全稱量詞命題和存在量詞命題的否定 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

一般地，對一個命題進(jìn)行否定，就可以得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題的否定．例如，“56是7的倍數(shù)”的否定為“56不是7的倍數(shù)”，“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定為“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假。下面，我們學(xué)習(xí)利用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定，以及利用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定.探究寫出下列命題的否定：（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個素數(shù)都是奇函數(shù)；（3）它們與原命題在形式上有什么變化？上面三個命題都是全稱量詞命題，即具有的形式．其中命題（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是說，存在一個矩形不是平行四邊形；命題（2）的否定是“并非每一個素數(shù)都是奇數(shù)”，也就是說，存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；命題（3）的否定是“并非所有的也就是說，

從命題形式看，這三個全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題。一般來說，對含有一個量詞的全稱量詞命題進(jìn)行否定，我們只需把“所有的”“任意一個”等全稱量詞，變成“并非所有的”“并非任意一個”等短語即可.也就是說，假定全稱量詞命題為“

”則它的否定為“并非"，也就是”.通常，用符號“”表示“p(x)不成立”.定義全稱量詞命題：它的否定：也就是，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：P29例3寫出下列全稱量詞命題的否定（1）所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；（2）每一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上（3）對任意的個位數(shù)字不等于3（1）存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)（2）存在一個四邊形，它的四個頂點(diǎn)不在同一個圓上.（3）的個位數(shù)字等于3.P30探究寫出下列命題的否定：（1）存在一個實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；（2）有些平行四邊形是菱形；（3）它們與原命題在形式上有什么變化？這三個命題都是存在量詞命題，即具有的形式．其中命題（1）的否定是“不存在一個實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，也就是說，所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；命題（2）的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，也就是說，每一個平行四邊形都不是菱形；命題（3）的否定是“不存在也就是說，

從命題形式看，這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.一般來說，對含有一個量詞的存在量詞命題進(jìn)行否定，我們只需把“存在一個”“至少有一個”“有些”等存在量詞，變成“不存在一個”“沒有一個”等短語即可.也就是說，假定存在量詞命題為則它的否定為不存在使p(x)成立”，也就是定義存在量詞命題：它的否定：也就是，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.對含有一個量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：P30例4寫出下列存在量詞命題的否定：（1）（2）有的三角形是等邊三角形；（3）有一個偶數(shù)是素數(shù).解:（1）（2）所有的三角形都不是等邊三角形（3）任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)P31例5寫出下列命題的否定，并判斷真假：（1）任意兩個等邊三角形都相似（2）（2）該命題的否定：解:（1）存在兩個等邊三角形，它們不相似（2）P31練習(xí)1.寫出下列命題的否定（1）（2）任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；（3）每個平行四邊形都是中心對稱圖形（2）存在奇數(shù)的平方不是奇數(shù)（3）存在平行四邊形不是中心對稱圖形解:（1）練習(xí)2.寫出下列命題的否定（1）有些三角形是直角三角形（2）有些梯形是等腰梯形（3）存在一個實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)解:（1）所有三角形都不是直角三角形（2）所有的梯形都不是等腰梯形（3）所有的實(shí)數(shù)的絕對值都是正數(shù)練習(xí)3.設(shè)命題p：?x∈(-1，1)，|x|<1，則﹁p為(

)A.?x∈(-1，1)，|x|<1

B.?x∈(-1，1)，|x|≥1C.?x∈(-1，1)，|x|≥1 D.?x?(-1，1)，|x|≥1【解析】選B.命題p是全稱量詞命題，其否定﹁p為?x∈(-1，1)，|x|≥1.練習(xí)4.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定.(1)有一個奇數(shù)不能被3整除.(2)?x∈Z，與3的和不等于0.(3)有些三角形的三個內(nèi)角都為60°.(4)與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.解答(1)有一個奇數(shù)不能被3整除.

是存在量詞命題，

否定為：每一個奇數(shù)都能被3整除.(2)?x∈Z，與3的和不等于0.是全稱量詞命題，否定為：?x∈Z，與3的和等于0.解答(3)有些三角形的三個內(nèi)角都為60°

是存在量詞命題，否定為：任意一個三角形的三個內(nèi)角不都為60°.(4)與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意一條與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線”，否定為：存在一條與圓只有一個公共點(diǎn)的直線不是圓的切線.常見的詞語的否定有哪些？原詞否定詞原詞否定詞等于不等于至多一個至少二個大于不大于至少一個一個也沒有小于不小于任意某個是不是所有的某些都是不都是常見的詞語的否定有哪些？原詞否定詞原詞否定詞等于不等于至多一個至少兩個大于不大于至少一個小于不小于任意某個是不是所有的某些都是不都是常見的詞語的否定有哪些？