數學必修4-第二章-平面向量知識點

數學必修4第二章平面向量知識點

2.1平面向量的實際背景及根本概念

1.向量：既有大小又有方向的量。

2.向量的模：向量的大小即向量的模（長度〕，如的模分別記作和|。|。

注：向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小。

3.幾類特殊向量

⑴零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，。與任意向量平行，

零向量5=0oIaI=0o由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關

向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別〕

⑵單位向量：模為1個單位長度的向量，向量說為單位向量U"ol=l。將一個向量除以它

_a

的模即得到單位向量，如。的單位向量為：”而

⑶平行向量（共線向量〕：方向相同或相反的非零向量，稱為平行向量.記作途。

規(guī)定：°與任何向量平等，

任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進行任意的平移（即自由向

量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在

必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中

的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。

14〕相反向量：與N長度相等、方向相反的向量，叫做g的相反向量。記作-a。

關于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②-（-0）=,；③。+（-。）=0；

④假設,、B是互為相反向量，那么B=-乙G+B=0。

（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量。記為彳=石。相等向量經過平移后總可以重

合。

ba-b

AaR

2.2平面向量的線性運算

1.向量加法

11〕定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。

^AB=a,BC=b,+b=AB+BC=AC0

規(guī)定：0+a=a+0=a；

(2)向量加法的法那么一"三角形法那么”與“平行四邊形法那么”

①用平行四邊形法那么時，兩個向量是要共始點的，和向量是

始點與向量的始點重合的那條對角線。

②三角形法那么的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指

向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和。

注：當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法那么；當兩

向量是首尾連接時，用三角形法那么。

向量加法的三角形法那么可推廣至多個向量相加：

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但這時必須“首尾相連”。

(3〕向量加法的運算律：

①交換律：a+b=b+a②結合律：(a+?+c=a+(a+c)

2.法向量的減

(1)定義：假設a+x=匕那么向量了叫做a與b的差，記為b-a。求兩個向量差的

運算，叫做向量的減法。

(2)向量減法的法那么一"三角形法那么”與“平行四邊形法

那么“b

①三角形法那么：當a,〃有共同起點時，a-b表示為從減向量彼的

終點指向被減向量3的終點的向量。

②平行四邊形法那么：兩個向量是要共始點的，差向量是如下圖的對角線。設

3.實數與向量的積

(1)定義：實數人與向量G的積是一個向量，記作4a,它的長度與方向規(guī)定如下:

①I羽=4卜同；

②當幾>0時，的方向與云的方向相同；當2<0時，X。的方向與行的方向相反；當

2=0時，Aa=Q,方向是任意的。

(2)數乘向量的運算律

①2(〃a)=(2〃)a；(2)(2+ji/)a=Aa+pia；(3)A(a+b)=Aa+2bo

2.3平面向量的根本定理及坐標表示

1.平面向量根本定理：如果I，l是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量

有且只有一對實數入2使

注意：(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；

(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

2.向量的夾角：兩個非零向量G作OX=G,OB=b,那么NA0B=8,叫向量M、B的夾角，

當8=0。，a>B同向，當6=180。，a>B反向，當8=90。，萬與B垂直，記作NJ_B。

3.平面向量的坐標表示:在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量

作為基底，由平面向量的根本定理知，該平面內的任一向量a可表示成a=刀+力，由于a

與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y),其中x叫作a

的橫坐標，y叫做作縱坐標。

規(guī)定：

①z=(l,0),j=(0,l)

②相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；

③向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位

置有關

4.平面向量的坐標運算:

①假設a=(%,％))=(%2，%)，那么a土匕=(石±刈,％士%);

②假設4m,%),夙了2，%)，那么45=(無2-石，%-%)；

③假設a=(x,y),那么Xa=(4x,2y)；

④彳段設a=(%,%),/?=(9,%)，那么a〃人_X2%=0；。,6;千々+%%

⑤假設a=(%,%),/?=(/,%)，那么。=〃=芯=x2,y1=y2

附：向量的表示方法：

1.幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如懣，注意起點在前，終點在后；

4.2.符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如Zb,展等；

5.3.坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量1,

)為基底，那么平面內的任一向量。可表示為a=x『+y/=(x,y),稱(x,y)為向量a的坐

標，a=(x,y)叫做向量。的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量

的終點坐標相同。

運算向量形式坐標形式：a=(%1,)；

b=(x2,乃)

加法<1>平行四邊形法那么：起點相同，

。+/?=(%+%2，%+%)

對角線為和向量。

<2>三角形加法法那么：首尾相連。

記：AB+BC=AC

減法起點相同的兩個向量的差，(箭頭

。一萬=(藥_%2，芳一%)

指向被減向量)

記：OA-OB=BA

AB-AC=CB

數乘

而是一個向量，|/La=|X||a|Aa-(招,辦)

方向：2>0時，與Q同向；2<0時，

與「反向；4=0時，Aa=0

數量積

d-b二|a||b|cos9d-b=xlx2+y1y2

運算性①交換律：a+b=b+a；②結合律：d+b^+c=a+b+c^；③

質

。+0=0+〃=〃o

加法:

a+i=AB+BC=AC

減法

c

b

A

AC-eB。

a5

2.4平面向量的數量積

(1)平面向量的數量積的定義

①向量［3,的夾角：兩個非零向量［3,過0點作了=7OB=b,那么NAOB=0(0°

W9W180°)叫做向量［3,的夾角。當且僅當兩個非零向量［3同方向時，9=0°,

當且僅當覆3反方向時。=180°,同時。與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。

②法防垂直；如果23的夾角為90°那么稱3與9垂直，記作［，九

③a與。的數量積：兩個非零向量〃,b,它們的夾角為。，那么〃?〃,cose叫做稱a與3的數

bb

e0

p

opa0a

量積（或內積），記作。?/?,即〃?〃二。?b-cos。，規(guī)定0?〃二0非零向量法拓當

當aJJ?時,0=90°,這時a?/?=()。

④3在之方向上的投影：OP=|&|cos6>(=^)eR(注意|0日是射影〕所以，鼠1的幾何意

a

義：鼠Z等于〉的長度與右在々方向上的投影的乘積。

(2)平面向量數量積的性質

設是兩個非零向量，e是單位向量，于是有：①e-a=a-e=p|cos^；②a_l_B0a￡=0；

―?—*—?--?—*—?―—?—-?—?-?-?>■I-?12

③當a與。同向時，a-b=a-b；當a與。反向時，a-b=-a-b,特別地，a-a=a2=a

@cos0=T^~⑤)a-bWa-b

a-b\

⑶平面向量數量積的運算律

①交換律成立：=Va②對實數的結合律成立：“4'5=41￡)=。-(，仍卜6尺)

③分配律成立：(a+l)j-c=a-c+b-c=c-(a+b^

特別注意：(1)結合律不成立：?勾?<:；(2)消去律不成立=a-c不

能得到B=c-(3〕a-b=Q不能得到a=6或2=0

「7卜一、-2-2-2-2

④但是乘法公式成立：\a-\-bj'\a-bj-a-b=a-b

Af\2-2一--2|f|2一一-2

(Q土以=a±2〃./?+/?=a±2a-b+b

(3)平面向量數量積的坐標表示

①假設a=(xi,y),3=(x2,yz)那么a?3=XiX2+yiy2

②假設a=(x,y),那么\a\2=a.a=x2+y2,a=卜+/

③假設A(xi,yi),B(x2,y2),那么|AB|=｛七一xj?+(為一%\

④假設a=(xbyi),b=(x2,y2)那么OA1x^2+必為=°(注意與a1/b時條件區(qū)別，

allb=xxy2-x2yr=0)

a=(x“),b=(x,y)cos

彳段設yi22那么。=,斗0+^1=

4+才心+4

2.5平面向量應用列舉

1、線段的定比分點

(1)定義：設P1,P2是直線L上的兩點，點P是L上不同于匕尸2的任意一點，那么存在一

個實數4,使P1P=，2

叫做點P分有向線段