2.5.1一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

第1頁(yè)（共26頁(yè)）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2016?曲靖一模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的兩根為α與β，則的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2015?衡陽(yáng)）若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為﹣1，則另一個(gè)根為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩根和，兩根積，即可求出a的值和另一根．【解答】解：設(shè)一元二次方程的另一根為x1，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．3．（2015?金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1?x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：x1?x2=﹣3．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．4．（2015?廣西）已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)以x1，x2為根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程進(jìn)行判斷即可．【解答】解：以x1，x2為根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以x1，x2為根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0是具體點(diǎn)關(guān)鍵．5．（2015?懷化）設(shè)x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的兩個(gè)根，則x12+x22的值是（）A．19 B．25 C．31 D．30【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得x1與x2的和與積，所求的代數(shù)式可以用兩根的和與積表示出來，即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．6．（2015?黔東南州）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩根，則x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2，x1?x2=﹣3，再變形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1?x2，然后利用代入計(jì)算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1?x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=22﹣2×（﹣3）=10．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．7．（2015?棗莊）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此題的關(guān)鍵．8．（2015?南充）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】壓軸題．【分析】①根據(jù)題意，以及根與系數(shù)的關(guān)系，可知兩個(gè)整數(shù)根都是負(fù)數(shù)；②根據(jù)根的判別式，以及題意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，進(jìn)而得解；③可以采用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答，據(jù)此即可得解．【解答】解：①兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，兩個(gè)根同號(hào)，由韋達(dá)定理有，x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，這兩個(gè)方程的根都為負(fù)根，①正確；②由根判別式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正確；③由根與系數(shù)關(guān)系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均為負(fù)整數(shù)，故（y1+1）?（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的根的判別式，有一定的難度，注意總結(jié)．9．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0兩根為x1、x2，則x1?x2=（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1?x2=的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0兩根為x1、x2，∴x1x2==3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確記憶根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．10．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）如果關(guān)于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣2＜a＜2 B． C． D．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【分析】根據(jù)方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一個(gè)正根，則方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即△≥0，關(guān)于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一個(gè)正根?（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的正根，（2）當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的根，①若方程的兩個(gè)根中只有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根或零根，②若方程有兩個(gè)正根，結(jié)合二次方程的根的情況可求．【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的正根時(shí)，△=0，此時(shí)a=±2，若a=2，此時(shí)方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合條件，若a=﹣2，此時(shí)方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）當(dāng)方程有兩個(gè)根時(shí)，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的兩個(gè)根中只有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根或零根，則有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣時(shí)不合題意，舍去．所以﹣＜a≤符合條件，②若方程有兩個(gè)正根，則，解可得a＞，綜上可得，﹣＜a≤2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用以及一元二次方程根的應(yīng)用，是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè)難度中等的題目．11．（2015?永春縣自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n為實(shí)數(shù)，則|m﹣|=（）A．0 B． C． D．0或【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】先分別解方程求m，n的值，再把m，n的值分別組合出不同的情形計(jì)算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．=，①當(dāng)m=﹣1，n=時(shí)，原式=；②當(dāng)m=﹣1，n=﹣1時(shí)，原式=0；③當(dāng)m=，n=時(shí)，原式=0；④當(dāng)m=，n=﹣1時(shí)，原式=．綜上所述，=0或．故答案為0或．【點(diǎn)評(píng)】此題因兩個(gè)字母都取兩個(gè)值，需討論不同的取值組合情況，考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，難度中等．12．（2015?懷化校級(jí)自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有實(shí)數(shù)根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】分類討論．【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的意義分類討論：當(dāng)x＞0時(shí)，原方程化為x2﹣2012x+2013=0；當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x2+2012x+2013=0，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系分別得到兩個(gè)方程的兩根之和，再求所有根之和．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，原方程化為x2﹣2012x+2013=0，方程的兩根之和為2012；當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x2+2012x+2013=0，方程的兩根之和為﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有實(shí)數(shù)根之和是0．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．13．（2015?湖北校級(jí)自主招生）14．（2015?武漢模擬）已知x1，x2是方程的兩根，則的值為（）A．3 B．5 C．7 D．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=，x1?x2=1；其次，對(duì)所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，變?yōu)楹袃筛?、兩根之積的形式的代數(shù)式；最后，代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程的兩根，∴x1+x2=，x1?x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1?x2=5﹣2=3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．15．（2015?寶雞校級(jí)模擬）若k＞1，關(guān)于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情況是（）A．有一正根和一負(fù)根 B．有兩個(gè)正根C．有兩個(gè)負(fù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【分析】根據(jù)根的判別式與0的關(guān)系判斷出根的情況，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)．【解答】解：方程的△=（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）=8k+9，∵k＞1，∴△＞17，故方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根．∴x1+x2=＞2，x1x2=＞，所以兩根為正根．故選B．【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．2、根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=，x1x2=．16．（2015?濰坊校級(jí)一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一個(gè)根是﹣2，則另一個(gè)根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=來求方程的另一個(gè)根．【解答】解：設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，得x1?x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一個(gè)根是﹣1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系．在利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣、x1?x2=時(shí)，要注意等式中的a、b、c所表示的含義．17．（2015?蘆溪縣模擬）18．（2015?紅河州一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的兩個(gè)根，則x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和即可．【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的兩個(gè)根是x1，x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)關(guān)系即韋達(dá)定理，兩根之和是﹣，兩根之積是．19．（2015?西湖區(qū)一模）△ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊分別是方程x2﹣6x+m=0的兩根，則m的取值范圍是（）A．m＞ B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)三角形另兩邊分別為a、b（a≥b），先利用判別式的意義得到m≤9，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，則利用完全平方公式變形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范圍是＜m≤9．【解答】解：設(shè)三角形另兩邊分別為a、b（a≥b），根據(jù)題意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范圍是＜m≤9．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了三角形三邊的關(guān)系．20．（2015?峨邊縣模擬）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．13【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值．【分析】根據(jù)x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的兩個(gè)實(shí)根，由△≥0即可求出k的取值范圍，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解答】解：由方程有實(shí)根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1?x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，當(dāng)k=﹣4時(shí)，x12+x22取最大值18．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)△≥0先求出k的取值范圍再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．21．（2015?遵義模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分別是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．22．（2015?宜昌模擬）設(shè)方程x2﹣5x﹣1=0的兩個(gè)根是x1和x2，則x1+x2﹣x1x2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系式求得x1+x2=5，x1x2=﹣1，再整體代入即可求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣1=0的兩個(gè)根∴x1+x2=5，x1x2=﹣1∴x1+x2﹣x1x2=5+1=6．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．要掌握根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23．（2015?泗洪縣校級(jí)模擬）設(shè)a，b是方程x2﹣x﹣2013=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+3b﹣2的值為（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求a+b的值，再把a(bǔ)的值代入原方程可求a2=a+2010，然后把a(bǔ)2的值整體代入所求代數(shù)式，再提取公因數(shù)3，最后把a(bǔ)+b的值代入計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：a+b=﹣=1，把a(bǔ)的值代入方程可得a2﹣a﹣2013=0，∴a2=a+2013，∴a2+2a+3b﹣2=3a+2013+3b﹣2=2013+3（a+b）﹣2=2013+3×1﹣2=2016﹣2=2014．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是把a(bǔ)的值代入原方程，求出a2，注意對(duì)所求式子化簡(jiǎn)24．（2015?虎林市校級(jí)二模）已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的兩根，那么+的值為（）A． B． C．﹣ D．﹣【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)，由一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系求得兩根之積與兩根之和，代入數(shù)值計(jì)算即可【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的兩根為a，b，∴a+b=3，ab=﹣2，∴=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)，注意若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．25．（2015?彭州市校級(jí)模擬）已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且+﹣2的值為整數(shù)，則整數(shù)k的最大值為（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2與x1x2，將+﹣2通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，利用完全平方公式變形后，把表示出x1+x2與x1x2代入，整理后根據(jù)此式子的值為整數(shù)，即可求出實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=1，x1x2=，且16k2﹣16k（k+1）≥0，即k＜0∴+﹣2=﹣2=﹣2=，由此式子的值為整數(shù)，得到k=﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3．則整數(shù)k的最大值為﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．26．（2015?拱墅區(qū)一模）下列各項(xiàng)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．二元一次方程x+2y=2的解可以表示為（m是實(shí)數(shù)）B．若是二元一次方程組的解，則m+n的值為0C．設(shè)一元二次方程x2+3x﹣4=0的兩根分別為m、n，則m+n的值為﹣3D．若﹣5x2ym與xny是同類項(xiàng)，則m+n的值為3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；同類項(xiàng)；二元一次方程的解；二元一次方程組的解．【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義判斷A；先根據(jù)二元一次方程組的解的定義，把代入，求出m、n的值，再代入m+n，計(jì)算即可判斷B；由根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷C；先根據(jù)同類項(xiàng)的定義求出m、n的值，再代入m+n，計(jì)算即可判斷D．【解答】解：A、把x=m代入x+2y=2，得y=1﹣，所以二元一次方程x+2y=2的解可以表示為（m是實(shí)數(shù)），故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、把代入，得，解得，則m+n=﹣1﹣1=﹣2≠0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、設(shè)一元二次方程x2+3x﹣4=0的兩根分別為m、n，則m+n=﹣3，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、若﹣5x2ym與xny是同類項(xiàng)，則m=1，n=2，所以m+n=3，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了二元一次方程的解、二元一次方程組的解以及同類項(xiàng)的定義．27．（2015?港南區(qū)一模）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2﹣mn+3m+n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解的定義得出m+n=﹣2，m?n=﹣5，m2=5﹣2m，再將m2﹣mn+3m+n變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，∴m2=5﹣2m，∴m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解的定義，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．28．（2015?徐州模擬）已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式x1?x2﹣x1﹣x2的值是（）A．11 B．﹣1 C．﹣11 D．1【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=5，x1?x2=﹣6，然后整體代值計(jì)算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=5，x1?x2=﹣6，∴x1?x2﹣x1﹣x2=﹣6﹣5=﹣11，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=，此題使用整體代值計(jì)算，難度不大．29．（2015?南寧校級(jí)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β滿足+=1，則m的值為（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，代入+=1求出m=﹣3，m=1，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，∵+=1，∴=1，∴=1，m=﹣3，m=1，把m=﹣3代入方程得：x2﹣9x+9=0，△=（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此時(shí)方程有解；把m=1代入方程得：x2﹣x+1=0，△=（﹣1）2﹣4×1×1＜0，此時(shí)方程無解，即m=1舍去；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．30．（2015?孝南區(qū)三模）若一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別是數(shù)據(jù)2，4，5，4，3，5，5的眾數(shù)和中位數(shù)，則這個(gè)方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2﹣9x+20=0 D．x2+9x+20=0【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；中位數(shù)；眾數(shù)．【分析】將已知數(shù)據(jù)從小到大順序排列：2，3，4，4，5，5，5；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求出眾數(shù)和中位數(shù)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系造出方程即可．共7【解答】解：將已知數(shù)據(jù)從小到大順序排列，得：2，3，4，4，5，5，5；共7個(gè)數(shù)據(jù)，處于中間的數(shù)據(jù)是第4個(gè)數(shù)據(jù)4，出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是5，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，眾數(shù)是5，以4，5為根的一元二次方程是x2﹣9x+20=0，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了眾數(shù)，中位數(shù)的概念，根與系數(shù)的關(guān)系，掌握眾數(shù)和中位數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．1．（2015?溫州模擬）已知p、q為方程的兩根，則代數(shù)式的值為（）A．16 B．±4 C．4 D．5【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到p+q=2，pq=﹣2，再利用完全平方根是變形得到=，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得p+q=2，pq=﹣2，所以===4．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2015?高密市校級(jí)模擬）設(shè)a、b是方程x2﹣12x+9=0的兩個(gè)根，則等于（）A．18 B． C． D．±【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=12，ab=9，再計(jì)算（+）2的值，然后利用算術(shù)平方公式的定義求解．【解答】解：根據(jù)題意得a+b=12，ab=9，所以（+）2=a+b+2=12+2×=18，而+＞0，所以+==3．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2015?武進(jìn)區(qū)一模）已知一元二次方程x2﹣6x﹣c=0有一個(gè)根為2，則另一個(gè)根為（）A．2 B．3 C．4 D．﹣8【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】設(shè)另一個(gè)根為s，根據(jù)兩根系數(shù)關(guān)系可知s+2=6，求出s的值即可求出．【解答】解：∵方程x2﹣6x﹣c=0有一個(gè)根為2，∴設(shè)另一個(gè)根為s，則有s+2=6，∴s=4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．4．（2015?安岳縣一模）若α、β是方程x2﹣4x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+β2的值為（）A．30 B．26 C．10 D．6【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=4，αβ=﹣5，再利用完全平方公式變形得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意得α+β=4，αβ=﹣5，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=42﹣2×（﹣5）=26．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．5．（2015?贛州模擬）已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根，則a2b+ab2的值是（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．6．（2015?丹陽(yáng)市一模）已知方程x2+mx+n=0的兩根為x1、x2（x1＜x2），方程x2+mx+n﹣1=0的兩根為x3、x4（x3＜x4），則下列關(guān)系一定成立的是（）A．x1＜x2＜x3＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x3＜x4＜x1＜x2 D．x3＜x1＜x2＜x4【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=x3+x4=﹣m，x1x2=n＞x3x4=n﹣1，再根據(jù)如果兩個(gè)數(shù)的和一定，那么它們的差越大積越小即可得到x3＜x1＜x2＜x4．【解答】解：∵方程x2+mx+n=0的兩根為x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=﹣m，x1x2=n，∵方程x2+mx+n﹣1=0的兩根為x3、x4（x3＜x4），∴x3+x4=﹣m，x3x4=n﹣1，∴x1+x2=x3+x4=﹣m，x1x2=n＞x3x4=n﹣1，∴x3＜x1＜x2＜x4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．本題還可以利用求根公式分別求出x1、x2、x3、x4的值，再比較大?。?．（2015?云南模擬）已知方程x2+x﹣3=0，則下列說法中，正確的是（）A．方程兩根之和是1 B．方程兩根之積是3C．方程兩根之平方和是7 D．方程兩根倒數(shù)之和是3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，即可做出判斷．【解答】解：∵方程x2+x﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，則x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=1+6=7，+==，故選C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．8．（2015?平南縣一模）一元二次方程x2+px=2的兩根為x1，x2，且x1=﹣2x2，則p的值為（）A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，將x1=﹣2x2代入，即可求出p的值．【解答】解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的兩根為x1，x2，∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，又x1=﹣2x2，∴x2=±1，當(dāng)x2=1時(shí)，x1=﹣2，p=1；當(dāng)x2=﹣1時(shí)，x1=2，p=﹣1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．9．（2015?乳山市一模）如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的兩個(gè)根，那么a3b﹣2a2b的值為（）A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到ab=﹣4，再把原式表示得到原式=a2?ab﹣2a?ab，利用整體代入的方法可化簡(jiǎn)得到原式=﹣4a2+8a，接著根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2=2a+4，然后再次利用整體代入的方法計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意，ab=﹣4，所以原式=a2?ab﹣2a?ab=﹣4a2﹣2a?（﹣4）=﹣4a2+8a，∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的根，∴a2﹣2a﹣4=0，即a2=2a+4，∴原式=﹣4（2a+4）+8a=﹣8a﹣16+8a=﹣16．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的定義．10．（2015?濰坊二模）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（）A． B． C．1 D．﹣1【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的定義．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=0代入原方程求得a的值，然后通過根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=求得方程的另一個(gè)根．【解答】解：根據(jù)題意，得a2﹣1=0，且a+1≠0解得a=1；設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的另一個(gè)根為x2，則0+x2=﹣，解得x2=﹣．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義．解答關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的另一個(gè)根時(shí)，也可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣解答．11．（2015?江陽(yáng)區(qū)二模）12．（2015秋?濟(jì)寧校級(jí)期末）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，則這個(gè)方程根的情況是（）A．有兩個(gè)正根B．有兩個(gè)負(fù)根C．有一正根一負(fù)根且正根絕對(duì)值大D．有一正根一負(fù)根且負(fù)根絕對(duì)值大【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【分析】根據(jù)根的判別式△=b2﹣4ac的符號(hào)，就可判斷出一元二次方程的根的情況；由根與系數(shù)的關(guān)系可以判定兩根的正負(fù)情況．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根異號(hào)，正根的絕對(duì)值較大．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．13．設(shè)方程x+=2005的兩根為a、b，則代數(shù)式a（）的值是（）A．2004 B．2005 C．2006 D．2007【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；分式方程的解．【分析】先把給出的方程進(jìn)行變形，根據(jù)a、b是方程x+=2005的兩個(gè)根，得出b2=2005b﹣1和ab=1，再把要求的式子a（）變形為a?，然后代值計(jì)算即可．【解答】解：∵x+=2005，∴x2﹣2005x+1=0，∵b方程x+=2005的一個(gè)根，∴b2﹣2005b+1=0，∴b2=2005b﹣1，∵ab=1，∴a（）=a?=a（1+b+2005b﹣1）=2006ab=2006；故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．14．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，c=5，兩直角邊a，b關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的兩個(gè)根，則Rt△ABC中較小的銳角的正弦值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得m的值后，再求得方程的解，求出較小銳角的正弦值．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2=0的解，∴a+b=m，ab=2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，而a2+b2=（a+b）2﹣2ab，c=5，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=25，即：m2﹣2（2m﹣2）=25解得，m1=7，m2=﹣3，∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)．∴a+b=m＞0，m=﹣3不合題意，舍去．∴m=7，當(dāng)m=7時(shí)，原方程為x2﹣7x+12=0，解得，x1=3，x2=4，不妨設(shè)a=3，則sinA==，∴Rt△ABC中較小銳角的正弦值為．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義，難度較大，主要掌握利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，正弦的概念求解．15．已知方程x2+nx﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根分別為α、β，則+的值為（）A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】把+化為求解即可．【解答】解：∵方程x2+nx﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根分別為α、β，∴α+β=﹣n，αβ=﹣1∴+====﹣n2﹣2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是+化為．16．方程x2+（m﹣3）x+m+4=0兩實(shí)數(shù)根的平方和為10，以兩根為鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)是（）A．8 B．10 C．12 D．14【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】利用方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，得出等式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于m的等式方程，進(jìn)而求出即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+（m﹣3）x+m+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根平方和為10，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（m﹣3）2﹣2×（m+4）=10，解得：m1=﹣1，m2=9．當(dāng)m=﹣1時(shí)，△＞0，原方程無解；當(dāng)m=9時(shí)，△＜0，原方程無解；∴x1+x2=4，則以兩根為鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)是2×4=8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解法，得出關(guān)于m的等式是解題關(guān)鍵．17．若關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+4m﹣1的兩根互為相反數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m= B．m＞﹣且m≠0C．m＞ D．這樣的m不存在【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的定義．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件得出=0且m≠0，4m+1=0，再求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+4m﹣1的兩根互為相反數(shù)，∴=0且m≠0，解得：m=﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=．也考查了本題考查了一元二次方程的意義．18．若方程x2+3x+1=0的兩個(gè)根分別是x1，x2，則x12x2+x1x22為（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=﹣3，x1x2=1，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+3x+1=0的兩個(gè)根分別是x1，x2，∴x1+x2=﹣3，x1x2=1，則原式=x1x2（x1+x2）=﹣3，故選B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩根，則α2+β2的值等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即要可．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩根，∴α+β=﹣2，α?β=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2α?β=4+2=6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記根與系數(shù)的關(guān)系式．20．已知m，n是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)s1=m+n，s2=m2+n2，s3=m3+n3，…，s100=m100+n100，…，則as2011+bs2010+cs2009的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2011【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意得s2011=m2011+n2011，s2010=m2010+n2010，s2009=m2009+n2009，根據(jù)冪的運(yùn)算得到as2011+bs2010+cs2009=m2009（am2+bm+c）+n2009（an2+bn+c），再根據(jù)方程解得定義得到am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，所以as2011+bs2010+cs2009=0．【解答】解：∵s2011=m2011+n2011，s2010=m2010+n2010，s2009=m2009+n2009，∴as2011+bs2010+cs2009=a（m2011+n2011）+b（m2010+n2010）+c（m2009+n2009）=m2009（am2+bm+c）+n2009（an2+bn+c），∵m，n是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，∴as2011+bs2010+cs2009=m2009×0+n2009×0=0．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．也考查了冪的運(yùn)算和一元二次方程的解的定義．21．已知p是實(shí)數(shù)，若a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+p﹣1=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則（a﹣1）（b﹣1）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．﹣1【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【分析】根據(jù)方程根的判別式，可得p的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得ab，（a+b）的值，根據(jù)p的取值范圍，可得答案．【解答】解：由x的一元二次方程x2﹣2x+p﹣1=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，得，解得1≤p≤2，a+b=2，ab=p﹣1．（a﹣1）（b﹣1）=﹣（a+b）+ab+1=﹣2+p﹣1+1當(dāng)p=1時(shí)，a﹣1）（b﹣1）=﹣2+1﹣1+1=﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用根的判別式、根是非負(fù)數(shù)得出不等式組是解題關(guān)鍵，又利用了根與系數(shù)的關(guān)系．22．已知x12+ax1+b=0，x22+ax2+b=0，則（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）=（）A．a(chǎn)3+ab B．﹣a3+3ab C．a(chǎn)3﹣3ab D．﹣a3﹣ab【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)完全平方公式，可轉(zhuǎn)化成兩根之和、兩根之積的關(guān)系，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得答案．【解答】解：由題意，得x1，x2是關(guān)于x得一元二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=﹣a，x1?x2=b．則（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]=﹣a[（﹣a）2﹣3b]=﹣a3+3ab．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用了根與系數(shù)的關(guān)系．23．下列四個(gè)說法：①方程x2+2x﹣7=0的兩根之和為﹣2，兩根之積為﹣7；②方程x2﹣2x+7=0的兩根之和為﹣2，兩根之積為7；③方程3x2﹣7=0的兩根之和為0，兩根之積為﹣；④方程3x2+2x=0的兩根之和為﹣2，兩根之積為0；其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)判別式的意義和根與系數(shù)的關(guān)系分別進(jìn)行判斷．【解答】解：方程x2+2x﹣7=0的兩根之和為﹣2，兩根之積為﹣7，所以（1）正確；方程x2﹣2x+7=0沒有實(shí)數(shù)根，所以（2）錯(cuò)誤；方程3x2﹣7=0的兩根之和為0，兩根之積為﹣，所以（3）正確；方程3x2+2x=0的兩根之和為﹣，兩根之積為0，所以（4）錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了判別式的意義．24．已知ab≠0，方程ax2+bx+c=0的系數(shù)滿足（）2=ac，則方程的兩根之比為（）A．0：1 B．1：1 C．1：2 D．2：3【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先整理（）2=ac，得出b2﹣4ac=0，判斷方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由此得出兩個(gè)根的比即可．【解答】解：∵ab≠0，方程ax2+bx+c=0的系數(shù)滿足（）2=ac，∴b2﹣4ac=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則方程的兩根之比為1：1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．25．下列命題：①若b=2a+c，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根為﹣2；②若ac＜0，則方程cx2+bx+a=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；③若x1，x2是方程x2﹣x+1=0的兩根，則x1+x2=1，x1?x2=1．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解；根的判別式．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式對(duì)②③進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)x=﹣2時(shí)，4a﹣2b+c=0，則b=2a+c，所以①正確；，由于ac＜0，則△=b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以②正確；方程x2﹣x+1=0的判別式△=1﹣4=﹣3＜0，方程沒有實(shí)數(shù)解，所以③錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．