2.7.9二次根式的混合運算

二次根式的混合運算（2010?山東模擬）觀察下列計算：?（+1）=（﹣1）（+1）=1，（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，…從以上計算過程中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律進行計算：（+++…+）（+1）的值為（）A．2008 B．2010 C．2011 D．2009【考點】二次根式的混合運算．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】從題中可以得到（+++…+）（+1）=n．【解答】解：由題意得：（+++…+）（+1）=2009．故選D．【點評】本題考查了歸納整理，尋找規(guī)律的能力．發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1997?福州）﹣（2﹣）0+2cos45°﹣3tan30°．【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；壓軸題．【分析】分別進行分母有理化、零指數(shù)冪的運算，然后代入特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．【解答】解：原式=﹣1+2×﹣3×=﹣﹣1+﹣=﹣1．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握分母有理化及零指數(shù)冪的運算．（2008?蕪湖）估計的運算結(jié)果應(yīng)在（）A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間【考點】二次根式的混合運算；估算無理數(shù)的大小．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先進行二次根式的運算，然后再進行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式運算的結(jié)果在8到9之間；故選C．【點評】本題考查了無理數(shù)的近似值問題，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．計算：=（）A．2+ B． C． D．【考點】二次根式的混合運算．【專題】壓軸題．【分析】首先把分子中的被開方數(shù)寫成（2+）2的形式，首先進行開方運算，然后進行分母有理化即可求解．【解答】解：原式==2+．故選A．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，正確對分母中的被開方數(shù)進行變形是關(guān)鍵．（2012?洛陽二模）如圖，有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器：當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y=2．【考點】二次根式的混合運算．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】把64按給出的程序逐步計算即可．【解答】解：由題中所給的程序可知：把64取算術(shù)平方根，結(jié)果為8，因為8是有理數(shù)，所以再取算術(shù)平方根，結(jié)果為2為無理數(shù)，故y=2．【點評】此類題目比較簡單，解答此類題目的關(guān)鍵是弄清題目中所給的運算程序．（2012?山西模擬）若規(guī)定符號“*”的意義是a*b=ab﹣b2，則2*（）的值是4﹣5．【考點】二次根式的混合運算．【專題】壓軸題；新定義．【分析】先理解“*”的意義，然后將2*（）表示出來計算即可．【解答】解：由題意得：2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．故答案為：4﹣5．【點評】本題考查二次根式的混合運算，難度不大，注意理解“*”的意義．（2011?涼山州）已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a+b=2.5．【考點】二次根式的混合運算；估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】計算題；壓軸題．【分析】只需首先對估算出大小，從而求出其整數(shù)部分a，其小數(shù)部分用﹣a表示．再分別代入amn+bn2=1進行計算．【解答】解：因為2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化簡得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式兩邊相對照，因為結(jié)果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案為：2.5．【點評】本題主要考查了無理數(shù)大小的估算和二次根式的混合運算．能夠正確估算出一個較復(fù)雜的無理數(shù)的大小是解決此類問題的關(guān)鍵．（2010?祁門縣校級模擬）計算=1+．【考點】二次根式的混合運算；平方差公式；零指數(shù)冪．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)平方差公式求出（2﹣）（2+），然后進行冪的運算，即可得出答案．【解答】解：={（2﹣）（2+）}2008（2+）﹣1=2+﹣1=1+．故答案為：1+．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式和零指數(shù)冪的知識，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵掌握二次根式的混合運算法則和非0數(shù)的0指數(shù)冪都等于1．（2004?鼓樓區(qū)校級自主招生）我們規(guī)定運算符號?的意義是：當(dāng)a＞b時，a?b=a+b；當(dāng)a≤b時，a?b=a﹣b，其它運算符號意義不變．按上述規(guī)定，計算結(jié)果為2．【考點】二次根式的混合運算；估算無理數(shù)的大小．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)給出的法則進行計算，一定要先比較兩個數(shù)的大小．【解答】解：，=+﹣（1﹣+），=+﹣1+﹣，=2．故答案為：2．【點評】本題是一個新定義的題目，考查了二次根式的混合運算，注，解題的關(guān)鍵是比較兩個數(shù)的大?。?000?杭州）計算：=．【考點】二次根式的混合運算．【專題】壓軸題．【分析】先通分，再分母有理化計算．【解答】解：原式====．故本題答案為：．【點評】本題要注意運算順序．分母有理化是根據(jù)平方差公式使分母不含二次根式．（2011?瀘州模擬）計算：．【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)零指數(shù)，負指數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值以及算術(shù)平方根、完全平方公式進行計算即可．【解答】解：原式=2+3﹣1﹣2×1+=4﹣2++1=3+．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，零指數(shù)，負指數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值以及算術(shù)平方根、完全平方公式等知識點是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．（1998?東城區(qū)）計算：+（2﹣）0﹣2﹣1+||【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．【專題】計算題；壓軸題．【分析】零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪以及分母有理化得到原式=﹣﹣1+1﹣+﹣，然后合并同類二次根式．【解答】解：原式=﹣﹣1+1﹣+﹣=﹣．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪．（1998?黃岡）．【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值得到原式=5+﹣﹣，然后進行分母有理化后合并即可．【解答】解：原式=5+﹣﹣=5+﹣1﹣5﹣=﹣1．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值．（1998?海淀區(qū)）計算：．【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)分母有理化和零指數(shù)冪的意義得到原式=2+﹣3﹣1，然后合并同類二次根式．【解答】解：原式=2+﹣3﹣1=1﹣2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪．（1998?北京）計算；．【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值得到原式=2++﹣1，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式=2++﹣1=1+2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值．（1997?海淀區(qū)）計算：+﹣（+1）0．【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)冪．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義和分母有理化得到原式=+1+2﹣1，然后合并同類二次根式．【解答】解：原式=+1+2﹣1=3．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪．（2015春?泗陽縣期末）下列運算正確的是（）A．2+4=6 B．=4 C．?=3 D．=﹣3【考點】二次根式的混合運算．【分析】A：根據(jù)二次根式的加法運算法則計算即可．B：根據(jù)算術(shù)平方根的計算方法計算即可．C：根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算即可．D：根據(jù)算術(shù)平方根的計算方法計算即可．【解答】解：∵2+4≠6，∴選項A不正確；∵，∴選項B不正確；∵，∴選項C正確；∵，∴選項D不正確．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”．（2015秋?商河縣校級期中）若，那么a2﹣ab+b2的值為（）A． B． C． D．【考點】二次根式的混合運算．【分析】由已知條件求得a+b=，ab=，根據(jù)a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab，代值計算．【解答】解：由已知得a+b=，ab=，∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=（）2﹣3×=．故選A．【點評】本題考查了二次根式的代值計算問題，關(guān)鍵是先求出a+b、ab的值，再將所求代數(shù)式變形為a+b、ab的結(jié)構(gòu)，代值計算．（2015春?東莞校級月考）下列計算正確的是（）A． B．C． D．【考點】二次根式的混合運算．【分析】A：根據(jù)根式加法的運算方法計算即可．B：根據(jù)根式除法的運算方法計算即可．C：根據(jù)根式加法的運算方法計算即可．D：根據(jù)二次根式的化簡方法判斷即可．【解答】解：∵，∴選項A不正確；∵，∴選項B正確；∵3，∴選項C不正確；∵，∴選項D不正確．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，要熟練掌握，二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”．（2014秋?平和縣校級期中）下列運算正確的是（）A．= B．=﹣ C．= D．=【考點】二次根式的混合運算．【分析】利用根式的性質(zhì)化簡，判定即可．【解答】解：A、不是同類項不能相加減，故本選項錯誤．B、=﹣，故本選項錯誤．C、=，故本選項正確．D、=，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟記根式的化簡．（2012春?富陽市校級期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【考點】二次根式的混合運算．【分析】根據(jù)二次根式的加減運算即可求得正確答案．【解答】解：A、=﹣1，故此選項錯誤；B、3﹣2=，故此選項錯誤；C、﹣6+=﹣5，故此選項正確；D、=7，故此選項錯誤．故選C．【點評】此題考查了二次根式的運算與化簡．題目比較簡單，注意要細心．（2008?蕪湖）估計的運算結(jié)果應(yīng)在（）A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間【考點】二次根式的混合運算；估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】計算題；壓軸題．【分析】先進行二次根式的運算，然后再進行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式運算的結(jié)果在8到9之間；故選C．【點評】本題考查了無理數(shù)的近似值問題，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．已知實數(shù)x，y滿足（x﹣）（y﹣）=2008，則3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007的值為（）A．﹣2008 B．2008 C．﹣1 D．1【考點】二次根式的混合運算．【分析】首先分別將x﹣與y﹣看作整體，即可求得：x﹣=y+，y﹣=x+，則可得x=y，則由完全平方式即可求得x2的值，則代入原式即可求得答案．【解答】解：∵（x﹣）（y﹣）=2008，∴x﹣==y+，y﹣==x+，由以上兩式可得x=y．∴=2008，解得：x2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3x2﹣2x2+3x﹣3x﹣2007=x2﹣2007=1．故選D．【點評】此題考查了分母有理化與分式的運算．此題有一定難度，解題時要注意整體思想的應(yīng)用．（2015?濱州）計算（+）（﹣）的結(jié)果為﹣1．【考點】二次根式的混合運算．【分析】根據(jù)平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的結(jié)果為多少即可．【解答】解：（+）（﹣）==2﹣3=﹣1∴（+）（﹣）的結(jié)果為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】（1）此題主要考查了二次根式的混合運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看“多項式”．（2）此題還考查了平方差公式的應(yīng)用：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，要熟練掌握．（2015?南京二模）計算（﹣）×的結(jié)果是2．【考點】二次根式的混合運算．【分析】根據(jù)二次根式的混合運算順序，首先計算小括號里面的，然后計算乘法，求出算式（﹣）×的結(jié)果是多少即可．【解答】解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的結(jié)果是2．故答案為：2．【點評】（1）此題主要考查了二次根式的混合運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”．（2）此題還考查了平方根的性質(zhì)和計算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．（2014春?閘北區(qū)期中）計算：（3+）2×（3﹣）2=49．【考點】二次根式的混合運算．【分析】根據(jù)（ab）n=anbn，可得（3+）2×（3﹣）2=[（3+）×（3﹣）]2，據(jù)此求出算式（3+）2×（3﹣）2的值是多少即可．【解答】解：（3+）2×（3﹣）2=[（3+）×（3﹣）]2=[]2=72=49．故答案為：49．【點評】（1）此題主要考查了二次根式的混合運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”．（2）此題還考查了積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）．（2011春?濱?？h校級期中）計算=﹣1．【考點】二次根式的混合運算．【專題】計算題．【分析】首先將（1﹣）2012化為（1﹣）2011（1﹣），然后利用積的乘方與平方差公式計算出（1+）2011（1﹣）2011的結(jié)果，則問題得解．【解答】解：（1+）2011（1﹣）2012=（1+）2011（1﹣）2011（1﹣）=[（1+）（1﹣）]2011（1﹣）=﹣（1﹣）=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題考查了二次根式的混合運算．注意運算方法的選擇是解題的關(guān)鍵，此題需要逆用積的乘方公式．（2010?溫州校級自主招生）已知，且0＜x＜y，則滿足上式的整數(shù)對（x，y）有3組．【考點】二次根式的混合運算．【專題】綜合題．【分析】把已知等式的右邊化為最簡二次根式后得到7，則與化為最簡二次根式后被開方數(shù)為41，可設(shè)=a，=b，化簡后根式的系數(shù)和為7，因為x小于y且都為整數(shù)，所以得到a與b也為整數(shù)，且a小于b，根據(jù)和為7的正整數(shù)只有3對即為1和6，2和5，3和4，所以得到滿足題意的整數(shù)對有3組．【解答】解：∵，∴，∵0＜x＜y且x、y均為整數(shù)，故設(shè)，，∴a+b=7，且a＜b，∴，，，∴所求的整數(shù)對為（41，1476），（164，1025），（369，656）共3組．故答案為：3【點評】此題學(xué)生掌握最簡二次根式的定義及合并同類二次根式的方法，是一道中檔題．（2006秋?蒼溪縣校級期中）計算的值是1．【考點】二次根式的混合運算；平方差公式．【專題】計算題．【分析】根據(jù)平方差公式得出x﹣（x﹣1），求出即可．【解答】解：原式=x﹣（x﹣1）=1．故答案為：1．【點評】本題主要考查對二次根式的混合運算，平方差公式等知識點的理解和掌握，能熟練地運用法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．計算：++…++=．【考點】二次根式的混合運算．【分析】首先分母有理化，然后運算化簡，問題即可解決．【解答】解：原式=+…+===．故答案為：．【點評】考查了二次根式的混合運算問題；解題的關(guān)鍵是將代數(shù)式中的分母逐個有理化，然后運算求值．計算：（1）（﹣5）×=﹣15；（2）（+）÷=+．【考點】二次根式的混合運算．【專題】計算題．【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行計算．【解答】解：（1）（﹣5）×=（﹣5）×=﹣15；（2）（+）÷=（4+）÷3=+．故答案為：﹣15，+．【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，在進行此類運算時一般先把二次根式化為最簡二次根式的形式后再運算．=2．【考點】二次根式的混合運算．【專題】計算題．【分析】先化簡括號內(nèi)的二