聊城市重點中學2024屆數(shù)學高二年級上冊期末綜合測試試題含解析

聊城市重點中學2024屆數(shù)學高二上期末綜合測試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.4位同學報名參加四個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()

A.24種B.81種

C.64種D.256種

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

A.54B.45

C.27D.81

3.已知空間中三點A(0,1,0),5(2,2,0),C(-l,3,l),則下列結(jié)論中正確的有()

A.平面ABC的一個法向量是(1,-2,5)B.AB的一個單位向量的坐標是(1,1,0)

C.|AB|=2D.AB與AC是共線向量

22

4.已知雙曲線二―與=1的左、右焦點分別為￡,尸為雙曲線C上一點，直線與y軸交于

F2,PF2LFXF2,

ab

b

點。，若1。。=］，則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±gxB.y=±2x

C.y=±—xD.y=±4x

V2>2=1上的一點，耳，心是橢圓的兩個焦點且cos/PK6=#，則△耳尸耳的面積是（）

5.已知P是橢圓二+

4

A.夜B.2V2

1

C.—D.1

2

6.對于兩個平面。、0,“a內(nèi)有無數(shù)多個點到齊的距離相等”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到

就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0,

1,2,3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18

組隨機數(shù)：

232321230023123021132220001

231130133231013320122103233

由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（）

8.命題“也之1,君〉i”的否定形式是（）

A.?V%<1,x2>lnB?3x<l,x2>lw

C.u3x>l,x2<lnD.?Vx>l,x2<lw

X22

9.橢圓二+/=l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為E，B，過焦點”的傾斜角為30直線交橢圓于A8兩點，弦

a

長|AB|=8,若三角形ABg的內(nèi)切圓的面積為〃，則橢圓的離心率為（）

A.旦B亞

26

C.-D.—

23

10.南北朝時期杰出的數(shù)學家祖沖之的兒子祖眼在數(shù)學上也有很多創(chuàng)造，其最著名的成就是祖迪原理：夾在兩個平行

平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的

體積相等，現(xiàn)有一個圓柱體和一個長方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為4,圓柱體的體

積為4萬，根據(jù)祖迪原理，可推斷圓柱體的高()

A.有最小值不B.有最大值〃

C.有最小值4萬D.有最大值4萬

11.已知“(x+a)2-16>0”的必要不充分條件是“xW—2或無之3”，則實數(shù)。的最小值為()

A.-2B.-1

C.OD.1

22

12.已知橢圓：亍+方=1(0<6<2),左、右焦點分別為片,B，過6的直線/交橢圓于A,3兩點，若忸鳥|+|A￡|

的最大值為5,則b的值是

A.1B.72

c3L

C.5D.布

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.四棱錐A—BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC_L底面BCDE,側(cè)面ABE_L底面BCDE,BC=2,CD=4

(I)證明：AB_L面BCDE；

(II)若AD=2",求二面角C—AD-E的正弦值

14.已知數(shù)列｛a“｝的前"項和為S“，且滿足3。1+322+…+3"a"=”("eN*),若對于任意的xe[0,l],〃eN*,不

2

等式Sn<-2x-(a+l)x+a--a+^恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

15.2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設(shè)置多個核酸檢測點對全市人員進行核酸檢測.

已知組建一個小型核酸檢測點需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢

測點需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去

做核酸檢測工作，則這28名醫(yī)生需要組建個小型核酸檢測點和個大型核酸檢測點，才能更高效的完

成本次核酸檢測工作.

22

16.已知橢圓『+三=1的焦點分別為K,B，A為橢圓上一點，貝！J|M|+|AE|=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)命題P：對于任意尤eR,不等式Y(jié)-（a-l）x+l>0恒成立.命題夕：實數(shù)。滿足2<2“<16

（1）若命題P為真，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若“p或q”為真，“p且g”為假，求實數(shù)a的取值范圍

18.（12分）已知函數(shù)〃%）=加—2依+。（。>0）在區(qū)間0,1上有最大值:和最小值-1

（1）求實數(shù)。、c的值；

（2）設(shè)g（x）=&。，若不等式g（2'）-左220,在xe[—2,0）上恒成立，求實數(shù)左的取值范圍

X

19.（12分）已知數(shù)列｛4｝和也｝滿足%=2,4+<_1=3（心2）

（1）若4=b”,求｛4｝的通項公式；

⑵若偽=0,%+々=1（1.2）,證明｛4｝為等差數(shù)列,并求｛4｝和也｝的通項公式

20.（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓Q：土+9=1的左、右焦點分別為耳，工，且橢圓Q與拋物線。2：

4'

/=2px（p>0）在第一象限的交點為Q,已知NFQF?=60°.

（1）求耳的面積

（2）求拋物線C2的標準方程.

21.（12分）如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，440=60。，平面上40,平面ABCD,PA=PD=4,

AD=2,。為A。的中點，河是棱PC上的一點，且PM=；PC.

（1）求證：PA//平面

(2)求二面角M—5Q—P的余弦值.

22.(10分)如圖，在幾何體ABC-A4G中，底面aABC是邊長為2的正三角形，&A，平面ABC,

AA.//BB,//CQ,且6AA=23g=3CG=6,E是AB的中點

(i)求證：CE〃平面44G；

(2)求異面直線CE與耳G所成的角的余弦值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】利用分步乘法計數(shù)原理進行計算.

【詳解】每位同學均有四種選擇，故不同的報名方法有44=256種.

故選：D

2、B

【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示,

所以該幾何體的體積為3x3x6」x』x3x3x6=45

32

故選B

點睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.

3、A

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對每個選項進行逐一分析,

即可判斷和選擇.

【詳解】因為4（0,1,0）,5（2,2,0）,C（—1,3,1）,故可得AB=（2,1,0）,AC=（—1,2,1）,

21

因為［工彳，故AB，AC不平行，則D錯誤；

對A：不妨記向量（L-2,5）為加，則m?48=2—2=0,而?AC=—1—4+5=0,

又A3，AC不平行，故向量（L-2,5）是平面ABC的法向量，則A正確；

對B：因為向量（1,1,0）的模長為a71=正，其不是單位向量，故B錯誤；

對C因為AB=（2,1,0）,故可得.q=,22+12=卮故c錯誤；

故選：A.

4、B

/\OFA\OQ\1

【解析】由題意可設(shè)2。,幺）且大；=而3=彳，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進而求雙曲線C的漸近線方程.

a\FXF2I\PF2\2

【詳解】由題設(shè)，耳（一。,0）,工（c,0）,又PFQg,尸為雙曲線C上一點，

卜2卜

:.P吟）,又|OQ|="。為EE的中點,

10^1\QQ\_ARn,0

\FlF,r\PF2\^2'昉=2a,

b

...雙曲線C的漸近線方程為y=±-x=±2x.

a

故選：B.

5、A

【解析】設(shè)|P4|=加,|柩|=〃，先求出山、n,再利用面積公式即可求解.

m+n=4

m=l

【詳解】在△母;月中，設(shè)|P國=7印尸閭="，貝上蘇+河『—2"義（2⑹x9=一解得…

n=3

因為COS/P耳工=g，所以sinNP耳心=J1—2=艮

所以△耳尸鳥的面積是gx|P￡|x閨可xsinZPF[F2=^X1X2A/3X^-=y/2■

故選：A

6、B

【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.

【詳解】充分性：若a內(nèi)有無數(shù)多個點到廠的距離相等，則。、廠平行或相交，故充分性不成立;

必要性：若&//，，則a內(nèi)每個點到月的距離相等，故必要性成立，

所以“a內(nèi)有無數(shù)多個點到P的距離相等”是的必要不充分條件.

故選：B.

7、A

【解析】利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】因為隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：

232321230023123021132220001

231130133231013320122103233’

其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3個，

31

所以由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為。=二=:，

186

故選：A

8、C

【解析】由全稱命題的否定是特稱命題即得.

【詳解】“任意”改為“存在”，否定結(jié)論即可.

命題“x/%21,好>1"的否定形式是“女》1,%2<r\

故選：c.

9、C

【解析】由題可得直線A3的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示

出三角形面積，則橢圓的離心率即求.

【詳解】由題知直線45的方程為y=［（尤+c）,即x—J^y+c=O,

.??工到直線A3距離d=F=。，

又三角形AB6的內(nèi)切圓的面積為萬，

則半徑為1,

由等面積可得!><8><c=Lx4axl,

22

c1

/.C———=-?

a2

故選：C.

10、C

【解析】由條件可得長方體的體積為4/，設(shè)長方體的底面相鄰兩邊分別為X,y,x+y=2,根據(jù)基本不等式，可求出

底面面積的最大值，進而求出高的最小值，得出結(jié)論.

【詳解】依題意長方體的體積為4萬，設(shè)圓柱的高為〃

長方體的底面相鄰兩邊分別為x,y,x+y=2,

孫〈（言）2=1,當且僅當x=y=l時，等號成立，

h=——>47r.

孫

故選:C.

【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查基本不等式求最值，要認真審題，理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

4—〃N3

【解析】首先解不等式（％+〃）2-16>0得到x>4—〃或xvT-a,根據(jù)題意得到/力再解不等式組即可.

-4—aW—2

【詳解】（x+a）~-16>0,解得x>4—?；騒<-4-。，

因為“（無+一16>0”的必要不充分條件是“xW—2或1之3”，

4—tz>3

所以〈“^>-2<a<\.

-4-a<-2

實數(shù)。的最小值為-2.

故選：A

12、D

【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到由F2|+|AF2|=8-|AB|,再由過橢圓焦點的弦中通

徑的長最短，可知當A5垂直于x軸時|4*最小，把|43|的最小值〃代入|3月2|+|A尸21=8-|4訓，由出廠2件以尸21的最

大值等于5列式求b的值即可

【詳解】由0V8V2可知，焦點在x軸上，

???過Fi的直線/交橢圓于A,5兩點，

貝！I\BF2\+\AF21+\BFi|+|AFi|=2a+2a=4a=8

：.\BF2\+\AF2\=8-\AB\

當A3垂直x軸時1431最小，出尸2I+IA歹21值最大，

此時［43|=從，則5=8-",

解得b=道,

故選D

【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、（I）詳見解析；（II）巫.

5

【解析】（I）推導出從而3EJ_平面ABC,進而由面43片_1面3cDE,得ABJ_3C,由此能證

明45，面BCDE

（II）以8為原點，5C3E,區(qū)4所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-A。

-E的正弦值

【詳解】（1）由側(cè)面ABC,底面BC0E,且交線為BC,底面6CDE為矩形

所以5E，3Cn5石，平面ABC,

又ABu平面ABC,所以鹿，AB

由面AB石_1_面BCDE,

同理可證A3,5C,

又BCcBE=BnAB上面BCDE

（2）在底面BCDE中,BD=A/BC2+CD2=722+42=275?

由AB_1面BCDE=>AB_LBD,

故45=，初_必=,24-20=2,

以3為原點，BC,BE,5A所在直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標系,

則C（2,0,0）,。（2,4,0）,￡（0,4,0）,A（0,0,2）,AC=（2,0,-2）,CD=（0,4,0）

設(shè)平面CAD的法向量加=（九,y,z）,

m.AC=02x—2z=0

則<n《

m.AD-014y=0

取加=（1,0,1）

所以平面CAD的法向量m=（Lo,1），

同理可求得平面ADE的法向量n=（0,1,2）.

設(shè)二面角C—AD—￡的平面角為夕，

向川\m-n\2M.c屈

?1|m||n|V2,V555

故所求二面角C—AD—E的正弦值為巫.

5

【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題

14、(-oo,-l][3,+oo)

2W1

【解析】先求出外，然后當2時，由3〃]+3?%+…+3"〃〃=n{nwN),得3q+3a2+...+3an_x=n—1,兩

式相減可求出％,再驗證為,從而可得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，進而可求出s,<；,再將問題轉(zhuǎn)化為

2

0/\0r-1—Q+〃<0

2X2+(。+1)》一4+a<0在xe[o,i]上恒成立，所以,2+。+]〃+。<0，從而可求出實數(shù)a的取值范圍

【詳解】當”=1時，3al=1,得q=g,

當時，由3。]+3?%+…+3"?！?〃(〃￡N*),

得3q+324+…+3"1=〃—1,

兩式相減得3%.=1,得4=5，滿足此式,

所以4=：,

1

因為n-=?on+1=5I,

。"-L3

3"

所以數(shù)列｛4｝是以g為公比，；為首項的等比數(shù)列，

3

所以對于任意的尤e[0,l],〃eN*,不等式S〃<-2/一(a+1卜+1—a+g恒成立，可轉(zhuǎn)化為對于任意的％e[0,1],

一<—2/—(a+1)%+/-(j~\—恒成立，

2v72

即2f+(a+l)x—/十a(chǎn)<0在x￡[°」]上恒成立，

—/+Q?0

所以，解得"<一1或〃23,

2+a+l—a2+CL?0

所以實數(shù)。的取值范圍為(-8,-4[3,中6)

故答案為：(-A—l]j[3,y)

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查數(shù)列通項公的求法，等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵

是求出數(shù)列的通項公式后求得S”<g,再將問題轉(zhuǎn)化為片+。<0在xe[Q]]上恒成立求解即可，考

查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題

15、①.4②.2

【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進而作出可行域，最后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.

x+3y<10,

3x+3y<18,

【詳解】設(shè)需要組建尤個小型核酸檢測點和V個大型核酸檢測點，貝!J

xeN*,

yeN*,

每小時做核酸檢測的最高人次z=200%+300y(x,yeN*),作出可行域如圖中陰影部分所示,

由圖可見當直線z=200x+300y過點A時，z取得最大值,

x+3y=10%=4,

由c:得c恰為整數(shù)點，所以組建4個小型核酸檢測點和2個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本

[3x+3y=18[y=2,

次核酸檢測工作.

故答案為：4；2.

16、4

【解析】直接利用橢圓的定義即可求解.

22

【詳解】因為橢圓上+匕=1的焦點分別為耳,心，A為橢圓上一點,

43

所以|明|+|A閶=2a=4.

故答案為：4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)ae(-l,3)

(2)?e(-l,l)[3,4]

【解析】(1)由/＜0即可獲解

(2)。、q一真一假，分情況討論即可

【小問1詳解】

由命題P為真,得任意xeR，不等式V-—l)x+1＞0恒成立

所以△=("1)2-4＜0

即一1＜。＜3

所以實數(shù)。的取值范圍為(-1,3)

【小問2詳解】

由命題4為真,得啜打4

因為“p或q”為真，“P且q”為假，所以P、〃一真一假

-1＜。＜3

若。真0假，則/m\/,即—

。(1或4)4

。剌-1或。3

若。假[真｛，即3麴b4

啜!h4

所以實數(shù)。的取值范圍為(-Ll)u[3,4]

18、(1)a=l,c=O；

(2)(-oo,-7].

【解析】(1)分析函數(shù)/(%)在區(qū)間o,|上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實數(shù)。、。的方程組，即可解得實

數(shù)。、c的值；

2?

(2)由⑴可得g(x)=x—2,利用參變量分離法可得出左＜1-百，利用單調(diào)性求出函數(shù)妝光)=1-9在[—2,0)

上的最小值，即可得出實數(shù)上的取值范圍.

【小問1詳解】

解：/(%)=依2_2依+。的對稱軸是％=1,

又a＞0,所以，函數(shù)/(%)在［0』上單調(diào)遞減，在1,(上單調(diào)遞增，

當％=1時，/(%)取最小值一1,當x=g時，/(%)取最大值:，

〃l)=c-a=-1r

Cl——1

即＜55，解得＜z

rm44i

【小問2詳解】

解：由(1)知：g(x)=^H=^^=x—2,

XX

所以，g(2，)—左2=2"-2—4220,又2、＞0,

2

令/z(x)=l—吩，則〃(九)在［—2,0)上是增函數(shù).所以，/z(x)n.n=/z(-2)=-7,

要使g(2")-公2'2。在xe［—2,0)上恒成立，只需左＜一7,

因此，實數(shù)上的取值范圍為(7,-7］

19、(1)??=|+-1x(-l)n'

(2)證明見解析，an=n+\9bn=l-n

【解析】(1)代入可得4=-4T+3,變形得4-1=3］構(gòu)造等比數(shù)列求｛4｝的通項公式;

⑵先由已知得4+1—%T=2(“22),先分別求出｛%-｝，｛%及｝的通項公式，然后合并可得｛4｝的通項公式,

進而可得也｝的通項公式

【小問1詳解】

當q=2，"之2時，%=b,i,所以4+%1=3，即a'=-a,”]+3,

整理得=_1""T_fj，

所以14-是以q-1=g為首項，-1為公比的等比數(shù)列

,,31/Y\〃-1ri31/

故4—5=萬義(一1)，即%,=5+3義(—1)

【小問2詳解】

當心2時,由=3,%+%=1,得%+6“=3,

所以.--=2(〃之2)

因為4=0,所以4=3,

則｛的i｝是以4=2為首項，2為公差的等差數(shù)列，為1=2+(左—l)x2=2左，左eN*;

｛%J是以4=3為首項，2為公差的等差數(shù)列，%.=3+(左—1)*2=2k+1,左eN*

綜上所述，an=H+1

所以a“-a“T=5+1)-〃=1,n>2,

故｛4｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列

當時，bn=l-a,』=l-n,且々=。滿足bn=l-n,

所以b“=l-n

20、(1)也

3

(2)4旦

24

【解析】(1)設(shè)I。片1=根,1。工1=",由橢圓的定義可得加+〃=2。，結(jié)合余弦定理可得出租”的值，從而可得面積.

(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0>O,yo>0),根據(jù)FtQF2的面積結(jié)合橢圓的方程求出點。的坐標，代入拋物線可得答案.

【小問1詳解】

由橢圓方程知。=2,b=l,C=V3,^(-V3,0),K(A/3,0),

設(shè)1。耳1=私1。&1="，貝"22：2?

(2c)-m+n-2祖〃cos60

fm+n=4,[m+n=4,4

即〈222求得mn=~

m+n—mn=12,\m+n—mn=12,3

所以KQF2的面積為L/?msin600=—x—=

22323

【小問2詳解】

設(shè)。(%o，%)(%>°，%>0)

由(D中“F3=：x|耳，得?%=；

T7%；214-\/2m1、i4^/2I

-

又1+%=l,Xo=-^~，所以。(^，§)

代入拋物線方程得(1)2=2px逑，所以°=受

3348

所以拋物線的標準方程為y=&.

24

21、(1)見解析；(2)巫.

4

【解析】(1)推導出PQ，A〃，從而尸。，平面ABC。，連接AC,交BQ于N,連接MN,貝！JAQ〃3C,推導出MM7M,

由此能證明如〃平面BMQ

(2)連結(jié)8。，以。為坐標原點，以。4、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求

出二面角M-BQ-P的余弦值

(1)由已知E4=PD,。為AO的中點，：.PQ±AD,

又?.?平面