3.6.4切線的性質(zhì)與判定

切線的性質(zhì)與判定（2012?潯陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）在正方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，AF丄BE交BE于G，交CD于F，連CG延長(zhǎng)交AD于H．下列結(jié)論：①CG=CB；②；③；④以AB為直徑的圓與CH相切于點(diǎn)G，其中正確的是①②③④．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】連接OG、OC，構(gòu)建全等三角形△BOC≌△GOC，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等推知∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，故④正確；利用④中切線的性質(zhì)可以推知①正確；由平行線截線段成比例可以證得②正確；最后由正方形的性質(zhì)及勾股定理可以求得④正確．【解答】解：連接OG、OC．∵AF丄BE，∴∠ABE=∠DAF；在Rt△ABE和Rt△DAF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（ASA），∴AE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；又∵E為AD中點(diǎn)，∴F為DC的中點(diǎn)；∵O為AB的中點(diǎn)，∴OC∥AF，∴OC⊥BE，∴∠BOC=∠GOC；在△BOC和△GOC中，∵，∴△BOC≌△GOC，∴∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，∴以AB為直徑的圓與CH相切于點(diǎn)G；故④正確；∵以AB為直徑的圓與CH相切于點(diǎn)G，AB⊥BC，∴CG=CB；故①正確；∵AD∥BC，∴==；∵CG=CB，∴HG=HE；又∵E為AD中點(diǎn)，∴AH=HE=HG，即點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，∴==；故②正確；∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴DF=AD；∴AF=AD（勾股定理）；∵tan∠DAF===，∴AG=2EG，∴AE=EG=AD，∴EG=AD，∴AG=AD，∴FG=AF﹣AG=AD，∴=；故③正確；綜上所述，正確的說(shuō)法有：①②③④．故答案是：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了切線的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解答③選項(xiàng)時(shí)，也可以利用相似三角形的判定與性質(zhì)．（2011?杭州模擬）如圖，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AP交△ABC的外接圓⊙O于D，過(guò)D作DE∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．①則直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切；②若AB=4，AD=6，CE=3，則DE=3．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】①連OD，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAE，再根據(jù)圓周角的推論得到弧DB=弧DC，利用垂徑定理得到OD⊥BC，而DE∥BC，即可得到OD⊥DE；②連BD，DC，由BC∥DE，得到∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，因此∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，得到△CDE∽△BAD，則==，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先計(jì)算出CD，再計(jì)算出DE．【解答】解：①連OD，如圖，∵點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠DAE，∵同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，∴弧DB=弧DC，∴OD⊥BC，而DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；②連BD，DC，如圖，則BD=DC，∵BC∥DE，∴∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，而∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，∴∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，∴△CDE∽△BAD，∴==，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，∴==，∴DC=2，則DE=3．故答案為：相切；3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定方法：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了平行線的性質(zhì)和圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．（2015?黔南州）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點(diǎn)D，與AC、BC邊分別交于點(diǎn)E、F、G，連接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半徑OD；（2）求證：AE是⊙O的切線；（3）求圖中兩部分陰影面積的和．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；（3）陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積﹣扇形DOF的面積﹣扇形EOG的面積，求出即可．【解答】解：（1）∵AB與圓O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）連接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四邊形AEOD為平行四邊形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE為圓的半徑，∴AE為圓O的切線；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S陰影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（2015?廣安）如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過(guò)B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA、AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若=，且OC=4，求PA的長(zhǎng)和tanD的值．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進(jìn)而可得∠PBO=∠PAO，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO=90°，進(jìn)而可得：∠PAO=90°，進(jìn)而可證：PA是⊙O的切線；（2）連接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位線，進(jìn)而可得BE∥OP，BE=2OC=8，進(jìn)而可證△DBE∽△DPO，進(jìn)而可得：，從而求出BD的值，進(jìn)而即可求出tanD的值．【解答】（1）證明：連接OB，則OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切線；（2）連接BE，∵=，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO==2，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC?PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，∴PB=PA=3，∵AC=BC，OA=OE，∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得：BD=，在Rt△OBD中，tanD===．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過(guò)作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵．要證某線是圓的切線，對(duì)于切線的判定：已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．（2015?宜賓）如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)D，DE∥BO，CE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)A．（1）求證：直線BC是⊙O的切線；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）連接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過(guò)△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，問(wèn)題得證；（2）根據(jù)三角函數(shù)tan∠DEO=tan∠2=，設(shè)；OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割線定理得到AD=2，再根據(jù)平行線分線段成比例得到比例式即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）連接OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB與△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于點(diǎn)D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直線BC是⊙O的切線；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=，設(shè)；OC=r，BC=r，由（1）證得△DOB≌△COB，∴BD=BC=r，由切割線定理得：AD2=AE?AC=2（2+r），∴AD=2，∵DE∥BO，∴，∴，∴r=1，∴AO=3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．切割線定理，平行線分線段成比例，掌握定理是解題的關(guān)鍵．（2015?孝感三模）如圖，點(diǎn)D是⊙O直徑CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，弦AE與BC相交于點(diǎn)F，且CF=9，cos∠BFA=，求EF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題；證明題；壓軸題．【分析】（1）連接BO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；（2）根據(jù)圓周角定理，易證△AFB∽△CFE，結(jié)合相似比，即可得出EF的長(zhǎng)；【解答】（1）證明：連接BO，∵AB=AD∴∠D=∠ABD∵AB=AO∴∠ABO=∠AOB又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切線；（2）解：連接CE，∵AC是直徑，∴∠ABC=∠CEA=90°，又∵∠AFB=∠CFE，∴△AFB∽△CFE，∴=，又CF=9，cos∠BFA=，∴EF=×9=6．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容，是一個(gè)綜合較強(qiáng)的題目．（2014?聊城）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．連接PC并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：PC是半⊙O的切線；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得；（2）依據(jù)切線的性質(zhì)定理可知OC⊥PE，然后通過(guò)解直角三角函數(shù)，求得OF的值，再減去圓的半徑即可．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，OD經(jīng)過(guò)圓心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是半⊙O的切線，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切線．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是半⊙O的切線，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF===10，∴BF=OF﹣OB=5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數(shù)的應(yīng)用，證明圓的切線的問(wèn)題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問(wèn)題．（2014?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC與⊙O相切；（2）當(dāng)BD=6，sinC=時(shí)，求⊙O的半徑．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定定理推出即可；（2）根據(jù)sinC=求出AB=BC=10，設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=10﹣r，得出sinA=sinC=，根據(jù)OE⊥AC，得出sinA===，即可求出半徑．【解答】（1）證明：連接OE，∵AB=BC且D是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，∴BC=10，∴AB=BC=10，設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=10﹣r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴sinA===，∴r=，答：⊙O的半徑是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，切線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關(guān)鍵是得出關(guān)于r的方程，題型較好，難度適中，用了方程思想．（2013?雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點(diǎn)，CD=CB，延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長(zhǎng)，∠BOD的度數(shù)，又由S陰影=S扇形OBD﹣S△BOD，即可求得答案．【解答】（1）證明：連接OD，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°，∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S陰影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2013?安順）如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T，過(guò)T作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：CT為⊙O的切線；（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）連接OT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線；（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長(zhǎng)，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：連接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT為⊙O的切線；（2）解：過(guò)O作OE⊥AD于E，則E為AD中點(diǎn)，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四邊形OTCE為矩形，∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，，∴AD=2AE=2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定以及性質(zhì)，證明切線時(shí)可以利用切線的判定定理把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明垂直的問(wèn)題．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．（1）判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）AF為為圓O的切線，理由為：連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到CP垂直于OC，由OF與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，分別得到兩對(duì)角相等，根據(jù)OB=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)角相等，再由OC=OA，OF為公共邊，利用SAS得出三角形AOF與三角形COF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等及垂直定義得到AF垂直于OA，即可得證；（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA與AF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OF的長(zhǎng)，而OA=OC，OF為角平分線，利用三線合一得到E為AC中點(diǎn)，OE垂直于AC，利用面積法求出AE的長(zhǎng)，即可確定出AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）AF為圓O的切線，理由為：連接OC，∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC，∴∠OCP=90°，∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF⊥OA，OA為圓O的半徑，則AF為圓O的切線；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF，∵OA=OC，∴E為AC中點(diǎn)，即AE=CE=AC，OE⊥AC，∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根據(jù)勾股定理得：OF=5，∵S△AOF=?OA?AF=?OF?AE，∴AE=，則AC=2AE=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積求法，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（2013?聊城）如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD=，BE=2．求證：（1）四邊形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切線．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）首先連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得半徑OC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；（2）首先連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線．【解答】證明：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，設(shè)OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切線，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四邊形FADC是平行四邊形，∵AD=CD，∴平行四邊形FADC是菱形；（2）連接OF，AC，∵四邊形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC⊥FC，∵點(diǎn)C在⊙O上，∴FC是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2013?十堰）如圖1，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥CA于點(diǎn)D，OE⊥CB于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O．（1）求證：⊙O與CB相切于點(diǎn)E；（2）如圖2，若⊙O過(guò)點(diǎn)H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積和tan∠BHE的值．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長(zhǎng)，由圓O過(guò)H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長(zhǎng)定理得到BE=BH，如圖所示，過(guò)E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長(zhǎng)，由BH與EF的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積；根據(jù)EF與BE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出FB的長(zhǎng)，由BH﹣BF求出HF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義即可求出tan∠BHE的值．【解答】（1）證明：∵CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD，∴圓O與CB相切于點(diǎn)E；（2）解：∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=AB=3，∴CH==4，∵點(diǎn)O在高CH上，圓O過(guò)點(diǎn)H，∴圓O與AB相切于H點(diǎn)，由（1）得圓O與CB相切于點(diǎn)E，∴BE=BH=3，如圖，過(guò)E作EF⊥AB，則EF∥CH，∴△BEF∽△BCH，∴=，即=，解得：EF=，∴S△BHE=BH?EF=×3×=，在Rt△BEF中，BF==，∴HF=BH﹣BF=3﹣=，則tan∠BHE==2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（2013?柳州）如圖，⊙O的直徑AB=6，AD、BC是⊙O的兩條切線，AD=2，BC=．（1）求OD、OC的長(zhǎng)；（2）求證：△DOC∽△OBC；（3）求證：CD是⊙O切線．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】（1）由AB的長(zhǎng)求出OA與OB的長(zhǎng)，根據(jù)AD，BC為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形，利用勾股定理即可求出OD與OC的長(zhǎng)；（2）過(guò)D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似即可得證；（3）過(guò)O作OF垂直于CD，根據(jù)（2）中兩三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形OCF與三角形OCB全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OF=OB，即OF為圓的半徑，即可確定出CD為圓O的切線．【解答】（1）解：∵AD、BC是⊙O的兩條切線，∴∠OAD=∠OBC=90°，在Rt△AOD與Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，根據(jù)勾股定理得：OD==，OC==；（2）證明：過(guò)D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，∴四邊形ABED為矩形，∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理得：DC==，∵===，∴△DOC∽△OBC；（3）證明：過(guò)O作OF⊥DC，交DC于點(diǎn)F，∵△DOC∽△OBC，∴∠BCO=∠FCO，∵在△BCO和△FCO中，，∴△BCO≌△FCO（AAS），∴OB=OF，則CD是⊙O切線．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，（1）判斷△DCE的形狀；（2）設(shè)⊙O的半徑為1，且OF=，求證：△DCE≌△OCB．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定；勾股定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）△DCE為等腰三角形，理由為：根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，由圓周角∠ABC的度數(shù)，求出圓心角∠AOC的度數(shù)為60°，再由OA=OC，得到三角形OAC為等邊三角形，可得出三內(nèi)角為60°，再由OC與CD垂直，根據(jù)垂直的定義得到∠OCD為直角，利用平角的定義求出∠DCE為30°，又EF垂直于AB，得到∠AFE為直角，由∠A為60°，得出∠E為30°，可得出∠DCE=∠E，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出DC=DE，即三角形DCE為等腰三角形；（2）由半徑為1及OF的長(zhǎng)，根據(jù)AO+OF求出AF的長(zhǎng)，在直角三角形AEF中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由AF的長(zhǎng)得出AE的長(zhǎng)，再由AE﹣AC求出CE的長(zhǎng)，在直角三角形ABC中，由AB為直徑，∠B為30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出BC的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)BC=CE，再由三角形BOC與三角形DCE都為底角為30°的等腰三角形，得到兩對(duì)底角相等，利用ASA可得出兩三角形全等．【解答】解：（1）△DCE為等腰三角形，理由為：∵∠ABC=30°，圓周角∠ABC與圓心角∠AOC都對(duì)，∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC為等邊三角形，∴∠OAC=∠OCA=60°，∵OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵EF⊥AF，∴∠AFE=90°，∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE，則△DCE為等腰三角形；（2）∵OA=OB=1，OF=，∴AF=AO+OF=1+=，OA=AC=OC=1，在Rt△AEF中，∠E=30°，∴AE=2AF=+1，∴CE=AE﹣AC=+1﹣1=，又∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=30°，∴cos30°=，即BC=ABcos30°=，∴CB=CE=，在△OBC和△DCE中，∵，∴△OBC≌△DCE（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，含30°直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．（2013?茶陵縣校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）連接OD，根據(jù)OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根據(jù)DE⊥AC，即可證出OD⊥DE，從而得出答案；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，可以證明△BOD是等邊三角形，即可求得CD和BD的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可計(jì)算DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，連接OD．∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠0DB．又∵OB=OD，∴△BOD是等邊三角形．∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．∵DE⊥AC，∴DE=CD?sin∠C=5×sin60°=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定，是一道?？碱}型．（2013?安徽模擬）如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合）．（1）當(dāng)PQ∥BC，且Q為AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；（2）若以CQ為直徑作圓D，請(qǐng)問(wèn)圓D有沒(méi)有可能與斜邊AB相切？若相切請(qǐng)求出該圓的半徑；（3）當(dāng)PQ與BC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請(qǐng)求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；直線與圓的位置關(guān)系；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到PQ的長(zhǎng)；（2）設(shè)圓D與AB相切于M，連接DM，根據(jù)切線的性質(zhì)得到DM⊥AB，易證Rt△ADM∽R(shí)t△ABC，得到=，設(shè)CD=x，則DM=x，AD=6﹣x，利用相似比可計(jì)算出x；（3）當(dāng)PQ與BC不平行時(shí)，只有∠CPQ=90°時(shí)，△CPQ才可能為直角三角形．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到以CQ為直徑的圓與AB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以CQ為直徑的圓與AB的位置關(guān)系．【解答】（1）解：∵PQ∥BC，Q為AC的中點(diǎn)，∴PQ為三角形ABC的中位線，∴PQ=BC=4；（2）以CQ為直徑作圓D，圓D可以與AB相切．理由如下：設(shè)圓D與AB相切于M．連接DM，如圖，∴DM⊥AB，易證Rt△ADM∽R(shí)t△ABC，∴=，設(shè)CD=x，則DM=x，AD=6﹣x，而AC=6，BC=8得到AB=10，∴=，解得x=，即該圓的半徑為；（3）當(dāng)PQ與BC不平行時(shí)，只有∠CPQ=90°時(shí)，△CPQ才可能為直角三角形．①當(dāng)時(shí)，以CQ為直徑的圓〔即（2）中圓D〕與AB相切于M，這時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M的位置，△CPQ為直角三角形．②當(dāng)時(shí)，以CQ為直徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這二個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形．③當(dāng)時(shí)，以CQ為直徑的圓與直線AB相離，沒(méi)有交點(diǎn)，即點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)都在圓外，∠CPQ＜90°此時(shí)△CPQ不可能為直角三角形．∴當(dāng)時(shí)，△CPQ可能為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．（2012?德陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G．（1）求證：AE?FD=AF?EC；（2）求證：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】證明題；幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）由BD是⊙O的切線得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，證△AEC∽△AFD，得出比例式即可；（2）連接OC，BC，證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可；（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切線，由切割線定理得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可．【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的切線，∴∠DBA=90°，∵CH⊥AB，∴CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，∴=，∴AE?FD=AF?EC．（2）證明：連接OC，BC，∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，∴=，=，∴==，∵CE=EH（E為CH中點(diǎn)），∴BF=DF，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠DCB=90°，∵BF=DF，∴CF=DF=BF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），即CF=BF．（3）解：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，∴EF=FC，∴∠FCE=∠FEC，∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG，∴AF=FG，∵FB⊥AG，∴AB=BG，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB，∵OC=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，∴∠FCB=∠CAB，∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG，∴CG是⊙O切線，∵GBA是⊙O割線，AB=BG（已證），F(xiàn)B=FE=2，∴由切割線定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2，∴FG2﹣4FG﹣12=0，解得：FG=6，F(xiàn)G=﹣2（舍去），由勾股定理得：AB=BG==4，∴⊙O的半徑是2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．（2012?廣安）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求證：直線CP是⊙O的切線．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求點(diǎn)B到AC的距離．（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線CP是⊙O的切線．（2）作BD⊥AC于點(diǎn)D，得到BD∥PC，從而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)B到AC的距離為4．（3）先求出AC的長(zhǎng)度，然后利用BD∥PC的比例線段關(guān)系求得CP的長(zhǎng)度，再由勾股定理求出AP的長(zhǎng)度，從而求得△ACP的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°∴2∠BCP+2∠BCA=180°，∴∠BCP+∠BCA=90°，又C點(diǎn)在直徑上，∴直線CP是⊙O的切線．（2）如右圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵PC⊥AC∴BD∥PC∴∠PCB=∠DBC∵BC=2，sin∠BCP=，∴sin∠BCP=sin∠DBC===，解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，∴點(diǎn)B到AC的距離為4．（3）如右圖，連接AN，∵AC為直徑，∴∠ANC=90°，∴Rt△ACN中，AC==5，又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．∵BD∥CP，∴，∴CP=．在Rt△ACP中，AP==，AC+CP+AP=5++=20，∴△ACP的周長(zhǎng)為20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度較大．（2012?襄陽(yáng)）如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF．（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OB，根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論．（2）先證明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系，然后將EF=20A代入關(guān)系式即可．（3）根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線，設(shè)AD=x，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，繼而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD?OP，代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO=90°，∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB，又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OA⊥PA，∴直線PA為⊙O的切線．（2）EF2=4OD?OP．證明：∵∠PAO=∠PDA=90°∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，∴∠OAD=∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD?OP，又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP．（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位線定理），設(shè)AD=x，∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，解之得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去），∴AD=4，OA=2x﹣3=5，∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90°，又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB==．∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25，∴PE=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本性質(zhì)和定理，在解答綜合題目是能靈活運(yùn)用．（2012?本溪）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，AD=10，DC=8．以AD為直徑的⊙O與邊BC切于點(diǎn)E，且AB=BE．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）過(guò)D點(diǎn)作DF∥BC交⊙O于點(diǎn)F，求線段DF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）欲證AB是⊙O的切線，只需證明證得AB⊥AD即可；（2）根據(jù)垂徑定理推知DF=2DG；然后根據(jù)平行線截線段成比例證得=，即=，由此可以求得DF的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）如圖，連接OB、OE．在△ABO和△EBO中，∵，∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；又∵BE是⊙O的切線，∴OE⊥BC，∴∠BEO=90°，∴∠BAO=90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切線；（2）∵AD=10，DC=8，∴OC=13，OE=5，∴在直角△OEC中，根據(jù)勾股定理知，EC=12．設(shè)DF交OE于點(diǎn)G．∵DF∥BC（已知），∴∠OGD=∠OEC=90°（兩直線平行，同位角相等），∴OG⊥DF，∴FD=2DG（垂徑定理）；∵DF∥BC，∴=，即=，∴DG=，∴DF=．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)以及平行線截線段成比例等知識(shí)點(diǎn)．在證明OE⊥DF時(shí)，也可以利用切線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)證明．（2012?達(dá)州）如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）求證：PC是⊙O的切線．（2）若AF=1，OA=，求PC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠FAO=90°，然后即可證明結(jié)論．（2）先證明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，繼而也可得出PC得長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，F(xiàn)A=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵OA=OC（圓的半徑相等），∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，∵FA與⊙O相切，且AB是⊙O的直徑，∴FA⊥AB，∴∠FCO=∠FAO=90°，∵CO是半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）解：∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO，∴∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA，設(shè)PA=x，則PC=．在Rt△PCO中，由勾股定理得：，解得：，∴PC=2×=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求熟練掌握切線的判定定理及性質(zhì)，有一定難度．（2012?揚(yáng)州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=2，OC=1，矩形對(duì)角線AC、OB相交于E，過(guò)點(diǎn)E的直線與邊OA、BC分別相交于點(diǎn)G、H．（1）①直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)：（1，）．②求證：AG=CH．（2）如圖2，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓弧交OA與D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點(diǎn)F，求直線GH的函數(shù)關(guān)系式．（3）在（2）的結(jié)論下，梯形ABHG的內(nèi)部有一點(diǎn)P，當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時(shí)，求⊙P的半徑．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；證明題；壓軸題．【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和邊長(zhǎng)即可求出E的坐標(biāo)；②推出CE=AE，BC∥OA，推出∠HCE=∠EAG，證出△CHE≌△AGE即可；（2）連接DE并延長(zhǎng)DE交CB于M，求出DO=OC=OA，證△CME≌△ADE，求出CM=AD=1，推出四邊形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，設(shè)CH=HF=x，推出（1﹣x）2+（）2=（+x）2，求出H、G的坐標(biāo)，設(shè)直線GH的解析式是y=kx+b，把G、H的坐標(biāo)代入求出即可；（3）連接BG，證△OCH≌△BAG，求出∠CHO=∠AGB，證△HOE≌△GBE，求出∠OHE=∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圓心P必在BG上，過(guò)P做PN⊥GA，垂足為N，根據(jù)△GPN∽△GBA，得出，設(shè)半徑為r，代入求出即可．【解答】（1）①解：E的坐標(biāo)是：（1，），故答案為：（1，）；②證明：∵矩形OABC，∴CE=AE，BC∥OA，∴∠HCE=∠EAG，∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG=CH．（2）解：如圖2，連接DE并延長(zhǎng)DE交CB于M，連接AC，∵DO=OC=1=OA，∴D是OA的中點(diǎn)，∵BC∥OA，∴∠MCE=∠DAE，∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，∴CM=AD=2﹣1=1，∵BC∥OA，∠COD=90°，∴四邊形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，∵HG切⊙O于F，E（1，），∴可設(shè)CH=HF=x，F(xiàn)E=ED=MD，在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，即（1﹣x）2+（）2=（+x）2，解得x=，∴H（，1），OG=2﹣=，∴G（，0），設(shè)直線GH的解析式是：y=kx+b，把G、H的坐標(biāo)代入得：k+b=0，且1=k+b，解得：k=﹣，b=，∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+．（3）解：如備用圖3，連接BG，過(guò)P做PN⊥GA，垂足為N，∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，∴∠CHO=∠AGB，∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，∵四邊形OCBA是矩形，∴BC∥OA，BC=OA，∵CH=AG（已證），∴BH=OG，BH∥OG，∴四邊形BHOG是平行四邊形，∴OH∥BG，∴∠OHE=∠BGE，∵∠CHO=∠FHO=∠BGA∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA，∵⊙P與HG、GA、AB都相切，∴和∠HGA的兩邊都相切的圓的圓心在∠HGA的角平分線上，即在GB上∴圓心P必在BG上，∴△GPN∽△GBA，∴，設(shè)半徑為r，=，解得：r=．答：⊙P的半徑是．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，但是也是一道比較好的題目．（2012?增城市一模）如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．延長(zhǎng)PD交圓的切線BE于點(diǎn)E（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說(shuō)明理由；（2）如果∠BED=60°，，求PA的長(zhǎng)．（3）將線段PD以直線AD為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)線段DF，點(diǎn)F正好在圓O上，如圖2，求證：四邊形DFBE為菱形．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定；圓周角定理．【專(zhuān)題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，進(jìn)而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；（2）根據(jù)BE是⊙O的切線，則∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD為⊙O的切線，得∠PDO=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根據(jù)題意可證得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圓O的直徑，得∠ADB=90°，設(shè)∠PBD=x°，則可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出△BDE是等邊三角形．進(jìn)而證出四邊形DFBE為菱形．【解答】（1）解：直線PD為⊙O的切線證明：如圖1，連接OD，∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD∵點(diǎn)D在⊙O上，∴直線PD為⊙O的切線．（2）解：∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°∵∠BED=60°，∴∠P=30°∵PD為⊙O的切線，∴∠PDO=90°在Rt△PDO中，∠P=30°，∴，解得OD=1∴∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1（3）（方法一）證明：如圖2，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF∵AB是圓O的直徑∴∠ADB=90°設(shè)∠PBD=x°，則∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°∵四邊形AFBD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°即90°+x+2x=180°，解得x=30°∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°∵BE、ED是⊙O的切線，∴DE=BE，∠EBA=90°∴∠DBE=60°，∴△BDE是等邊三角形．∴BD=DE=BE又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°∴△BDF是等邊三角形．∴BD=DF=BF∴DE=BE=DF=BF，∴四邊形DFBE為菱形（方法二）證明：如圖3，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠PAD=∠DAF，∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF∴AD=AF，BF∥PD∴DF⊥PB∵BE為切線∴BE⊥PB∴DF∥BE∴四邊形DFBE為平行四邊形∵PE、BE為切線∴BE=DE∴四邊形DFBE為菱形【點(diǎn)評(píng)】本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大．（2011?呼和浩特）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，．（1）求證：直線PB是⊙O的切線；（2）求cos∠BCA的值．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OB、OP，由，且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，則OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．【解答】（1）證明：連接OB、OP，如圖，∵，且∠D=∠D，∴△BDC∽△PDO，∴∠DBC=∠DPO，∴BC∥OP，∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP而OB=OC∴∠OCB=∠CBO∴∠BOP=∠POA又∵OB=OA，OP=OP∴△BOP≌△AOP∴∠PBO=∠PAO又∵PA⊥AC∴∠PBO=90°∴直線PB是⊙O的切線；（2）解：由（1）知∠BCO=∠POA，設(shè)PB=a，則BD=2a又∵PA=PB=a∴AD==2a，又∵BC∥OP∴DC=2CO，∴DC=CA=×2a=a，∴OA=a，∴OP===a，∴cos∠BCA=cos∠POA==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．（2011?梧州）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C．延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)E．連接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）如果⊙O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OC．欲證AD是⊙O的切線，只需證明OA⊥AD即可；（2）連接BG．在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，從而求得AE=13；然后由相似三角形Rt△AEF∽R(shí)t△OEC的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AF=9.6，再利用圓周角定理證得Rt△ABG∽R(shí)t△AEF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AG=7.2，所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4．【解答】（1）證明：連接OC．∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°．∴∠OCA+∠ACD=90°．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∵∠DAC=∠ACD，∠OCA+∠DAC=90°∴∠0AC+∠CAD=90°．∴∠OAD=90°．∴AD是⊙O的切線．（2）解：連接BG；∵OC=6cm，EC=8cm，∴在Rt△CEO中，OE==10．∴AE=OE+OA=16．∵AF⊥ED，∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．∴Rt△AEF∽R(shí)t△OEC．∴=．即：=．∴AF=9.6．∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB=90°．∴∠AGB=∠AFE．∵∠BAG=∠EAF，∴Rt△ABG∽R(shí)t△AEF．∴=．即：=．∴AG=7.2．∴GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．（2011?涼山州）如圖，已知△ABC，以BC為直徑，O為圓心的半圓交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)M，AD為△ABC的角平分線，且AD⊥BE，垂足為點(diǎn)H．（1）求證：AB是半圓O的切線；（2）若AB=3，BC=4，求BE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接EC，AD為△ABC的角平分線，得∠1=∠2，又AD⊥BE，可證∠3=∠4，由對(duì)頂角相等得∠4=∠5，即∠3=∠5，由E為的中點(diǎn)，得∠6=∠7，由BC為直徑得∠E=90°，即∠5+∠6=90°，由AD∥CE可證∠2=∠6，從而有∠3+∠7=90°，證明結(jié)論；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由∠3=∠4得AM=AB=3，則CM=AC﹣AM=2，由（1）可證△CME∽△BCE，利用相似比可得EB=2EC，在Rt△BCE中，根據(jù)BE2+CE2=BC2，得BE2+（）2=42，可求BE．【解答】（1）證明：連接EC，∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠4=∠5=∠3，又∵E為的中點(diǎn)，∴=，∴∠6=∠7，∵BC是直徑，∴∠E=90°，∴∠5+∠6=90°，又∵∠AHM=∠E=90°，∴AD∥CE，∴∠2=∠6=∠1，∴∠3+∠7=90°，又∵BC是直徑，∴AB是半圓O的切線；（2）解：∵AB=3，BC=4，由（1）知，∠ABC=90°，∴AC===5，在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，∴AM=AB=3，∴CM=2，∵∠6=∠7，∠E為公共角，∴△CME∽△BCE，得===，∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE2+CE2=BC2，即BE2+（）2=42，解得BE=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件推出相等角，構(gòu)造互余關(guān)系的角推出切線，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出邊長(zhǎng)的關(guān)系，由勾股定理求解．（2011?廣安）如圖所示，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，B是⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長(zhǎng)BO與切線PA相交于點(diǎn)Q．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）求證：AQ?PQ=OQ?BQ；（3）設(shè)∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OP，與AB交于點(diǎn)C．欲證明PB是⊙O的切線，只需證明∠OBP=90°即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明△QAO∽△QBP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得=，即AQ?PQ=OQ?BQ；（3）在Rt△OAQ中根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的余弦值的定義解得QB=27，利用（1）的結(jié)論求得PQ=45，即PA=36，又由勾股定理知OP=12；然后由切線的性質(zhì)求AB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OP，與AB交于點(diǎn)C．∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP，∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；（2）證明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，∴△QAO∽△QBP，∴=，即AQ?PQ=OQ?BQ；（3）連OP并交AB于點(diǎn)C，在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，∴OA=12，AQ=9，∴QB=27；∵=，∴PQ=45，即PA=36，∴OP=12；∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°∴△PAC∽△POA，∴=，∴PA?OA=OP?AC，即36×12=12?AC，∴故AB=2AC=．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理．圖形中的線段的求法，可以通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值、切線的有關(guān)知識(shí)及勾股定理求解．（2011?萊蕪）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE=3，連接BD，過(guò)點(diǎn)E作EM∥BD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．（1）求⊙O的半徑；（2）求證：EM是⊙O的切線；（3）若弦DF與直徑AB相交于點(diǎn)P，當(dāng)∠APD=45°時(shí)，求圖中陰影部分的面積．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計(jì)算；解直角三角形．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）首先連接OE，由弦DE垂直平分半徑OA，根據(jù)垂徑定理可求得OC與OE的關(guān)系，求得CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求得∠OEC=30°，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，則可求得⊙O的半徑；（2）由垂徑定理，可得，根據(jù)在等圓或同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，即可求得∠B的度數(shù)，即可求得∠EDB的度數(shù)，又由EM∥BD，可求得∠MED的度數(shù)，繼而求得∠MEO=90°，即可證得EM是⊙O的切線；（3）由∠APD=45°，根據(jù)在等圓或同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，即可求得∠EOF的度數(shù)，然后根據(jù)S陰影=S扇形EOF﹣S△EOF，即可求得答案．【解答】（1）解：連接OE．∵DE垂直平分半徑OA，∴OC=OA∵OA=OE，∴OC=OE，CE=DE=，∴∠OEC=30°，∴OE==；（2）證明：由（1）知：∠AOE=60°，，∴∠B=∠AOE=30°，∴∠BDE=60°∵BD∥ME，∴∠MED=∠BDE=60°，∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，∴OE⊥EM，∴EM是⊙O的切線；（3）解：連接OF．∵∠DPA=45°，∵∠DCB=90°，∴∠CDP=45°，∴∠EOF=2∠EDF=90°，∴S陰影=S扇形EOF﹣S△EOF==π﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，圓周角的性質(zhì)，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．（2011?樂(lè)山）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA=∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB==，易證Rt△CDO∽R(shí)t△CBE，得到===，求得CD，然后在Rt△CBE中，運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出BE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連OD，OE，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵EB為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽R(shí)t△CBE，∴===，∴CD=×6=4，在Rt△CBE中，設(shè)BE=x，∴（x+4）2=x2+62，解得x=．即BE的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．（2011?北海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）如果∠A=60°，則DE與DF有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如果AB=5，BC=6，求tan∠BAC的值．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OD，根據(jù)題意可得出∠1=∠C，則OD∥AC，由EF⊥AC可得出結(jié)論；（2）連接AD，由圓周角定理可得出AD⊥BC，根據(jù)已知條件可得出∠3=30°，從而得出∠3=∠F，則AD=DF，由直角三角形的性質(zhì)即可得出DF=2DE；（3）設(shè)⊙O與AC的交點(diǎn)為P，連接BP，可求出BD，再根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形的面積公式得出BP，再由勾股定理得出AP，則得出tan∠BAC的值．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB=AC，∴∠2=∠C，∵OD=OB，∴∠2=∠1，∴∠1=∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）解：DE與DF的數(shù)量關(guān)系是DF=2DE．連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠3=∠4=∠BAC=×60°=30°，∵∠F=90°﹣∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠3=∠F，∴AD=DF，∵∠4=30°，EF⊥AC，∴DE=AD，∴DF=2DE；（3）解：設(shè)⊙O與AC的交點(diǎn)為P，連接BP，∵AB為直徑，∴BP⊥AC，由上知BD=BC=×6=3，∴AD===4，S△ABC=BC?AD=AC?BP，∴×6×4=×5×BP，∴BP=，∴直角△ABP中，AP===，∴tan∠BAC===．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，是一道綜合題，難度中等．（2011?柳州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：直線CD為⊙O的切線；（2）當(dāng)AB=2BE，且CE=時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）如圖，連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，設(shè)BO=BE=CO=x，所以O(shè)E=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端，∴CD為⊙O的切線；（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，∴BO=BE=CO，設(shè)BO=BE=CO=x，∴OE=2x，在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理得：OC2+CE2=OE2，即x2+（）2=（2x）2∴x=1，∴AE=3，∠E=30°，∴AD=．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，同時(shí)也利用了圓周角定理及勾股定理，首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的性質(zhì)、勾股定理列出方程解決問(wèn)題．（2011?昆明）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，過(guò)點(diǎn)E的直線EF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）∠F=30°時(shí)，求的值．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得出OE∥AC，則∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，則∠OEF=∠ACF=90°，從而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切線；（2）由OE∥AC，則△OFE∽△AFC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，從而得出的值．【解答】（1）證明：連接OE，∵AE平分∠FAC，∴∠CAE=∠OAE，又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，∴OE∥AC，∴∠OEF=∠ACF，又∵AC⊥EF，∴∠OEF=∠ACF=90°，∴OE⊥CF，又∵點(diǎn)E在⊙O上，∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵∠OEF=90°，∠F=30°，∴OF=2OE又OA=OE，∴AF=3OE，又∵OE∥AC，∴△OFE∽△AFC，∴==，∴=，∴=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．（2011?阜新）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O直徑，AC=CD，連接AD交BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MC到N，使CN=CM．（1）判斷直線AN是否為⊙O的切線，并說(shuō)明理由；（2）若AC=10，tan∠CAD=，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）由MC=CN，且得出AC垂直于MN，則△AMC是等腰三角形，所以∠CAN=∠DAC，再由AC=DC，則∠D=∠DAC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠B=∠D，從而得出∠B=∠NAC，即可得出∠BAN=90°；（2）等腰三角形ACD中，兩腰AC=CD=10，且已知底角正切值，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，底邊長(zhǎng)AD可以求出來(lái)．【解答】解：（1）直線AN是⊙O的切線，理由是：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵CN=CM，∴∠CAN=∠DAC，∵AC=CD，∴∠D=∠DAC，∵∠B=∠D，∴∠B=∠NAC，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠NAC+∠BAC=90°，∴OA⊥AN，又∵點(diǎn)A在○O上，∴直線AN是⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，∵tan∠CAD=，∴=，∵AC=10，∴設(shè)CE=3x，則AE=4x，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，CE2+AE2=AC2，∴（3x）2+（4x）2=100，解得x=2，∴AE=8，∵AC=CD，∴AD=2AE=2×8=16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．（2011?湛江）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求證：直線BD與⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接OD，由∠A=∠ADO，進(jìn)而證得∠ADO+∠CDB=90°，而證得BD⊥OD；（2）連接DE，由AE是直徑，得到∠ADE=90°，然后利用已知條件可以證明DE∥BC，從而得到△ADE∽△ACB，接著利用相似三角形的性質(zhì)得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中點(diǎn)，由此可以求出DE的長(zhǎng)度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，設(shè)AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）連接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切線；（2）連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD