2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 雙曲線高頻考點(diǎn)+精練（解析版）（藝考生基礎(chǔ)版）

第06講雙曲線（精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2022?山東省鄲城第一中學(xué)高二期中）若方程上^+上=1表示雙曲線，則機(jī)的取值

m-2m-6

范圍是（）

A.機(jī)＜2或機(jī)＞6B.2＜m＜6

C.機(jī)＜-6或相＞—2D.—6＜m＜—2

【答案】B

【詳解】由題意（加一2）（根-6）＜0,解得2＜根＜6.

故選：B.

2.（2022?浙江?余姚中學(xué)高二期中）雙曲線鳥(niǎo)-1=1的焦距等于（）

54

A.1B.2C.3D.6

【答案】D

【詳解】由題意可知：a2=5,b1=4,

Ac2=a2+b2=9,解得c=3,

2c=6即雙曲線的焦距等于6,

故選：D.

22

3.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高二期中）己知雙曲線C：土-匕=1的左右焦點(diǎn)為耳，外，點(diǎn)尸

169

在雙曲線C的右支上，則|尸可--7=（）

A.-8B.8C.10D.2.V13

【答案】A

22

【詳解】由L-匕=1,得/=16,得。=4,

169

因?yàn)殡p曲線c的左右焦點(diǎn)為6，「2，點(diǎn)p在雙曲線c的右支上，

所以忸閶盟=-2=-8,

故選：A

22

4.（2022?河南安陽(yáng)?高二期中）雙曲線土—匕=1的離心率為（）

49

A.叵B.巫C.3D.2

2323

【答案】A

第1頁(yè)共12頁(yè)

22

【詳解】解：由雙曲線方程土-匕=1得從=9,/=4,焦點(diǎn)在x軸上，

49

所以，c1=b2+a2=13.

所以，雙曲線不―亡=1的離心率為e=￡=史

49a2

故選：A

22

5.（2022?甘肅?靖遠(yuǎn)縣第四中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若點(diǎn)（2,-3）在雙曲線C：盤-二=1

ba

b

（a>0,b>。）的一條漸近線上，貝lj—二（）

a

132

A.2B.—C.—D.一

223

【答案】c

【詳解】依題意得點(diǎn)（2,-3）在直線y=上，

所以2=].

a2

故選：C.

6.（2022?山東省桓臺(tái)第二中學(xué)高二期中）2022年10月16日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)

代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂降重開(kāi)幕，為了增強(qiáng)主席臺(tái)的亮度，且為了避免主席臺(tái)就坐人員

面對(duì)強(qiáng)光的不適，燈光設(shè)計(jì)人員巧妙地通過(guò)雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線達(dá)到了預(yù)期的效果.

如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)鳥(niǎo)發(fā)出的光線的反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)、.己知雙曲線的

離心率為0，則當(dāng)入射光線外尸和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)），cosZFlF2P=

【答案】D

第2頁(yè)共12頁(yè)

【詳解】因?yàn)閑=拒，所以c=。，a=b,不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V-y2=i,設(shè)

\PF2\=m,則歸4|=2+租（加>0）,所以療+（“2+2）2=（20了，解得〃仁有一］（根=一如_1

已舍去），所以cos/耳應(yīng)尸=迫口=近二立.

2五4

故選：D.

7.（2022?黑龍江?高二期中）已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為耳（T,。），6（4,0）,M是

雙曲線上一點(diǎn)且||町石，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】D

22_

【詳解】設(shè)雙曲線C的方程為宗-今=l（a>0,6>0）,半焦距為C,貝Uc=4,2a=2忖

_22

故。=石，k=。2—/=16—5=11.所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-匕=1.

511

故選：D.

22

8.（2022?遼寧?遼西育明高級(jí)中學(xué)高二期中）已知雙曲線C：'一號(hào)=1（a>0）的左、右

焦點(diǎn)分別為月，尸2,過(guò)點(diǎn)工且斜率為6的直線/交雙曲線的右支于A,B兩點(diǎn)，若△4耳2

的周長(zhǎng)為72,則雙曲線C的方程為（）

【答案】C

【詳解】由題知々（一小，0）,心（國(guó),0）,

所以直線/為》=0卜-怎（），設(shè)&（%,%）,5（x2,j2）,

f22

。占=1,

2

由<2CT,得/-66方+1=o,則%+%=664,xtx2=1la,

y=6（x-

22

所以IAB|^yli+3-yj^+x^-4X1X2=2V108a-44?=16a，因?yàn)閨AF；|=|轉(zhuǎn)|+2a,

忸4|=|%|+2a,

所以|明|+|班|=|鉆|+忸司+4a=|AB|+4?=20a,

因?yàn)椤鱉B的周長(zhǎng)為72,所以|州|+忸周+|陰=72,

第3頁(yè)共12頁(yè)

22

所以20。+16a=72,得a=2,所以雙曲線方程為L(zhǎng)-乙=1.

48

故選：C.

二、多選題

9.（2022?江蘇?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）已知曲線C"n/+”y2=i,下列結(jié)論正確的

是（）

A.若加>〃>o,則c是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若機(jī)>0>〃，則C是雙曲線，其焦點(diǎn)在無(wú)軸上

C.若m=",則C是圓

D.若〃7=0,n^O,則C是兩條直線

【答案】AB

、、什22、~+^=1、11

【詳解】對(duì)于A,若機(jī)>〃>0,則mx?=1可化為11，因?yàn)閙>〃>0,所以一<一,

mn

mn

即曲線。表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確，

對(duì)于B,因?yàn)闄C(jī)>0>〃，所以如之+〃y2=］可化為,J,曲線。表示焦點(diǎn)在X軸上的

mn

雙曲線，故B正確；

對(duì)于C,若機(jī)=幾>0,則如？+町;2=］可化為/+y2=j_,此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半

n

徑為近的圓，若〃7="<0,如2+"=1不是圓，故C錯(cuò)誤；

n

對(duì)于D,若m=0,"WO,則g2+致2=1可化為>2=J_,當(dāng)〃<0時(shí)，無(wú)意義，當(dāng)〃>0時(shí),

n

y=±近，此時(shí)曲線C表示平行于無(wú)軸的兩條直線，故D錯(cuò)誤；

n

故選：AB.

22

10.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高二期中）設(shè)雙曲線C:々-a=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

片，工，點(diǎn)尸在C的右支上，且不與C的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（）

A.若a=3,6=2,則C的兩條漸近線的方程是1=±］

B.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,40）,則C的離心率大于3

C.若尸耳，尸鳥(niǎo)，則△￡尸居的面積等于/

D.若C為等軸雙曲線，且歸耳|=2忸閭，則cos/￡P(guān)g=y

第4頁(yè)共12頁(yè)

【答案】BC

【詳解】解：由題意得：

b9

A選項(xiàng)：當(dāng)。=3,6=2時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率左=±±=±：,A錯(cuò)誤；

a3

l432h1h2I評(píng)

B選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4V^)在C上，則一7-1=1,得—=---1-8>8,所以e=Jln——->3，

a-b-a24\a2

故B正確；

C選項(xiàng):\PFl\-\PF2\=2a,若PFJP%則|「耳『+|尸瑪『=國(guó)瑪『=4/,即

(歸用一|「工『+2|e訃歸周=4c?,即4/+2歸耳卜|尸閭=4°2,得忸用尸閭=2仁一儲(chǔ))=,

所以S酒%=:|尸可|忖可=凡C正確；

D選項(xiàng):若C為等軸雙曲線，則4=6,從而閨閶=2c=2缶.若歸制=2|尸閭，則歸閭=2°,

|尸團(tuán)=4°.在△甲龍中，由余弦定理，得

ZFPF.附「+匹,一閨16Q2+44—8Q23

COS乙勺「4-D錯(cuò)誤

2|尸聞.尸名|2X4。X2Q4

故選：BC

22

11.(2022?江蘇南通?高二期中)設(shè)雙曲線C：.一方=1(6>0)的焦點(diǎn)為小尸2,若點(diǎn)尸(2,1)

在雙曲線C上，則()

A.雙曲線C的離心率為2B.雙曲線C的漸近線方程為y=±x

___UL1UIULIL1

C.—|「鳥(niǎo)||=243D.PF^PF2=2

【答案】BC

【詳解】依題意，3-[=1，解得匕=石，雙曲線C：三一上=1的實(shí)半軸長(zhǎng)a=JL半焦

3b33

星巨c=指，

雙曲線c的離心率6=￡=忘，A不正確；

a

雙曲線C的漸近線方程為y=±x,B正確；

||尸印—|尸耳||=2。=26，C正確；

L1—UUUL「UUU「

耳(—4,0),每訴0),則尸耳=(—#―2,—1),尸耳=("=2,—1),

ULllllLIUU——

有尸居?%=(—#12)(#-2)+(-1)?(—I)=T,D不正確.

故選：BC

22

12.(2022?安徽省泗縣第一中學(xué)高二期中)如圖，尸是橢圓G：二+多=1(">6>。)與雙曲

ab

第5頁(yè)共12頁(yè)

線C,：W-W=1（根）在第一象限的交點(diǎn)，且GC共焦點(diǎn)￡,工/招尸工=0G,Cz

mn

C.若。=90，則e：+e；的最小值為2

【答案】AB

【詳解】對(duì)A：由橢圓和雙曲線的定義：歸耳|+歸周=2a,|P周-歸閭=29，故

\PF\=a+m\PF^\=a-m,故A正確;

對(duì)B：在區(qū)中，由余弦定理：（。一根）2+（4+m）2—2（。一根）（a+〃z）cose=（2c）2,

..,、,a2（1-cos0lzw2（1+cos0）

a~（1-cos。）+〃/（1+cos。）=2c~n——-——-----H------\-------=2

即---2-+-------=2-故。=60時(shí)，J_,A-4'故B正確；

exe2exe2

對(duì)C：0=90時(shí)，3+3=2,由士+士]（e；+e；）24=>e：+e；22（當(dāng)且僅當(dāng)q=3=1時(shí)

x7

441qe2J

等號(hào)成立），

,0<4<1勺>1,所以等號(hào)取不到，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D：對(duì)月瑞，將其視作是橢圓中的焦點(diǎn)三角形,

22

_\PF^+\PF2[-4C_4a2-4c-2|Pf；||Pf；|

則由余弦定理可得cos0=2閥口明=2|Pf；||P^|

解得戶利P聞=l+cos0=—/，故SP￡B=1sin，|P4歸用=singcosgx

cos—222

第6頁(yè)共12頁(yè)

同理，將△視作雙曲線中的焦點(diǎn)三角形，則S尸片"

tan—

2

C72。"22。〃20n

則S曄=Wan廠蒜；ntanq=7ntan^=轉(zhuǎn)故D錯(cuò)誤.

2

故選：AB.

三、填空題

22

13.（2022?吉林吉林?高二期中）已知方程=1表示雙曲線，則機(jī)的取值范圍是

m+3m-4

【答案】（-3,4）

尤22fm+3>0

【詳解】若方程「^+3v^=1表示在無(wú)軸上的雙曲線，貝U/C，解得-3<根<4；

m+3m-4[相一4<。

r2v2fm+3<0

若方程表示在y軸上的雙曲線，則,八，此時(shí)me。.

m+3m-4[m-4>0

綜上所述，-3<m<4.

故答案為：（-3,4）.

14.（2022?江蘇?邵伯高級(jí)中學(xué)高二期中）己知雙曲線C：[-1=1（°>0b>0）的離心率為:，

片b22

且與橢圓工+丁=1有公共焦點(diǎn)則雙曲線C的方程為.

10

22

【答案】--^=1

45

r2

【詳解】橢圓看+V=i中，°2=八加=10_1=9,c=3,焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±3,0）

因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，所以e=—c=巳3=23,即〃=2,b2=c2-a2=9-4=5,

aa2

22

所以雙曲線C的方程為土-匕=1.

45

故答案為：5尤2-4V2=1

45

15.（2022?廣西貴港?高三階段練習(xí)（文））已知比馬=10,點(diǎn)尸滿足尸耳|=6,動(dòng)點(diǎn)

M,N滿足|建Vk2,MF\=RN,則尸ATPN的最小值是.

【答案】3

第7頁(yè)共12頁(yè)

【詳解】以片鳥(niǎo)的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，月鳥(niǎo)的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則可（-5,0）,由雙曲線定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以及，F(xiàn)?為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的

22

左支，即點(diǎn)P的軌跡方程為右嘖=l（xV-3）.即）?（％+1）,由

MF\=F[N,

可得西?麗二（西+砸）?（兩-砸）=|兩『@兩『-1.

因?yàn)閨「居|的最小值為c-。=5-3=2,所以PATPN的最小值是3.

22

16.（2022?遼寧?遼西育明高級(jí)中學(xué)高二期中）已知雙曲線C：=-七=1（“>0,6>0）的左

ab

右焦點(diǎn)分別為耳（-。，0）,月（c,0）,點(diǎn)P在雙曲線C右支上，滿足尸耳/月=0,|母;|>2|尸玲

又直線7:2x+3y-2c=。與雙曲線c的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取

值范圍是.

【詳解】因?yàn)槭?月=0,故4P居=90。，

由雙曲線定義可得歸耳H尸閭=2°,

由勾股定理知：（|%|+2“y+|%「=4c2,

整理得，（忸閭+4=2/-儲(chǔ)，

又1Ml>2|尸盟,2a+\PF^>2\PF^,\PF^<2a,

t^\PF^+a<3a,2c2-a2<9a2,

解得￡<百，

a

第8頁(yè)共12頁(yè)

直線/：2x+3y-2c=。與雙曲線C的左、右兩支各交于一點(diǎn)，

則直線/的斜率-；2>上h，

3a

所以e=￡>@l,

a3

所以巫<e<君.

3

故答案為：'

四、解答題

17.（2022?江蘇揚(yáng)州?高二階段練習(xí)）求滿足下列條件的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴兩焦點(diǎn)分別為6卜夜,o）,K（虛,o）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸［手］的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵與雙曲線蘭-q=1有相同漸近線，且焦距為2如的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.

46

【答案】⑴三+丁=1

3'

（1）

22

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

兩焦點(diǎn)分別為片上立，0），名（0，。），；.c=^

又橢圓過(guò)點(diǎn)P,當(dāng)｝?.?,+:=1,又/=62+2

.-.a2=3,廿=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+產(chǎn)=1.

3

（2）

方法一：

22

⑴,若焦點(diǎn)在無(wú)軸上，設(shè)所求雙曲線方程為I-與=Km,n>0）,

mn

2222

因?yàn)閖-々=1（，j2>0）與雙曲線土-匕=1有相同漸近線,

mn46

所以己=Y5,設(shè)該雙曲線的焦距為2j,

m2

又因?yàn)榻咕?G=26,所以q=6,所以加+〃2=C；=5,

第9頁(yè)共12頁(yè)

n=22

聯(lián)立m=T,解得病=2/2=3,則雙曲線方程為二―匕=1,

22,23

m+n=5

22

⑺,若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線方程為當(dāng)-鼻=1（九〃>0）,

mn

2222

因?yàn)榕c-==1（私〃>0）與雙曲線土-乙=1有相同漸近線，

mn46

所以'=",設(shè)該雙曲線的焦距為2q,

n2

又因?yàn)榻咕?q=2正，所以q=6,所以相+/=c：=5,

m_遍22

聯(lián)立7=3,解得療=3,1=2,則雙曲線方程為上一二=1,

22c32

m+n=5

???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工一E=i或$_工=1

2332

方法二：

2222

設(shè)與雙曲線工-二=1有相同漸近線的雙曲線方程為：土-匕=4（2^0）

4646

.焦距為26，.?.°=逐

|4/l|+|6Z|=5,4=±g

二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工一工=1或M_x=l

2332

18.（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）（1）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

為6,一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)尸（出,；），漸近線方程為尤±2y=0,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

222

【答案】（1）土+匕=1；（2）—~y2=l.

954

【詳解】（1）由題設(shè)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6即2a=6,焦點(diǎn)為（2,0）即。=2,

t>2=a2-c2=9-4=5,

22

「?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=L

95

1?

（2）由題意，漸近線方程為y=±；尤，令土_丁=皿〃件①，

24

又P（石,9在雙曲線上，

第10頁(yè)共12頁(yè)

51Y2

m=---=l,即土—y2=l,

444

B能力提升

22

19.(2022?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))己知雙曲線C的方程為〉方=l(a>0,10),

離心率為2,右頂點(diǎn)為(1,。).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)EQ2)的直線/與雙曲線C的一支交于〃、N兩點(diǎn)，求現(xiàn)TEN的取值范圍.

2

【答案】⑴/-工=1

3

(2)(14,+oo)

【詳解】(1)由離心率6=￡=2,又/=/+〃，所以人2=3片,

a

又右頂點(diǎn)為(1,0),所以1=1,所以廿=3,

2

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為尤2一匕=1.

3

(2)設(shè)直線/的方程為y=丘+2,設(shè)/(%,%),所>2，%)，

2

12__2y._=]

則由J3得(3-憶2*-4履-7=0,

y=kx+2

因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于加、N兩點(diǎn)，

3-F片0

所以A=1642+28(3-左2)>o,解得3<左2<7,

2，%2_2

因此￡711.￡7V=(石,y-2)?(%—2)=%無(wú)+(yi2)?(y2-2)=xxx2+kxrx2

=儼+1"=7蕓=7(1+&)，

因?yàn)?</<7,所以0<左2_3<4,