2022-2023學年內(nèi)江三模試題及答案解析

內(nèi)江市高中2023屆第三次模擬考試題

數(shù)學（理科）

1.本試卷包括第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共4頁。全卷滿分150分,

考試時間120分鐘。

2.答第I卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標號；答第D卷時，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作

答，字體工整,筆跡清楚；不能答在試題卷上。

3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回。

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每個小題所給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的,把正確選項的代號填在答題卡的指定位置.

L已知復數(shù)(1+3i)(2z-z)=10,其中i是虛數(shù)單位,z是z的共匏復數(shù)，則z=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.已知全集U=R,M=-4%+3&0|,N={xl/og2XW1},則C〃(MUN)=

A.(-8Q］u(3,+8)B.(-oo,3)C.(-c?,l)u(3,+oo)D.(3+8)

3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字,空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為［0,50)、［50,100)、

［100,150）、［150,200）、［200,300）和［300,500）六檔，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、

“中度污染”、“重度污染”和“嚴重污染”六個等級.如圖是某市空氣質(zhì)量指數(shù)

4月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，則下列說

法中正確的是

A.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差

B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214

0123456789

C.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日

D.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)約為189

4.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中幾何模型“陽馬”意指底面為矩形，一側(cè)］

棱垂直于底面的四棱錐.某“陽馬”的三視圖如圖所示，則該四棱錐中棱長2

高三三?？荚嚁?shù)學（理科）試卷第1頁（共4頁）

6.已知函數(shù)/⑷十-a和g（”）有相同的極大值，則》=

A.2B.0C.-3D.-1

7.水平桌面上放置了4個半徑為2的小球,4個小球的球心構(gòu)成正方形,且相鄰的兩個小球相

切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為

A.4B.2立+2C.6D.2#+2

8.圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器,它包括一根直立的標

竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）.當正午

太陽照射在表上時,日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影

長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)某地的以至正午陽光？至正午陽光

地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知該地冬至正午太、?

陽高度角（即乙4BC）約為32.5。,夏至正午太陽高度、圭面\、

角（即乙40C）約為79.5。,圭面上冬至線與夏至線之\南玲——--

間的距離（即05的長）為14米，則表高（即AC的長）\夏至線冬至線\

a?7

約為（其中，tan32.5。=tan79.5。=年）

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

9.已知圓錐的母線長為2,側(cè)面積為2A■，則過頂點的截面面積的最大值等于

A.73B.J2C.2D.3

22

10.已知雙曲線C：、-方=1（Q>0,6>0）上有不同的三點4ap，且4、3關(guān)于原點對稱，直

ab

a

線PA、PB的斜率分別為%、L，且%人-kpB=j，則離心率e的值為

A.百B.qC."D.廖

222

IL將函數(shù)/（%）=si3（g>0）的圖象向右平移半個單位長度后得到函數(shù)g⑴的圖象，若

（0,第是g（%）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，且g⑴在（。m）上有5個零點，則儂=

A.1B.13C.9D.5

ic、幾,13,264,.

12.設(shè)a=ln—,b=—,c=tan彳n,則

A.c>b>aB.c>a>6C.b>c>aT）.a>c>b

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知|a|=4,|了|=3,且a_L（a+2b），則向量Q在向量分上的投影為________.

14.若（％+Q）5（2-/）的展開式的各項系數(shù)和為32,則該展開式中，的系數(shù)是_______.

15.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為（；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為

次.假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局

高三三?？荚嚁?shù)學（理科）試卷第2頁（共4頁）

甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為.

16.已知4（8（3,0）,尸是圓O：x2+/=49上的一個動點，則sinZAPB的最大值為

三、解答題:本大題共6小題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且滿足%=2,Sn+1=2Sn+2.

（1）求數(shù)列｛。.｝的通項公式；

（2）記勾=（幾+1命+2）'求數(shù)列｛4｝的前〃項和

18.（本小題滿分12分）

某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號電視機在10個賣場的銷售量（單甲乙

位:臺），并根據(jù)這10個賣場的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖.為4800108

了鼓勵賣場，在同型號電視機的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平7522023

均數(shù)的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”.0312ab

（1）當a=1,6=0時，記甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為加，乙3143

型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為八比較m,n的大小關(guān)系;

（2）在這10個賣場中，隨機選取2個賣場，記X為其中甲型號電視機的“星級賣場”的個

數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）記乙型號電視機銷售量的方差為52,根據(jù)莖葉圖推斷a與b分別取何值時,廣達到最

小值.（只需寫出結(jié)論）

19.（本小題滿分12分）

在445。中，44。3=45。,8。=3,過點4作/1。_1.3。,交線段BC于點0（如圖1）,沿4。

將助折起,使乙劭C=90。（如圖2）,點E,M分別為棱BC,AC的中點

（1）求證:CZUME；

（2）給出下列三個條件:①圖1中-*,②圖1中方=1~荏+③圖2中三

棱錐4-BCD的體積最大.

在其中任選一個，補充在下面問題中，再解答問題.

問題:已知（填番號），試在棱CD上確定一點N,使得?V_L5M,并求平面BMN

與平面CRV的夾角的余弦值.

注:若選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.

高三三?？荚嚁?shù)學（理科）試卷第3頁（共4頁）

20.(本小題滿分12分)

若存在實數(shù)七6,使得函數(shù)/(*)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)％同時滿足漢久)2版+

6且g(x)W版+6,則稱直線/h=丘+6為函數(shù)/(“)和g(x)的“隔離直線”.已知/(%)=z2,g

(%)=2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).試問：

(1)函數(shù)/(%)和g(“)的圖象是否存在公共點,若存在，求出公共點坐標，若不存在，說明

理由；

(2)函數(shù)/(%)和g(%)是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的方程;若不存

在,請說明理由.

21.(本小題滿分12分)

如圖，曲線G是以原點。為中心,凡、匕為焦點的橢圓的一部分，曲47

線。2是以。為頂點、%為焦點的拋物線的一部分M是曲線G和c2的一/

個交點，且乙”2K為鈍角，1”/=/,1”21=1.x.

22\K?？谑?:

(1)求曲線G和的方程；\限

(2)過F2作一條與%軸不垂直的直線，分別和曲線G和。2交于5、

E、C、D四點，若G為CD的中點，，為3E的中點，黑二^詈是否為定值？若是，請求出此

定值;若不是，請說明理由.

請考生在第22、23題中任選一題作答，并用23鉛筆將所選題號涂黑如果多做，則按所做

的第一題計分.

22.(本小題滿分10分)

在平面直角坐標系中，將曲線G向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫

坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的去得到曲線G,以坐標原點。為極點聲軸的正半軸為極

軸，建立極坐標系.曲線G的極坐標方程為p=4cosa.

(1)求曲線C2的參數(shù)方程；

(2)已知點M在第一象限,四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形MNPQ周長

的最大值，并求周長最大時點M的坐標.

23.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)/(%)=12%-41+I%2+al(xe/?).

(1)若a=1，求證：/(%)三4；

(2)若對于任意％e[1,2]，都有/(%)W4,求實數(shù)a的取值范圍.

高三三模考試數(shù)學(理科)試卷第4頁(共4頁)

內(nèi)江市高中2023屆第三次模擬考試題

數(shù)學（理科）參考答案及評分意見

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分.）

1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.D8.C9.C10.B11.D12.A

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.）

13.——14.515.-16.—

37213

三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

17.解：（1）當幾=1時，由S“+i=2S=2得:$2=2S[+2,即%+a2=2al+2,

又的=2,/.a2=4；............................................................................................................1分

當n^2時,%.=S?+1-Sn=2S“+2-2Sn-1-2=2an,................................................3分

又a[=2,a2=4滿足a2=2at，即當n=1時,%+1=2Q“成立，..................4分

數(shù)列｛冊｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,二%=2"(〃eN*)...........................6分

<sn0“+1r\n

(2)由(1)得也=餐_上,.............................9分

(n+1)(n+2)n+2n+1

2n1+1+1

■—?+***+―，+???+”,__^―^―+-----------------=--------I

324354n+1nn+2n+l~n+2

18.解：⑴甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10+1O+14+18+22/25+27+30+41+43=2牝....1分

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10+18+20+22+23/31+32+31+30+43=26,...................2分

易知m=5,n=5,所以m=n；............................................................................................4分

(2)X的可能取值為0,1,2,............................................................................................5分

p(Vnx或Cg2p,y]、5y6C/2zy

P(X=0)=-；3-=d，P(X=l)=-^-=—,Pp(｛X=2)=-f-=—,...........................88分

CqO>C[0'C]0,

X的分布列為：

(3)當a=6=0時,s?達到最小值.........................................12分

19.解：(1)證明：?「CDlAD,CDLBD,ADdBD=D,AD,BDC^ABDt

CZ?1ABD,ABCABD,/.CD1AB.............................................................2分

又分別為4C,5c的中點,CO_LME...........................................4分

(2)選①，在圖1所示的△48C中，由2m25=-^-=-2tanB...................................2分

31-tanii

解得tanB=2或tanB=-y(舍去)........................................4分

An

設(shè)40=。0=處在凡ZVIBO中，切幾3=慧=六Y=2,解得％=2,??.8。=1...............6分

DU5-x

高三三模考試數(shù)學（理科）試題答案第1頁（共4頁）

以點D為原點,DB,DC,DA分別為孫y,z軸建立如圖所示的坐標系D-xyz,攵

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),4,(0,0,2),4/(0,1,1)y,1,0),(jlljW=(-1,/PX

1,1).................................................................................................................7分/^

設(shè)N(0,Q,0),則說=(一/?-1,0)

■■ENlBM,-.EN.BM=0,n^-y,a-l,0)?(-1,1,1)=0,解得.=今,

當加=/(即N是CO的靠近。的一個四等分點)時聞_L5M...........................8分

=。,1八

設(shè)平面的的一^向量煬=&%),的=(-1.,0卜由n,BN一人+—y=0,

〃?麗=0,得

-x+y+z=0,

令4=1，則幾=(1,2,-1),取平面CBN的一個法向量m=(0,0,1),10分

_1(0,0,1)?(1,2,-1)1=上

貝！)|cos<m,n>

\m\IniA/12+12+(-I)26

.??平面的與平面CB/V的夾角的余弦值為噲....................................12分

O

選②，在圖1所示的△ABC中，設(shè)麗=人阮，

則茄=荏+而=荏+入記/+A(左-麗=(1-A)AB+\AC,...................................4分

又?.?方=拜+1■就，由平面向量基本定理知人=1?，即皿)=1...............................6分

(以下步驟同上)

選③，在圖1所示的△45C中，設(shè)8。="(0<x<3),則CO=3-孫

/.AD=CD=3-%.

折起后40_10。,401_30,且300。。=0,30、0。0平面BCD,

40_L平面BCD,............................................................................................................2分

又(BDC=90°,/.SABCD=y-x(3-%),

VA-BCD=9。,S^BCD=；(3-久),3-X(3-%)=；(%3-6%2+9%),xe(0,3),.......4分

J32o

令/(%)=4-(x3-6x2+9%)$(x)=:(%-1)(%-3),

oZ

當0<%<1時,/(%)>0;當1<%<3時,/(x)<0,

.?.當％=50=1時,三棱錐4-8CZ)的體積最大................................6分

(以下步驟同上)

20.解：(1)設(shè)F(x)-f(x)-g(x)=x2-2elnx(x>0),...............................................1分

/.F'(x)=24_在=2(%-石)("+癡),令?(4)=(),得％=而，....................2分

XX

高三三模考試數(shù)學(理科)試題答案第2頁(共4頁)

當0<X〈癡時，尸'(X)<0,x>石時，尸'(》)>0,

故當了=后時,/(4)取到最小值，最小值是0,...............................4分

從而函數(shù)/(%)和gQ)的圖象在』=做有公共點，其坐標為(石,e).............5分

(2)由(1)可知，函數(shù)/(%)和g(x)的圖象在％=石處有公共點，

如果存在/(%)和g(x)的隔離直線,那么該直線過這個公共點,.................6分

設(shè)隔離直線方程為y-e=k(x-Ve)y=kx-k^e+e,

由A:4+e(xeR),可得丫一五+kJe-e^Q在xwR上恒成立，

貝必=必_4左)+46="-2后)200,只有人=2癡，.........................8分

此時直線方程為:y=2伍-e..............................................9分

下面證明g(x)W2向-e恒成立，

令G(a)=2y[ex-e-g(x)=27^v-e-2eln%,

G'(x)=2G在=2向-2e=2石(x-五),當/石時,G，Q)=0,

XXX

當0<%(指時G，(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減聲>后時,G，(％)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

則當％=屈寸,G，(x)取到最小值是0,......................................11分

所以6(%)=2最-e-g(%)N0,則g(%)這2向-e當％>0時恒成立.

???函數(shù)/(%)和g(%)存在唯一的隔離直線y=2而；-e.......................12分

21.解：(1)設(shè)曲線a的方程為今+$=1(Q>b>0),則2a=明1+1福1=4+春=6,

得Q=3,................................................................1分

設(shè)4(%,/、儲(」,0)、/2(，,0),曲線。2的方程為/=4%其中C>0,

則(%+c)2+/=(熱,(X-c)2+y2=(y)，

3

兩式/目減得xc=-,......................................................2分

由拋物線定義可知=%+c=1~,......................................3分

因為乙4尸2K為鈍角，則％>c，解得3,.................................4分

X=T

所以，曲線G的方程為卷+?=1卜4)，..................................5分

曲線。2的方程為y2..........................................6分

(2)設(shè)區(qū)(0，％)、￡(%2,”)、。(巧，，3)必44，%),設(shè)直線BE的方程為X+1,其中m

x=my+1,.

）可得（8zn~+9）y~+16zny-64=0,

I8v+9y~2=72

16/n64

…i.............8分

高三三模考試數(shù)學(理科)試題答案第3頁(共4頁)

x=my+

聯(lián)立可得/_4zny_4=0,，3+%=46，,3%=-410分

./=4x

夕

A/1+nf?ly,-y1,VI+ZT?3+%

\BE\-\GF\22/(力一先)2，(力+%>

所以2

'\CD\?\HF\7(%+%>?(力-LA

2A/1+zn2?ly-yI?vT+zn%+%

342

256

4

(%+”)2-yly2.(9+%>8m2+916m2°

5--------?,--------=312分

(力+灼>(%+%)2-%力16m'+16

22.解：⑴由p=4cosa得p?=4pcosa,將，?！胝淼?，

,pcosa=x

曲線G的普通方程為(4-2)2+y2=4,........................................................................2分

■X=x'—2

設(shè)曲線G上的點為(％',-),變換后的點為(%y),由題可知坐標變換為1,,

，%，=%+22

即，一。，代入曲線G的普通方程，整理得曲線的普通方程9+/=1,……4分

ly=2y