2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)-三角（壓軸題）解析版

第六章三角(壓軸題專練)

一、填空題

1.某書中記載計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=：(弦X矢+矢2),弧田(如圖所示)由圓弧及其所

對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為與，

半徑為47n的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是m2

【解析】【分析】

本題考查弧田的面積公式，屬于綜合題.

由題中條件結(jié)合弧田面積公式求解即可.

【解答】

解：如圖，

由題意可得乙40B=年，。4=4m.

在RgA。。中，可得乙4。。=弓，皿1。=],

則0D=540=gx4=2(m),

所以矢=CD=0C-0D=4-2=2(m).

由AD=A。-sin^=4x苧=2宿(m),

得弦=2AD=2x2<3=4<3(m)，

所以弧田面積=白弦、矢+女2)

第1頁，共43頁

1

=2(473X2+22)=(4/3+2)(m2).

故答案為(4C+2).

2.一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2km,一列火車用30km每小時的速度通過，10s間轉(zhuǎn)

過弧度.

【答案】：

【解析】【分析】

本題考查了弧長公式的應(yīng)用，由題意可計算得10s間轉(zhuǎn)過弧長，再根據(jù)弧長公式1=仃即可求得10s間轉(zhuǎn)過

的弧度.

【解答】

解:10s間列車轉(zhuǎn)過的扇形弧長為券x30=士(km),

3bUU1Z

1

轉(zhuǎn)過的角a=券=*弧度)

故答案為以

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,^ABC=45°,以4B為直徑的O。交BC于點(diǎn)D,若BC=則圖中陰影

部分的面積為.

B

【答案】兀+2

【解析】【分析】

本題考查扇形面積公式，屬于綜合題.

根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：由題意，AB=AC,^ABC=45°,

可得,NC=45。，/.CAB=90°,

連接4D,又4B是直徑，

AD1BC,且。是BC中點(diǎn)，結(jié)合N4BC=45。，可得AD=BD,

第2頁，共43頁

連接。D,可得D01AB,

???陰影部分由R3DOB與圓心角為直角的扇形組成，

又BC=4，Z所以4B=4,所以圓的半徑是2,

則圖中陰影部分的面積為〈乂2*2+。*兀*22=兀+2.

Z4

故答案為兀+2.

4.如圖所示，直角2L48C中，AABC=4B=lcm,BC=Cem,將/力BC繞著點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)至以4841，再

將4ABic1繞著點(diǎn)Ci順時針旋轉(zhuǎn)到/482的，點(diǎn)的、&均在A8所在直線上，則B點(diǎn)運(yùn)動的軌跡長度為cm,

第二次旋轉(zhuǎn)時，邊A位掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為cm2.

【答案】空士兀；黑

612

【解析】【分析】

本題考查弧長公式以及扇形面積公式，屬于中檔題.

由題意，可知三角形力BC旋轉(zhuǎn)過程中形成的幾何圖形，然后根據(jù)弧長公式和扇形面積公式求解即可.

【解答】

解：在2L4BC中，

/.ABC=1,AB—1cm,BC-yf3cm^

.?.（ACB=TJT，ABAC=TVAC=2cm,

o3

?*.AABC=AAB-yC=AA2B2Cx9

???zBjXC=p^A2C1B1=y,NAC142=乙B1C1B2=系，ABABi=y,

第3頁，共43頁

.??8點(diǎn)運(yùn)動軌跡是以a為圓心的弧西，及以的為圓心的弧璘瓦，西的長為伊，瓦瓦的長為嬰兀,

36

B點(diǎn)運(yùn)動的軌跡長度為4+手兀=普1兀（所）

366

S陰影=S扇形AC1A2+S/C1Z2B2_S/431C1_S扇形B1C1B2

15TT01l1157r/l、2

=KX/X2+kxv3X1——Xv3X1——X/X（v3）

L0，Z207

57r

二記已機(jī)7）

5.如圖，四邊形/BCD是菱形，=60°,48=2,扇形BEF的半徑為2,圓心角為60。，則圖中陰影部分

的面積是.

【答案】y-<3

【解析】【分析】

本題考查扇形面積公式，考查基本分析求解能力，屬綜合題.

先求扇形BEF的面積，再求扇形BEF在四邊形/BCD內(nèi)面積，最后相減得結(jié)果.

【解答】

解：扇形BEF的面積為黃"22=手

連接BD,設(shè)BECiAD=MBFCiCD=M,

乙NDB=4MCB=pADBN=尹乙MBD=乙CBM,BD=CB,

因此△DBN=ACBM.

第4頁，共43頁

即扇形BEF在四邊形ZBCD內(nèi)面積等于△BCD內(nèi)面積，即為耳義22=同

因此圖中陰影部分的面積是竽

故答案為亨-6.

6.如圖，已知長為0d爪，寬為1dm的長方體木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被小木塊擋住,

此時長方體木塊底面與桌面所成的角為也求點(diǎn)A走過的路程為

O

【答案】9+/C(d叫

67r

【解析】【分析】

本題主要考查弧長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到第一次是以B為旋轉(zhuǎn)中心，以B4為半徑旋轉(zhuǎn)90。，第二次是以C為旋轉(zhuǎn)中心，以。11=1

為半徑旋轉(zhuǎn)90。，第三次是以D為旋轉(zhuǎn)中心，以。力2=6為半徑旋轉(zhuǎn)6?！?，根據(jù)弧長公式計算后相加即可.

【解答】

2

解:第一次是以B為旋轉(zhuǎn)中心，以BA=I(^3)+1=2為半徑旋轉(zhuǎn)90°,

此次點(diǎn)力走過的路徑是］X2=71,

第二次是以C為旋轉(zhuǎn)中心，以。11=1為半徑旋轉(zhuǎn)90°,

此次點(diǎn)a走過的路徑是與x1=I，

第三次是以D為旋轉(zhuǎn)中心，以。力2=為半徑旋轉(zhuǎn)60°,

此次點(diǎn)力走過的路徑是為x=等，

第5頁，共43頁

.??點(diǎn)4三次共走過的路徑是半+學(xué)=2±婁兀（加），

236

故答案為2+/C兀@n）.

6

7.《九章算術(shù)》中記載了弧田（逆弧和其所對弦圍成的弓形）的面積公式S-=雪空空無，其中“弦”指

逆弧所對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差.已知一塊弦長為6門機(jī)的弧田按此公式計算所得的

面積為（9日+5加2,則該弧田的實際面積為m2.

【答案】12TT-973

【解析】【分析】

本題考查了扇形的面積與弓形的面積計算問題，也考查了方程的解法與應(yīng)用問題，屬于綜合題.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出扇形的半徑和圓心角，再計算弓形的面積.

【解答】

解：如圖所示，弦長=設(shè)矢。。=久小，

則弧田的面積為S弧田=￡x(6V-3x+x2)=9>/-3+(m2),

即/+6門久=1873+9,

???(x+3^3)2=18(73+2),

(x+3c>=9(73+1)2,

解得工=3或％=-6，^-3(不合題意，舍去)；

設(shè)。4=R,則。D=R—3,

R2=(R-3)2+(30，

解得R=6,

八「27r

Z-A0B—

該弧田的實際面積為

S=S扇形一S&A0B-62-1x6/3x3=12兀-9時.

故答案為：12TT-973.

第6頁，共43頁

8.如圖，單位圓被點(diǎn)…，412分為12等份，其中41(1,0).角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若a的終邊

經(jīng)過點(diǎn)力5，則cosa=；若sina=sin(a+2，則角a的終邊與單位圓交于點(diǎn).(從…,加中

選擇，寫出所有滿足要求的點(diǎn))

出，49

【解析】【分析】

本題考查任意角三角函數(shù)的定義，兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于綜合題.

求出終邊經(jīng)過4則對應(yīng)的角a和i的關(guān)系.

【解答】

解：...*=￡所以終邊經(jīng)過周則a=(i—1)也

1Zoo

角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若a的終邊經(jīng)過點(diǎn)人,則戊=亨，

二匚［、I27rIT1

助*以cosa=cos—=—cos-=--

??,sina=sin(a+-)sina=sincr-cos-+cosa?sin-,

即sina=sina?|+cosa?--■■tana=V-3???a—與或a=等

即卷=。一1號》=3或苧=?！?)親i=9,即a的終邊與單位圓交于點(diǎn)&，A9,

故答案為：—■!；4，M-

9.化簡sin6a+cos6a+3s譏2acos2a的結(jié)果是.

【答案】1

【解析】【分析】

本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，由siMa+cos2a=1,和三次展開即可求解.

第7頁，共43頁

【解答】

解：sin6a+cos6a+3sinzacos2a

=(sin2a+cos2cr)(sin4a—sinzacos2a+cos4a)+3sinzacos2a

=sin4a+2sinzacos2a+cos4a

二(sin2a+cos2a)2=1.

故答案為L

10.若sin2%+sinx=1，貝!kos4％+cos2x=

【答案】1

【解析】【分析】

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式.

由s譏2%+sinx=1,sin2%+cos2x=1,可得sin%=cos2%,即可求解.

【解答】解：sin2%+sinx=1,sin2x+cos2x=1,

???sinx=cos^x,

???cos^x+cosLx=sin^x+cos^x=1.

故答案為：1.

11.如圖，角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)P0位于第一象限，其橫坐標(biāo)為華，貝Utana=，0P0順時針旋轉(zhuǎn)

得0P1，0P1順時針旋轉(zhuǎn)戰(zhàn)I0P2，......，OP「1順時針旋轉(zhuǎn)接得。P相，則點(diǎn)22022的縱坐標(biāo)為.

【解析】【分析】

本題考查了任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式，是中檔題.

由任意角的三角函數(shù)得cosa=苧,再得出sina,可得tana的值；易得點(diǎn)P2022的縱坐標(biāo)為sin(a-2022xg),

4乙

由誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.

第8頁，共43頁

【解答】

解：因為角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)P。位于第一象限，其橫坐標(biāo)為苧，即c0sa=苧,

所以sina='l—cos2a=

rnri入sinaA^39

則tana=----='一

cosa3

因為。Po順時針旋轉(zhuǎn)與得。Pi，0P1順時針旋轉(zhuǎn)微得。P2,…，OPn_i順時針旋轉(zhuǎn)與得。Pn,

所以點(diǎn)P2022的縱坐標(biāo)為sin(cr—2022x^)=sin(a—TT)=—sina=-----

L4

故答案為：浮;—孚

34

12.已知角4是三角形的一個內(nèi)角，且sin力+cosA=卷，則這個三角形是三角形(填“直角”“銳角”

或“鈍角”).

【答案】鈍角

【解析】【分析】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的靈活應(yīng)用;利用(sin力+COSA)2=1+2sinAcosA判斷cos力的正負(fù)是求

解本題關(guān)鍵.

用(sinA+cos力尸=1+2sinAcosA,求出sin4cos4,判斷cos力的正負(fù)即可.

【解答】

解：?；(sinA+cos力尸=1+2sim4cos力=(卷)，

2sinAcosA=(A,_1<cosA<0,即角4是鈍角，

??.這個三角形是鈍角三角形.

故答案為：鈍角.

13.cos2l°+COS22°+COS23°H---1-cos289°=.

【答案】y

【解析】【分析】

本題考查了三角同角三角關(guān)系式，誘導(dǎo)公式.

利用同角基本關(guān)系，分組計算即可得到答案.

【解答】

解：cos2l°+COS22°+COS23°4---Fcos289°

第9頁，共43頁

=(cos2l°+COS289°)+(COS220+cos288°)+(cos230+cos287°)+—Fcos245°

=(cos2l°+sin2l°)+(COS220+sin22°)+(cos230+sin23°)+…+cos245°

1

=1+1+1+???+2

_89

-T*

故答案為今

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),

圓在x軸上沿正向滾動，當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(2—sin2,1—cos2)

【解析】【分析】

本題主要考查的是弧度制與弧長公式，

求出點(diǎn)P轉(zhuǎn)動的弧長是本題的關(guān)鍵，可在圖中作三角形，尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長的關(guān)系.

【解答】

解：如圖，作CQ〃久軸，PQLCQ,Q為垂足.

根據(jù)題意得劣弧發(fā)=2，

故NDCP=2,則在△PCQ中，/-PCQ=2-p

|CQ|=cos(2-1)=sin2,

|PQ|=sin(2—=—cos2,

第10頁，共43頁

所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-|CQ|=2-sin2,

P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1+\PQ\=1-cos2)

所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2—sin2,1—cos2).

故答案為(2-sin2,1-cos2).

15.已知sinO+2cos8=0,則3sin(?r-0)cos(|兀-8)+cos(兀+0)cos^|TT—8)=

【答案】-2

【解析】【分析】

本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及誘導(dǎo)公式，屬中檔題.

由sin。+2cos0=0得tan。=與黑=—2,再利用誘導(dǎo)公式化簡得到—3sin2?！猻in0cos0,利用一3sin2。—

sin0cose=-3sin2尸嗎cos。,分子分母同除以cos2。得到只含tan。的式子，再根據(jù)tan。的值求出答案.

sin'6+cose

【解答】

解：因為sin?4-2cos6=0,則sin。=-2cos心則tan。=——-=—2,

由誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式可得

'3_9)+COS(TT+0)cos停兀—d\=3sin0(—sin。)+(-cos0)sin0

(

3sin7r—0)cos271

—3sin20—sin0cos0—3tan20—tan0—3x(—2)2—(—2)

=—3sin20—sin0cos0-2

sin20+cos20tan20+1(一2戶+1

故答案為-2.

16.已知集合P={(x,y)|(x-cos。)？+(y—sin。/=4,0W84兀}.由集合P中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰

影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論:

X

D

①“水滴”圖形與y軸相交，最高點(diǎn)記為4則點(diǎn)力的坐標(biāo)為(0,1)；

②在集合P中任取一點(diǎn)M,則M到原點(diǎn)的距離的最大值為3；

③陰影部分與y軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記為c，D,則￡。|=2+國；

第11頁，共43頁

④白色“水滴”圖形的面積是玄兀-b.

其中正確的有.

【答案】②④

【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查三角函數(shù)和圓的綜合知識應(yīng)用，屬于較難題.

對于①：方程(久-cos8)2+(y-sin8)2=4中，令x=0得y的取值范圍，得出最高點(diǎn)的坐標(biāo);

對于②：利用參數(shù)法求出點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離d,求出最大值；

對于③：求出最高點(diǎn)為C與最低點(diǎn)。的距離|CD|.

對于④：“水滴”圖形是由一個等邊三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成.

【解答】

解：對于①：方程(尤—cos。/+(y—sin。)？=4中，

令x=0得cos2。+y2-2ysin?+sin20=4,易知y豐0,

所以2sin8=y—j其中8e[0,兀

所以sinee[0,1],所以y—je[0,2],

解得yG[—V3,-1]U[A/3/3],

所以A點(diǎn)(0,遮)，點(diǎn)8(0,-1),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D(O,_遮)，故①錯誤；

對于②：由(％—cos0)2+(y—sin0)2=4中,

設(shè)％=2cosa+cosO,y=2sina+sin。，

則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距圖。=Jx2_|_y2_J(2cosa+cos。)？+(2sina+sin。/

=J5+4cos(a-6),

當(dāng)a=6時，cos(cr—0)=1,d取得最大值為3,故②正確；

對于③：由①知最高點(diǎn)為C(0,3),最低點(diǎn)。為(o,_b)，

所以|CD|=3+B，故③錯誤；

對于④：同①原理可求得陰影部分與X軸的交點(diǎn)分別為(—3,0),(-1,0),(1,0),(3,0),

由cos2g+sin20=1(0<0<7i),集合P中圓的圓心在單位圓上半部分半圓弧上運(yùn)動，

結(jié)合對稱性可知“水滴”圖形是由一個等邊三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成；

其中等邊三角形的邊長為2,弓形所對應(yīng)的圓心角為半半徑為2,半圓的半徑為1,

第12頁，共43頁

則白色“水滴”圖形的面積是S=S平周+2S弓形+$△=|x7rxl2+2x(1x^x22-^x22)+|x2x

V3--V3,故④正確.

故答案為：②④.

17.如圖，某人身高1.73小，他站的地點(diǎn)力和云南大理文筆塔塔底。在同一水平線上，他直立時，測得塔頂M

的仰角NMCE=22.8。(點(diǎn)E在線段M。上，忽略眼睛到頭頂之間的距離，下同).他沿線段4。向塔前進(jìn)100m

到達(dá)點(diǎn)B,在點(diǎn)B直立時，測得塔頂M的仰角NMDE=48.3。，塔尖MN的視角NMDN=3.3。(那是塔尖底，在

線段M。上).

(1)求塔高M(jìn)。=；

(2)此人在線段力。上離點(diǎn)。米，他直立看塔尖MN的視角最大？

參考數(shù)據(jù)：變122.8瞿產(chǎn).3：_0.672,tan22.8°~0.42036,63.502?67.2x60.

sin25.5

【答案】68,93m；63.50

【解析】【分析】

本題考查利用正弦定理、余弦定理解決高度問題，兩角和與差的正切公式，屬于較難題.

(1)根據(jù)題意在ACDM中，由正弦定理可求CM的值，進(jìn)而求解ME的值，即可根據(jù)M。=ME+E。即可計算

得解.

(2)由(1)可求CE的值，可求DE=CE-CD=60m,4NDE=45°,NE=BEa60m,設(shè)此人應(yīng)在線段力。

上的F處，尸。=久根，直立時，眼睛處于G點(diǎn)，利用兩角差的正切公式及基本不等式可求tan/MGN的最大值,

即可求解.

【解答】

解:(1)/.MCE=22.8°,Z.MDE=48.3°,

:.乙DMC=25.5°.

在fM中，由正弦定理得，CM=然黯

又CD=100m,

第13頁，共43頁

廠0100sin(180°-48.3°)100sin48.3°

C,M=---------------------------=-----------------

sin25.5°sin25.5°

100sin48.3°sin22.8°

ME=CMsinZ-MCE—?67.2(m),

sin25.5°

所以，MO=ME+EOx67.2m+1.73m=68.93m.

ME?67.2?67.2

(2)由(1)知，CE=160(m).

tanZ-MCE~tan22.8°~0.42036

???DE=CE-CDx60m.

???乙NDE=乙MDE-乙MDN=45°,

NE=DEx60m.

設(shè)此人應(yīng)在線段4。上的F處，F(xiàn)O=xm,直立時，眼睛處于G點(diǎn),

則tan^NGE^-,

tanZ.MGE-tanZ.NGE

???tanZ-MGN=tan(zM(7E—乙NGE)

1+tanz_MGE?tanzJVGE

X1+672.60--+67.2x6°4[67.2x60—2767.2x60'

xx%勺%-x-

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?"它迎，即％。63.50時，等號成立.

X

所以，他站在線段4。上到點(diǎn)。的距離約為63.5(hn處時，看塔尖MN的視角最大.

二、單選題

18.如圖，點(diǎn)4B,C是圓。上的點(diǎn)，且4B=4,ZXCF=30°,則劣弧卷為

()

A.^C.4D.學(xué)

b33

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查扇形的弧長公式，考查了運(yùn)算能力.

先由已知條件求出劣弧Q對的圓心角和圓的半徑，再由弧長公式求劣弧Q的長.

第14頁，共43頁

【解答】

解：如圖，過點(diǎn)。作力B的垂線，垂足為D,連接。40B.

TT

V^ACB=30°,^LAOB=-.

在中，sin30°=r=4,

OBr

???劣弧卷的長為，=/x4=與.

故選D

19.中國折疊扇有著深厚的文化底蘊(yùn).如圖（2）,在半圓。中作出兩個扇形。4B和。CD,用扇環(huán)形4BDC（圖中

陰影部分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形A8DC的面積為Si，扇形04B的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為手

時，扇面的形狀較為美觀，則此時扇形OCD的半徑與半圓。的半徑之比為（）

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查扇形的面積公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，設(shè)乙4。8=/半圓。的半徑為r,扇形。CD的半徑為勺，得至哈=初;普?=要,計算即可得

到:的比值.

【解答】

解：由題意，設(shè)乙4。8=氏半圓。的半徑為丁，扇形。CD的半徑為廠1，

第15頁，共43頁

依題意有:

52=初22

即浮一二="二

r22

所以5=三乎=6-y=(告1),

即11=卬、

r2

故選反

20.在平面直角坐標(biāo)系中，蕊是單位圓上的一段弧(如圖)，點(diǎn)P是圓弧藍(lán)上的動點(diǎn)，角a以。x為始邊，OP

為終邊.以下結(jié)論正確的是()

A.tana<cosa<sinaB.cosa<tana<sina

C.sina<cosa<tanaD,以上答案都不對

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)值的符號特征，注意三角函數(shù)值的范圍，屬于拔高題.

由題設(shè)筋上的動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosa,sina),A{cos6r,sin9］),B(cos92,sin02^其中?</(當(dāng)<出<兀，

L4

然后分為］<<a<爭哼<a<02,兩種情況進(jìn)行討論即可求解.

【解答】

解：由題設(shè)卷上的動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosa,sina),A(cosd^sinO^,B(cos02^^2)?

其中V/V與V62Vm

注意到當(dāng)aG孚］,tana<-1,

4

故按如下分類討論：

若］<0i<a<貝!Jsimr>0,cosa>—1,tana<—1,

第16頁，共43頁

i^sina>cosa>tana,

若苧VaW/，貝！Js譏a>0,cosa<0,tana<0,且0vs譏/Ms譏aV爭

所以sin2。？+sin。2—1<sin2a+sina—1<9'

2

因為苧V/V兀，故0Vsind2<苧，故—1Vsin02+sin62—1<

所以sin?。？+sin02-1有正有負(fù),所以sin2a+sina—1有正有負(fù)，

而tana-cosa=sm'a+simz-i,cosa<。，^tana_cosa有正有負(fù)，

故tcma,cosa大小關(guān)系不確定.

故選：D.

21.已知cos（a+J）=—孚（0<a<兀），則8s3+竽）=（）

4'6sina+cosa

2/TT

33~

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)求值，是難題.

先求出sina?cosa=，再求出sina+cosa>0,再求sina+cosa的值即得解.

【解答】

解：vcos(a+sina—cosa=—>

將兩邊同時平方得：sin2a+cos2a—2sina-cosa=

1

則sina-cosa=->0,

0<a<7r,???sina>0,cosa>0,

???sina+cosa=(sina+cosa)2=V1+2sina-cosa=

.cos(2a+苧)_sin2a_2sina-cosa_1_2-/T1

sina+cosasina+cosasina+cosa33'

故本題選c.

3123

22.已知aE(碼,兀)，且^sinZa+sina+cosa=一元，貝!Jtana=()

-1

C.1D."或3

【答案】A

第17頁，共43頁

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)求值，是難題.

利用換元法化簡已知條件，求得sina+cosa的值，結(jié)合sinacosa列方程組，解方程組求得sina,cosa的值,

由此求得tana的值.

【解答】

[2323

解：因為5sin2a+sina+cosa所以sinacosa+sina+cosa,

所以(sina+;sa)2-l+的戊+coscr=一令sina+cosa=t,

所以與l+t=—iPt2+2t+U=0,所以t

當(dāng)t=—|■時，sina+cosa=—',此時sinacosa=—"V0,不合題意，舍去.

當(dāng)t=—1時，sina+cosa=—(，此時sinacosa=j|,

(.7.34

Isina+cosa5sina=-sina=—

由《12解得；所以tana=

Isinacosa=cosa=--coscr=—

5

故本題選4

23.若后延=包竺二，則久的取值范圍是()

、1+sinxcosx

A.2kn<x<2kn+7r(fcGZ)B.2krc+TT<%<2kn+2TT(/CGZ)

7T-7T--

C.2.ku—2V%V2/C7T+-(kGZ)D.2/cw+^<X<2/C7T+y(fceZ)

【答案】D

【解析】【分析】

本題考察同角三角函數(shù)的化簡，屬偏難題.

根據(jù)后延=包3,左邊式子分子分母同乘“1+sin%,

\1+sinxcosx

l—sin^xcosx\sinx-1.712

得------=-------,期cosx\?cosx=sin^x—1=—cos乙x,

(1+sin%)21+sinxcosx

所以cos%<0,解出久的取值范圍即可.

【解答】

/1—sinxsinx—1

解：---------,

?1+sin%cosx

l—sin2x_|cosx|2

sinx1^/|cosx|,cosx=si^x—1=—COSX9

(1+sinx)21+sinxcosx

第18頁，共43頁

???cosx<0,

解得：2/C7T+/V%V2kli+(fcGZ),

故選D

24.已知a+￡=>0,6>0),則tana+tan^的最小值為

()

A.苧B.<3C.苧D.<3+1

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查兩角和與差的正切公式和由基本不等式求最值或取值范圍，屬于較難題.

根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

【解答】

解：因為戊+6=?5>0,/?>0),則a,06(0,9，

可得tana,tan￡G(0,，即tana+tan/?>0,

且tan(a+0)==V~3,整理得tancttany?=1一?(tana+tan/?)，

又因為tanatan/?<0a皿：'3*)，當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan/?=?時，等號成立，

43

即1_f(tana+tan/?)<.丁心,

34

整理得(tana+tan)?)2+(tana+tanQ)—4>0>

解得tana+tan6>或tana+tan/?<-2A/3(舍去)，

所以tana+tan。的最小值為竽.

故選：C.

25.若a6(0,兀)，且，"^sina+2cosa=2,則)

AYBYC.迫D.也

2433

【答案】A

【解析】【分析】

第19頁，共43頁

本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及半角公式，屬于綜合題.

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系然后結(jié)合半角公式求出結(jié)果.

【解答】

解：由已知得cosa=1———sina-

代入sin2q+cos2a=1,得sir^a+(1-^sincz)2=1，

整理得:sin2a—V_3sina=0,

4

解得sina=0或sina=苧.

因為a€(0,TT),所以sina=與3,

痂i64<31

fixcosa=1——x=-

4<3=

所以tan葭=sina=工=叵

1+cosa1+i2-

故選4

26.在“BC中，若內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,NHBC的平分線交AC于點(diǎn)D,B。=1且b=2,

則“BC周長的最小值為

()

A.7B.2<2C.2+2AA2D.4

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了三角形面積公式和利用余弦定理解決范圍與最值問題，屬于較難題.

先利用面積相等與三角形面積公式，結(jié)合正弦的二倍角公式求得2accos華=c+a,再利用余弦定理的

推論與余弦的倍角公式得到a和c之間的關(guān)系式，進(jìn)一步利用基本不等式求解.

【解答】

第20頁，共43頁

解：由題可得，s4ABC=S^ABD+S^BCD，

-11/-ABC,1.Z-ABC

則2acs譏乙4BC=-BD?csin+①BD-asm---

2

又BD=1,^VXacsinZ-ABC=csin^^—+asin

rn,1c.Z-ABC/-ABC/I、,/-ABC

貝Ulacsin---cos---=(c+a)sin---

因為0〈乙4BC<7T,所以0<幺署<3貝!

所以2accos(人優(yōu)=c+Q,即

22lac

又因為cosZ_ABC=4,cos乙ABC=2cos2-1,

2ac乙

所以2(蟲)2—1=巴三上

'2acy2ac

整理得(c+a)2=ac[(c+a)2-4],

所以(c+a)2=ac[(c+a)2—4]《煲罐-?[(c+a)2—4],

解得(c+a)2>8或(c+a)240(舍去),

所以a+c>2V~^，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時，等號成立,

貝Ub+a+c>2+2，^,

故△4BC周長的最小值為2+2<2.

故選：C.

27.在鈍角△ABC中，見2。分別是必江的內(nèi)角4昆。所對的邊，點(diǎn)6是必8。的重心，若AG1BG,則cosC

的取值范圍是

()

A.B4V~6

-K5,~

【答案】A

【解析】【分析】

第21頁，共43頁

本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解，屬難題.

延長CG交4B于D,由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得CD=|c,由cos/BDC=-COSN力DC,利用余弦定

22222

理可構(gòu)造等量關(guān)系得到。2+接=5c2,由此確定C為銳角，則可假設(shè)4為鈍角，得到d+c<a,a+c>b,

a>b,由此可構(gòu)造不等式組求得自的取值范圍，在“BC利用余弦定理可得cosC="￡+2）,利用維j范圍,

結(jié)合C為銳角可求得cose的取值范圍.

【解答】

解：延長CG交4B于D,如下圖所示:

???G為-ABC的重心，D為4B中點(diǎn)且CD=3DG,

133

vAGLBG,/.DG=^AB,CD=^AB=|c；

長."rh4“AD2+CD2-AC2會2-25c2-2公

在‘力DC中'cos^ADC==

2ADCD3c2

2C

*r>"BD2+CD2-BC2fc2-tz25c2—2a2

在WC中,COSZBDC=-BD-=-3C2-

2C

Z.BDC+乙ADC=Ti,???cos乙BDC=-cosZ-ADC,

即“孚=一身孚，整理可得：a2+b2=5c2>c2,C為銳角;

3cz3cz

設(shè)Z為鈍角,則按+。2<。2,a2+c2>62,a>b,

a2+b2⑶“叩<1,

a2>b2+

5.①255I”解得：住)<2,

次+*..0<144?u3

b2<a2+

-5-

a>b>0,0<-<—，

a3

由余弦定理得：COSC=°+：r^=IG+9>lx(?+^)=

又c為銳角，.?.苧<cosC<l，即cose的取值范圍為（苧,1）

故本題選N.

三、解答題

28.設(shè)扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長為1.

第22頁，共43頁

(1)已知一扇形的周長為9cm,面積是^。血?，求扇形的圓心角a；

(2)若扇形周長為20si,將扇形的面積S表示為半徑R的函數(shù)，并寫出定義域.

(2R+Ra=9

【答案】解：(1)由題意得已仇產(chǎn)=Z

7

R-

2-

解得｛;二;(舍去)，或?4

a-

7-

故扇形圓心角為小

(3)由已知得，l+2R=20.

則S=^IR=1(20-2R)R=-R2+107?,

又aR+2R=20,得R=3,

a+2

10

ccGRG(兀+1,10).

【解析】本題考查扇形的弧長公式與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)扇形的周長公式以及面積公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)扇形的面積公式求解即可.

29.(本小題12分)

如圖，有一個扇環(huán)形花圃4BCD,外圓弧的半徑是內(nèi)圓弧半徑的兩倍，周長為定值21,圓心角的絕對值為

a(0<a<兀).

(1)當(dāng)a為多少弧度時，扇環(huán)面積最大，并求出最大面積；

(2)當(dāng)a=2時，求弧度的中點(diǎn)E到弦BC的距離.

【答案】解：設(shè)內(nèi)圓弧半徑為r,貝!IAB=CD=。4=。。=r,

所以筋=ra,BC=2ra>

所以ra+2ra+2r=2Z,則r=/二,

3a+2

第23頁，共43頁

113

所以S扇環(huán)=S扇9BC-S扇環(huán)AD=2X2nzx2r—2xraXr=-ar2

6於6於口

-4S[=~r

9a+-+122J9嗎+124，

當(dāng)且僅當(dāng)9a=立即a=|,S取得最大值0

a34

(2)設(shè)OE交BC于尸，則由垂徑定理得OE1BC,

乙BOE=g乙BOC=1,

r由+-t(Z-1i\)知/rn，?=應(yīng)21=21="I

所以。F=/cosl,

所以EF=0E-OF=2r-|cosl=g(l-cosl).

【解析】本題考查了扇環(huán)面積的計算問題，也考查了函數(shù)最值的計算問題，是綜合題.

(1)設(shè)半徑為r,由弧長公式及周長得r=熹，根據(jù)扇形面積公式結(jié)合基本不等式可求得扇環(huán)的最大值;

(2)利用垂徑定理結(jié)合解直角三角形可得.

30.(本小題12分)

如圖扇形/。8的半徑r=6cm,圓心角乙4。8=卷.求陰影部分的面積S.

【答案】解：過。1作AB,OA,。8垂線，垂足分別為C,D,E.

如圖所示：

第24頁，共43頁

由題意可知，△。48為邊長為6的等邊三角形，則AC=BC=3,

則。1C=<3,

根據(jù)題意將陰影部分分三部分求解，即四邊形力扇形D0C,四邊形扇形E0C,以及上面的

弓形.

故陰影部分面積為[門x3—gx兀x(<3)2]X2+|X^X62-^X62=4TT-3<3.

【解析】本題考查了扇形面積公式，圓的面積公式以及三角形內(nèi)切圓問題，屬于中檔題.

過01作48,0A,0B垂線，垂足分別為C,D,E.根據(jù)題意將陰影部分分三部分求解，即四邊形力。0也一扇

形D0C,四邊形扇形E0C,以及上面的弓形.

31.如圖所示，動點(diǎn)P,Q從點(diǎn)4(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動，點(diǎn)P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)號弧度，點(diǎn)Q按順時針方向

每秒鐘轉(zhuǎn)看弧度，求點(diǎn)P,點(diǎn)Q第一次相遇時所用的時間、相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P,Q點(diǎn)各自走過的弧長.

【答案】解：設(shè)P、Q第一次相遇時所用的時間是3則?卜目=2兀.

t=4(秒)，即第一次相遇的時間為4