數(shù)學(xué)必修4-第二章-平面向量知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量知識(shí)點(diǎn)

2.1平面向量的實(shí)際背景及根本概念

1.向量：既有大小又有方向的量。

2.向量的模：向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度〕，如的模分別記作和|。|。

注：向量不能比擬大小，但向量的模可以比擬大小。

3.幾類(lèi)特殊向量

⑴零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0,其方向是任意的，。與任意向量平行，

零向量5=0oIaI=0o由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)

向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。（注意與0的區(qū)別〕

⑵單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，向量說(shuō)為單位向量U"ol=l。將一個(gè)向量除以它

_a

的模即得到單位向量，如。的單位向量為：”而

⑶平行向量（共線向量〕：方向相同或相反的非零向量，稱為平行向量.記作途。

規(guī)定：°與任何向量平等，

任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進(jìn)行任意的平移（即自由向

量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在

必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中

的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。

14〕相反向量：與N長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做g的相反向量。記作-a。

關(guān)于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②-（-0）=,；③。+（-。）=0；

④假設(shè),、B是互為相反向量，那么B=-乙G+B=0。

（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。記為彳=石。相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重

合。

ba-b

AaR

2.2平面向量的線性運(yùn)算

1.向量加法

11〕定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。

^AB=a,BC=b,+b=AB+BC=AC0

規(guī)定：0+a=a+0=a；

(2)向量加法的法那么一"三角形法那么”與“平行四邊形法那么”

①用平行四邊形法那么時(shí)，兩個(gè)向量是要共始點(diǎn)的，和向量是

始點(diǎn)與向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線。

②三角形法那么的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指

向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和。

注：當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法那么；當(dāng)兩

向量是首尾連接時(shí)，用三角形法那么。

向量加法的三角形法那么可推廣至多個(gè)向量相加：

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但這時(shí)必須“首尾相連”。

(3〕向量加法的運(yùn)算律：

①交換律：a+b=b+a②結(jié)合律：(a+?+c=a+(a+c)

2.法向量的減

(1)定義：假設(shè)a+x=匕那么向量了叫做a與b的差，記為b-a。求兩個(gè)向量差的

運(yùn)算，叫做向量的減法。

(2)向量減法的法那么一"三角形法那么”與“平行四邊形法

那么“b

①三角形法那么：當(dāng)a,〃有共同起點(diǎn)時(shí)，a-b表示為從減向量彼的

終點(diǎn)指向被減向量3的終點(diǎn)的向量。

②平行四邊形法那么：兩個(gè)向量是要共始點(diǎn)的，差向量是如下圖的對(duì)角線。設(shè)

3.實(shí)數(shù)與向量的積

(1)定義：實(shí)數(shù)人與向量G的積是一個(gè)向量，記作4a,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下:

①I(mǎi)羽=4卜同；

②當(dāng)幾>0時(shí)，的方向與云的方向相同；當(dāng)2<0時(shí)，X。的方向與行的方向相反；當(dāng)

2=0時(shí)，Aa=Q,方向是任意的。

(2)數(shù)乘向量的運(yùn)算律

①2(〃a)=(2〃)a；(2)(2+ji/)a=Aa+pia；(3)A(a+b)=Aa+2bo

2.3平面向量的根本定理及坐標(biāo)表示

1.平面向量根本定理：如果I，l是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入2使

注意：(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

2.向量的夾角：兩個(gè)非零向量G作OX=G,OB=b,那么NA0B=8,叫向量M、B的夾角，

當(dāng)8=0。，a>B同向，當(dāng)6=180。，a>B反向，當(dāng)8=90。，萬(wàn)與B垂直，記作NJ_B。

3.平面向量的坐標(biāo)表示:在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量

作為基底，由平面向量的根本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=刀+力，由于a

與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫作a

的橫坐標(biāo)，y叫做作縱坐標(biāo)。

規(guī)定：

①z=(l,0),j=(0,l)

②相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；

③向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位

置有關(guān)

4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:

①假設(shè)a=(%,％))=(%2，%)，那么a土匕=(石±刈,％士%);

②假設(shè)4m,%),夙了2，%)，那么45=(無(wú)2-石，%-%)；

③假設(shè)a=(x,y),那么Xa=(4x,2y)；

④彳段設(shè)a=(%,%),/?=(9,%)，那么a〃人_X2%=0；。,6;千々+%%

⑤假設(shè)a=(%,%),/?=(/,%)，那么。=〃=芯=x2,y1=y2

附：向量的表示方法：

1.幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如懣，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；

4.2.符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如Zb,展等；

5.3.坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量1,

)為基底，那么平面內(nèi)的任一向量。可表示為a=x『+y/=(x,y),稱(x,y)為向量a的坐

標(biāo)，a=(x,y)叫做向量。的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量

的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。

運(yùn)算向量形式坐標(biāo)形式：a=(%1,)；

b=(x2,乃)

加法<1>平行四邊形法那么：起點(diǎn)相同，

。+/?=(%+%2，%+%)

對(duì)角線為和向量。

<2>三角形加法法那么：首尾相連。

記：AB+BC=AC

減法起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差，(箭頭

。一萬(wàn)=(藥_%2，芳一%)

指向被減向量)

記：OA-OB=BA

AB-AC=CB

數(shù)乘

而是一個(gè)向量，|/La=|X||a|Aa-(招,辦)

方向：2>0時(shí)，與Q同向；2<0時(shí)，

與「反向；4=0時(shí)，Aa=0

數(shù)量積

d-b二|a||b|cos9d-b=xlx2+y1y2

運(yùn)算性①交換律：a+b=b+a；②結(jié)合律：d+b^+c=a+b+c^；③

質(zhì)

。+0=0+〃=〃o

加法:

a+i=AB+BC=AC

減法

c

b

A

AC-eB。

a5

2.4平面向量的數(shù)量積

(1)平面向量的數(shù)量積的定義

①向量［3,的夾角：兩個(gè)非零向量［3,過(guò)0點(diǎn)作了=7OB=b,那么NAOB=0(0°

W9W180°)叫做向量［3,的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量［3同方向時(shí)，9=0°,

當(dāng)且僅當(dāng)覆3反方向時(shí)。=180°,同時(shí)。與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題。

②法防垂直；如果23的夾角為90°那么稱3與9垂直，記作［，九

③a與。的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量〃,b,它們的夾角為。，那么〃?〃,cose叫做稱a與3的數(shù)

bb

e0

p

opa0a

量積（或內(nèi)積），記作。?/?,即〃?〃二。?b-cos。，規(guī)定0?〃二0非零向量法拓當(dāng)

當(dāng)aJJ?時(shí),0=90°,這時(shí)a?/?=()。

④3在之方向上的投影：OP=|&|cos6>(=^)eR(注意|0日是射影〕所以，鼠1的幾何意

a

義：鼠Z等于〉的長(zhǎng)度與右在々方向上的投影的乘積。

(2)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)是兩個(gè)非零向量，e是單位向量，于是有：①e-a=a-e=p|cos^；②a_l_B0a￡=0；

―?—*—?--?—*—?―—?—-?—?-?-?>■I-?12

③當(dāng)a與。同向時(shí)，a-b=a-b；當(dāng)a與。反向時(shí)，a-b=-a-b,特別地，a-a=a2=a

@cos0=T^~⑤)a-bWa-b

a-b\

⑶平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①交換律成立：=Va②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：“4'5=41￡)=。-(，仍卜6尺)

③分配律成立：(a+l)j-c=a-c+b-c=c-(a+b^

特別注意：(1)結(jié)合律不成立：?勾?<:；(2)消去律不成立=a-c不

能得到B=c-(3〕a-b=Q不能得到a=6或2=0

「7卜一、-2-2-2-2

④但是乘法公式成立：\a-\-bj'\a-bj-a-b=a-b

Af\2-2一--2|f|2一一-2

(Q土以=a±2〃./?+/?=a±2a-b+b

(3)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

①假設(shè)a=(xi,y),3=(x2,yz)那么a?3=XiX2+yiy2

②假設(shè)a=(x,y),那么\a\2=a.a=x2+y2,a=卜+/

③假設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),那么|AB|=｛七一xj?+(為一%\

④假設(shè)a=(xbyi),b=(x2,y2)那么OA1x^2+必為=°(注意與a1/b時(shí)條件區(qū)別，

allb=xxy2-x2yr=0)

a=(x“),b=(x,y)cos

彳段設(shè)yi22那么。=,斗0+^1=

4+才心+4

2.5平面向量應(yīng)用列舉

1、線段的定比分點(diǎn)

(1)定義：設(shè)P1,P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于匕尸2的任意一點(diǎn)，那么存在一

個(gè)實(shí)數(shù)4,使P1P=，2

叫做點(diǎn)P分有向線段