延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO.連接CF.

為BC中點(diǎn),0為BF中點(diǎn)，

.,.MO為ABCF的中位線.

.?.FC=2OM.

ZAOB=ZAOF=ZCOD=90°,

ZAOD=ZFOC.

?.,AO=FO,CO=DO.

，AAOD^AFOC.

.?.FC=AD..\AD=2OM.

,/MO為△BCF的中位線,工MO〃CF.

，ZMOB=ZF.

XVAAOD^AFOC,.'.ZDAO=ZF.

ZMOB+ZAOM=90°,/.ZDAO+ZAOM=90°.

即AD1OM.

(3)(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化.

證明:如下圖.延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E,連接ME,過(guò)點(diǎn)E作EN1AD于點(diǎn)N.

?.,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,

ZA=ZD=ZB=ZBCE=ZDCO=45°.

AE=DE,BE=CE,ZAED=90°.

/.DN=AN./.AD=2NE.

TM為BC的中點(diǎn),...EMLBC四邊形ONEM是矩形....NE=OM；.AD=2OM.

中考鏈接

19.A20.15°或165°

21.(1)如下左圖所示,設(shè)AB與MN相交于點(diǎn)K,根據(jù)題意得:NBAM=15。.：四邊形AMNH是矩形ZM=90°..1.ZAKM=90°-ZBAM=7

5°.AZBKO=ZAKM=75°.V四邊形ABCD是正方形,；.ZABD=45°.

:ZDOM=ZBKO+ZABD=75°+45°=120°.

(2)連接AN,交BD于I.連接DN。

?:NH=AE=