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文檔簡(jiǎn)介
第六章三角(壓軸題專(zhuān)練)
一、填空題
1.某書(shū)中記載計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=:(弦X矢+矢2),弧田(如圖所示)由圓弧及其所
對(duì)弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為與,
半徑為47n的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是m2
【解析】【分析】
本題考查弧田的面積公式,屬于綜合題.
由題中條件結(jié)合弧田面積公式求解即可.
【解答】
解:如圖,
由題意可得乙40B=年,。4=4m.
在RgA。。中,可得乙4。。=弓,皿1。=],
則0D=540=gx4=2(m),
所以矢=CD=0C-0D=4-2=2(m).
由AD=A。-sin^=4x苧=2宿(m),
得弦=2AD=2x2<3=4<3(m),
所以弧田面積=白弦、矢+女2)
第1頁(yè),共43頁(yè)
1
=2(473X2+22)=(4/3+2)(m2).
故答案為(4C+2).
2.一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形,圓弧的半徑為2km,一列火車(chē)用30km每小時(shí)的速度通過(guò),10s間轉(zhuǎn)
過(guò)弧度.
【答案】:
【解析】【分析】
本題考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用,由題意可計(jì)算得10s間轉(zhuǎn)過(guò)弧長(zhǎng),再根據(jù)弧長(zhǎng)公式1=仃即可求得10s間轉(zhuǎn)過(guò)
的弧度.
【解答】
解:10s間列車(chē)轉(zhuǎn)過(guò)的扇形弧長(zhǎng)為券x30=士(km),
3bUU1Z
1
轉(zhuǎn)過(guò)的角a=券=*弧度)
故答案為以
3.如圖,在△ABC中,AB=AC,^ABC=45°,以4B為直徑的O。交BC于點(diǎn)D,若BC=則圖中陰影
部分的面積為.
B
【答案】兀+2
【解析】【分析】
本題考查扇形面積公式,屬于綜合題.
根據(jù)題意,進(jìn)行求解即可.
【解答】
解:由題意,AB=AC,^ABC=45°,
可得,NC=45。,/.CAB=90°,
連接4D,又4B是直徑,
AD1BC,且。是BC中點(diǎn),結(jié)合N4BC=45。,可得AD=BD,
第2頁(yè),共43頁(yè)
連接。D,可得D01AB,
???陰影部分由R3DOB與圓心角為直角的扇形組成,
又BC=4,Z所以4B=4,所以圓的半徑是2,
則圖中陰影部分的面積為〈乂2*2+。*兀*22=兀+2.
Z4
故答案為兀+2.
4.如圖所示,直角2L48C中,AABC=4B=lcm,BC=Cem,將/力BC繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至以4841,再
將4ABic1繞著點(diǎn)Ci順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到/482的,點(diǎn)的、&均在A(yíng)8所在直線(xiàn)上,則B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為cm,
第二次旋轉(zhuǎn)時(shí),邊A位掃過(guò)區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為cm2.
【答案】空士兀;黑
612
【解析】【分析】
本題考查弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式,屬于中檔題.
由題意,可知三角形力BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的幾何圖形,然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解即可.
【解答】
解:在2L4BC中,
/.ABC=1,AB—1cm,BC-yf3cm^
.?.(ACB=TJT,ABAC=TVAC=2cm,
o3
?*.AABC=AAB-yC=AA2B2Cx9
???zBjXC=p^A2C1B1=y,NAC142=乙B1C1B2=系,ABABi=y,
第3頁(yè),共43頁(yè)
.??8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以a為圓心的弧西,及以的為圓心的弧璘瓦,西的長(zhǎng)為伊,瓦瓦的長(zhǎng)為嬰兀,
36
B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為4+手兀=普1兀(所)
366
S陰影=S扇形AC1A2+S/C1Z2B2_S/431C1_S扇形B1C1B2
15TT01l1157r/l、2
=KX/X2+kxv3X1——Xv3X1——X/X(v3)
L0,Z207
57r
二記已機(jī)7)
5.如圖,四邊形/BCD是菱形,=60°,48=2,扇形BEF的半徑為2,圓心角為60。,則圖中陰影部分
的面積是.
【答案】y-<3
【解析】【分析】
本題考查扇形面積公式,考查基本分析求解能力,屬綜合題.
先求扇形BEF的面積,再求扇形BEF在四邊形/BCD內(nèi)面積,最后相減得結(jié)果.
【解答】
解:扇形BEF的面積為黃"22=手
連接BD,設(shè)BECiAD=MBFCiCD=M,
乙NDB=4MCB=pADBN=尹乙MBD=乙CBM,BD=CB,
因此△DBN=ACBM.
第4頁(yè),共43頁(yè)
即扇形BEF在四邊形ZBCD內(nèi)面積等于△BCD內(nèi)面積,即為耳義22=同
因此圖中陰影部分的面積是竽
故答案為亨-6.
6.如圖,已知長(zhǎng)為0d爪,寬為1dm的長(zhǎng)方體木塊在桌面上作無(wú)滑動(dòng)翻滾,翻滾到第四次時(shí)被小木塊擋住,
此時(shí)長(zhǎng)方體木塊底面與桌面所成的角為也求點(diǎn)A走過(guò)的路程為
O
【答案】9+/C(d叫
67r
【解析】【分析】
本題主要考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到第一次是以B為旋轉(zhuǎn)中心,以B4為半徑旋轉(zhuǎn)90。,第二次是以C為旋轉(zhuǎn)中心,以。11=1
為半徑旋轉(zhuǎn)90。,第三次是以D為旋轉(zhuǎn)中心,以。力2=6為半徑旋轉(zhuǎn)6?!?,根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算后相加即可.
【解答】
2
解:第一次是以B為旋轉(zhuǎn)中心,以BA=I(^3)+1=2為半徑旋轉(zhuǎn)90°,
此次點(diǎn)力走過(guò)的路徑是]X2=71,
第二次是以C為旋轉(zhuǎn)中心,以。11=1為半徑旋轉(zhuǎn)90°,
此次點(diǎn)a走過(guò)的路徑是與x1=I,
第三次是以D為旋轉(zhuǎn)中心,以。力2=為半徑旋轉(zhuǎn)60°,
此次點(diǎn)力走過(guò)的路徑是為x=等,
第5頁(yè),共43頁(yè)
.??點(diǎn)4三次共走過(guò)的路徑是半+學(xué)=2±婁兀(加),
236
故答案為2+/C兀@n).
6
7.《九章算術(shù)》中記載了弧田(逆弧和其所對(duì)弦圍成的弓形)的面積公式S-=雪空空無(wú),其中“弦”指
逆弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”指半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.已知一塊弦長(zhǎng)為6門(mén)機(jī)的弧田按此公式計(jì)算所得的
面積為(9日+5加2,則該弧田的實(shí)際面積為m2.
【答案】12TT-973
【解析】【分析】
本題考查了扇形的面積與弓形的面積計(jì)算問(wèn)題,也考查了方程的解法與應(yīng)用問(wèn)題,屬于綜合題.
根據(jù)題意畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形求出扇形的半徑和圓心角,再計(jì)算弓形的面積.
【解答】
解:如圖所示,弦長(zhǎng)=設(shè)矢。。=久小,
則弧田的面積為S弧田=£x(6V-3x+x2)=9>/-3+(m2),
即/+6門(mén)久=1873+9,
???(x+3^3)2=18(73+2),
(x+3c>=9(73+1)2,
解得工=3或%=-6,^-3(不合題意,舍去);
設(shè)。4=R,則。D=R—3,
R2=(R-3)2+(30,
解得R=6,
八「27r
Z-A0B—
該弧田的實(shí)際面積為
S=S扇形一S&A0B-62-1x6/3x3=12兀-9時(shí).
故答案為:12TT-973.
第6頁(yè),共43頁(yè)
8.如圖,單位圓被點(diǎn)…,412分為12等份,其中41(1,0).角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,若a的終邊
經(jīng)過(guò)點(diǎn)力5,則cosa=;若sina=sin(a+2,則角a的終邊與單位圓交于點(diǎn).(從…,加中
選擇,寫(xiě)出所有滿(mǎn)足要求的點(diǎn))
出,49
【解析】【分析】
本題考查任意角三角函數(shù)的定義,兩角和的正弦公式,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系,屬于綜合題.
求出終邊經(jīng)過(guò)4則對(duì)應(yīng)的角a和i的關(guān)系.
【解答】
解:...*=£所以終邊經(jīng)過(guò)周則a=(i—1)也
1Zoo
角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,若a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)人,則戊=亨,
二匚[、I27rIT1
助*以cosa=cos—=—cos-=--
??,sina=sin(a+-)sina=sincr-cos-+cosa?sin-,
即sina=sina?|+cosa?--■■tana=V-3???a—與或a=等
即卷=。一1號(hào)》=3或苧=。—1)親i=9,即a的終邊與單位圓交于點(diǎn)&,A9,
故答案為:—■!;4,M-
9.化簡(jiǎn)sin6a+cos6a+3s譏2acos2a的結(jié)果是.
【答案】1
【解析】【分析】
本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式,由siMa+cos2a=1,和三次展開(kāi)即可求解.
第7頁(yè),共43頁(yè)
【解答】
解:sin6a+cos6a+3sinzacos2a
=(sin2a+cos2cr)(sin4a—sinzacos2a+cos4a)+3sinzacos2a
=sin4a+2sinzacos2a+cos4a
二(sin2a+cos2a)2=1.
故答案為L(zhǎng)
10.若sin2%+sinx=1,貝!kos4%+cos2x=
【答案】1
【解析】【分析】
本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式.
由s譏2%+sinx=1,sin2%+cos2x=1,可得sin%=cos2%,即可求解.
【解答】解:sin2%+sinx=1,sin2x+cos2x=1,
???sinx=cos^x,
???cos^x+cosLx=sin^x+cos^x=1.
故答案為:1.
11.如圖,角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)P0位于第一象限,其橫坐標(biāo)為華,貝Utana=,0P0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
得0P1,0P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)戰(zhàn)I0P2,......,OP「1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)接得。P相,則點(diǎn)22022的縱坐標(biāo)為.
【解析】【分析】
本題考查了任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式,是中檔題.
由任意角的三角函數(shù)得cosa=苧,再得出sina,可得tana的值;易得點(diǎn)P2022的縱坐標(biāo)為sin(a-2022xg),
4乙
由誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.
第8頁(yè),共43頁(yè)
【解答】
解:因?yàn)榻莂的終邊與單位圓的交點(diǎn)P。位于第一象限,其橫坐標(biāo)為苧,即c0sa=苧,
所以sina='l—cos2a=
rnri入sinaA^39
則tana=----='一
cosa3
因?yàn)?。Po順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與得。Pi,0P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)微得。P2,…,OPn_i順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與得。Pn,
所以點(diǎn)P2022的縱坐標(biāo)為sin(cr—2022x^)=sin(a—TT)=—sina=-----
L4
故答案為:浮;—孚
34
12.已知角4是三角形的一個(gè)內(nèi)角,且sin力+cosA=卷,則這個(gè)三角形是三角形(填“直角”“銳角”
或“鈍角”).
【答案】鈍角
【解析】【分析】
本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的靈活應(yīng)用;利用(sin力+COSA)2=1+2sinAcosA判斷cos力的正負(fù)是求
解本題關(guān)鍵.
用(sinA+cos力尸=1+2sinAcosA,求出sin4cos4,判斷cos力的正負(fù)即可.
【解答】
解:?;(sinA+cos力尸=1+2sim4cos力=(卷),
2sinAcosA=(A,_1<cosA<0,即角4是鈍角,
??.這個(gè)三角形是鈍角三角形.
故答案為:鈍角.
13.cos2l°+COS22°+COS23°H---1-cos289°=.
【答案】y
【解析】【分析】
本題考查了三角同角三角關(guān)系式,誘導(dǎo)公式.
利用同角基本關(guān)系,分組計(jì)算即可得到答案.
【解答】
解:cos2l°+COS22°+COS23°4---Fcos289°
第9頁(yè),共43頁(yè)
=(cos2l°+COS289°)+(COS220+cos288°)+(cos230+cos287°)+—Fcos245°
=(cos2l°+sin2l°)+(COS220+sin22°)+(cos230+sin23°)+…+cos245°
1
=1+1+1+???+2
_89
-T*
故答案為今
14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),
圓在x軸上沿正向滾動(dòng),當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
【答案】(2—sin2,1—cos2)
【解析】【分析】
本題主要考查的是弧度制與弧長(zhǎng)公式,
求出點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵,可在圖中作三角形,尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系.
【解答】
解:如圖,作CQ〃久軸,PQLCQ,Q為垂足.
根據(jù)題意得劣弧發(fā)=2,
故NDCP=2,則在△PCQ中,/-PCQ=2-p
|CQ|=cos(2-1)=sin2,
|PQ|=sin(2—=—cos2,
第10頁(yè),共43頁(yè)
所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-|CQ|=2-sin2,
P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1+\PQ\=1-cos2)
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2—sin2,1—cos2).
故答案為(2-sin2,1-cos2).
15.已知sinO+2cos8=0,則3sin(?r-0)cos(|兀-8)+cos(兀+0)cos^|TT—8)=
【答案】-2
【解析】【分析】
本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及誘導(dǎo)公式,屬中檔題.
由sin。+2cos0=0得tan。=與黑=—2,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到—3sin2?!猻in0cos0,利用一3sin2?!?/p>
sin0cose=-3sin2尸嗎cos。,分子分母同除以cos2。得到只含tan。的式子,再根據(jù)tan。的值求出答案.
sin'6+cose
【解答】
解:因?yàn)閟in?4-2cos6=0,則sin。=-2cos心則tan。=——-=—2,
由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式可得
'3_9)+COS(TT+0)cos停兀—d\=3sin0(—sin。)+(-cos0)sin0
(
3sin7r—0)cos271
—3sin20—sin0cos0—3tan20—tan0—3x(—2)2—(—2)
=—3sin20—sin0cos0-2
sin20+cos20tan20+1(一2戶(hù)+1
故答案為-2.
16.已知集合P={(x,y)|(x-cos。)?+(y—sin。/=4,0W84兀}.由集合P中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰
影部分所示,中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論:
X
D
①“水滴”圖形與y軸相交,最高點(diǎn)記為4則點(diǎn)力的坐標(biāo)為(0,1);
②在集合P中任取一點(diǎn)M,則M到原點(diǎn)的距離的最大值為3;
③陰影部分與y軸相交,最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記為c,D,則£。|=2+國(guó);
第11頁(yè),共43頁(yè)
④白色“水滴”圖形的面積是玄兀-b.
其中正確的有.
【答案】②④
【解析】【分析】
本題考查命題真假的判斷,考查三角函數(shù)和圓的綜合知識(shí)應(yīng)用,屬于較難題.
對(duì)于①:方程(久-cos8)2+(y-sin8)2=4中,令x=0得y的取值范圍,得出最高點(diǎn)的坐標(biāo);
對(duì)于②:利用參數(shù)法求出點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離d,求出最大值;
對(duì)于③:求出最高點(diǎn)為C與最低點(diǎn)。的距離|CD|.
對(duì)于④:“水滴”圖形是由一個(gè)等邊三角形,兩個(gè)全等的弓形,和一個(gè)半圓組成.
【解答】
解:對(duì)于①:方程(尤—cos。/+(y—sin。)?=4中,
令x=0得cos2。+y2-2ysin?+sin20=4,易知y豐0,
所以2sin8=y—j其中8e[0,兀
所以sinee[0,1],所以y—je[0,2],
解得yG[—V3,-1]U[A/3/3],
所以A點(diǎn)(0,遮),點(diǎn)8(0,-1),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D(O,_遮),故①錯(cuò)誤;
對(duì)于②:由(%—cos0)2+(y—sin0)2=4中,
設(shè)%=2cosa+cosO,y=2sina+sin。,
則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距圖。=Jx2_|_y2_J(2cosa+cos。)?+(2sina+sin。/
=J5+4cos(a-6),
當(dāng)a=6時(shí),cos(cr—0)=1,d取得最大值為3,故②正確;
對(duì)于③:由①知最高點(diǎn)為C(0,3),最低點(diǎn)。為(o,_b),
所以|CD|=3+B,故③錯(cuò)誤;
對(duì)于④:同①原理可求得陰影部分與X軸的交點(diǎn)分別為(—3,0),(-1,0),(1,0),(3,0),
由cos2g+sin20=1(0<0<7i),集合P中圓的圓心在單位圓上半部分半圓弧上運(yùn)動(dòng),
結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知“水滴”圖形是由一個(gè)等邊三角形,兩個(gè)全等的弓形,和一個(gè)半圓組成;
其中等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,弓形所對(duì)應(yīng)的圓心角為半半徑為2,半圓的半徑為1,
第12頁(yè),共43頁(yè)
則白色“水滴”圖形的面積是S=S平周+2S弓形+$△=|x7rxl2+2x(1x^x22-^x22)+|x2x
V3--V3,故④正確.
故答案為:②④.
17.如圖,某人身高1.73小,他站的地點(diǎn)力和云南大理文筆塔塔底。在同一水平線(xiàn)上,他直立時(shí),測(cè)得塔頂M
的仰角NMCE=22.8。(點(diǎn)E在線(xiàn)段M。上,忽略眼睛到頭頂之間的距離,下同).他沿線(xiàn)段4。向塔前進(jìn)100m
到達(dá)點(diǎn)B,在點(diǎn)B直立時(shí),測(cè)得塔頂M的仰角NMDE=48.3。,塔尖MN的視角NMDN=3.3。(那是塔尖底,在
線(xiàn)段M。上).
(1)求塔高M(jìn)。=;
(2)此人在線(xiàn)段力。上離點(diǎn)。米,他直立看塔尖MN的視角最大?
參考數(shù)據(jù):變122.8瞿產(chǎn).3:_0.672,tan22.8°~0.42036,63.502?67.2x60.
sin25.5
【答案】68,93m;63.50
【解析】【分析】
本題考查利用正弦定理、余弦定理解決高度問(wèn)題,兩角和與差的正切公式,屬于較難題.
(1)根據(jù)題意在A(yíng)CDM中,由正弦定理可求CM的值,進(jìn)而求解ME的值,即可根據(jù)M。=ME+E。即可計(jì)算
得解.
(2)由(1)可求CE的值,可求DE=CE-CD=60m,4NDE=45°,NE=BEa60m,設(shè)此人應(yīng)在線(xiàn)段力。
上的F處,尸。=久根,直立時(shí),眼睛處于G點(diǎn),利用兩角差的正切公式及基本不等式可求tan/MGN的最大值,
即可求解.
【解答】
解:(1)/.MCE=22.8°,Z.MDE=48.3°,
:.乙DMC=25.5°.
在fM中,由正弦定理得,CM=然黯
又CD=100m,
第13頁(yè),共43頁(yè)
廠(chǎng)0100sin(180°-48.3°)100sin48.3°
C,M=---------------------------=-----------------
sin25.5°sin25.5°
100sin48.3°sin22.8°
ME=CMsinZ-MCE—?67.2(m),
sin25.5°
所以,MO=ME+EOx67.2m+1.73m=68.93m.
ME?67.2?67.2
(2)由(1)知,CE=160(m).
tanZ-MCE~tan22.8°~0.42036
???DE=CE-CDx60m.
???乙NDE=乙MDE-乙MDN=45°,
NE=DEx60m.
設(shè)此人應(yīng)在線(xiàn)段4。上的F處,F(xiàn)O=xm,直立時(shí),眼睛處于G點(diǎn),
則tan^NGE^-,
tanZ.MGE-tanZ.NGE
???tanZ-MGN=tan(zM(7E—乙NGE)
1+tanz_MGE?tanzJVGE
X1+672.60--+67.2x6°4[67.2x60—2767.2x60'
xx%勺%-x-
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?"它迎,即%。63.50時(shí),等號(hào)成立.
X
所以,他站在線(xiàn)段4。上到點(diǎn)。的距離約為63.5(hn處時(shí),看塔尖MN的視角最大.
二、單選題
18.如圖,點(diǎn)4B,C是圓。上的點(diǎn),且4B=4,ZXCF=30°,則劣弧卷為
()
A.^C.4D.學(xué)
b33
【答案】D
【解析】【分析】
本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式,考查了運(yùn)算能力.
先由已知條件求出劣弧Q對(duì)的圓心角和圓的半徑,再由弧長(zhǎng)公式求劣弧Q的長(zhǎng).
第14頁(yè),共43頁(yè)
【解答】
解:如圖,過(guò)點(diǎn)。作力B的垂線(xiàn),垂足為D,連接。40B.
TT
V^ACB=30°,^LAOB=-.
在中,sin30°=r=4,
OBr
???劣弧卷的長(zhǎng)為,=/x4=與.
故選D
19.中國(guó)折疊扇有著深厚的文化底蘊(yùn).如圖(2),在半圓。中作出兩個(gè)扇形。4B和。CD,用扇環(huán)形4BDC(圖中
陰影部分)制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形A8DC的面積為Si,扇形04B的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為手
時(shí),扇面的形狀較為美觀(guān),則此時(shí)扇形OCD的半徑與半圓。的半徑之比為()
【答案】B
【解析】【分析】
本題考查扇形的面積公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.
由題意,設(shè)乙4。8=/半圓。的半徑為r,扇形。CD的半徑為勺,得至哈=初;普?=要,計(jì)算即可得
到:的比值.
【解答】
解:由題意,設(shè)乙4。8=氏半圓。的半徑為丁,扇形。CD的半徑為廠(chǎng)1,
第15頁(yè),共43頁(yè)
依題意有:
52=初22
即浮一二="二
r22
所以5=三乎=6-y=(告1),
即11=卬、
r2
故選反
20.在平面直角坐標(biāo)系中,蕊是單位圓上的一段弧(如圖),點(diǎn)P是圓弧藍(lán)上的動(dòng)點(diǎn),角a以。x為始邊,OP
為終邊.以下結(jié)論正確的是()
A.tana<cosa<sinaB.cosa<tana<sina
C.sina<cosa<tanaD,以上答案都不對(duì)
【答案】D
【解析】【分析】
本題考查三角函數(shù)值的符號(hào)特征,注意三角函數(shù)值的范圍,屬于拔高題.
由題設(shè)筋上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosa,sina),A{cos6r,sin9]),B(cos92,sin02^其中?</(當(dāng)<出<兀,
L4
然后分為]<<a<爭(zhēng)哼<a<02,兩種情況進(jìn)行討論即可求解.
【解答】
解:由題設(shè)卷上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosa,sina),A(cosd^sinO^,B(cos02^^2)?
其中V/V與V62Vm
注意到當(dāng)aG孚],tana<-1,
4
故按如下分類(lèi)討論:
若]<0i<a<貝!Jsimr>0,cosa>—1,tana<—1,
第16頁(yè),共43頁(yè)
i^sina>cosa>tana,
若苧VaW/,貝!Js譏a>0,cosa<0,tana<0,且0vs譏/Ms譏aV爭(zhēng)
所以sin2。?+sin。2—1<sin2a+sina—1<9'
2
因?yàn)槠rV/V兀,故0Vsind2<苧,故—1Vsin02+sin62—1<
所以sin?。?+sin02-1有正有負(fù),所以sin2a+sina—1有正有負(fù),
而tana-cosa=sm'a+simz-i,cosa<。,^tana_cosa有正有負(fù),
故tcma,cosa大小關(guān)系不確定.
故選:D.
21.已知cos(a+J)=—孚(0<a<兀),則8s3+竽)=()
4'6sina+cosa
2/TT
33~
【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了三角函數(shù)求值,是難題.
先求出sina?cosa=,再求出sina+cosa>0,再求sina+cosa的值即得解.
【解答】
解:vcos(a+sina—cosa=—>
將兩邊同時(shí)平方得:sin2a+cos2a—2sina-cosa=
1
則sina-cosa=->0,
0<a<7r,???sina>0,cosa>0,
???sina+cosa=(sina+cosa)2=V1+2sina-cosa=
.cos(2a+苧)_sin2a_2sina-cosa_1_2-/T1
sina+cosasina+cosasina+cosa33'
故本題選c.
3123
22.已知aE(碼,兀),且^sinZa+sina+cosa=一元,貝!Jtana=()
-1
C.1D."或3
【答案】A
第17頁(yè),共43頁(yè)
【解析】【分析】
本題考查了三角函數(shù)求值,是難題.
利用換元法化簡(jiǎn)已知條件,求得sina+cosa的值,結(jié)合sinacosa列方程組,解方程組求得sina,cosa的值,
由此求得tana的值.
【解答】
[2323
解:因?yàn)?sin2a+sina+cosa所以sinacosa+sina+cosa,
所以(sina+;sa)2-l+的戊+coscr=一令sina+cosa=t,
所以與l+t=—iPt2+2t+U=0,所以t
當(dāng)t=—|■時(shí),sina+cosa=—',此時(shí)sinacosa=—"V0,不合題意,舍去.
當(dāng)t=—1時(shí),sina+cosa=—(,此時(shí)sinacosa=j|,
(.7.34
Isina+cosa5sina=-sina=—
由《12解得;所以tana=
Isinacosa=cosa=--coscr=—
5
故本題選4
23.若后延=包竺二,則久的取值范圍是()
、1+sinxcosx
A.2kn<x<2kn+7r(fcGZ)B.2krc+TT<%<2kn+2TT(/CGZ)
7T-7T--
C.2.ku—2V%V2/C7T+-(kGZ)D.2/cw+^<X<2/C7T+y(fceZ)
【答案】D
【解析】【分析】
本題考察同角三角函數(shù)的化簡(jiǎn),屬偏難題.
根據(jù)后延=包3,左邊式子分子分母同乘“1+sin%,
\1+sinxcosx
l—sin^xcosx\sinx-1.712
得------=-------,期cosx\?cosx=sin^x—1=—cos乙x,
(1+sin%)21+sinxcosx
所以cos%<0,解出久的取值范圍即可.
【解答】
/1—sinxsinx—1
解:---------,
?1+sin%cosx
l—sin2x_|cosx|2
sinx1^/|cosx|,cosx=si^x—1=—COSX9
(1+sinx)21+sinxcosx
第18頁(yè),共43頁(yè)
???cosx<0,
解得:2/C7T+/V%V2kli+(fcGZ),
故選D
24.已知a+£=>0,6>0),則tana+tan^的最小值為
()
A.苧B.<3C.苧D.<3+1
【答案】C
【解析】【分析】
本題考查兩角和與差的正切公式和由基本不等式求最值或取值范圍,屬于較難題.
根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【解答】
解:因?yàn)槲?6=?5>0,/?>0),則a,06(0,9,
可得tana,tan£G(0,,即tana+tan/?>0,
且tan(a+0)==V~3,整理得tancttany?=1一?(tana+tan/?),
又因?yàn)閠anatan/?<0a皿:'3*),當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan/?=?時(shí),等號(hào)成立,
43
即1_f(tana+tan/?)<.丁心,
34
整理得(tana+tan)?)2+(tana+tanQ)—4>0>
解得tana+tan6>或tana+tan/?<-2A/3(舍去),
所以tana+tan。的最小值為竽.
故選:C.
25.若a6(0,兀),且,"^sina+2cosa=2,則)
AYBYC.迫D.也
2433
【答案】A
【解析】【分析】
第19頁(yè),共43頁(yè)
本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及半角公式,屬于綜合題.
根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系然后結(jié)合半角公式求出結(jié)果.
【解答】
解:由已知得cosa=1———sina-
代入sin2q+cos2a=1,得sir^a+(1-^sincz)2=1,
整理得:sin2a—V_3sina=0,
4
解得sina=0或sina=苧.
因?yàn)閍€(0,TT),所以sina=與3,
痂i64<31
fixcosa=1——x=-
4<3=
所以tan葭=sina=工=叵
1+cosa1+i2-
故選4
26.在“BC中,若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,NHBC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D,B。=1且b=2,
則“BC周長(zhǎng)的最小值為
()
A.7B.2<2C.2+2AA2D.4
【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了三角形面積公式和利用余弦定理解決范圍與最值問(wèn)題,屬于較難題.
先利用面積相等與三角形面積公式,結(jié)合正弦的二倍角公式求得2accos華=c+a,再利用余弦定理的
推論與余弦的倍角公式得到a和c之間的關(guān)系式,進(jìn)一步利用基本不等式求解.
【解答】
第20頁(yè),共43頁(yè)
解:由題可得,s4ABC=S^ABD+S^BCD,
-11/-ABC,1.Z-ABC
則2acs譏乙4BC=-BD?csin+①BD-asm---
2
又BD=1,^VXacsinZ-ABC=csin^^—+asin
rn,1c.Z-ABC/-ABC/I、,/-ABC
貝Ulacsin---cos---=(c+a)sin---
因?yàn)?〈乙4BC<7T,所以0<幺署<3貝!
所以2accos(人優(yōu)=c+Q,即
22lac
又因?yàn)閏osZ_ABC=4,cos乙ABC=2cos2-1,
2ac乙
所以2(蟲(chóng))2—1=巴三上
'2acy2ac
整理得(c+a)2=ac[(c+a)2-4],
所以(c+a)2=ac[(c+a)2—4]《煲罐-?[(c+a)2—4],
解得(c+a)2>8或(c+a)240(舍去),
所以a+c>2V~^,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí),等號(hào)成立,
貝Ub+a+c>2+2,^,
故△4BC周長(zhǎng)的最小值為2+2<2.
故選:C.
27.在鈍角△ABC中,見(jiàn)2。分別是必江的內(nèi)角4昆。所對(duì)的邊,點(diǎn)6是必8。的重心,若AG1BG,則cosC
的取值范圍是
()
A.B4V~6
-K5,~
【答案】A
【解析】【分析】
第21頁(yè),共43頁(yè)
本題考查解三角形中的取值范圍問(wèn)題的求解,屬難題.
延長(zhǎng)CG交4B于D,由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得CD=|c,由cos/BDC=-COSN力DC,利用余弦定
22222
理可構(gòu)造等量關(guān)系得到。2+接=5c2,由此確定C為銳角,則可假設(shè)4為鈍角,得到d+c<a,a+c>b,
a>b,由此可構(gòu)造不等式組求得自的取值范圍,在“BC利用余弦定理可得cosC="£+2),利用維j范圍,
結(jié)合C為銳角可求得cose的取值范圍.
【解答】
解:延長(zhǎng)CG交4B于D,如下圖所示:
???G為-ABC的重心,D為4B中點(diǎn)且CD=3DG,
133
vAGLBG,/.DG=^AB,CD=^AB=|c;
長(zhǎng)."rh4“AD2+CD2-AC2會(huì)2-25c2-2公
在‘力DC中'cos^ADC==
2ADCD3c2
2C
*r>"BD2+CD2-BC2fc2-tz25c2—2a2
在WC中,COSZBDC=-BD-=-3C2-
2C
Z.BDC+乙ADC=Ti,???cos乙BDC=-cosZ-ADC,
即“孚=一身孚,整理可得:a2+b2=5c2>c2,C為銳角;
3cz3cz
設(shè)Z為鈍角,則按+。2<。2,a2+c2>62,a>b,
a2+b2⑶“叩<1,
a2>b2+
5.①255I”解得:住)<2,
次+*..0<144?u3
b2<a2+
-5-
a>b>0,0<-<—,
a3
由余弦定理得:COSC=°+:r^=IG+9>lx(?+^)=
又c為銳角,.?.苧<cosC<l,即cose的取值范圍為(苧,1)
故本題選N.
三、解答題
28.設(shè)扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長(zhǎng)為1.
第22頁(yè),共43頁(yè)
(1)已知一扇形的周長(zhǎng)為9cm,面積是^。血?,求扇形的圓心角a;
(2)若扇形周長(zhǎng)為20si,將扇形的面積S表示為半徑R的函數(shù),并寫(xiě)出定義域.
(2R+Ra=9
【答案】解:(1)由題意得已仇產(chǎn)=Z
7
R-
2-
解得{;二;(舍去),或?4
a-
7-
故扇形圓心角為小
(3)由已知得,l+2R=20.
則S=^IR=1(20-2R)R=-R2+107?,
又aR+2R=20,得R=3,
a+2
10
ccGRG(兀+1,10).
【解析】本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.
(1)根據(jù)扇形的周長(zhǎng)公式以及面積公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解;
(2)根據(jù)扇形的面積公式求解即可.
29.(本小題12分)
如圖,有一個(gè)扇環(huán)形花圃4BCD,外圓弧的半徑是內(nèi)圓弧半徑的兩倍,周長(zhǎng)為定值21,圓心角的絕對(duì)值為
a(0<a<兀).
(1)當(dāng)a為多少弧度時(shí),扇環(huán)面積最大,并求出最大面積;
(2)當(dāng)a=2時(shí),求弧度的中點(diǎn)E到弦BC的距離.
【答案】解:設(shè)內(nèi)圓弧半徑為r,貝!IAB=CD=。4=。。=r,
所以筋=ra,BC=2ra>
所以ra+2ra+2r=2Z,則r=/二,
3a+2
第23頁(yè),共43頁(yè)
113
所以S扇環(huán)=S扇9BC-S扇環(huán)AD=2X2nzx2r—2xraXr=-ar2
6於6於口
-4S[=~r
9a+-+122J9嗎+124,
當(dāng)且僅當(dāng)9a=立即a=|,S取得最大值0
a34
(2)設(shè)OE交BC于尸,則由垂徑定理得OE1BC,
乙BOE=g乙BOC=1,
r由+-t(Z-1i\)知/rn,?=應(yīng)21=21="I
所以。F=/cosl,
所以EF=0E-OF=2r-|cosl=g(l-cosl).
【解析】本題考查了扇環(huán)面積的計(jì)算問(wèn)題,也考查了函數(shù)最值的計(jì)算問(wèn)題,是綜合題.
(1)設(shè)半徑為r,由弧長(zhǎng)公式及周長(zhǎng)得r=熹,根據(jù)扇形面積公式結(jié)合基本不等式可求得扇環(huán)的最大值;
(2)利用垂徑定理結(jié)合解直角三角形可得.
30.(本小題12分)
如圖扇形/。8的半徑r=6cm,圓心角乙4。8=卷.求陰影部分的面積S.
【答案】解:過(guò)。1作AB,OA,。8垂線(xiàn),垂足分別為C,D,E.
如圖所示:
第24頁(yè),共43頁(yè)
由題意可知,△。48為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,則AC=BC=3,
則。1C=<3,
根據(jù)題意將陰影部分分三部分求解,即四邊形力扇形D0C,四邊形扇形E0C,以及上面的
弓形.
故陰影部分面積為[門(mén)x3—gx兀x(<3)2]X2+|X^X62-^X62=4TT-3<3.
【解析】本題考查了扇形面積公式,圓的面積公式以及三角形內(nèi)切圓問(wèn)題,屬于中檔題.
過(guò)01作48,0A,0B垂線(xiàn),垂足分別為C,D,E.根據(jù)題意將陰影部分分三部分求解,即四邊形力。0也一扇
形D0C,四邊形扇形E0C,以及上面的弓形.
31.如圖所示,動(dòng)點(diǎn)P,Q從點(diǎn)4(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)號(hào)弧度,點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较?/p>
每秒鐘轉(zhuǎn)看弧度,求點(diǎn)P,點(diǎn)Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間、相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P,Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng).
【答案】解:設(shè)P、Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是3則?卜目=2兀.
t=4(秒),即第一次相遇的時(shí)間為4
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