2024年內(nèi)蒙古高三數(shù)學（文科）4月第二次模擬考試卷及答案解析

2024年內(nèi)蒙古高三數(shù)學（文科）4月第二次模擬考試卷

2024.04

注意事項：

L考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名、座位號寫在答題卡上.將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，

考試時間120分鐘.

2.做選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知全集。={尤|一1<”5},集合A滿足①A={x|0Wx<3},則（）

A.0GAB.l^A

C.2eJD.3eA

2.已知復數(shù)z=l+gi（i為虛數(shù)單位），貝匹的虛部為（）

A.-73B.-V3iC.-1D.-i

3.設(shè)機，neR,貝『'帆〃=1”是“l(fā)g機+lg〃=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.若非零向量久6滿足1&1=歷1=:+石1，則向量。與向量a+8的夾角為（）

A.150B.120C.60D.30

5.從分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是3的倍

數(shù)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5535

6.已知函數(shù)=的值域為若（L+e）aM,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-co,l]C.（l,+oo）D.[1,+co）

7.已知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，且4=1,%=16,設(shè)等差數(shù)列也J的前n項和為S“，若么=%，則$9=（）

A.—36或36B.—36C.36D.18

8.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學模型是函數(shù)y=AsinM,但我們平

時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)

/（x）=sinx+^sin2x（xeR）,則下列說法正確的是（）

A.“X）的一個周期為無B.的最大值為］

C.的圖象關(guān)于點go）對稱D.在區(qū)間［0,兀］上有2個零點

9.在平面直角坐標系宜刀中，設(shè)A（2,4）,B（-2,-4）,動點尸滿足尸O.pA=-l,貝！Itan/PBO的最大值

為（）

2口「2^41d0

AA.--而-D.-4-A/-2-9-C.----U.---

2129412

10.在正方體ABC。-A用G2中，E為8。的中點，則直線耳￡與4。所成角的余弦值為（）

A.0B-Ic-TD-T

11.設(shè)g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且g(l-x)=g(l+x).若j=g,則()

22

12.已知雙曲線C：二一與=1（。>0*>0）的左、右焦點分別為耳、工，雙曲線C的離心率為e,在第

ab

一象限存在點P,滿足e-sin/尸片為=1,且5耳時=4/,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=Q

C.3%土y=0D.x±3y=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.拋物線爐=1>的準線方程為y=l,則實數(shù)a的值為.

a

14.在J1SC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=0,6=4,c-cosB+a^O,則邊c=.

x+y-5>0

15.若實數(shù)XD滿足約束條件，x-2y+140,貝ljz=x+y的最小值為.

尤21

16.已知圓柱的兩個底面的圓周在表面積為4兀的球。的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17?21題為必考題，每個試題考生都

必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.某企業(yè)擬對某產(chǎn)品進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入加（萬元）與科技升級

直接收益y（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號i234567

m234681013

y13223142505658

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了y與機的兩個回歸模型：模型①：9=4.1根+11.8;模型②：9=21.3詬-14.4.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型；

⑵根據(jù)（1）選擇的模型，預測對該產(chǎn)品科技升級的投入為100萬元時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程9=4.1根+11.8夕=21.3詬-14.4

7

Z（.V,-X）2182.479.2

1=1

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)笈=1-「~」，后越大，模型的擬合效果越好）

S（z-y）2

Z=1

18.如圖，在多面體中，ABC是等邊三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=啦.

（1）求證：BCLAE-,

（2）求三棱錐3-AC。的體積.

19.已知函數(shù)/（無）=。（%2-111彳）+（1-2〃）尤（々2。）.

⑴若X=1是函數(shù)y=〃x)的極值點，求。的值；

⑵求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

22_

20.已知橢圓石:臺=1(?！地?gt;0)過點(0,1),且焦距為2g.

ab

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)過點S(l,。)作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)弦AB,CD的中點分別為M,N.證明：直線必過定點.

21.已知數(shù)列｛q｝為有窮數(shù)列，且a.eN*,若數(shù)列｛a“｝滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列｛%｝為優(yōu)的%增數(shù)

列：

①4+。2+。3+…+=相；

②對于1W。，使得4<%的正整數(shù)對(。)有左個.

⑴寫出所有4的1增數(shù)歹(J；

(2)當〃=5時，若存在加的6增數(shù)列，求機的最小值.

(二)選考題：共10分.請者生在第22.23題中任選一題作答.如果多做，則按所寫的第一題計分.

［選修4?4：坐標系與參數(shù)方程］

]

x=

cosa

22.在直角坐標系中,曲線。的參數(shù)方程為,(。為參數(shù),a手——)以坐標原點

A/3sin2

y=

cosa

。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為夕cos［o+(J=l.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程;

(2)已知點P(2,。)，若直線/與曲線C交于4B兩點,求向一向1的值?

PB\

［選修4-5：不等式選講］

23.已知/(%)=|2x+2|+k—31

⑴求不等式/(%卜5的解集;

111g

(2)若“司的最小值為加，正實數(shù)"，b,。滿足a+b+c=m,求證：--+--+——>—.

a+bb+ca+c2m

1.B

【分析】根據(jù)全集和集合A在全集中的補集易得集合A,逐一判斷選項即可.

【詳解】由U={尤|-1<彳<5},?A={x[0Vx<3},可得A={x|-l<x<。或3Vx<5}

則0e4,1把A,2eA,3GA,故B項正確，A,C,D項均是錯誤的.

故選：B.

2.A

【分析】由共軌復數(shù)以及虛部的概念即可得解.

【詳解】因為復數(shù)z=l+石i,所以1=1-后的虛部為-石.

故選：A.

3.B

【分析】通過舉反例說明“〃切=1”不是“1g”2+1g〃=0”的充分條件，再由對數(shù)的運算性質(zhì)由lg"Z+1g〃=0

推得〃以=1,即得結(jié)論.

【詳解】由〃?〃=1不能推出1g機+lg〃=O,如7〃=〃=-1滿足〃"7=1,

但lgm,lg”無意義,故“mn=1”不是，1g根+1gw=0”的充分條件；

再由1gm+1g〃=0可得lg(mn)=0,即得mn=1,故"mn=/是”1g根+1g〃=0”的必要條件.

即“mn=1”是“1g機+1g九=0”的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】利用向量加法的三角形法則作出圖象，根據(jù)圖象得答案.

【詳解】如圖：若|a|=|6|=|a+b|,則ABC為等邊三角形

則向量a與向量“+b的夾角為60.

故選：C.

【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從六張卡片中無放回隨機抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積

是3的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從六張卡片中無放回隨機抽取2張，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法,

其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,6),

(5,6),共9種情況，

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率尸=9怖=3:；

故選：A.

6.B

【分析】化復合函數(shù)〃尤)=2y+2工為〃“)=2","=d+2x+a,根據(jù)已知條件=確定a的

取值范圍，再根據(jù)"的取值范圍確定a的取值范圍即可.

【詳解】因為“*=2'+2』，令“=尤2+2》+°,所以=

令函數(shù)〃=爐+2尤+a的值域為N,因為(1,+8)UM,

所以(O,+“)UN,所以尤2+2元+4必須能取到(0,+。)上的所有值,

4xa-2-4tz—4助殂,

“min=---=^—解侍aW1L

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得/=4,繼而求得仇=%的值，利用等差數(shù)列前〃項和公式進行計

算即可.

【詳解】數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為“，且4=1,%=16,

則&=d=16,則/=4,

ax

貝！J方5=%=Qi/=4,

貝”廣^1^=94=36,

故選：C.

8.D

【分析】對于A,考查函數(shù)、=sinx與y=；sin2x的周期即可；對于B,考查函數(shù)y=sinx與y=；sin2x

的最大值，驗證同時取最大值時的條件即可判斷；對于C,利用中心對稱的條件進行驗證即可；對于D,

令〃x）=0,解方程即可.

【詳解】對于A,因為y=sinx的周期為2兀，y=；sin2x的周期為兀，所以〃尤）=sinx+；sin2x的周期為

271,故A錯誤；

對于B,因為函數(shù)，=5皿工的最大值為l,y=；sin2x的最大值為，

故兩個函數(shù)同時取最大值時，/（X）的最大值為］,

TTTT

此時需滿足％=—+2lai,k￡Z且2%=—+2kR,kGZ,不能同時成立,

22

故最大值不能同時取到，故/（x）的最大值不為則B錯誤；

對于C,〃兀一尤）=sin（兀一元）+gsin［2（兀一X）］=sinx-gsin2x,貝/（x）+/（7T-x）=2sinxwO,

故"X）的圖象不關(guān)于點加對稱，c錯誤;

對于因為時,

D,/'(x)=sinx+gsin2x=sinMl+cosx)=0sinx=O,又xe[O,兀],

所以x=0或者及=無；或者l+cosx=0,止匕時cosx=-l,又xe[0,7c],

所以x=無，綜上可知，“X）在區(qū)間［0,可上有2個零點，故D正確,

故選：D.

9.C

【分析】設(shè)出點尸（％y）,利用數(shù)量積的坐標表示得到點尸的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進行求解即可.

【詳解】設(shè)尸(x,y),則尸O=(—x,-y),PA=(2-xA-y),

貝°P0-PA=-x(2-x)-y(4-y)=-1,BPx2-2.x+y2-4y+1=0,

化為(x-l)2+(y-2)2=4,則點尸的軌跡為以。。,2)為圓心，半徑為2的圓,

-44

XkOB=—=2=kOD=~,所以6O,。三點共線，

顯然當直線尸3與此圓相切時，tanNPBO的值最大.

又BD=M+62=3區(qū)PD=2,

貝UPB=7BD2-PD2=745-4=如，

則，皿加。="=二=孚.

PB741V41

故選：C.

10.D

【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用空間向量的夾角余弦公式求出答案.

【詳解】以點。為坐標原點，。4,。。,。2所在直線分別為工，％2軸，建立空間直角坐標系,

設(shè)正方體ABCD-A及6R的棱長為2,

則A（2,0,2）,0（0,0,0）,4（2,2,2）,E。,1,0）,

則直線用E與4。所成角的余弦值為

|co"DBE|-目1(-2,。,-2)3,T-2)16一石

151；

Ir|AD|.|B,￡p目X標4-272x76-2

故選：D

11.A

【分析】結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性，周期性求解即可.

【詳解】若g(lT)=g(l+X),且g(X)是定義域為R的奇函數(shù)，故一g(x)=g(—X),

貝1Jg(-x)=g(x+2),-g(x)=g(x+2),變形得g(x+4)=-g(x+2)=g(x),

可得g(x)周期為4,貝=g(；j=_gU=_j故A正確.

故選：A

12.A

【分析】由題意設(shè)歸耳卜心^\\PF2\=t-2a,而sin/P耳g=：=/,閨閭=2c,由三角形面積公式可得

|P6|=4。，從而忸用=2°,在工中，運用余弦定理可得,=2,由此即可得解.

設(shè)|尸耳仁心則|P閶=-2a,而e-sinNP￡鳥=1,所以sin/兩g=：=2,

所以點尸到久居的距離為|「盟sin/P4B=」，

C

又閨閭=2c,所以S彷=；-2。/3=44,

解得f=4a,即|P周=4°,從而|尸閱=2a,

又因為sin/P耳月=工=9

ec

所以cos/尸耳入

在中，由余弦定理有cosNPE居=2=（4"）一+（2。）一一（2。）一，

c2?4a?2c

A24〃

所以4ab=4a2-^-c2-a2=b2+4a2，即一^---F4=0,

aa

b

解得旦二2,雙曲線。的漸近線方程為2x土y=0.

a

故選：A.

13.--##-0.25

4

【分析】根據(jù)拋物線方程及準線方程列出方程，解出即可.

【詳解】依題可知-《=1,

4〃

貝一:，

4

故答案為：

4

14.Vio

【分析】由余弦定理化角為邊，化簡整理后，代值計算即得.

^22_>2

【詳解】因c-cos3+a=0,由余弦定理，c/+，+a=0,化簡得34+°2=62,

2ac

因。=0，6=4，故c=捫—3a1二回.

故答案為：回.

15.5

【分析】利用約束條件畫出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合圖形即可得解.

x+y-5>0

【詳解】畫出約束條件，x-2y+lV0的可行域如下圖所示陰影,

x>l

由2=工+〉，得〉=一%+2,移動直線簇y=-x+z,

當〉=_彳+Z與x+y_5=0重合時，Z取得最小值;

x+y-5=0fx=3

聯(lián)立，解得。，則4(3,2),

x-2y+l=QU=2

止匕時點A(3,2)在直線z=x+y上，故z=3+2=5.

故答案為：5.

16.27r

【分析】由題意，先求出球的半徑，再由球和圓柱的位置關(guān)系得到圓柱的底面半徑、母線和球的半徑的

關(guān)系，然后利用基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,圓柱的底面半徑為人母線為/,

由題意可知，S=4TTR。=4兀解得7?=1,

又圓柱的兩個底面的圓周在表面積為4兀的球。的球面上，

+[]=R2=1,

所以圓柱的兩個底面的的圓心關(guān)于球心對稱，且戶

圓柱的側(cè)面積S=2加7,/>0,

因為產(chǎn)十:22/x'=",當且僅當r=4，即/=也,/=血時，等號成立，

4222

所以力41,S=2nrl<2兀.

故答案為：271.

17.(1)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高、更可靠.

(2)198.6

【分析】(1)利用相關(guān)指數(shù)的定義判斷相關(guān)性即可.

(2)將給定數(shù)值代入擬合模型中求預測值即可.

【詳解】(1)由表格中的數(shù)據(jù)，182Q79.2,

?---18-2-.4-->---7-9-.2---1?----18-2-.4--<1----7-9-.2---

2(%一斤S(x-y,)2SU-y,)2Z(x-x)2

Z=1Z=11=1Z=1

所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，

即模型②的擬合效果精度更高、更可靠.

(2)當〃2=100萬元時，科技升級直接收益的預測值為：

y=21.3V100-14.4=213-14.4=198.6(萬元)

18.(1)證明見解析

⑵近

3

【分析】(1)首先取8C中點。，連接AQEO,根據(jù)題意易證AO1BC,EOLBC,從而得到BC1平

面AEO,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得到3CJ_AE.

(2)首先連接。0,易證”>_L5C,DOLAO,即可得到DO,平面4BC,再根據(jù)％一人⑦=%-ABC求解

即可.

【詳解】(1)取BC中點0,連接AO,E。

ABC是等邊三角形，。為BC中點,

AOLBC,

又班=XC,，EO_LBC,

AOr>EO=O,AQEOu平面AEO,「.BCJ_平面A￡O,

又AEu平面AEO,

.\BC±AE.

(2)連接DO,如圖所示：

因為O5=OC,。為BC中點，則。OJ_5C,

由A5=AC=5C=2,05=DC=砂=EC=血得AO=百,00=1,

XAD=2,/.AO2+DO2=AD2,:.DOLAO,

又AOBC=O,AO,BCu平面A5C,.?.。。，平面45。，

所以％ACD=VDABC=-SABC-DO=--X22XI=~-

D—A\^L)L)—At3(^3ADC343

19.(1)1

(2)單調(diào)減區(qū)間為(O,a),單調(diào)增區(qū)間為(a,y)

【分析】(1)由x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點，/，(D=0,求解驗證即可;

(2)利用導函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

【詳解】(1)函數(shù)定義域為(0,+e),尸⑺=2"?+(1-2/b--

因為x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點，

所以/'(1)=1+a_2/=0,解得q=_g或。=1,

因為a?0,所以a=1.此時尸(x)=2-"1=(2x+l)(l),

XX

令/'(x)>0得X>1,令/'(x)<0得0<x<l,

在(0,1)單調(diào)遞減，在。,+。)單調(diào)遞增，所以x=l是函數(shù)的極小值點.

所以4=1.

/人、Zdx?+(1—2/)%—a

⑵(⑺=————1—(2ox+l)(x—6Z)

X

因為a20,所以2辦20,令/'(">。得x>〃；令r(x)<0得0(尤<〃；

???函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,〃)，單調(diào)增區(qū)間為(。,+a).

丫2

20.(1)1-+/=1；

4

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出。力即可求出橢圓E的方程.

(2)直線A3不垂直于坐標軸時，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立求出中點坐標，求出直線MN即得,

再驗證AB,CD之一垂直于x軸的情況即可.

【詳解】(1)依題意，橢圓半焦距C=A/L而6=1,則q2=/；2+c2=4,

所以橢圓的方程為工+y2=l.

4

(2)當直線AB不垂直于坐標軸時，設(shè)直線AB的方程為了=陽+1(x。0),4玉,乂),3(兀2，%)，

由CDLA8,得直線8的方程為+

m

[x=my+1cc

由<,“，，消去X得：(m2+4)y2+2my-3=0,

[x+4y=4

m

貝|]公=16〃/+48>0,%+%=,故司+x,=m(yx+y1)+2=—―-)

m+4m+4

T/4—TTl、.1八、++4=4根?m

于是M(,“)，由代替加，得N(-----；

m+4m+4m1+4加，I+4m

44m244

當一=即力，=1時，直線MN：x=~,過點K[,0),

m+41+4m5

m-m

當工4m2l+4m2m2+45m

,即加22I時，旦或MN的斜率為

l+4m4m24-4(7712-l)

l+4m2m2+4

土/4m5m44(m-1)44m+164

直線MTV：--27--~2~~---27)，令y=0,X=--2-----1---2----=---2----==，

m+44(m-1)m+45(m+4)(m+4)5(m+4)5

4

因此直線MN恒過點K1,0),

4

當直線A8,8之一垂直于x軸，另一條必垂直于y軸，直線為x軸，過點K（『0）,

4

所以直線MN恒過點長（+0）.

/

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情

況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，

根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的

方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點.

21.⑴所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3

⑵7

【分析】（1）利用給定的新定義，求出所有符合條件的數(shù)列即可.

（2）運用給定的新定義，分類討論求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）由題意得4+%++。,=4,則1+1+2=4或1+3=4,

故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3.

（2）當〃=5時，因為存在沉的6增數(shù)列，

所以數(shù)列｛。,｝的各項中必有不同的項，所以加26且〃?wN*,

若根=6,滿足要求的數(shù)列｛。“｝中有四項為1,一項為2,

所以上V4,不符合題意，所以機＞6

若m=7,滿足要求的數(shù)列｛%｝中有三項為1,兩項為2,符合加的6增數(shù)列.

所以，當九=5時，若存在，W的6增數(shù)列，加的最小值為7.

2_

22.（1）C：x2-^=l,直線/：X-A/3V-2=0

*

\x=pcosO

【分析】（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式,。化極坐標方程為直角坐標方程;

[y=夕sm”

(2)化直線方程為尸點的標準參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達定理求解.

1

x--------

cosaIT

【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(。為參數(shù)，a^k7i+—),

J^sina

y=----------

cosa

1y2_si?n2a2,2

所以％2=，所以——匕=1.即曲線。的普通方程為九2一乙=1.

cos2a'o3cos2a33

直線I的極坐標方程為pcosf6>+yU1,則「上osecos7g1-sin。sin兀!

=1,

33

轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為X-也y-2=0.

J+烏，

(2)直線/