2024陜西省銅川市高三年級(jí)下冊(cè)二模理數(shù)試題及答案

高中

銅川市2024年高三質(zhì)量檢測(cè)卷

數(shù)學(xué)(理科)

全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置。

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題

卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆

在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合M={x|2x-1>5},7V={xeN*|-l<x<5),則(QM)nN=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3)

C-{0,1,2}D.{1,2}

2.已知復(fù)數(shù)(l+2i)(z—1)=—2+i,則忖=()

A.VIB.2C.V3D.

3.從1,2,…，9這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為()

14713

A.-B.—C.—D.—

391836

4.已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的

()

A.百倍B.3倍C.3百倍D.9倍

5.已知N,8是。C:(x—2『+(>—4『=25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是線段48的中點(diǎn)，若

[48|=6,則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.(x-盯+(>-2『/B.(x-2)2+(7-4)2=11

高中1

高中

C.(x-2『+(y-4)2=16D.(x-4)~+(y-2)~=11

6.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=e\貝U/(ln2)=()

c11

A.—2B.2C.D.—

22

7.設(shè)廠為拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在拋物線上，點(diǎn)0在準(zhǔn)線/上.滿(mǎn)足尸?！▁

軸.若|尸。|=］。尸］，則|尸尸|=()

A.2B.2GC.3D.373

8.在遞增等比數(shù)列｛%｝中，其前〃項(xiàng)和為S“，且6%是4和成的等差中項(xiàng)，則邑=

A.28B.20C.18D.12

9.已知函數(shù)/(力=25由15：+(卜0〉0)且滿(mǎn)足/［T—鼻=/卜—看.則0的最小值

為()

12

A.-B.-C.1D.2

23

10.已知函數(shù)“X)滿(mǎn)足/'(x)lnx+:/(x)<0(其中/'(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù))，若

(1、(1

a=f-b=fc=f,則下列選項(xiàng)中正確的是()

I7I)

A.6a<4b<3cB.6a<3c<46

C.4b<6a<3cD.4b<3c<6a

11.正四棱錐尸-N5CD內(nèi)有一球與各面都相切，球的直徑與邊48的比為4:5,則尸4與

平面4SCD所成角的正切值為()

5207210>/2

A.-B.亞-------D.-------

4

12.已知斜率為G的直線/經(jīng)過(guò)雙曲線C:0—2=1(。〉0力〉0)的右焦點(diǎn)廠，交雙曲線

C的右支于幺，8兩點(diǎn)，且萬(wàn)=6礪，則雙曲線的離心率為()

高中2

高中

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量不=（7一2,3）,^=（3,-1）,且（萬(wàn)+2很）〃3,則同=.

3

14.己知銳角a,夕滿(mǎn)足sina=-^-,cosP=則cos（a-〃）=.

15.如圖所示是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，途中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“短線”

表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第〃個(gè)圖的化學(xué)鍵和原子的個(gè)數(shù)之和為個(gè).（用含"的代數(shù)式

表示）

。攵?…

（1）（2）⑶㈣

15.已知函數(shù)〃x）=[a（x-l）-21nx卜在（l,+oo）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答.

（一）必考題：共60分.

17.（本小題滿(mǎn)分12分）

清明節(jié)，又稱(chēng)踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖

先，是中華民族自古以來(lái)的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進(jìn)行流動(dòng)人口統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取了100人了解他們

今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2x2列聯(lián)表：

回老家不回老家總計(jì)

50周歲及以下55

50周歲以上1540

總計(jì)100

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)完成以上2x2列聯(lián)變，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)該社區(qū)流動(dòng)人口中50周歲以上的

居民今年回老家祭祖的概率；

（2）能否有99.9%的把握認(rèn)為回老家祭祖與年齡有關(guān)?

n(ad-be)"

參考公式：K2=其中n=a+b-\-c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

高中3

高中

尸①淮）0.1000.0500.0100.001

左02.7063.8416.63510.828

18.(本小題滿(mǎn)分12分)

在△ABC中，內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.

(1)證明：3c2+3Z)2=5a2；

（2）若。=乖，當(dāng)Z取最大值時(shí)，求△ABC的面積.

19.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在三棱錐尸-Z8C中，側(cè)面R4CL底面N5C,且△ZBC為等邊三角形,

7T

PALPC,ZPAC=-,。為尸4的中點(diǎn).

6

B

（1）求證：AP上BD；

（2）求直線瓦？與平面P5C所成角的正弦值.

20.（本小題滿(mǎn)分12分）

22（回、

已知橢圓C:三+奈=1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為大，耳，點(diǎn)—1,、-在橢圓C

巧

上，且橢圓C的離心率為匚.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）相互垂直且斜率存在的直線小4都過(guò)點(diǎn)5。，0）-直線（與橢圓C相交于尸，0兩點(diǎn)，

直線乙與橢圓。相交于“，N兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線段00的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為線段MN的中點(diǎn)，證

明：直線?！赀^(guò)定點(diǎn).

21.（本小題滿(mǎn)分12分）

高中4

高中

已知函數(shù)/(x)=lnx+—―-\.

XX

（1）若〃=0,求/（x）在點(diǎn)處的切線方程;

⑵若西,々（m</）是/（X）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：、*）—

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分.

22.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X=]+COS

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為《0L'（a為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為

j=sin?

極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為P=-2sin。.

（1）求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線。2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線/:氐+>=0與曲線G，。2分別交于幺，8兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求線段48的

長(zhǎng)度.

23.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5：不等式選講

已知Q>0,Z?>0,函數(shù)/（x）=|x+4+|x-b|的最小值為2,證明：

（1）3/+/與；

高中5

高中

銅川市2024年高三質(zhì)量檢測(cè)卷-數(shù)學(xué)（理科）

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.B由題意知〃={x|2x_1>5}={巾>3},N={xeN*|—l<x<5}={l,2,3,4},所

以(?M)nN={l,2,3}.故選B.

-2+i(-2+。。-2i)

2.Az=+1=—+l=l+i則目=0.故選A.

l+2i(l+2i)(l-2i)5

3.C和為質(zhì)數(shù)有

（1,2）,（1,4）,（2,3）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（2,9）,（3,8）,（4,7）,（5,6）,（4,9）,（5,8）,（6,7）,（8,9）

147

共14種情況，因此概率為一r-=—.故選C.

C：18

4.B設(shè)圓柱的高為力，底面半徑為r,則體積為加上人，體積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，則擴(kuò)大后

的體積為9兀/力，因?yàn)楦卟蛔?，故體積9a2〃=兀（3r）2〃，即底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，

原來(lái)側(cè)面積為2兀泌，擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為2兀?3泌=6兀r/z,故側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的3

倍.故選B.

5.C因?yàn)?8中點(diǎn)為尸，又|48|=6,所以|。尸][25—=4,點(diǎn)尸在以C為圓心,

4為半徑的圓上，其軌跡方程為（x-2『+5—4）2=16.故選C.

6.C因?yàn)楹瘮?shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以

/（ln2）=-/（-ln2）=-eln2=-1,故選C.

7.A依題意，|尸。|=|。司=|/狎，APQF為等邊三角形,

高中6

高中

：.\PF\^\PQ\^4\OF\^2.故選A.

8.A根據(jù)題意得12%=%+為，12=q+q2,解得夕=3或夕=二1（舍），則

卬(1-*)

6

i-q1-Z7

§6=----=1+/=1+3^=28,故選A.

S3%(i-1—/

i—q

jr..7171,71

9.B/(x)關(guān)于X=—對(duì)稱(chēng),故G?一+—=E+—,

432

22

@=4左+—,左二0時(shí)，口取最小值為一.故選B.

33

10.A(x)lnx+，/(x)<0=<0,令g(x)=/(x)lnx,則g<x)<0在

(1>c口c口

（0,+8）上恒成立，故g（x）在（0,+8）上為減函數(shù)，故g<ge3<ge4，則

I)I)I)

(1A(口-(1

Ine<f”In<fIne"故即6a<4b<3c.故選A.

I)k)k)234

11.C設(shè)球心為O,O在平面48C。內(nèi)的射影為“，"為5。中點(diǎn)，OH工PM于E,

半徑為井，AB=-r=x,PH=k,貝U

2

h2V2h20V2…

tan/PAH=----=--------=------.故選C.

AH5r9

高中7

高中

12.C設(shè)5(x2,y2),直線/的方程為x=q-y+c,其中。2=/+〃，聯(lián)立

x=^y+c,

2回2c

.3。得-3a2)y2+2y/3b2cy+3b4=0..'.y+y=-

221222

%yb-3a

=1,

3b&由衣=6礪，得%=—6%，即匕=-6,.?』+￡=-衛(wèi)，即

一%%Ji6

r2國(guó),丫

(凹+72)2.25、b2-3a24c225c2100*

?,整理得二——,...禺心率

63/b2-3a26a249

b2-3a2

￡=-=—.故選C.

a7

13.3而a+2b=(t+4,l),-：(a+2b)//b,.-.-(^+4)=3,解得/=—7,

.?.2=(-9,3),同=3而.

2A/5,.-\/53CMALMZZ2Vs.4

14.由sma=——,cospn~—,a,夕均為銳角，得cosa=-----,sinpn=—,

55555

E(川2君3石42后

貝Icosla-/^)=X—HX—=

v755555

15.9n+3由圖，第1個(gè)圖中有6個(gè)化學(xué)鍵和6個(gè)原子;

第2個(gè)圖中有11個(gè)化學(xué)鍵和10個(gè)原子；

第3個(gè)圖中有16個(gè)化學(xué)鍵和14個(gè)原子，

觀察可得，后一個(gè)圖比前一個(gè)圖多5個(gè)化學(xué)鍵和4個(gè)原子,

則第〃個(gè)圖有6+5(〃-1)=5〃+1個(gè)化學(xué)鍵和4〃+2個(gè)原子，所以總數(shù)為9?+3.

22

16?[2,+co)/'(x)=a-----(x-l)-21nxex=ax------21nxe">0,即

Xx

2

ax------2Inx>0,對(duì)xe(l,+oo)恒成立，當(dāng)〃22時(shí),

222222x?一2x+2

ax------21nx)2%------21nx=g(x),g'(x)=2d--—>0,故

xxxxX2

高中8

高中

g(x)>g(l)=O符合題意,當(dāng)。<2時(shí),g(l)=a-2<0,3me(l,+oo),在(1,加)上,

g(x)<0不合題意，故〃22.

17.解：(1)補(bǔ)全表格如下：

回老家不回老家總計(jì)

50周歲及以下55560

50周歲以上152540

總計(jì)2080100

153

該社區(qū)50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為一=-；

408

,100x(5x25-15x55?1225

(2)VK2=------------------------匚=——工12,760>10,828,

20x80x60x4096

??.有99.9%的把握認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān).

18.(1)證明：

._sin^(sin5sinC\_sin5sinC

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC=----------------1--------=3-----------------,

cosAIcosBcosC)cosBcosC

則sin(5+C)sin/=3sin5sinCeos/,

而sin(B+C)=sin/,

故sin24=3sin5sinCcosA,

故。2=2)bccosA--

2

故3/+3。2=5。2；

,223

r2.22b+C---+c2

,b+c—a5￡cb2

(2x)解KTJ：cosA=--------------=------------——+—

2bc2bc5bc5

25

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)，N4取最大值，此時(shí)，6/=5/且6/=5/=75,則/=—

2

V211,..1,2V215V2I

sinA=Jl---故Sczusc=Q，csinZ=5?-?二=^—

19.(1)證明：如圖，取NC中點(diǎn)￡,連接DE,BE,

???△48。為等邊三角形，二8￡，2。，

又側(cè)面R4C，底面48C,8￡u底面48C,側(cè)面尸NCC底面48C=NC,

高中9

高中

，8￡J_平面PNC.平面P/C,.?.8￡，尸幺，

又D,￡分別為尸/,NC中點(diǎn)，.1DE〃尸C,

又PA上PC,:.PALDE,

?;DECBE=E,?！?8￡<=平面8。￡,二.尸2，平面8?！?

又BDu平面BDE,:.PALBD；

（2）解：以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,

.?.叩G,o,o）,C（0,2,0）,尸（0,1,百），D0,--,—,

\7

:.DB=2百g—用，PC=（0,1,-V3）,C5=（2A/3,-2,0）,

設(shè)平面P5C的法向量為力=（x,y,z）,

PC-n=0,y一『z=0,則可取為=0,6,1)

則_即＜

CB-n=0,2V3x-2v=0,''

2732^195

cos(DB,n\=,Zf

'/H同

直線8。與平面PBC所成角的正弦值為名叵

65

20.解：（1）設(shè)點(diǎn)片，耳的坐標(biāo)分別為（―c,0）、（c,0）.

—1」=1

/4〃一’Q=2,

由題意有《c2=a2-b2,解得＜I

c_V3c-V3?

2

高中io

高中

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+v2=l；

4

(2)證明：設(shè)直線/1的斜率為左(左/0),可得直線的斜率為-工，

k

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(X],%),點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(%2,%)，

直線/]的方程為了=左卜—1),

AIV2=1Xk2

聯(lián)立方程《4''消除y后有(4左2+1卜2一&k2》+4左2一4=0,有可

y=k(x-l),僅-+1

由對(duì)稱(chēng)性可知直線DE所過(guò)的定點(diǎn)T必定在x軸上，設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,0),

kk

有^有￡+4=4,+1,化簡(jiǎn)得(5左2+5)/=4左2+4,解得/=±

x2-txx-t4_t4k5

上2+44F+1-Z

故直線DE過(guò)定點(diǎn)[[,()].

3r-Q

21.解：⑴當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=lnx+-,/,(x)=^,/(1)=3,=—2,

XX

所以/(x)在(1J⑴)處的切線方程為2x+y-5=0；

(2)證明如下：由題意可知苞,%(石＜%)是方程爐-3》+24=0的兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根,

/.$+%=3,xrx2=2a,

/(xj-/(%)

陽(yáng)-x2

高中11