陜西省榆林市2024屆高三一模數(shù)學（文）試題（含答案解析）

陜西省榆林市2024屆高三一模數(shù)學（文）試題

學校:姓名：班級:___________考號：___________

一、單選題

1.復(fù)數(shù)i2+i3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={T,-2,0,2,4},3={x|3_x<2},.則Ai5=()

A.{0,2,4}B.{-4,-2,0}C.{<-2}D.{2,4}

3.3.已知向量。=1),b=(1,-2),allb則機=（）

A.±B.--C.2D.-2

22

4.在等比數(shù)列｛4｝中，％+%=1,%+%=2,則%=（）

A.—B.—C.16D.8

33

5.某圓錐的側(cè)面積為16兀，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.4C.2忘D.4應(yīng)

6.將函數(shù)/（x）=sin,x（。>0）的圖像向右平移!■個單位長度后得到曲線C,若C

關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是（）

A.3B.-C.-D.-

6336

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S=<：）

8.已知〃=10805。.71=10852,。=；,則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

7T37r

9.已知函數(shù)/(%)=依+cosx在-丁丁上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.[-l,+oo)B.[l,+oo)D.2'°°

7

10.下圖是由兩個邊長不相等的正方形構(gòu)成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自

一ADCQAFC-BEF的概率分別記為P|，P2，P3，則()

A.P]=P2B."=。3

C.P2=P3D.PLP2+P3

11.如圖，設(shè)拋物線V=4x的焦點為尸，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,

其中點A,8在該拋物線上，點C在y軸上，若|以|=7,但同=；,則正=()

12.已知H是球。的直徑A3上一點，AH:HB=1:2,平面a,H為垂足，a截

球。所得截面的面積為兀，M為a上的一點，且MH=顯,過點M作球。的截面，則

4

所得的截面面積最小的圓的半徑為()

A拒R而「也n而

A.D.U.D.

2442

二、填空題

22

13.已知直線>=氐是雙曲線=-==l(a>0,b>0)的一條漸近線，則該雙曲線的離

ab'

心率為.

試卷第2頁，共4頁

8x-y-4<0

14.若犬,丁滿足約束條件卜+>+420,則目標函數(shù)2=x-3y的最大值為一

y-2<0

15.己知y=/(x)+2為奇函數(shù)，則〃—1)+/(。)+〃1)=.

16.某網(wǎng)店統(tǒng)計了A商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列｛%｝，已知％=2。,

且為+「%=1+(-1)”(〃eN+),則A商品近30天的總銷量為.

三、解答題

17.在三棱錐A—BCD中，AB=4￡>,CB=C￡>,O為的中點.

(1)證明：，平面Q4c.

(2)若AB=BC=BD=2,平面ABD_L平面BCD,求點8到平面AC。的距離.

18.ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為”,瓦c,已知ABC的周長為

,.?“八3a2-Ibc

6,AB-AC=--------.

2

⑴求。的值；

(2)求A的最大值.

19.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有

答卷中隨機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按

[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成6組，并整理得到如下頻率分布直方

圖.

(1)請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點值作代表).

(2)該市決定表彰知識競賽成績排名前30%的市民，某市民知識競賽的成績是78,請估

計該市民能否得到表彰

20.設(shè)函數(shù)〃x)=lnx+ox+6,曲線y=/(x)在點處的切線方程為y=6x-3.

(1)求“/；

3

⑵證明：

JX

21.已知橢圓C:￡+『l(a>6>0)經(jīng)過4(。,1)/信,-4兩點.

ab/

⑴求c的方程；

(2)斜率不為0的直線/與橢圓C交于M,N兩點，且點A不在/上，AM±AN,過點P作

，軸的垂線，交直線x=-l于點S,與橢圓C的另一個交點為T,記SAW的面積為S-

S.

△7MV的面積為邑，求

[x=1+cosa

22.在直角坐標系xOy中，曲線G和C?的參數(shù)方程分別為.(。為參數(shù)),

[y=sina

x=2+布cos(5

(夕為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

y=1+逐sin￡

⑴求曲線G和C?的極坐標方程；

⑵已知直線/：y=去依>0),且/與曲線G相交于。、A兩點，與曲線Cz相交于0、B

兩點，則當取得最大值時，求上的值.

23.已知函數(shù)/(%)=|3%-2|+|2尤+1|.

(D求不等式/(x)>9的解集；

(2)若存在xdR,使得了(%)(加成立，求實數(shù)加的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】i2+i3=-l-i,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,-1),該點在第三象限.

故選：C.

2.D

【分析】解不等式求出B,根據(jù)交集概念求出答案.

【詳解】依題意得3={尤|3r<2}={小>1},

則Ac3={-4,—2,0,2,4}c{x|x>l}={2,4}.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出機=-g.

【詳解】由題意可知-2m=1,則機=-g.

故選：B

4.A

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,

<2,+a“(4+%)-_

貝l]———3-=---------=q=2,即Bn4=20,

%+a2q+a2

由q+%=1,可得3%=1,即Q=g,

所以%=.

故選：A

5.D

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為人由題意得到2w=兀/求解.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為一，即側(cè)面展開圖的半徑為/,側(cè)面展開圖的

弧長為兀/.

又圓錐的底面周長為2m,所以2m=就，即圓錐的母線長/=2幾

答案第1頁，共13頁

所以圓錐的側(cè)面積為冗力=2兀r=16瓦,

解得r=2^2,/=4A/2.

故選：D

6.B

0)71兀

【分析】根據(jù)題意可得曲線。為〉=4口CDX----，----又-----。--關(guān)于丁軸對稱，所以

26

處+火=^+E,keZ,根據(jù)。>0即可得解.

262

7171.[am71

【詳解】曲線。為y=sia)\X~~=smcox-------

6I26

Z7)1Tjrit

又C關(guān)于y軸對稱，所以笠+B=g+E/eZ,

262

2

解得0=§+24，左eZ,又<w>0,

7

所以當％=0時，。的最小值為

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)程序框圖的功能，一一循環(huán)驗證即可.

【詳解】解：執(zhí)行該程序框圖，5=12,左=2,左W4成立,

S=18,笈=3,上W4成立，

5=22,無=4,144成立,

S=25,k=5,不滿足

輸出的S=25.

故選：C

8.D

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.

【詳解】因為2a=log。§049>1啷50.5=1,所以

因為26=log54<1,所以故b<c<a.

故選：D.

9.B

答案第2頁，共13頁

TT3兀

【分析】由題意得/''（x）=a-sinx'O在-了彳上恒成立，分離參數(shù)即可得解.

rr37r

【詳解】八"=。-sinxNO在一丁丁上恒成立，即aNsinx,所以“21,則〃的取值范圍

是［1,+co）.

故選：B.

10.A

【分析】先利用幾何概型公式求得P1，P2，P3的值，進而得到三者之間的關(guān)系.

【詳解】設(shè)AB=a,BE=b,a<b,

〃2b2

從而S陋。="，S

BEF2

a2

因為AC〃5F,所以S”c=S

ABC-2

根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,

a2

2

可以得到口=必~2a

a2+b22(/+/)

b2

2

2b，則P1=〃2<P3

Aa2+b22(/+〃)

故選：A.

11.D

【分析】根據(jù)拋物線定義可求出乙,乙，根據(jù)三角形相似即可求出焉.

【詳解】設(shè)A（%A，%）,5（/，%），

由\FA\=7,|尸同=g,根據(jù)拋物線定義可得XA+1=7,XB+1=|,

故=6,/=5'

答案第3頁，共13頁

過A,8分別作y軸的垂線，過B作X軸的垂線，垂足為E,

明顯ABEBCM,

故選：D

12.C

【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為「，球的半徑為R,由平面幾何知識得截面與球心的距離

為士R,利用勾股定理求得心的值，由題意可知球心。到所求截面的距離，最大時截面面積

最小，利用面積公式，即可得答案.

【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為小球。的半徑為R,

因為=

所以?！?3凡由勾股定理，得R2=/+oH2,由題意得“2=兀,廠=1,

所以R2=1+[RJ,解得笛=,

此時過點/作球。的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.

設(shè)球心0到所求截面的距離為d,所求截面的半徑為/,則/=爐彳，

所以只需球心。到所求截面的距離d最大即可，

而當且僅當OM與所求截面垂直時,球心。到所求截面的距離d最大,

即+MH2=^,所以公=居=浮.

故選：C

13V30

5

答案第4頁，共13頁

【分析】根據(jù)題意可得：=石，由e即可得解.

b

la2+b2V30

【詳解】由題意可知臺卮所以e=9

Va2

故答案為:等

14.12

8x-y-4<0

【分析】作出約束條件，X+y+42。的可行域，利用幾何意義即可求得目標函數(shù)Z=X-3y的

y-2<o

最大值.

8x-y-4<0

【詳解】畫出約束條件x+y+4N0的可行域，

y-2<0

8x—y_4=0

可得A(0,-4),

尤+y+4=0

由o可得5(-6,2),

[x+y+4=0

當目標函數(shù)2=》一3、經(jīng)過3(-6,2)時，z=-6-3x2=-12,

當目標函數(shù)z=x-3y經(jīng)過A(0,-4)時，z=0—3x(T)=12,

故目標函數(shù)z=x-3y的最大值為12.

故答案為：12

答案第5頁，共13頁

15.-6

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到/(-x)+/(x)=T，從而得到/(-l)+〃l)=T,/(O)=-2,

求出答案.

【詳解】因為y=〃x)+2為奇函數(shù)，所以/(X)+2=_["T)+2],

即/(—x)+/(x)=T,

所以/(T)+/(l)=Y,2〃0)=T,故〃0)=-2,

即〃T)+〃O)+/(I)=￡

故答案為：-6

16.1020

【分析】根據(jù)題目所給遞推關(guān)系找到數(shù)列的規(guī)律，進而求和.

【詳解】當”=2左一1時，a2k=aik-\?當〃=2k時，％&+i=a2k+2,

…a2k+l~a2k-l+2，

「?{4}中奇數(shù)項是公差為2,首項為20的等差數(shù)列，

q++/++。29+。30

=2(4+%+%++%9)

(15x14\

=2x15x20+-^—x2=1020.

A商品近30天的總銷量為1020.

故答案為：1020.

17.(1)證明見解析

⑵公斗！

【分析】(1)由三線合一得到線線垂直，進而得到線面垂直；

(2)由面面垂直得到線面垂直，求出匕一BCD，利用等體積法求出點到平面的距離.

【詳解】(1)因為AB=AT>,CB=C。，。為80的中點，

所以O(shè)ALBDQCLBD,

答案第6頁，共13頁

又因為Q4,OCu平面OAC,OAr>OC=O,

所以8。-L平面。4c.

（2）因為平面ABD_L平面BCD,且平面ABDc平面=±BD,OAU平面ABD,

所以Q4L平面BCD,

因為AB=3C=3D=2,所以ABD,BCD均為等邊三角形，

故AO=OC=下1,故SBCD——BD-OC=—x2x-\/3=出,

所以L-88=；S8Q.OA=；xgxB=l,

因為Q4L平面BCD,OCu平面BCD,

所以Q4_LOC,由勾股定理得AC=JoT+oc?=行歷=底,

取AC的中點H,連接￡歸，

在，AC。中，AD=CD=2,AC=y/6,故D"_LAC,

+行…Lr"丫回。1“八八〃1t7M岳

wLDH=J2-------,SACD=—A。*DH=-x，6x------=------,

222222

設(shè)點B到平面ACD的距離為d,所以lx巫d=l,解得叵.

325

18.(1)2

【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)量積定義、余弦定理即可求解.

（2）由題意結(jié)合余弦定理以及基本不等式相關(guān)推論即可求解.

答案第7頁，共13頁

222

.、*々力▼/1、Ar*/-jAc2+b—ci3^—2/?c

【詳解】(I)AB-AC=cbcosA=---------=--------

22

即(b+c)2=4a2.

因為ABC的周長為6,所以(6-q)2=4/,

解得Q=2.

(2)由(I)可知b+c=4.

.c1+b2-a2(b+cY-2bc-a26.6,1

cos/i=---------——--------------------]>---------1=一

~2bc~2bc~be：。+12-2,當且僅當b=c時，等號成

立.

故當匕=c=2時，A取得最大值g.

19.(1)68.3

(2)估計該市民能得到表彰

【分析】(1)用每組中點值為代表，估算平均值；

(2)估算排名在70%的成績，和78比較，得到結(jié)論.

【詳解】(1)100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為：

元=(35x0.005+45x0.010+55x0.010+65x0.020+75x0.032+85x0.023)x10=68.3

(2)成績低于70分的頻率為0.45,成績低于80分的頻率為0.77,

07-045

則被表彰的最低成績?yōu)?0+———xlO=77.8125<78,

0.32

所以估計該市民能得到表彰.

20.(l)a=5,b=-2

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)切線方程，求得切點與切線斜率，建立方程，可得答案；

(2)由(1)寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,

求得最值，可得答案.

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域為(O,+e)"'(x)=J+a.

將x=l代入>=6彳-3,解得y=3,即〃1)=3,

答案第8頁，共13頁

由切線方程y=6x-3,則切線斜率/'⑴=6.

故a+Z?=3,l+a=6,解得a=5,6=—2.

(2)證明：由(1)知/(x)=lnx+5x—2,

33

從而f(x)>———等價于xlwc>—5x2+2x——.

設(shè)函數(shù)g(%)=xlnx,則g'a)=l+lnx.

所以當xe]o,j時，g'(x)<0,當xeg,+co)時，g'(x)>0.

故g(x)在1°，：)上單調(diào)遞減，在，，+[上單調(diào)遞增，

從而g(x)在(0,+8)上的最小值為g?)=-：.

設(shè)函數(shù)/z(x)=_5x?+2尤_]=_51一m,

從而h(x)在(0,+“)上的最大值為〃(3=-|<-1,

故g(x)>/z(x),即“無)

21.(1)—y2=1

4+'

⑵9

v8

【分析】（1）待定系數(shù)法求出",〃，得到橢圓方程;

（2）先得到直線軸時，雙!^為鈍角三角形，不合題意，設(shè)直線/的方程為丫=近+機，

聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由AM.AN=0得至4加=-1,得到直線/恒過點

0[。,-1],求出s[i,一|）O從而得到

【詳解】⑴將4（0，1），尸（|，-野代入橢圓方程中,

方=1

<64?9_]，

,25a225b2一

"I’

答案第9頁，共13頁

則橢圓。的方程為土+丁=1；

4

(2)當直線/J_x軸時，△M4N為鈍角三角形，且NMAN<90，不滿足題意.

設(shè)“住,%),?/(%,%),由AM_L4V,可得AM.A7V=0,

所以AM-AN=(xp%-17(%2,%-1)=+(M-1)(%-1)=0，

化簡得0+4左2)彳2+8^+4機2_4=0,

由

A>0n64k2m2-4(1+4^2)(4m2-4)>0=病<1+4左2.

-8km4m2-4

%+%21^?'*2=干記

22

所以AM-AN=XyX2+kxxx2+A:(m—l)(xt+x2)+(m—l)

(1+左2)(4/〃--4)8兀2加(加一1)(7"-1)2(1+442)

―1+4/1+4—2-1+4公—“

則(1+陰(4m2-4)-8左2Mm—1)+(加一1)2(1+4陰=0,

整理得(利―1)(5根+3)=。，因為mwl,所以加=一：

所以直線/的方程為了=依-|,恒過點o|a-g：

由題意和對稱性可知?，-g),

設(shè)點s到直線/的距離為4，點T到直線/的距離為d2,

答案第10頁，共13頁

。：：；修卜4,SQ0一（一1）=5

邑^\MN\-d2"2TQ0-1|]§

【點睛】處理定點問題的思路：

（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為七）,

（2）利用條件找到左與過定點的曲線廠（x,y）=o的聯(lián)系，得到有關(guān)％與％y的等式，

（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點（%,%）,使得無論左的值如何變化，等式恒成立,

此時要將關(guān)于人與蒼y的等式進行變形，直至找至%）,

①若等式的形式為整式，則考慮將含左的式子歸為一組，變形為”?（）”的形式，讓括號中

式子等于0,求出定點；

②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0,一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系,

可消去上變?yōu)槌?shù).

22.(1)￡:夕=2cos6,C2:夕=4cos6+2sin6

⑵笈=1

【分析】（1）將曲線G、G的參數(shù)方程化為普通方程，再由極坐標方程與普通方程之間的

轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線G、a的極坐標方程;

（2）設(shè)直線/的極坐標方程為夕=夕，其中夕將直線/的極坐標方程分別代入曲線C1、

C2的極坐標方程，求出點A、8的極徑，然后利用三角恒等變換結(jié)合正弦型函數(shù)的最值可

求得的最值及其對應(yīng)的夕值，由此可得出左的值.

【詳解】（1）解：在曲線G的參數(shù)方程1I%=5]+aCOS0C”為參數(shù)）中消去參數(shù)%

可得+y2=1,gp%2+y2-2x=0,

將％=pcos。，y=psin夕代入上式，得夕=2cos6.

x=2+45cos/3

在曲線C