2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）.1.已知，，則等于（）A.（0，34，10） B.（-3，19，7） C.44 D.23〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴.故選：C.2.的展開式中的系數(shù)為（）．A.32 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由二項展開式通項公式知，，所以要得到項，則，，故選：C．3.已知向量共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楣裁?，所以存在，使得，整理得，解?故選：C.4.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)與所成的角的大小為，則.故選：C5.用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗當(dāng)個位數(shù)為0時，有個，當(dāng)個位數(shù)為2或4時，有個，所以無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故選：C.6.如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得.故選：D.7.如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取AC的中點(diǎn)O，取中點(diǎn)D，連接OD，則平面ABC，連接OB，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，所以O(shè)B，AC，OD兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，故，，點(diǎn)到直線的距離為.故選：D8.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）A72 B.120 C.144 D.168〖答案〗B〖解析〗分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共種，第二類是歌舞類用三個隔開共種，所以N=+=120.種．選B.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.若，則正整數(shù)x的值是1〖答案〗ABC〖解析〗選項A，因?yàn)?，故A正確；選項B，，故B正確；選項C，由，，得，故C正確；選項D，因?yàn)?，所以或，即?，故D錯誤.故選：ABC.10.在中共二十大代表“燃燈校長”張桂梅老師的不懈努力下，云南華坪山區(qū)的2000多名女孩圓了大學(xué)夢，她扎根基層教育默默奉獻(xiàn)的精神感動了無數(shù)人.受她的影響，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主動到三所山區(qū)學(xué)校參加支教活動，要求每個學(xué)校至少安排一名志愿者，下列結(jié)論正確的是（）A.共有18種安排方法B.若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有6種安排方法C.若學(xué)校需要兩名志愿者，則有24種安排方法D.若甲被安排在學(xué)校，則有12安排方法〖答案〗BD〖解析〗所有安排方法有，A錯誤；若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有種安排方法，B正確；若學(xué)校需要兩名志愿者，則有種安排方法，C錯誤；若甲被安排在學(xué)校，則有種安排方法，D正確.故選：BD.11.已知，則（）A.展開式中所有項的系數(shù)和為 B.展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項C. D.〖答案〗AC〖解析〗選項A，令，則展開式的各項系數(shù)和為，A選項正確；選項B，因?yàn)?，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項與第1013項，B選項錯誤；選項C，令，則，令，則，所以，C選項正確；選項D，已知關(guān)系式兩邊同時取導(dǎo)，則，令，則，D選項錯誤；故選：AC.12.如圖，已知正方體的棱長為2，P為空間中一點(diǎn)，，則（）A.當(dāng)，時，異面直線BP與所成角的余弦值為B.當(dāng)，時，三棱錐的體積為C.當(dāng)，，時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面D.當(dāng)，時，異面直線BP和所成角的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對于，連接，.由下圖可知，P為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)O.連接PO，BO，則，所以∠BPO或其補(bǔ)角即異面直線BP與所成的角，易得，，，所以，故選項正確；對于，由條件可知（），P點(diǎn)的軌速為線段，因?yàn)?，所以P到平面的距離為，且的面積為，所以三棱錐的體積為定值，故選項正確；對于，如下圖，由條件可知（），所以點(diǎn)P在線段EF上（E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)）.因?yàn)槠矫妫云矫婕雌矫?，點(diǎn)P則平面與直線EF的交點(diǎn)，此交點(diǎn)在FE的延長線上，故選項錯誤；對于，由條件可知（），可知點(diǎn)P的軌速為線段，如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，設(shè)，，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線BP和所成的角是；當(dāng)，即時，，令，，所以，即時，取得最大值，直線BP和所成角的最小值為，故選項正確.故選：.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則n=_____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，即，解得或，因?yàn)榍遥?故〖答案〗為：14.若的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，寫出一個符合條件的n的值是____．（寫出一個滿足條件的n的值即可）〖答案〗9（〖答案〗不唯一，9，10，11均可）〖解析〗當(dāng)為偶數(shù)時，若，第六項二次項系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時，若，第五、六項二次項系數(shù)最大，合乎題意；若，第六、七項二次項系數(shù)最大，合乎題意；故的值為：9，10，11，故〖答案〗為：9（〖答案〗不唯一，9，10，11均可）15.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是__．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以向量在向量上的投影向量為．故〖答案〗為：.16.如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為___________.〖答案〗〖解析〗正三棱錐中，設(shè),且側(cè)棱長相等，因?yàn)?，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值?故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知．（1）若，求的值．（2）若，且，求的值．解：（1），．，，解得（2）由，得，∴，由，有，即，，解得19.有男運(yùn)動員4名、女運(yùn)動員3名，其中男、女隊長各1人．現(xiàn)7名運(yùn)動員排成一排．（1）如果女運(yùn)動員全排在一起，有多少種不同排法？（2）如果女運(yùn)動員都不相鄰，有多少種排法？（3）如果女運(yùn)動員不站兩端，有多少種排法？解：（1）將3名女運(yùn)動員捆綁起來有種方法，與4名男運(yùn)動員排序有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．（2）先將4名男運(yùn)動員排序有種方法，再將3名女運(yùn)動員插入4名男運(yùn)動員形成的5個空中有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．（3）如果女運(yùn)動員不站兩端，則兩端安排男運(yùn)動員有種方法，其余5名運(yùn)動員在中間任意排序有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．20.如圖所示，在四棱錐中，底面，，∥，，.點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，求證：（1）；（2）∥平面；解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以，（2）平面的一個法向量為，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以∥平面?1.已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.（1）求m的值；（2）求展開式中所有項的系數(shù)和與二項式系數(shù)和；（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.解：（1）展開式通項為，∴展開式中第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，，即.（2）令可得展開式中所有項的系數(shù)和為，展開式中所有項的二項式系數(shù)和為.（3）展開式共有8項，由（1）可得當(dāng)為整數(shù)，即時為有理項，共4項，∴由插空法可得有理項不相鄰的概率為.22.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中點(diǎn).（1）求二面角A—EB1—A1的余弦值；（2）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因?yàn)?，所?所以，所以.因?yàn)閭?cè)面，所以.又因?yàn)槠矫?，所以直線平面，以為原點(diǎn)，和的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則知點(diǎn).設(shè)平面的一個法向量為，因?yàn)樗粤?，則，所以.設(shè)平面一個法向量為，因?yàn)樗粤?，則，所以.因?yàn)?，所?設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.由（1）知平面的一個法向量為，所以，得，即，所以或，所以或.江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）.1.已知，，則等于（）A.（0，34，10） B.（-3，19，7） C.44 D.23〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴.故選：C.2.的展開式中的系數(shù)為（）．A.32 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由二項展開式通項公式知，，所以要得到項，則，，故選：C．3.已知向量共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楣裁?，所以存在，使得，整理得，解?故選：C.4.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)與所成的角的大小為，則.故選：C5.用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗當(dāng)個位數(shù)為0時，有個，當(dāng)個位數(shù)為2或4時，有個，所以無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故選：C.6.如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得.故選：D.7.如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取AC的中點(diǎn)O，取中點(diǎn)D，連接OD，則平面ABC，連接OB，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，所以O(shè)B，AC，OD兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，故，，點(diǎn)到直線的距離為.故選：D8.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）A72 B.120 C.144 D.168〖答案〗B〖解析〗分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共種，第二類是歌舞類用三個隔開共種，所以N=+=120.種．選B.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.若，則正整數(shù)x的值是1〖答案〗ABC〖解析〗選項A，因?yàn)椋蔄正確；選項B，，故B正確；選項C，由，，得，故C正確；選項D，因?yàn)?，所以或，即?，故D錯誤.故選：ABC.10.在中共二十大代表“燃燈校長”張桂梅老師的不懈努力下，云南華坪山區(qū)的2000多名女孩圓了大學(xué)夢，她扎根基層教育默默奉獻(xiàn)的精神感動了無數(shù)人.受她的影響，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主動到三所山區(qū)學(xué)校參加支教活動，要求每個學(xué)校至少安排一名志愿者，下列結(jié)論正確的是（）A.共有18種安排方法B.若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有6種安排方法C.若學(xué)校需要兩名志愿者，則有24種安排方法D.若甲被安排在學(xué)校，則有12安排方法〖答案〗BD〖解析〗所有安排方法有，A錯誤；若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有種安排方法，B正確；若學(xué)校需要兩名志愿者，則有種安排方法，C錯誤；若甲被安排在學(xué)校，則有種安排方法，D正確.故選：BD.11.已知，則（）A.展開式中所有項的系數(shù)和為 B.展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項C. D.〖答案〗AC〖解析〗選項A，令，則展開式的各項系數(shù)和為，A選項正確；選項B，因?yàn)?，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項與第1013項，B選項錯誤；選項C，令，則，令，則，所以，C選項正確；選項D，已知關(guān)系式兩邊同時取導(dǎo)，則，令，則，D選項錯誤；故選：AC.12.如圖，已知正方體的棱長為2，P為空間中一點(diǎn)，，則（）A.當(dāng)，時，異面直線BP與所成角的余弦值為B.當(dāng)，時，三棱錐的體積為C.當(dāng)，，時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面D.當(dāng)，時，異面直線BP和所成角的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對于，連接，.由下圖可知，P為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)O.連接PO，BO，則，所以∠BPO或其補(bǔ)角即異面直線BP與所成的角，易得，，，所以，故選項正確；對于，由條件可知（），P點(diǎn)的軌速為線段，因?yàn)椋訮到平面的距離為，且的面積為，所以三棱錐的體積為定值，故選項正確；對于，如下圖，由條件可知（），所以點(diǎn)P在線段EF上（E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)）.因?yàn)槠矫妫云矫婕雌矫?，點(diǎn)P則平面與直線EF的交點(diǎn)，此交點(diǎn)在FE的延長線上，故選項錯誤；對于，由條件可知（），可知點(diǎn)P的軌速為線段，如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，設(shè)，，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線BP和所成的角是；當(dāng)，即時，，令，，所以，即時，取得最大值，直線BP和所成角的最小值為，故選項正確.故選：.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則n=_____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，即，解得或，因?yàn)榍遥?故〖答案〗為：14.若的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，寫出一個符合條件的n的值是____．（寫出一個滿足條件的n的值即可）〖答案〗9（〖答案〗不唯一，9，10，11均可）〖解析〗當(dāng)為偶數(shù)時，若，第六項二次項系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時，若，第五、六項二次項系數(shù)最大，合乎題意；若，第六、七項二次項系數(shù)最大，合乎題意；故的值為：9，10，11，故〖答案〗為：9（〖答案〗不唯一，9，10，11均可）15.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是__．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以向量在向量上的投影向量為．故〖答案〗為：.16.如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為___________.〖答案〗〖解析〗正三棱錐中，設(shè),且側(cè)棱長相等，因?yàn)?，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值?故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知．（1）若，求的值．（2）若，且，求的值．解：（1），．，，解得（2）由，得，∴，由，有，即，，解得19.有男運(yùn)動員4名、女運(yùn)動員3名，其中男、女隊長各1人．現(xiàn)7名運(yùn)動員排成一排．（1）如果女運(yùn)動員全排在一起，有多少種不同排法？（2）如果女運(yùn)動員都不相鄰，有多少種排法？（3）如果女運(yùn)動員不站兩端，有多少種排法？解：（1）將3名女運(yùn)動員捆綁起來有種方法，與4名男運(yùn)動員排序有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．（2）先將4名男運(yùn)動員排序有種方法，再將3名女運(yùn)動員插入4名男運(yùn)動員形成的5個空中有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．（3）如果女運(yùn)動員不站兩端，則兩端安排男運(yùn)動員有種方法，其