2024年廣東省東莞市星晨中學中考數(shù)學一模試卷

2024年廣東省東莞市星晨中學中考數(shù)學一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）甲骨文是我國目前發(fā)現(xiàn)最早的文字，其顯著特點是圖畫性強，下列甲骨文圖畫是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）石墨烯是目前世界上最稀薄卻也是最堅硬的納米材料，同時還是導電性能最好的材料，其理論厚度僅0.00000000034米．數(shù)據(jù)0.00000000034用科學記數(shù)法表示為（）A．3.4×10﹣9 B．3.4×10﹣10 C．3.4×10﹣11 D．0.34×10﹣93．（3分）如圖，AB∥CD，點P為CD上一點，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．100°4．（3分）把拋物線y＝﹣x2先向上平移1個單位，再向左平移2個單位后，所得拋物線的解析式為（）A．y＝﹣（x+2）2+1 B．y＝﹣（x﹣2）2+1 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+25．（3分）下列語句中，不是命題的是（）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．作角A的平分線 D．內錯角相等6．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，若∠OBC＝56°，則∠A的度數(shù)是（）A．28° B．30° C．34° D．56°8．（3分）《九章算術》中記載“今有共買羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？若設人數(shù)為x人，羊價y錢，則下面所列方程組正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，CA＝CB，動點E從點D出發(fā)，沿折線D﹣C﹣B﹣A方向以1單位/秒的速度勻速運動，在整個運動過程中，△ADE的面積S與運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積是（）A．15 B．16 C．17 D．1810．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，AE、AF分別交BD于點M，N，連接CN、EN，且CN＝EN．下列結論：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③∠DFE＝2∠AMN；④EF2＝2BM2+2DN2．其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）因式分解：4a2﹣6a＝．12．（3分）計算：＝．13．（3分）底面半徑為6cm的圓錐，將其側面展開之后所得扇形的圓心角是135°，則此圓錐的母線長為cm．14．（3分）設x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，則＝．15．（3分）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，點B的坐標為（2，4），則點E的坐標為．16．（3分）如圖，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB＝，若點P是AB上的一個動點，則CP+AP的最小值為．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解方程：x2+6x﹣1＝0．18．（4分）如果m2﹣4m﹣7＝0，求代數(shù)式的值．19．（6分）一個不透明的袋中裝有2個白球，3個紅球，每個球除顏色外都相同，將球搖勻．（1）①從中任意摸出1個球是黑球；②從中任意摸出1個球是白球；③從中任意摸出1個球是紅球；④從中任意摸出3個球，其中有紅球．上述事件是隨機事件的是，是確定事件的是（只填序號）．將它們的序號按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列為．（2）現(xiàn)往袋中放入黑、白兩種球共4個，每個球與袋中的球除顏色外都相同，將球搖勻，此時從中任意摸出1個球，摸到三種顏色的球的概率都相等，則放入的黑球個數(shù)為，白球的個數(shù)為．20．（6分）為了創(chuàng)建國家衛(wèi)生城市，我縣某小區(qū)購進A型和B型兩種分類垃圾桶，購買A型垃圾桶花費了2500元，購買B型垃圾桶花費了2000元，且購買A型垃圾桶數(shù)量是購買B型垃圾桶數(shù)量的2倍，已知購買一個B型垃圾桶比購買一個A型垃圾桶多花30元．（1）求購買一個A型垃圾桶需多少元？（2）若小區(qū)一次性購買A型，B型垃圾桶共60個，要使總費用不超過4000元，最少要購買多少個A型垃圾桶？21．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點A（3，1），B（﹣1，n）兩點．（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，并在圖中做出該反比例函數(shù)的圖象．（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的x的取值范圍；（3）請自己作圖：連接BO并延長交雙曲線于點C，連接AC，求△ABC的面積．22．（10分）如圖，某校教學樓AC與實驗樓BD的水平間距CD＝米，在實驗樓頂部B點測得教學樓頂部A點的仰角是30°，底部C點的俯角是45°，則教學樓AC的高度是多少米（結果保留根號）．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，連接BD，過點C作CE∥AB．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點B作⊙O的切線，交CE于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）（2）在（1）的條件下，求證：BD＝BF．24．（12分）已知正方形ABCD，將邊AB繞點A順時針旋轉α至線段AE，∠DAE的平分線所在直線與直線BE相交于點F．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當α為銳角時，請先用“尺規(guī)作圖”作出∠DAE的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補全圖形，求證：EF＝DF；【深入探究】（2）在（1）的條件下，①∠DEB的度數(shù)為；②連接CF，猜想線段BE和CF之間的數(shù)量關系，并證明；【拓展思考】（3）若正方形的邊長AB＝6，當以點C，F(xiàn)，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出線段BE的長度．25．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；（2）如圖1，連接AC，BC，若點M是第二象限內拋物線上一點，過M作MN∥y軸，交AC于點N，過N作ND∥BC交x軸于點D，求的最大值及此時點M的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，當取最大值時，將拋物線y＝ax2+bx+2沿射線AC方向平移個單位，得到新拋物線y'，新拋物線與y軸交于點K，P為y軸右側新拋物線上一點，過P作PQ∥y軸交射線MK于點Q，連接PK，當△PQK為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．解：A．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．該圖形是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：B．2．解：0.00000000034＝3.4×10﹣10；故選：B．3．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故選：B．4．解：將拋物線y＝﹣x2先向上平移1個單位，則函數(shù)解析式變?yōu)閥＝﹣x2+1，將y＝﹣x2+1向左平移2個單位，則函數(shù)解析式變?yōu)閥＝﹣（x+2）2+1，故選：A．5．解：A、兩點確定一條直線，是命題，不符合題意；B、垂線段最短，是命題，不符合題意；C、沒有做出任何判斷，不是命題，符合題意；D、內錯角相等，是命題，不符合題意；故選：C．6．解：﹣＝﹣＝．故選：D．7．解：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝56°，∴∠BOC＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∴∠A＝∠BOC＝34°，故選：C．8．解：設人數(shù)為x人，羊價y錢，由題意可得：，故選：B．9．解：當t＝3時，點E到達點C處，即CD＝3，如圖，過點C作CF⊥AB于點F，則四邊形AFCD為矩形，∴AF＝CD＝3，∵CA＝CB，∴AB＝2AF＝6，當S＝12時，點E到達點B處，∴S＝AB?AD＝×2AF?AD＝3AD＝12，∴AD＝4，∴四邊形ABCD的面積：（CD+AB）?AD＝×（3+6）×4＝18，故選：D．10．解：如圖，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADH，則∠1＝∠4，AE＝AH，BE＝DH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△BNA和△BNC中，，∴△BNA≌△BNC（SAS），∴AN＝CN，∠NCE＝∠BAN，∵CN＝EN，∴∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，∵∠NEC+∠BEN＝180°，∴∠BAN+∠BEN＝180°，∴∠ABC+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°，∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正確；∴∠3＝∠AEN＝45°，∵∠1＝∠4，∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，∴∠3＝∠FAH＝45°，∵AF＝AF，AE＝AH，∴△AFE≌△AFH，∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正確；∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，∴∠AMN＝∠AFD＝∠AFE，又∵∠AFE＝∠AFD，∠DFE＝∠AFE+∠AFD，∴∠DFE＝2∠AMN，故③正確；∵∠MAN＝∠EAF，∠AMN＝∠AFE，∴△AMN∽△AFE，∴，∵AN＝NE，AN⊥NE，∴△AEN是等腰直角三角形，∴，∴，∴，如圖，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG，則∠DAG＝∠BAM，AM＝AG，∠ADG＝∠ABM＝45°，∴∠NDG＝90°，即△GDN是直角三角形，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝∠DAG+∠DAN＝∠GAN＝45°＝∠MAN，∵AN＝AN，∴△ANG≌△ANM（SAS），∴MN＝GN，∴MN2＝DN2+DG2＝DN2+BM2，∴，故④正確；故選：A．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．解：原式＝2a（2a﹣3），故答案為：2a（2a﹣3）12．解：原式＝﹣3﹣1＝﹣4．故答案為：﹣4．13．解：圓錐的底面周長＝2π×6＝12πcm，設圓錐的母線長為R，則：＝12π，解得R＝16．故答案為：16．14．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，∴，x1+x2＝﹣1，∴，∴＝x1（﹣x1+3）+4x2﹣12+20＝4（x1+x2）+5＝﹣4+5＝1；故答案為：1．15．解：∵點B的坐標為（2，4）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，∴k＝2×4＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．∵點E在反比例函數(shù)圖象上，∴可設E（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故答案為：（4，2）．16．解：過點A在△ABC外作射線AD，使得∠BAD＝30°，過點P作PQ⊥AD于點Q，連接CQ，則PQ＝AP，∴CP+AP＝CP+PQ≥CQ，當C、P、Q三點共線，且CQ⊥AD時，CP+AP＝CP+PQ＝CQ的值最小，∵∠CAQ＝30°+30°＝60°，∴∠ACQ＝30°，∴AQ＝＝1，∴CQ＝，故CP+AP的最小值為：，故答案為：．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．解：方程變形得：x2+6x＝1，配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，開方得：x+3＝±，解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．18．解：原式＝?＝?＝（m﹣1）（m﹣3）＝m2﹣4m+3，∵m2﹣4m﹣7＝0，∴m2﹣4m＝7，∴原式＝7+3＝10．19．解：（1）①從中任意摸出1個球是黑球的概率為0，是不可能事件，是確定事件；②從中任意摸出1個球是白球的概率是，是隨機事件；③從中任意摸出1個球是紅球的概率是，是隨機事件；④從中任意摸出3個球，其中有紅球概率是1，是必然事件，是確定事件；故答案為：②③，①④，①②③④；（2）∵一個不透明的袋中裝有2個白球，3個紅球，又往袋中放入黑、白兩種球共4個，從中任意摸出1個球，摸到三種顏色的球的概率都相等，∴三種顏色的球的數(shù)量相等，∴放入的黑球個數(shù)為3，白球個數(shù)為1，故答案為：3，1．20．解：（1）設購買一個A型垃圾桶需x元，則購買一個B型垃圾桶需（x+30）元，由題意得：＝×2，解得：x＝50，經檢驗：x＝50是原方程的解，且符合題意，則x+30＝80，答：購買一個A型垃圾桶需50元，一個B型垃圾桶需80元．（2）設小區(qū)一次性購買y個A型垃圾桶，則購買（60﹣y）個B型垃圾桶，由題意得：50y+80（60﹣y）≤4000，解得：y≥27．答：最少要購買27個A型垃圾桶．21．解：（1）將點A（3，1）代入反比例函數(shù)y＝，得k2＝3×1＝3，∴反比例函數(shù)解析式：y＝，將點B（﹣1，n）代入y＝，得﹣n＝3，解得n＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），將點A，B代入一次函數(shù)y＝k1x+b，得，解得，∴一次函數(shù)解析式：y＝x﹣2．畫出反比例函數(shù)的圖象如圖：；（2）根據(jù)圖象可知，的x的取值范圍：x≥3或﹣1≤x＜0；（3）連接OA，如圖所示：根據(jù)題意可知，C與B關于原點對稱，∵B（﹣1，﹣3），∴C（1，3），∴S△AOC＝×2×（3+1）＝4，∴S△ABC＝2S△AOC＝8，∴△ABC的面積為8．22．解：過點B作BE⊥AB于點E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15米，∴CE＝BE×tan45°＝BE＝15米，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15米，∴AE＝BE×tan30°＝15×＝15（米）．∴教學樓AC的高度是AC＝AE+CE＝（15+15）（米）．答：教學樓AC的高度為（15+15）米．23．（1）解：如圖：過B作BF⊥AB，交CE于F，直線BF即為所求直線；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB，∵點D在以AB為直徑的圓上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BF為⊙O的切線，∴∠ABF＝90°，∵AB∥CE，∴∠BFC+∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC，在△BCD和△BCF中，，∴△BCD≌△BCF（AAS），∴BD＝BF．24．解：（1）“尺規(guī)作圖”補全圖形如圖：證明：如圖，連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，由旋轉知，AB＝AE，∴AE＝AD，∵AF平分∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS），∴EF＝DF；（2）①設∠EAB＝α，∵AB＝AE，∴∠AEB＝＝＝，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+α，∵AE＝AD，∴＝＝，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝＝45°；故答案為：45°；②，理由如下：如圖，連接DE、DB和DF，∵EF＝DF，∠DEB＝45°，∴△DEF為等腰直角三角形，∠EDF＝45°，∴DE：DF＝：1，∵四邊形ABCD為正方形，∴△BDC為等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，BD：CD＝：1，∴，∴∠EDF﹣∠BDF＝∠BDC﹣∠BDF，即∠EDB＝∠FDC，∴△DEB∽△DFC，∴，∴BE＝CF；（3）當CE為對角線時，如圖，此時，BE＝BA+AE＝6+6＝12；當CD為對角線時，如圖，連接DB，∵四邊形ABCD為邊長為6的正方形，∴BD＝，同（1）可證：△EAF≌△DAF，∴EF＝DF，∵AD＝AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∴，∴∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，同（2）②可證：△DEB∽△DFC，且，設DF＝EF＝x，則DE＝，∵四邊形DECF為平行四邊形，∴DE＝CF，∴BE＝CF＝DE＝＝2x，∴BF＝BE+EF＝2x+x＝3x，在Rt△DBF中，DF2+BF2＝BD2，∴，解得：或（舍去），∴BE＝2x＝．綜上，BE＝12或．25．解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴y＝﹣x