1.7.2整式的混合運(yùn)算

整式的混合運(yùn)算（2015?鹽城三模）把三張大小相同的正方形卡片A、B、C疊放在一個(gè)底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若按圖1擺放時(shí)，陰影部分的面積為S1；若按圖2擺放時(shí)，陰影部分的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．無(wú)法確定【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以把兩塊陰影部分合并后計(jì)算面積，然后，比較S1和S2的大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)底面的正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形卡片A，B，C的邊長(zhǎng)為b，由圖1，得S1=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，由圖2，得S2=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，∴S1=S2．故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形四條邊相等的性質(zhì)，分別得出S1和S2的面積是解題關(guān)鍵．（2014?鄂托克旗模擬）若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母互相替換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式、如在代數(shù)式a+b+c中，把a(bǔ)和b互相替換，得b+a+c；把a(bǔ)和c互相替換，得c+b+a；把b和c…；a+b+c就是完全對(duì)稱式、下列三個(gè)代數(shù)式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中為完全對(duì)稱式的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】由于將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母互相替換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，根據(jù)這個(gè)定義分別將①②③進(jìn)行替換，看它們都有沒有改變，由此即可確定是否完全對(duì)稱式．【解答】解：①∵（a﹣b）2=（b﹣a）2，∴①是完全對(duì)稱式；②ab+bc+ca中把a(bǔ)和b互相替換得ab+bc+ca，∴②是完全對(duì)稱式；③a2b+b2c+c2a中把a(bǔ)和b互相替換得b2a+a2c+c2b，和原來(lái)不相等，∴不是完全對(duì)稱式；故①②正確．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)閱讀材料題，考查了完全平方公式，難點(diǎn)在于讀懂題意，然后才能正確利用題意解決問題．（2013?寧波）7張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）的小長(zhǎng)方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（）A．a(chǎn)=b B．a(chǎn)=3b C．a(chǎn)=b D．a(chǎn)=4b【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出之差，根據(jù)差與BC無(wú)關(guān)即可求出a與b的關(guān)系式．【解答】解：左上角陰影部分的長(zhǎng)為AE，寬為AF=3b，右下角陰影部分的長(zhǎng)為PC，寬為a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，∴陰影部分面積之差S=AE?AF﹣PC?CG=3bAE﹣aPC=3b（PC+4b﹣a）﹣aPC=（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，則3b﹣a=0，即a=3b．解法二：既然BC是變化的，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合開始，然后BC向右伸展，設(shè)向右伸展長(zhǎng)度為X，左上陰影增加的是3bX，右下陰影增加的是aX，因?yàn)镾不變，∴增加的面積相等，∴3bX=aX，∴a=3b．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．（2012?開縣校級(jí)模擬）下列各式運(yùn)算：①﹣2x（x﹣3）=﹣2x2﹣6x，②（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，③（﹣2x﹣y）（2x﹣y）=4x2﹣y2，④（﹣a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式判斷①；利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式判斷②；先題負(fù)號(hào)，再利用平方差公式展開即可判斷③；利用完全平方公式判斷④．【解答】解：﹣2x（x﹣3）=﹣2x2+6x，所以①不正確；（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，所以②正確；（﹣2x﹣y）（2x﹣y）=﹣4x2+y2，所以③不正確；（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，所以④不正確．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算：先進(jìn)行乘方運(yùn)算，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算；有括號(hào)先算括號(hào)．（2011?順德區(qū)校級(jí)一模）有一個(gè)運(yùn)算程序，可以使：a⊕b=n（n為常數(shù)）時(shí)，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n+2，那么（a+2）⊕（b+1）=（）A．n+2 B．n+3 C．n+4 D．n+5【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)題意即可推出，a每增加1，結(jié)果增加1；b每增加1，結(jié)果增加2，所以（a+2）⊕（b+1）=n+1×2+1×2=n+4．【解答】解：∵a⊕b=n，（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n+2，∴a每增加1，結(jié)果增加1；b每增加1，結(jié)果增加2．∴（a+2）⊕（b+1）=n+1×2+2×1=n+4．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出a每增加1，結(jié)果增加1；b每增加1，結(jié)果增加2．（2009?臺(tái)州）若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，如a+b+c就是完全對(duì)稱式．下列三個(gè)代數(shù)式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全對(duì)稱式的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】在正確理解完全對(duì)稱式的基礎(chǔ)上，逐一進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)信息中的內(nèi)容知，只要任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，就是完全對(duì)稱式，則：①（a﹣b）2=（b﹣a）2；是完全對(duì)對(duì)稱式．故此選項(xiàng)正確．②將代數(shù)式ab+bc+ca中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，故ab+bc+ca是完全對(duì)稱式，ab+bc+ca中ab對(duì)調(diào)后ba+ac+cb，bc對(duì)調(diào)后ac+cb+ba，ac對(duì)調(diào)后cb+ba+ac，都與原式一樣，故此選項(xiàng)正確；③a2b+b2c+c2a若只ab對(duì)調(diào)后b2a+a2c+c2b與原式不同，只在特殊情況下（ab相同時(shí)）才會(huì)與原式的值一樣∴將a與b交換，a2b+b2c+c2a變?yōu)閍b2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全對(duì)稱式．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以①②是③不是故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是信息題，考查了學(xué)生讀題做題的能力．正確理解所給信息是解題的關(guān)鍵．（2009?江干區(qū)模擬）如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分是由四個(gè)半圓圍成的圖形，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】觀察圖形可知：陰影部分的面積=大圓的面積﹣小圓的面積，大圓的直徑=a，小圓的直徑=，再根據(jù)圓的面積公式求解即可．【解答】解：據(jù)題意可知：陰影部分的面積S=大圓的面積S1﹣小圓的面積S2，∵據(jù)圖可知大圓的直徑=a，小圓的直徑=，∴陰影部分的面積S=π（）2﹣π（）2=π（2ab﹣b2）．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生的觀察能力，只要判斷出兩圓的直徑，問題就迎刃而解．本題涉及到圓的面積公式、整式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，是整式的運(yùn)算與幾何相結(jié)合的綜合題．（2009?蕭山區(qū)模擬）有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，表中所列四種方案能拼成鄰邊長(zhǎng)分別是a+b和2a+b的矩形是（）卡片數(shù)量（張）（1）（2）（3）A121B231C111D213A．A B．B C．C D．D【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】先算出鄰邊長(zhǎng)分別是a+b和2a+b的矩形的面積，然后逐一驗(yàn)證四種方案哪種合適．【解答】解：由圖可知：（1）的面積為a×a=a2，（2）的面積為b×b=b2，（3）的面積為a×b=ab；要拼成的鄰邊長(zhǎng)分別是a+b和2a+b的矩形的面積為：（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2；因此拼成鄰邊長(zhǎng)分別是a+b和2a+b的矩形需要2個(gè)（1）卡片，1個(gè)（2）卡片和3個(gè)（3）卡片．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此類題可從圖形的面積入手進(jìn)行計(jì)算，然后找出合適的拼法．（2009?馬鞍山校級(jí)一模）受國(guó)際金融危機(jī)影響，我國(guó)的服裝業(yè)也受到?jīng)_擊，一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題是今年的服裝換季提前到來(lái)，為了減少庫(kù)存回籠資金，商場(chǎng)都采取了降價(jià)處理的策略，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)商場(chǎng)銷售同一品牌、同一價(jià)格、同一規(guī)格的某種服裝，三個(gè)商場(chǎng)的降價(jià)措施分別是：設(shè)p≠q，甲：第一次降價(jià)p%，第二次降價(jià)q%；乙：第二次降價(jià)p%，第一次降價(jià)q%；丙：兩次均降價(jià)%．假如你是消費(fèi)者，從節(jié)約資金的角度你應(yīng)該選擇的商場(chǎng)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題意可分別得出甲、乙、丙兩次降價(jià)后的售價(jià)的表達(dá)式，并進(jìn)行計(jì)算，再比較大小即可．【解答】解：設(shè)此種服裝的售價(jià)是x元，那么甲兩次降價(jià)后的售價(jià)=（1﹣p%）（1﹣q%）x；乙兩次降價(jià)后的售價(jià)=（1﹣q%）（1﹣p%）x；丙兩次降價(jià)后的售價(jià)=（1﹣%）2x，通過(guò)觀察可知甲=乙，而（1﹣p%）（1﹣q%）x=x=x；（1﹣%）2x=x，∵（p+q）2≥4pq，∴丙＞甲．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是計(jì)算出甲、乙、丙兩次降價(jià)后的售價(jià)．（2003?舟山）如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形地面，則每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是（）A．48cm，12cm B．48cm，16cm C．44cm，16cm D．45cm，15cm【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】可分別設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，根據(jù)圖中信息列出方程即可解答．【解答】解：可先設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm由圖中矩形的寬為60cm，可得出3y+y=60，解得y=15，由圖中還知：x+y=60，解得x=45．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算，要注意圖片中所表達(dá)出的信息，讀懂圖中給出的各邊的關(guān)系，然后再進(jìn)行解答．（2003?長(zhǎng)沙）下圖為小李家住房的結(jié)構(gòu)，小李打算把臥室和客廳鋪上木地板，請(qǐng)你幫他算一算，他至少應(yīng)買木地板（）A．12xym2 B．10xym2 C．8xym2 D．6xym2【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】根據(jù)圖中各邊長(zhǎng)的關(guān)系可知：客廳的長(zhǎng)和寬分別為：4y，2x；臥室的長(zhǎng)為2y，寬為4x﹣2x=2x．再分別計(jì)算客廳和臥室的面積，然后再求它們面積的和．【解答】解：由題意知，臥室面積為2x?2y=4xy，客廳面積2x?4y=8xy，∴4xy+8xy=12xym2．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式乘法在實(shí)際生活中的應(yīng)用．注意先分別計(jì)算客廳和臥室的面積，然后再求它們面積的和．（2003?山西）有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片表中所列四種方案能拼成邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形的是（）A．1，1，2 B．1，1，1 C．1，2，1 D．2，1，1【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；方案型．【分析】要拼成邊長(zhǎng)為a+b的正方形，可先求出其面積，然后逐一判斷四種方案中，哪種組合后面積正好等于所求面積．【解答】解：要拼成的邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形的面積是：（a+b）2=a2+b2+2ab；圖中所示（1）的面積為：a×a=a2；（2）的面積為：b×b=b2；（3）的面積為：a×b=ab；由上述分析可得出，拼成邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形需要（1）圖形1塊，（2）圖形1塊，（3）圖形2塊．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，立意較新穎，注意對(duì)此類問題的深入理解，本題只要讀懂題意，然后根據(jù)各圖形的面積即可找出其中的關(guān)系．（2002?南京）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a，分別以C，F(xiàn)為圓心，a為半徑畫弧，則圖中的陰影部分的面積是（）A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．πa2【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】本題考查了扇形面積公式，方法較新穎，注意陰影為兩個(gè)圓心角為120°的扇形．【解答】解：陰影為兩個(gè)圓心角為120°的扇形，扇形面積公式為S=，∴兩個(gè)扇形的面積為πa2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積公式，解決此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用扇形面積公式．然后根據(jù)公式運(yùn)算直接求出結(jié)果．（2001?天津）某商品原價(jià)為100元，現(xiàn)有下列四種調(diào)價(jià)方案，其中0＜n＜m＜100，則調(diào)價(jià)后該商品價(jià)格最低的方案是（）A．先漲價(jià)m%，再降價(jià)n% B．先漲價(jià)n%，再降價(jià)m%C．行漲價(jià)%，再降價(jià)% D．先漲價(jià)%，再降價(jià)%【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】解此題可將四個(gè)選項(xiàng)的內(nèi)容一一代入，然后比較大小即可．【解答】解：經(jīng)過(guò)計(jì)算可知A、100（1+m%）（1﹣n%）；B、100（1+n%）（1﹣m%）；C、100（1+%）（1﹣%）；D、100（1+%）（1﹣%）．∵0＜n＜m＜100，∴100（1+n%）（1﹣m%）最?。蔬xB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是整式的運(yùn)算，通過(guò)選項(xiàng)將數(shù)代入，然后比較大?。?001?河北）如圖，在矩形ABCD中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形．依照?qǐng)D中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中空白部分的面積，其面積是（）A．bc﹣ab+ac+c2 B．a(chǎn)b﹣bc﹣ac+c2 C．a(chǎn)2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2﹣ab【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；矩形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題中圖形，空白部分面積實(shí)際上是一個(gè)長(zhǎng)為（a﹣c），寬為（b﹣c）的新矩形，按照面積公式計(jì)算即可．【解答】解：本題中空白部分的面積=矩形ABCD的面積﹣陰影部分的面積．矩形ABCD的面積為：a×b=ab；陰影部分的面積為：a×c+b×c﹣c×c=ac+bc﹣c2；那么空白部分的面積就應(yīng)該為：ab﹣ac﹣bc+c2；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題要注意圖片給出的信息，要特別注意陰影中重疊部分的面積不要丟掉．（2014?臨淄區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在AB邊上．四邊形EFGB也為正方形，設(shè)△AFC的面積S為2．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)即可推出S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF，然后根據(jù)梯形、三角形的面積公式表示出陰影部分的面積，由CG=BC+BG，AB=BC=CD=AD，EF=FG=GB=BE，經(jīng)過(guò)等量代換后，即可推出陰影部分的面積．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形EFGB，∴AB=BC=CD=AD，EF=FG=GB=BE，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴S△AFC=S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF=×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×CG=×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×（BC+BG）=×FG2+FG+2﹣FG﹣×FG2=2．解法二：連接FB∵∠CAB=∠ABF=45°∴FB∥AC又∵△ABC和△AFC有同底AC且等高∴S△AFC=S△ABC=×2×2=2故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，梯形的面積、三角形的面積、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形推出S△AFC=S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF．（2013?南京）計(jì)算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的結(jié)果是．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；換元法．【分析】設(shè)a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，然后根據(jù)整式的乘法與加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，則原式=a（b+）﹣（a﹣）?b=ab+a﹣ab+b=（a+b），∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，∴原式=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，利用換元法可以使書寫更簡(jiǎn)便且形象直觀．（2013?蒙城縣校級(jí)模擬）定義運(yùn)算“@”的運(yùn)算法則為：x@y=xy﹣1，下面給出關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論：①（2@3）@（4）=19；②x@y=y@x；③若x@x=0，則x﹣1=0；④若x@y=0，則（xy）@（xy）=0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．（在橫線上填上你認(rèn)為所有正確的序號(hào)）【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；有理數(shù)的混合運(yùn)算；平方根．【專題】壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的算式，計(jì)算即可做出判斷．【解答】解：根據(jù)題意得：①（2@3）@（4）=5@4=20﹣1=19，本選項(xiàng)正確；②x@y=xy﹣1，y@x=yx﹣1，故x@y=y@x，本選項(xiàng)正確；③若x@x=x2﹣1=0，則x﹣1=0或x+1=0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④若x@y=xy﹣1=0，則（xy）@（xy）=x2y2﹣1=（xy+1）（xy﹣1）=0，本選項(xiàng)正確，則其中正確的結(jié)論序號(hào)有①②④．故答案為：①②④【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及平方根，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．（2013?天水）觀察下列運(yùn)算過(guò)程：S=1+3+32+33+…+32012+32013①，①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014②，②﹣①得2S=32014﹣1，S=．運(yùn)用上面計(jì)算方法計(jì)算：1+5+52+53+…+52013=．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；整體思想．【分析】首先根據(jù)已知設(shè)S=1+5+52+53+…+524+525①，再將其兩邊同乘5得到關(guān)系式②，②﹣①即可求得答案．【解答】解：設(shè)S=1+5+52+53+…+52013①，則5S=5+52+53+54…+52014②，②﹣①得：4S=52014﹣1，所以S=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，考查了學(xué)生的觀察與歸納能力．題目難度不大，解題時(shí)需細(xì)心．（2012?菏澤）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad﹣bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若，則x=2．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；解一元一次方程．【專題】壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)題中的新定義將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值．【解答】解：根據(jù)題意化簡(jiǎn)=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，屬于新定義的題型，涉及的知識(shí)有：完全平方公式，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)法則，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．（2012?仙桃）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB=1時(shí)，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時(shí)，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，△AME的面積記為S3；…當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】方法一：根據(jù)連接BE，則BE∥AM，利用△AME的面積=△AMB的面積即可得出Sn=n2，Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，即可得出答案．方法二：根據(jù)題意得出圖象，根據(jù)當(dāng)AB=n時(shí)，BC=1，得出Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，得出S與n的關(guān)系，進(jìn)而得出當(dāng)AB=n﹣1時(shí)，BC=2，Sn﹣1=n2﹣n+，即可得出Sn﹣Sn﹣1的值．【解答】解：方法一：連接BE．∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM，∴△AME與△AMB同底等高，∴△AME的面積=△AMB的面積，∴當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積記為Sn=n2，Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=．方法二：如圖所示：延長(zhǎng)CE與NM，交于點(diǎn)Q，∵線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），∴當(dāng)AB=n時(shí)，BC=1，∴當(dāng)△AME的面積記為：Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，=n（n+1）﹣×1×（n+1）﹣×1×（n﹣1）﹣×n×n，=n2，當(dāng)AB=n﹣1時(shí)，BC=2，∴此時(shí)△AME的面積記為：Sn﹣1=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，=（n+1）（n﹣1）﹣×2×（n+1）﹣×2×（n﹣3）﹣×（n﹣1）（n﹣1），=n2﹣n+，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n2﹣n+）=n﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形面積求法以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出正確圖形，得出S與n的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（2012?泰州）若代數(shù)式x2+3x+2可以表示為（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，則a+b的值是11．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2=3，∴a=5，∵b﹣a+1=2，∴b﹣5+1=2，∴b=6，∴a+b=5+6=11，故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)，根據(jù)已知得出x2+3x+2=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解題關(guān)鍵．（2012?綿陽(yáng)）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少5cm，寬增加2cm，就變成了一個(gè)正方形，并且這兩個(gè)圖形的面積相等，則原長(zhǎng)方形的面積為cm2．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；一元一次方程的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意可得（x+5）（x﹣2）=x2，解得x=，進(jìn)而可求面積．【解答】解：正方形的邊長(zhǎng)是xcm，則（x+5）（x﹣2）=x2，解得x=，∴S=x2=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是求出x．（2011?安徽）定義運(yùn)算a?b=a（1﹣b），下列給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾個(gè)結(jié)論：①2?（﹣2）=6；②a?b=b?a；③若a+b=0，則（a?a）+（b?b）=2ab；④若a?b=0，則a=0．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③．（把在橫線上填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；代數(shù)式求值．【專題】壓軸題；新定義．【分析】本題需先根據(jù)a?b=a（1﹣b）的運(yùn)算法則，分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算得出正確結(jié)果，最后判斷出所選的結(jié)論．【解答】解：∵a?b=a（1﹣b），①2?（﹣2）=6=2×[1﹣（﹣2）]=2×3=6故本選項(xiàng)正確；②a?b=a×（1﹣b）=a﹣abb?a=b（1﹣a）=b﹣ab，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③∵（a?a）+（b?b）=[a（1﹣a）]+[b（1﹣b}]=a﹣a2+b﹣b2，∵a+b=0，∴原式=（a+b）﹣（a2+b2）=0﹣[（a+b）2﹣2ab]=2ab，故本選項(xiàng)正確；④∵a?b=a（1﹣b）=0，∴a=0錯(cuò)誤．故答案為：①③【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，在解題時(shí)要根據(jù)所提供的公式是解題的關(guān)鍵．（2010?福田區(qū)校級(jí)自主招生）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義：，上述記號(hào)叫做2階行列式．若，則x=．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；解一元一次方程．【專題】壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)題中已知的新定義化簡(jiǎn)已知的方程，然后利用和與差的完全平方公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于x的一元二次方程，開方即可求出x的值．【解答】解：根據(jù)題意可知：=（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）=（x+1）2+（x﹣1）2=2x2+2=6，即x2=2，解得：x=或x=﹣．故答案為：±．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式的運(yùn)用，以及理解并運(yùn)用新定義的能力．熟記公式是解題的關(guān)鍵．（2007?資陽(yáng)）按程序x?平方?+x?÷x?﹣2x進(jìn)行運(yùn)算后，結(jié)果用x的代數(shù)式表示是1﹣x．（填入運(yùn)算結(jié)果的最簡(jiǎn)形式）【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；新定義．【分析】正確理解題中所給運(yùn)算程序，代入計(jì)算即可．【解答】解：程序表示的式子應(yīng)為：（x2+x）÷x﹣2x，=x（x+1）÷x﹣2x，=﹣x+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提取公因式法分解因式和多項(xiàng)式除單項(xiàng)式的運(yùn)算，根據(jù)題目信息列出算式是解題的關(guān)鍵．（2006?嘉興）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取n=26，則：若n=449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是8．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；新定義．【分析】解決此類問題的關(guān)鍵在于將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的數(shù)的有關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，只有轉(zhuǎn)化成功，才能有的放矢．【解答】解：本題提供的“F運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于n=449為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行F①運(yùn)算，即3×449+5=1352（偶數(shù)），需再進(jìn)行F②運(yùn)算，即1352÷23=169（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×169+5=512（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即512÷29=1（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×1+5=8（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即8÷23=1，再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×1+5=8（偶數(shù)），…，即第1次運(yùn)算結(jié)果為1352，…，第4次運(yùn)算結(jié)果為1，第5次運(yùn)算結(jié)果為8，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為1，第7次運(yùn)算結(jié)果為8，從第6次運(yùn)算結(jié)果開始循環(huán)，且奇數(shù)次運(yùn)算的結(jié)果為8，偶數(shù)次為1，而第499次是奇數(shù)，這樣循環(huán)計(jì)算一直到第449次“F運(yùn)算”，得到的結(jié)果為8．故本題答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算能力，既滲透了轉(zhuǎn)化思想、分類思想，又蘊(yùn)涵了次數(shù)、結(jié)果規(guī)律探索問題，檢測(cè)學(xué)生閱讀理解、抄寫、應(yīng)用能力．（2004?梅州）設(shè)，則乘積的結(jié)果中，最多有mn項(xiàng)．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題．【分析】所求乘積的最多項(xiàng)數(shù)由兩個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)的乘積來(lái)確定，而兩個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)分別是m、n，那么由此就可以確定結(jié)果的項(xiàng)數(shù)．【解答】解：∵中兩個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)分別為n，m，∴乘積的結(jié)果中最多有mn項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式的乘法，首先要讀懂題意，正確理解題目中的符號(hào)意義，然后才能求出結(jié)果．（2013?揚(yáng)州）如果10b=n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b=d（n），由定義可知：10b=n與b=d（n）所表示的b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；（2）勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=3（a為正數(shù)），若d（2）=0.3010，則d（4）=0.6020，d（5）=0.6990，d（0.08）=﹣1.0970；（3）如表中與數(shù)x對(duì)應(yīng)的勞格數(shù)d（x）有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)找出錯(cuò)誤的勞格數(shù)，說(shuō)明理由并改正．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；反證法．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)定義可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指數(shù)，據(jù)此即可求解；（2）根據(jù)d（a3）=d（a?a?a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）通過(guò)9=32，27=33，可以判斷d（3）是否正確，同理以依據(jù)5=10÷2，假設(shè)d（5）正確，可以求得d（2）的值，即可通過(guò)d（8），d（12）作出判斷．【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；故答案為：1，﹣2；（2）==3；因?yàn)閐（2）=0.3010故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970；（3）若d（3）≠2a﹣b，則d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，從而表中有三個(gè)勞格數(shù)是錯(cuò)誤的，與題設(shè)矛盾，∴d（3）=2a﹣b，若d（5）≠a+c，則d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，表中也有三個(gè)勞格數(shù)是錯(cuò)誤的，與題設(shè)矛盾．∴d（5）=a+c．∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是錯(cuò)誤的，應(yīng)糾正為：d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算，正確理解規(guī)定的新的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．（2013?廣東模擬）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2=﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．（1）填空：i3=﹣i，i4=1．（2）計(jì)算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值．（4）試一試：請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將化簡(jiǎn)成a+bi的形式．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】壓軸題；閱讀型；新定義．【分析】（1）根據(jù)i2=﹣1，則i3=i2?i，i4=i2?i2，然后計(jì)算；（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，出現(xiàn)i2，化簡(jiǎn)為﹣1計(jì)算；（3）把原式化簡(jiǎn)后，根據(jù)實(shí)部對(duì)應(yīng)實(shí)部，虛部對(duì)應(yīng)虛部列出方程，求得x，y的值；（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化為不含i的數(shù)后計(jì)算．【解答】解：（1）∵i2=﹣1，∴i3=i2?i=﹣1?i=﹣i，i4=i2?i2=﹣1?（﹣1）=1，（2）①（2+i）（2﹣i）=﹣i2+4=1+4=5；②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；（3）∵（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，∴x+y=1﹣x，3=﹣y，∴x=2，y=﹣3；（4）=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發(fā)現(xiàn)信息；（2）提煉信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）運(yùn)用規(guī)律，聯(lián)想遷移；（4）類比推理，解答問題．（2007?淄博）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2﹣○2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過(guò)程；（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來(lái)；（3）試由（1）、（2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求證明）【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；絕對(duì)值．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】（1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可．（2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可．（3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越?。窘獯稹拷猓海?）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02…（4分）例如，11×29；假設(shè)11×29=□2﹣○2，因?yàn)椤?﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92（2）這10個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a+b=40，a，b是自然數(shù)，則ab≤202=400．②若a+b=40，則ab≤202=400．…（8分）③若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則ab≤．④若a+b=m，則ab≤．⑤若a，b的和為定值，則ab的最大值為．⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．…（10分）⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．⑧若a+b=m，a，b差的絕對(duì)值越大，則它們的積就越?。f(shuō)明：給出結(jié)論①或②之一的得（1分）；給出結(jié)論③、④或⑤之一的得（2分）；給出結(jié)論⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．（2004?新疆）在密碼學(xué)中，你直接可以看到的內(nèi)容為明碼，對(duì)明碼進(jìn)行某種處理后得到的內(nèi)容為密碼．對(duì)于英文，人們將26個(gè)字母按順序分別對(duì)應(yīng)整數(shù)O到25，現(xiàn)有4個(gè)字母構(gòu)成的密碼單詞，記4個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為x1，x2，x3，x4．已知整數(shù)x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余數(shù)分別是9，16，23，12，請(qǐng)你通過(guò)推理計(jì)算破譯此密碼，寫出這個(gè)單詞，并寫出此單詞的漢語(yǔ)詞義（寫對(duì)漢語(yǔ)詞義加1分，不寫不扣分）．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)題意得出x4=若滿足上述條件，則k4=0x4=4對(duì)應(yīng)字母為e，將x4=4代入x3+2x4，得到x3=26k3+15，同理當(dāng)k3=O時(shí)，滿足O≤k3≤25故x3=15對(duì)應(yīng)字母為p，再依次求出x2=，x1=26k1﹣19，從而求出x1=7對(duì)應(yīng)字母為h．從而得出答案．【解答】解：由題意可得：其中k1，k2，k3，k4為非負(fù)整數(shù)，x1，x2，x3，x4均為大于等于0且小于等于25的整數(shù)，由④得x4=（26k2+12）/3若滿足上述條件，則k4=0x4=4對(duì)應(yīng)字母為e將x4=4代入③得x3=26k3+15同理當(dāng)k3=O時(shí)，滿足O≤k3≤25故x3=15對(duì)應(yīng)字母為p由②得：x2=，若滿足O≤x2≤25則k2=l故x2=14，對(duì)應(yīng)字母為O將x2=14代入①得x1=26k1﹣19同理當(dāng)后k1=1時(shí)滿足O≤x1≤25故x1=7對(duì)應(yīng)字母為h．∴此單詞為hope漢語(yǔ)詞義：希望【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，此題難度較大，做起來(lái)比較繁瑣．（2015?天水）定義運(yùn)算：a?b=a（1﹣b）．下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論：①2?（﹣2）=6，②a?b=b?a，③若a+b=0，則（a?a）+（b?b）=2ab，④若a?b=0，則a=0或b=1，其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；有理數(shù)的混合運(yùn)算．【專題】新定義．【分析】各項(xiàng)利用題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：根據(jù)題意得：2?（﹣2）=2×（1+2）=6，選項(xiàng)①正確；a?b=a（1﹣b）=a﹣ab，b?a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；（a?a）+（b?b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2=a+b﹣（a+b）2+2ab=2ab，選項(xiàng)③正確；若a?b=a（1﹣b）=0，則a=0或b=1，選項(xiàng)④正確，故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（2013?寧波）7張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）的小長(zhǎng)方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（）A．a(chǎn)=b B．a(chǎn)=3b C．a(chǎn)=b D．a(chǎn)=4b【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出之差，根據(jù)差與