湛江市2024年普通高考測試（一）數(shù)學(xué)試卷（九省聯(lián)考模式）

保密★啟用前

湛江市2024年普通高考測試（一）6.已知函數(shù)用1山（5+引（s>0）在區(qū)間（金哈）上單調(diào)遞增，則S的取值范圍是

A.[2,5]B.[1,14]C.[9,10]D.[10,11]

.已知〃+。。則a22b2的最小值為

數(shù)學(xué)2024.27a6>0,26+22=1,

卜8-2招aC3門7一2^/2-

注意事項：A.B.丁C.了D.

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

8.在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

項，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項.設(shè)事

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上

件“=,，甲、乙兩人所選選項恰有一個相同"，事件雙="甲、乙兩人所選選項完全不

無效。

同"，事件X="甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件Y="甲、乙兩人均未選擇B選

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

項”，則

中一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

A.事件M與事件N相互獨立B.事件X與事件丫相互獨立

省項是符合題目要求的.

C.事件M與事件丫相互獨立D.事件N與事件Y相互獨立

赳

e1.已知函數(shù)/■（￡）=（2"一尹卜osX是偶函數(shù),則實數(shù)a=二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

A.1B.-1C.2D.-2符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

.某養(yǎng)老院有名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾

_7+5i9110

2.已知復(fù)數(shù)N]+i，則之病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

A.6+iB.6-iC.l+6iD.l-6i是否患過某流行疾病

性別合計

3.已知向量a,b均為單位向量，a_Lb,若向量C=V^Q+"B與向量a的夾角為心則患過該疾病未患過該疾病

cos0=男a=20ba+b

A叵一女Cd=50c~\~d

A-5C—D

,105合計a~\~c80110

4.中國是瓷器的故鄉(xiāng)，中國瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻(xiàn).下圖是明清

下列說法正確的有

時期的一件圓臺形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm,下底直徑為18cm,高為

A

24cm,則其容積約為'a~\~bc~\~d

2

B.z>6.635

c.根據(jù)小概率值Q=0.01的獨立性檢驗，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)

D.根據(jù)小概率值Q=0.01的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病

與性別有關(guān)聯(lián)

參考公式：/=（-〃）（：*孩￡）（’,+“），其中〃=a+b+c+&

A.14487tcm3B.16687rcm3C.2168兀cm3D.32527tcm3

附表：

5.已知力（￡）=xe"+sin久+cos久，￡+1（久）是f（尤）的導(dǎo)函數(shù)，即/2（久）=力'（￡），

a0.10.050.0250.010.001

/3（7）=/2'（￡），…"〃+i（x）=f/（x）,/2GN*,則f2024（0）=

A.2021B,2022C,2023D.20242.7063.8415.0246.63510.828

數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）數(shù)學(xué)試題第2頁（共4頁）

10.已知拋物線C”2=4N的焦點為F,過點(一1,0)的直線I與拋物線C交于A,B兩16.(本小題滿分15分)

點，設(shè)直線/的斜率為跖則下列選項正確的有如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，aPAD是邊長為2的等邊三角

A.0<怩|<1形,PC=PB=2夜

B.若以線段AB為直徑的圓過點F,則|AB|=4點(1)證明：平面PAD_L^ABCD；

C.若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則|AB|=3(2)若點E為棱PC的中點，求平面AEB與平面CEB夾角的余弦值.

D.若以線段AB為直徑的圓與h軸相切，則該圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切

11.在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB_LBC,AB=2BBi=4,BC=3,M,N分別為BB,

和CG的中點，P為棱SC上的一點，且PC_LPM,則下列選項中正確的有

A.三棱柱ABC-AjBiG存在內(nèi)切球

B.直線MN被三棱柱ABC—AJBJQ的外接球截得的線段長為飛

17.(本小題滿分15分)

C.點P在棱BiG上的位置唯一確定

甲進(jìn)行摸球跳格游戲.圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格,棋子開始在第1格.盒

D.四面體ACMP的外接球的表面積為26K

中有5個大小相同的小球，其中3個紅球,2個白球(5個球除顏色外其他都相同).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

每次甲在盒中隨機摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1

12.已知全集U為實數(shù)集R,集合A={H|/44),B={x|logx>2)，則AUCuB=.

2格;若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結(jié)

13.已知點P為直線z-y-3=0上的動點，過P作圓0：=2+,2=3的兩條切線，切點

束.記棋子跳到第”格的概率為P.(n=l,2,3,…，25).

分別為A,B,若點M為圓E：(z+2)2+(y-3)z=4上的動點，則點M到直線AB

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

的距離的最大值為.

(2)證明：數(shù)列{列一PLI}(”=2,3,…，24)為等比數(shù)列.

14.已知B(-c,0),B(c,0)分別為橢圓■+,=l(a>0>0)的左、右焦點，過點

P(3c,0)的直線/交橢圓C于A,B兩點，若蘇=2筋，|BB|=3|FzA|,則橢圓C

18.(本小題滿分17分)

的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知函數(shù)/(x)=(l+ln

15.(本小題滿分13分)(D討論fO)的單調(diào)性；

已知在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a",c,且acos(B—C)+acosA一(2)若方程人工)=1有兩個根與，皿，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：為以>1.

2V5"csinBcosA=0.

⑴求A；

19.(本小題滿分17分)

(2)若AABC外接圓的直徑為2伍，求2c-b的取值范圍.

已知P(4,3)為雙曲線C：￡?一方=l(a>0,b>0)上一點,M,N分別為雙曲線C的

左、右頂點，且直線PM與PN的斜率之和為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)不過點P的直線=與雙曲線C交于A,B兩點，若直線PA,PB的傾

斜角分別為a和d且a+行苧，證明：直線I過定點.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

湛江市2024年普通高考測試(一)

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.【答案】B

【解析】因為f(―X)=(2一,一龍)cos(—H)=傍-a,2)cosx=/(x)=(2，一同cosz,所

以。=一1.故選B.

2.【答案】A

7+5i(7+5i)(l-i)7+5i-7i-5i212-2i_.?-,,..

【解析】2=^^=([+i)(]_j)=-------2-------~=6-1,故z=6+i.故選A.

3.【答案】D

Q2b)?a__瓜45.故選D.

【解析】COS9—(R-J

|V3a+72-&|?|a|用

4.【答案】C

【解析】由圓臺體積公式得丫=白(10、+9葭+依然WQX24=2168K(cn?).故選C

5.【答案】B

Zx>x-

【解析】fi(x)=/i(x)=(x+l)e+cossinx^f3(x)=fz\x)=(x+2)e-sinxcosz,

，xx

/4(x)=/3(x)=(x+3)e-cosx+sinx9f5(x)=f；(G=(x+4)e+sinx+cosz,…，由此

規(guī)律得/2024(%)=/2023'(工)=(工+2023)e，-cosx+sin。所以/2024(0)=(0+2023)e°-cos0

+sin0=2023-1=2022.故選B.

6.【答案】D

蘇卬+冬22々式——今，

【解析】由題意得1/々GZ,解得2衰一14《卬412人一1/GZ.

備3+粵&26兀十年，

,0O4

又3>0,只有當(dāng)無=1時成立，所以3的取值范圍為110,11].故選D.

7.【答案】A

/21_1

。2+2〃

【解析】由題意得。2+2肥22

a+a6+26次+章+2f1+7T2A

1n--a3?b-ja-n

濟(jì)+2

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(共8頁)

又ab>0,所以2+2>2&■，當(dāng)且僅當(dāng)a=&b時，等號成立,

0a

所以/+2必>—1=8272.故選A.

1+—1

2V2

8.【答案】C

【解析】依題意得甲、乙兩人所選選項的情形有①有一個選項相同，②兩個選項相同，③兩個不

相同，

所以pd：ccxc_2a_1a_Ipry._axg_i

所以P（M）-qXC2-3，P（N）-CXC16RX—cxd6'PS-exQ-4'

因為事件M與事件N互斥，所以P（MN）=O,又P（M）P（N）得，所以事件M與事件N不相

互獨立，故A選項錯誤；

「。丫）=裁0=告小5"（丫）=*,故8選項錯誤；

由P（MY）=|i避Y=P（M）P（Y）,得事件M與事件丫相互獨立，故C選項正確;

因為事件N與事件丫互斥，所以P（NY）=O,又尸（N）P（丫）=3,所以事件N與事件丫不相

24

互獨立，故D選項錯誤.故選C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】ABC

【解析】由表中數(shù)據(jù)得b=30,c=10,a+6=50,c+d=60,a+c=30,b+d=80,

所以條=瞪>羔=等，故A正確；

a-rb5060c-ra

_______"ad-be)2_______110X(20X50-10X30)2

2*7.486>6.635,故B正確；

x(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)50X60X30X80

依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)，故C正確、D錯

誤.故選ABC.

10.【答案】ABC

【解析】設(shè)A（Hi,“），B（N2，z）,直線Z的方程為=的中點為M（H。，?。）.

k

［x—my-1

由<9消z并化簡得y2—4?ny+4=0,A=16—-16=16(——I)>0,故.+”=

［丁=4］，

4m，y2=4,

所以—>1,即￡>1,所以0<|知<1,所以A正確；

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁（共8頁）

若以線段AB為直徑的圓過點尸，則FA_LFB4iJO】一l)(i2—l)+yB2=0,

又X)=my1-1,x2=my2-1?

2

故(力1-1)(g—1)+yiy2=(myy—2)(myz—2)+?y2=(m+1)例yz-2m(M+%)+4=0,

所以4(一+1)—8/+4=8—4m2=0,故加=2,

\ABI=+貝)2—4“券1=4，n?—1=4翼，所以B正確；

若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則2x0=|AB\=J(1+招)]("+”羊一4yi,

2z

又X)+x2=m(y1+y2')—2=2x0，所以4m—2=，(1+-)](4m>—16]，解得m=-1->l,

所以|AB|=4——2=3,所以C正確；

若以線段AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，則辦+1=粵^,即2工。十2=|AB|,又2工。+2=

機(3+北)=4一,所以4/=4向=1,無解，所以D錯誤.故選ABC.

11.【答案】ABD

【解析】由題意得直三棱柱ABGAiBG如圖所示：

又ABJ_BC,AB=2BBl=4,BC=3,所以AC=5,故△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=l.

又BB|=2=2r,所以直三棱柱ABC—AI1G存在半徑為r=l的內(nèi)切球，故A正確.

由BBI=2,BIG=3,BBI_LBIG,所以BC,=722+32=713.

因為M,N分別為SB】和CG的中點，所以直線MN過矩形BCGB1外接圓的圓心.

又矩形BCGBi的四個頂點都在三棱柱ABC-A|BiG的外接球球面上，

所以直線MN被三棱柱ABC—ABiG的外接球截得的線段長為矩形BCGB1外接圓的直

徑，即BG的長，百，故B正確.

設(shè)281="0<，<3),則PG=3—"因為PC,PM,所以NCPG+/MPB|=90°,又BB2±

BC,CGJ_BC,所以△CGPs/XPBiM,所以需=若空，即?=早，解得t=l或力=2,所

I￡5]JVLiJit1

以點P在棱BiG的兩個三等分點處均可，所以C錯誤.

因為PC，PM,CB，BM,所以P,C,B,M四點共圓，且圓心為CM的中點O,其半徑&=空，

又AB_L平面CBBC，所以四面體ACMP的外接球半徑R=J式+(怨>=華,

此時四面體ACMP的外接球表面積為S=47tR2=26n,故D正確.故選ABD.

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(共8頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】(一8,41

【解析】由題可知,A={X|-2&H&2},B={H|H>4>,所以|：通=(-8,4],所以AUC0B=

(—00,4].

13.【答案】7

【解析】設(shè)P(N。，%),則直線AB的方程為了。工+%？=3,又割一物一3=0,所以直線AB的方

程可變?yōu)楣?2+(上一3)y=3,即工0(H+y)—3,—3=0,所以直線AB過定點Q(l,—1),所以

|QE|=7(-2-1)2+(3+1)2=5.

又Q在圓0：d+；/=3內(nèi)，當(dāng)AB_LQE,且點M為QE的延長線與圓E的交點時，點M到直線

AB的距離最大，最大值為|QE\+2=7.

14.【答案】乂薯

【解析】由踵=29，得A為線段PB的中點，且點P在橢圓夕卜，所以3c>a,即e>

O

又P(3c,0),所以F?為線段PR的中點，所以AFz〃BH.

設(shè)舊4|=加,則|86|=2?1,又|63|=3|艮4],所以出8|=3..

1QR

在△BF1F?中，|B6|=2c,由余弦定理得4c2=4m2+9m2-2X2mX3mX-i-=^m2,

yu

即c2=||十=||x知2=92,所以橢圓C的離心率為，=康=耳="警?，故答案

^,7105

為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解：(1)由A+B+C=K,得A=a-(B+C),cosA=-cos(B+C),..................1分

故得acos(B—C)—acos(B+C)=2QcsinBcosA,

所以acosBcosC+asinBsinC-a(cosBcosC-sinBsinC)=2v^csinBcosA,.....3分

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(共8頁)

即asinBsinC=V3csinBcosA,

由正弦定理，得sinAsinBsinC=V^sinCsinBcosA,..............................................................5分

顯然sinC>0,sinB>0,所以sinA=V^cosA,......................................................................6分

所以tanA=V3.

因為A￡(0,n),

所以A=俳,..................................................................7分

(2)由正弦定理■，得6=2乃sinB,c=2WsinC,...............8分

故2c—b=4A/^sinC—2萌sinB=2西(2sinC-sinB)..........................................................9分

又A+B+C=x,所以B=與一c,ce(o,鋁,...................................10分

所以2c-H12sinC-sin得-C)]=26修sinC—*osC)=6sin(C—^).…11分

又CC(0,到，所以C—春6(一專號)，.......................................12分

所以2<:一。=6皿(7—套)€(—3,6),所以2'一。的取值范圍為(-3,6).........................13分

16.(1)證明：由題意得AB=BC=CD=DA=AP=PD=2,又PB=PC=2&,

所以PDZ+CDnPCZ.Apz+ABZuPF,........................................................................2分

所以DC±PD,ABrAP.................................................................................................................3分

因為底面ABCD為菱形，故AB//DC,

故DC_LAP,又APU平面PAD,DPU平面PAD,且APDDP=P，所以DC_L平面PAD.

..............................................................................................................................................................5分

又DCU平面ABCD,所以平面PAD_L平面ABCD...............................................................6分

(2)解：由(1)知DC_L平面PAD,所以DC_LDA,故底面ABCD為正方形.............7分

設(shè)AD的中點為O,連接OP,在平面ABCD內(nèi)作OF〃DC.因為△PAD為等邊三角形，所以

P0UD,故PO_L平面ABCD.

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,OF,OP所在直線分別為了軸、》軸、zz，、

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,73),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),

所以E(—//，名)，.................................8分x聲—―

故池=(0,2,0),配=(一2,0,0)磔=(一亳,一1號).............................9分

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(共8頁)

（n?AS=O,

設(shè)用=（為，”，句）為平面AEB的法向量，則有1

[n?BE=Q9

2?I=0，

即4373可取〃=（質(zhì),0,3）....................................11分

-yxi-y1+號的=0，

（m?BC=0,

設(shè)刑=（，2，及，之2）為平面BCE的法向量，則有《一

[m?BE=0,

—2^2=0,

即1373可取析=（0,痣，2）,...................................13分

一萬12一，2+勺力=0,

\n*m_6_

則|cos<n,m>|14分

~\n\\m\-273XV7-7

所以平面AEB與平面CEB夾角的余弦值為牛................................15分

17.（1）解:X的所有可能取值為0,1,2..............................................1分

P（X=0）唱得，............................................................2分

P（X=1）=魯=卷，..........................................................3分

P（X=2）=g=A,............................................................4分

所以X的分布列為

X012

13

P3

1010

所以E(X)=0義1.+1X尹Q2XQQ1.2........................................7分

⑵證明：由⑴知兩球顏色相同的概率為卷，顏色不同的概率為名...................8分

0O

棋子在第1格為必然事件，則F.=l,

棋子跳到第2格的概率為P2=4,所以「2一尸1=4一1=一].....................9分

000

9Q

當(dāng)3&”424時,P=4P.-1+4P.t,...........................................12分

n00

所以5（P「=所以音與;.....................】4分

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第6頁（共8頁）

所以數(shù)列｛P,-P1｝是以一■為首項，一日為公比的等比數(shù)列.....................15分

00

18.解：（1）由題意得了＞0,工＞0,所以a＞0,.........................................1分

ax

f（H）=（l+lnH）e1"＜=Lm3的定義域為（0,+8）.............................2分

ax

又尸（幻=一%，由/（公=。,得工=1..........................................3分

ax

當(dāng)OVnVI時,/（工）＞0,則義工）單調(diào)遞增，當(dāng)工＞1時"'（工）＜0,則單調(diào)遞減，

所以人工）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減.....................6分

（2）由------=1,得-------=a，設(shè)g（H）=-------,

axxx

由（1）得gO）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減.................7分

乂g（2）=°'g⑴=1，且工一+8時，g（Z）一。，

所以當(dāng)OVaVl時，方程有兩個根......................................9分

X

lnJ1+1lnXt+1

證明：由上，不妨設(shè)亞〈亞，則0＜皿＜1＜X2,=.

X\工2

設(shè)/t（x）=g（x）-—）=—x（l—Inx）,.................................11分

\JCJJC

二%+lnH=UUlnH）。，所以函數(shù)Hz）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增......13分

又九（i）=o,所以r（Hi）=g（H］）-g（］）vo,...................................14分

即g（Hl）Vg（J）.又g（H*）=g（Hi）,所以g（Ha）Vg（......................16分

又在區(qū)間（1,十8）上單調(diào)遞減，所以工2＞工，故工1現(xiàn)＞1.........17分

X1