江西省九江一中2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

江西省九江一中2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)夕是方程d—x—1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記%=律+,（?eN*）.下列兩個(gè)命題（）

①數(shù)列｛4｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；

②數(shù)列｛??｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

2.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S,,,若8%019+。2016=。，則稱的值為（）

d3

2了2-x

3.函數(shù)1同心的圖像大致為（）?

A.B.

16.20.

A.一iB.6iD.20

3-3

5.在ABC中，AB=3AC=2,44c=60。，點(diǎn)。，E分別在線段AB,CD上，且應(yīng)＞=2AD,CE=2ED,

則BE-AB=（）.

A.-3B.-6C.4D.9

6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系龍。丁中，尸是橢圓二+==1（。〉6〉0）的右焦點(diǎn)，直線y=《與橢圓交于B,C兩

ab~2

7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-iz=2+i（i為虛數(shù)單位），貝!]z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.函數(shù)〃元）=2元3—以2+1在（0,+動內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則Q的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

9.設(shè)過點(diǎn)P（x,y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于V軸對稱，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若BP=2PA，且=則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

33

A.—x2+3/=1(%>0,y>0)B.—X2-3y2=l(x>0,y>0)

33

C.3x2~2y2=1(%〉?！?〉。)D.3x2+—y2y>0)

%-4y+4<0

10.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組2x+y-10<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)（不，為），使不等式x0+/沖0+1<0

5x-2y+2>0

成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

511

A.一一封C.[4,+co)D.(-00T]

WnC-t-ia?|

11.已知數(shù)列四,—,4工是首項(xiàng)為8,公比為大得等比數(shù)列，則見等于（）

Cly??-i2

A.64B.32C.2D.4

、

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角。頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn),m,則

sin126+?()

A./

B國n3710

B.-------c迪u,--------

1010,lo-10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一次醫(yī)療救助活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,

且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有.種.（用數(shù)字作答）

_JT

14.在“叱中,9>1），若角A的最大值為二則實(shí)數(shù)X的值是

15.在三棱錐P-A3C中，AB=5,BC=3,C4=4,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為60。，三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為

16.如果拋物線V=2px上一點(diǎn)4（4,到準(zhǔn)線的距離是6,那么機(jī)=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種植三種花

卉.方案是：先建造一條直道OE將AABC分成面積之比為2:1的兩部分（點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC±）；再取OE

的中點(diǎn)建造直道AM（如圖）.設(shè)AQ=X,DE=義,=%（單位：百米）.

A

(D分別求必，為關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)試確定點(diǎn)。的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

尤2

18.(12分)已知函數(shù)=1,

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

4V2

(2)當(dāng)0〈機(jī)<7時(shí)，判斷函數(shù)g(x)=。-〃z,(x>0)有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)函數(shù)網(wǎng)力=：%--+/(%)-^x---f(x)-cx2,若函數(shù)⑺在(0,+8)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

一121「10-

19.(12分)已知矩陣"=2］，MN=。1.

(1)求矩陣N；

(2)求矩陣N的特征值.

20.(12分)如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸為拋物線G：X2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，且拋物線G上點(diǎn)尸處的切線與圓

。2：必+、2=1相切于點(diǎn)。

(1)當(dāng)直線PQ的方程為x-y-0=0時(shí)，求拋物線G的方程;

5.

（2）當(dāng)正數(shù)Q變化時(shí)，記H.S?分別為AFPQ,AM9Q的面積，求亡的最小值.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=f-alnx,aeR.

（1）若/（x）在無=1處取得極值，求。的值；

（2）求/（X）在區(qū)間［1,+8）上的最小值；

4+h（x^

（3）在（1）的條件下，若以工）=尤2一/（尤），求證：當(dāng)l<x<e2時(shí)，恒有、成立.

4-h（x）

22.（10分）某保險(xiǎn)公司給年齡在20-70歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽

取100名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段［20,30）,［30,40）,［40,50*50,60）,［60,70］分成了五組，其頻率分布直方圖如

下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用

為一百萬元.

年齡

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（單位：歲）

保費(fèi)

2x3x4x5x

（單位：元）

（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求x精確到整數(shù)時(shí)的最小值與；

（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在［60,70］之間的老人每50人中有1人患該項(xiàng)疾?。ㄒ源祟l率作為概率）.該病的治療費(fèi)為12000元，

如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)10000元.某老人年齡66歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)（x取（1）中的％）.針對此疾病所支付的費(fèi)

用為x元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對此疾病所支付的費(fèi)用為y元.試比較x和y的期望值大小，并判斷該老人購買

此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

n

利用韋達(dá)定理可得a+尸=1,3=—1,結(jié)合4=a+尸"可推出a“+i=an+an_x，再計(jì)算出％=1,g=3，從而推出①

正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閏,￡是方程必_%_1=o的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以=1,羽=一1,

因?yàn)?=4+，"，

所以*=a翦1+￡田

=（a"+尸"）a+（4+尸"）尸—pna-0n/3

=（6/"+尸”）（夕+尸）_羽（41+尸-1）

=（a'+〃）+（a"T+QT）=a'+ai，

即當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛4｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，

又q=1+,=1,。2=oc~+01=（a+0y—2aB=3,

所以〃3=〃2+=4,〃4=%+%=7,%=4+〃3=11,

以此類推，即可知數(shù)列｛an｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛4｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,

由6=1,。2=3,依次計(jì)算可知,

數(shù)列｛??)中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,738,9,7,6,3,9,2為周期，

故數(shù)列｛%｝中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

2、C

【解析】

求得等比數(shù)列｛4｝的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得3的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,8%?9+。2016=0，。/=詠=一—L

“2016"2

因此,上=寧=1+/=^.

>3i—qo

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

本題采用排除法：

由/［一：］=一/［普］排除選項(xiàng)D；

根據(jù)特殊值ffyKo排除選項(xiàng)C;

由％>0,且x無限接近于0時(shí)，/(“<0排除選項(xiàng)B；

【詳解】

對于選項(xiàng)D：由題意可得，令函數(shù)/(%)=y=

cosX

5萬5%

（5萬、22—22

對于選項(xiàng)C因?yàn)?［萬）=一五一〉0,故選項(xiàng)C排除;

~2

對于選項(xiàng)B：當(dāng)X>0,且X無限接近于0時(shí),W—COSX接近于—1<0,2'-2r>0,此時(shí)/（九）<0.故選項(xiàng)B排除;

故選項(xiàng):A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;

屬于中檔題.

4、C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

z=（3-z）（a+2z）=3a+2+（6-a）z

???z=（3-z）（a+2z）（aeR）為純虛數(shù)，

.?.3。+2=0且6—a20

加2…20.

得。=—，此時(shí)z=-I

33

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)題意，分析可得AD=1,由余弦定理求得。C的值，由

8E?A3=（3。+OE）?A3=?A3+DE?A3=?A3可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，AB=3,BD=2AD,則AO=1

在ADC中，XAC=2,ZBAC=60°

則DC-=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則。C=百

則CDLAB

則8石48=（8。+。E）43=3。43+。石43=5。48=3乂2乂（；05180=-6

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.

6、A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得B和。的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得3c2=24，由離心率定義可得結(jié)

果.

【詳解】

22

》「-1+6

—+7T-1X=±----CL/、

ab2V3bb'

由＜得，所以3------a.—,C

bb2-2

y=—y=—7

22

f40b}、

由題意知萬（c,0），所以3戶=cH---a,—

I22Jc』一旦/

227

因?yàn)?班C=90。,所以BF±CF,所以

73b23a2-c2

BFCF=c+—aH.....-c,2—a,2+3c2_J_q2=0

224442

7

所以3c2=2標(biāo)，所以e=$=逅,

a3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到Z,由此得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定所處象限.

【詳解】

2+/_(2+，)(1+，)_1+3，_13.

由2—，Z=2+2?得:1-z-(l-z)(l+z)-221

j_3

，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.

2,2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

求出了'(幻=6必-2依，對。分類討論，求出(0,+8)單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.

【詳解】

f'(x)=6x2-2ax=6x(x-f,

若oVO,xG(0,+oo),f'(x)>0,

/(x)在(0,+a)單調(diào)遞增，且/'(0)=l>0,

在(0,+。)不存在零點(diǎn)；

若。>0,xw(0,至,r(x)<0,xe(0,+oo),f'(x)>0,

=2--a/+［在(0,+“)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

9、A

【解析】

設(shè)A,8坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出BP=2PA，從而可利用X。表示出。力；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出AB=1,代

入a,b整理可得所求的軌跡方程.

【詳解】

設(shè)A（〃,0）,B（0,Z?）,其中〃>0,b>0

z、z、%=2（〃—x）a=—>0

BP=2PA=即〈'2

b-b=-2y[b=3y>0

RQ關(guān)于y軸對稱；.Q（—X,y）

3

OQ-AB=（一x,y）?=ax+by=l.-.—%2+3y2=l（x>0,y>0）

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平

面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.

10、B

【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)/+1<。恒過。（-1，°），再分別討論機(jī)的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)

與可行域的基本關(guān)系，即可求解

【詳解】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示：

八x4wrf|-c(m<0)

6-

5■

其中4（2,6）,直線x+叼+1=0過定點(diǎn)。（—1,0）,

當(dāng)加=0時(shí)，不等式x+l<0表示直線x+l=0及其左邊的區(qū)域，不滿足題意;

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，直線%+陽+1=0的斜率一,<0,

m

不等式x+my+l<0表示直線x+陽+1=0下方的區(qū)域，不滿足題意；

當(dāng)m<0時(shí)，直線%+陽+1=0的斜率一工〉0,

m

不等式x+陽+1<0表示直線x+陽+1=0上方的區(qū)域,

要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)（九0，％），

使不等式4+7沖o+l<O成立，只需直線X+陽+1=0的斜率—工《心。=2,解得機(jī)W—

m2

綜上可得實(shí)數(shù)M的取值范圍為(-8,-g],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題

11,A

【解析】

根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意知：1=8,—=4,故w=32,幺=2,%=64.

《a2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

12、A

【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得機(jī)，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sin，,cos，，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角

公式，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：j豐j+m2=l,又。為銳角

所以m>0,根=迪

5

根據(jù)三角函數(shù)的定義：sin，=2^,cos6=@

55

4

所以sin28=2sin0cos6=飛

3

cos20=cos20-sin20-——

5

(jr\jrTT

由sin26H——=sin2^cos——I-cos20sin—

I4J44

4723V2V2

所以sin28+(一X--------X----=----

525210

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點(diǎn)在于公式的計(jì)算，識記公式,

簡單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、60

【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).

【詳解】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，

然后從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，

故選派的方法為：=10x6=60.

故答案為60.

【點(diǎn)睛】

解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,

解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

14、1

【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用4表示cosA,利用基本不等式可求實(shí)數(shù)彳的值.

【詳解】

（AB-2AC）（-Afi+AC）=-c2-Ab2+（2+l）Z?ccosA=0

cosA=-----（一+-）>-----=——，解得2=1.

A+1cbA+12

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為“，77是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑r=1.三個(gè)側(cè)面與底面所

成的角均為60。，△RW，PBC,PAC的高PD=PE=PF=2,PH=6,設(shè)內(nèi)

切球的半徑為R,(g(3+4+5)x2+；x3x4)xR=3x；xgx3x4x6=6G

:.R力,內(nèi)切球表面積S=4乃A?=9.

33

.4-7T

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

16、±4A/2

【解析】

先求出拋物線V=2px的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)4(4,/可到準(zhǔn)線的距離為6,列出4+^=6,直接求出結(jié)果.

【詳解】

拋物線J?=2px的準(zhǔn)線方程為X=-彳，

由題意得4+'=6,解得。=4.

2

,/點(diǎn)A(4,tn)在拋物線/=2px上，

nr—2x4x4>***m=+4^2，

故答案為：±4&.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)%=小?+?一6,%e[2,3]._y=J~+~JXG[2,

23].

(2)當(dāng)4。=幾百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值]直+學(xué)2百米.

【解析】

2

（1）由&可解得AE.方法一：再在AAD石中，利用余弦定理，可得為關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在AADE

和AAEM中，利用余弦定理，可得上關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?方法二：在AADE中，可得。2=AE-A。，則有

DE=AE-2AEAD+AD>化簡整理即得；同理AM=；（AD+AE）,化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等

式，計(jì)算即得.

【詳解】

2

解：⑴S.qSgMBC是邊長為3的等邊三角形，又旬二%,

—AD-AE-sin—=—?—x32xsin—|AE=—.

233（23Jx

0<AD=x<3

6，得2<x<3.

0<AE=-<3

法1：在AAD石中，由余弦定理，得

DE7=AD2+AE--2ADAECOS-=X2+^--6.

3%2

故直道OE長度/關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為為=小爐+：一6,xe[2,3].

在AAD石和AAEM中，由余弦定理，得

AD~=DM2+AM2-2DM-AMcosZAMD①

AE2=EM2+AM2-2EM-AM-cos（7v-ZAMD）②

因?yàn)镸為OE的中點(diǎn)，所以DM=EM=LDE.

2

由①+②，AD2+AE2=DM2+EM2+2AM2=-DE2+2AM2,

2

所以/+但］=-fx2+^-6>|+2AM2>所以471/2=二+二+。.

⑴2（fJ4/2

所以，直道A"長度為關(guān)于%的函數(shù)關(guān)系式為

法2：因?yàn)樵贏ADE中，DE=AE-AD>

所以。E?=AE?—+=[￡]-2--xcos^+x2=x2+^-6.

\xJx5x

所以，直道OE長度/關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為％=必+岑-6,XG[2,3].

在△AD石中，因?yàn)镸為。石的中點(diǎn)，所以AM=g(AD+AE，

.21/22\1/036)

所以AM=w(AO+AE+2AD-AEj=-x2+—+6.

所以，直道AM長度為關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式為％=J『+3+|，]G[2,3].

(2)由(1)得，兩條直道的長度之和為

故當(dāng)A。=幾百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值[逐+號]百米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中檔題.

18、(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8)；(2)有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析；(3)eV-A

【解析】

(1)對函數(shù)/(%)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)/(%)的正負(fù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間即可；

2

⑵函數(shù)g(x)=1-八(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明；

(3)記函數(shù)F(x)=/(%)-(%--)=—-x+-,%>0，求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得尸⑴?F(2)<0,由零點(diǎn)存在性定理及單

xexx

調(diào)性知存在唯一的(1,2)，使尸(%)=0,求得網(wǎng)可為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)》〉不時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為2cWM(x)m1n的問題;②當(dāng)0<x</時(shí)，當(dāng)cWO時(shí),〃(x)>0在(0,%)上恒成立，從而求得c的取

值范圍.

【詳解】

44

因?yàn)?<相<下時(shí)，所以g(2)==—加>0,

ee

因?yàn)間(x)=，所以g(%)>0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g(2)>0,g(0)=-m<0,且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知,

函數(shù)g(x)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn),

由⑴可得以0時(shí)⑵=/㈤“

X4

即上工三<1,故時(shí)，,>九2,

蜻/

m

由縝>必得e唬〉色,平方得e懵〉二，所以g(-^)<0,

mm7m

因?yàn)間'(x)=,2：x),所以g'(1)<o在(2,小)上恒成立,

44

所以函數(shù)g(x)在(2,”)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<根</,所以赤〉2,

由g(2)〉0,g(9)<0,且g(x)在(2,一)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g?)在(2,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

r2

綜上可知：函數(shù)g(x)=―-加,(x20)有2個(gè)零點(diǎn).

ex

1V21

(3)記函數(shù)/(%)=/(%)—(%—±)=L—九+±,%〉0,下面考察方(%)的符號.

xexx

求導(dǎo)得尸(x)=xQ—x)—i_3,x>o.

exx-

當(dāng)了之2時(shí)尸(x)<0恒成立.

當(dāng)0vxv2時(shí)，因?yàn)閤(2—劃<［皿|3］2=1,

所以F'(x)=工(2x)一］一_---L<0.

ex-exxx

：.尸(x)<0在(0,+8)上恒成立，故尸(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=—-^<0,AF(l).F(2)<0,又因?yàn)榇?x)在口,2］上連續(xù),

ee2

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使E(%)=0,

/.xe(0,x0),F(%)>0;%e(x0,+oo),F(x)<0,

12

x------ex,0<九《豌)

%

因?yàn)殁?x)|=x---f(x)斯以〃(x)=<

X22

---CX,X>XQ

1H—--2cx,0<xV%0

X

/.〃(x)=<

x(2一%)

------------2cx,x>xQ

1r2

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,F(x)=x------^=0,

00%oe

所以“(x)20在(0,%)，(與，+8)上恒成立.

①當(dāng)X〉不時(shí)，”2「)—2cx-0在(4,+00)上恒成立,即2c<絲二在(%,+00)上恒成立.

記貝！

w(x)=——,x>x0,I/(x)=——,x>x0,

當(dāng)X變化時(shí)，M(x),“(X)變化情況如下表：

X(%,3)3(3,+8)

/(%)—0+

w(x)J極小值T

"(X)min="(%)撥〃="(3)=——y,

7'即。"白?

故ZcVuOLn=

當(dāng)時(shí)，〃在(上恒成立.

②當(dāng)0＜x＜玉；時(shí)"(x)=l+4—2cx,cWO0)>00,%)

實(shí)數(shù)C的取值范圍是CW-J.

綜合(1)(2)知

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù)尸(%),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零

點(diǎn),從而求出函數(shù)例＞)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

12

3；a；(2)4=葭14=-1?

19、⑴衿2

_3-3.

【解析】

(1)由題意，可得N=,利用矩陣的知識求解即可.

ca7

(2)矩陣N的特征多項(xiàng)式為/(4)=卜+1—令/⑷=0,求出矩陣N的特征值.

【詳解】

/、ab12」「aba+2cb+2d10

⑴設(shè)矩陣N=j,則MN=c」J

'Jcd21cd2a+c2b+d01

a+2c=1

"2d=01?

所以,解得a=—,b=—

2a+c=033

2b+d-1

」1

33

所以矩陣N=21

_3~3_

(2)矩陣N的特征多項(xiàng)式為了(X)=1/Ugj-1,

令/“)=0,解得4=g，4=T，

即矩陣N的兩個(gè)特征值為4=g,4=-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的知識點(diǎn)，屬于?？碱}.

20、(1)x2=4V2y.(2)20+3?

【解析】

Y/22jr~X

試題解析：(I)設(shè)點(diǎn)P(X0,二°一)，由x?=2py(p>0)得，y=—，求導(dǎo)y'=一，

2p2pp

因?yàn)橹本€PQ的斜率為1,所以工=1且xo-："?2=O,解得p=2/，

P2p

所以拋物線Ci的方程為x2=4后y.

(II)因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：(x-xo),BP2xox-2py-xo2=O,

2PP

???OQ的方程為y=--x

根據(jù)切線與圓切，得(1=「，即/?：。?,=1,化簡得x04=4xo2+4p2,

g°2+4p2

2

2x0x-2py-x^=02

由方程組｛p，解得Q(一,—

y=~—xx02p

%

所以|PQ|=Y1+I<2|XP-XQ|=J1+&x0一~—

VP~玉)

點(diǎn)F(0,2)到切線PQ的距離是d=：%!=Wg+p2，

2也%2+4p22

所以/J24五二=%：+/"J—2

11V

22px02°4Px0

S24M

而由xo4=4xo2+4p2知,4p2=xo4-4xo2>0,得|xo|>2,

S]=A+P°%2-22聞=(Xo2+p2)(x02—2)

所以

l

s24P2p

；(4年+%4-4婷)(「2)%2(*-2)

2

-2(x°J4x°2)-2(x0-4)

=夜+1,當(dāng)且僅當(dāng)三心時(shí)取"=”號,

22

2X0-42X0-4

2

即X0=4+2y/2，此時(shí)，p=72+2-72.

5,「

所以芳的最小值為20+1.

考點(diǎn)：求拋物線的方程，與拋物線有關(guān)的最值問題.

21、(1)2；(2)----In—；(3)證明見解析

222

【解析】

(1)先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)/(尤)在x=l處取得極值，得到廣(1)=0,即可求解4的值;

(2)由(1)得/(乃=2%—3=生二￡,定義域?yàn)?0,+8),分。40,0<aW2和。>2三種情況討論，分別求得

XX

函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；

4+/z(x)9Y—22x—2

(3)由h(x)=x2-/(%)，得到h(x)=21nx,把x<-———,只需證lnx>-....,構(gòu)造新函數(shù)(p[x)=In%—:----，

4-/i(x)x+1x+1

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由/(x)=x2—