2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編：解三角形（解析版）（廣東專用）

專題06解三角形

題型01正、余弦定理

1.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在中，AB=2,AC=\,cosA=,則5C=

()

c叵

A.1D.—

,V3

【答案】D

【解析】

［詳解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOS=22+12-2x2xlx-=-

63

所以3。=由5

3

故選：D.

2.(2024下?廣東?大聯(lián)考)已知在“BC中，AB=2,AC=l,cosA=-,則(

6

c.叵

D.—

A.1B

-T33

【答案】D

【解析】

【詳解】由余弦定理得BO?=AB2+AC2-2AB-ACcosA=22+12-2x2xlx-=-

63

所以3C=巫

3

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故選：D.

3.（2024下?廣東?江門一模）在“BC中，8=30°,b=2,c=20，則角A的大小為（）

A.45°B.135°或45°c.15°D.105°或15°

【答案】D

【解析】

【詳解】由題意知”5。中，8=30°/=2,c=2也,

bcsin52A/2xsin30°6

故即sinC=

sinSsinCb2-V

由于c>6,故C>3=30°，則C=45°或135°，

故/的大小為180°—30°—45°=105°或180°—30°—135°=15°，

故選：D

4.（2024下?廣東梅州市一模）的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,若N=60。，6=10,

則結(jié)合。的值，下列解三角形有兩解的為（)

A.a=8B.a-9C.<2=10D.(2=11

【答案】B

【解析】

in3

ab

【詳解】由正弦定理可得,所以.nbsmA*2

sinAsinBsmB=------=......-

aaa

因?yàn)槿切斡袃山猓詓inB<l,且b>“,因此由選項(xiàng)知，只有a=9符合.

故選：B

5.（2024下?廣東廣州市二中模擬）（多選）己知角A,B,C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論

一定成立的有（）

A.sin（4+8）=sinCB.cos（X+B）=cosf

C.若sinA>sinB,則A>BD.若/>B,則sin/>sinB

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，sinQ4+B）=sin（n-C）=sinC,選項(xiàng)A正確；

B選項(xiàng)，cos（X+B）=cos（n-C）=—cosC,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

在△ABC中，由正弦定理得sin/>sinBQa>b=A>B,故C和D正確.

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故選：ACD

題型02三角形面積公式

1.（2024下?廣東東莞?六校聯(lián)考）在AA8C中，角的對(duì)邊分別為a,6,c,且

A+C

6sin(/+B)-csin=0.

2

(1)求8;

(2)若6=5,a+c=8,求。3C的面積.

BJ座

【答案】(1)-3(2)4

6sin(N+8)-csin'+。=0sinSsinC-sinCcos—=0

【詳解】(1)因?yàn)?,所以2

.B

S1ILn0=COS一

因?yàn)閟inCwO,所以2.

0<—<—cos—0sinB=2sin—cos—sin—=—

因?yàn)?2,所以2,所以由22,得22.

B=-

因?yàn)?<8<兀，所以3.

B=-

故答案為：3.

(2)由"^弓玄^^^^矢口"=*+c2—2accosB=(a+c)^—2cle—2aoeosB

71

b=5,a+c=8,B=-、

因?yàn)?,所以59-=8--3ac,所以ac=13,

S^ABC=-acsmB=^^

故的面積24

136

故答案為："

2.（2024下廣東深圳?模擬）已知的內(nèi)角43,C的對(duì)邊分別為0,瓦c,sitU-sin（3+|兀26

亍

且C1.

6

(1)求sin5的值;

⑵若6=4,且5＞工,求AJBC的面積.

2

,c2

S1ILO=—（2）26-石

【答案】⑴3

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【詳解】(1)■■-A+B+C=n,

sinf8+—itj-sinfS+—n2V3

"I-

，由題意得66

(61

------sin^+—cosB

22)22

2

sinB=—

解得3

cosB=-Jl-sin"=一^~

-：B>-

（2）方法一：2,由(1)可知3,

6sinC_

---------=3

在“BC中，由正弦定理，得,sinB

,/siih4=sin(5+C)=sin5cosc+cos5sinC

,"2鳳小

6

S=-bcsinA=2石-卡

「△ABC的面積2

'：B>-cosB=-Jl-sin”=

方法二:2,由(1)可知3,

Z?sinC_

c-----二3

在“3C中,由正弦定理,得sinB

cosC—U

在AABC中,由余弦定理,得2ab

.1_a2+16-9

28。，

解得。=2k±代

-：B>-

2,

;.b>a,

...a=2-\/3->/5,

S=-bcsmA=2石-6

；BC的面積2

3.(2024下?廣東中山?一模)已知“3c的內(nèi)角/,3,C的對(duì)邊分別為a,6,，且/cosB+abcosA=2c?

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⑴求。；

⑵若/=5，且的周長(zhǎng)為2+君，求“8C的面積.

息

【答案】⑴。=2；(2)4.

【詳解】(1)由題設(shè)"("cos'+'cos/)=20,由正弦定理有“(sin"cos'+sin'cos")=2sinC

所以〃sin(/+5)=2sinC,而力+8=兀_。，故asinC=2sinC,又sinC〉0,

所以"2.

,b2+c2-a2b2+c2-41

cosA=--------------=-------------=-----°0

(2)由(1)及已知，有26c2bc2,可得6+c+6c=4,

又Q+b+c=2+君，即6+c=逐，

所以(^+^)2-be=5-be=4be=1故,“ABC~】besinA-4

4.(2024下?廣東惠州?一模)在春8c中，角4民。的對(duì)邊分別是〃也。，

-Basin^4cosB+bsinAcosA=>/3acosC?

⑴求角。的大?。?/p>

⑵右。=3,AB,AC=1求的面積.

3百

c=——-----

【答案】(1)3(2)2

【詳解】(1)

因?yàn)镼siiL4cos5+bsirk4cos/=&zcosC,

所以根據(jù)正弦定理得siMsiMcosB+sirUsin8cosZ=ASirL4cosc,

因?yàn)閟inZwO,

所以siMcosB+sin5cos4=>/§cosC,

即sin(4+8)=V3cosC

即sinC=VJcosC

因?yàn)閏osCwO,所以tanC=J5

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因?yàn)?＜。＜兀，所以3.

（2）

ABAC=becosA=1

22

因?yàn)椤?=b+c-2bccosA,所以/+/=9+2bccosA=11①

因?yàn)?/-2。6cosc,

b1-c2=2abcosC-a2=2x3xbxcos-32=3ft-9

所以3②.

聯(lián)立①②可得2〃—3b—2=0,解得6=2（負(fù)根舍去），

1,.1°c63A/3

—absmC=—x3x2x——=---

故最I(lǐng)BC的面積為2222.

題型03解三角形實(shí)例應(yīng)用

1.（2024下?廣東清遠(yuǎn)?一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一

幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時(shí)可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在

距墻多遠(yuǎn)處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼

睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

【答案】A

如圖，設(shè)觀賞者的眼睛在點(diǎn)。處，油畫的上沿在點(diǎn)A處，下沿在點(diǎn)3處,

點(diǎn)C在線段延長(zhǎng)線上，且保持與點(diǎn)。在同一水平線上,

則//D8=6即觀賞時(shí)的視角.

依題意/2=2,3。=1,/。1.。67,

不妨設(shè)。C=x,則AD=sjx2+1,AD=yjx2+9,

4

cosg=_2/+?=]x+6x，

在△/8Z）中，由余弦定理，2A/X~+1?飛x~+9Vx4+1Ox2+9

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4

/+斗+10

X

x1H—222yl=6.r-

因x>0,則,當(dāng)且僅當(dāng)x=9時(shí)，即x=，3時(shí)等號(hào)成立,

,9,9

X2+—>6X2+^-+10>16

由尤2可得X2,

c4/A「4、V3

0<----------------<—cos0=1-------------------->——

尤2+2+104\x2+-^+102

則廠，貝U丫廠,

（0,-）0<0<~

因函數(shù)y=cosx在2上單調(diào)遞減，故得6,

71

即最大視角為片，此時(shí)觀賞者距離油畫的直線距離為6"1.73.

故選：A.

2.（2024下?廣東肇慶?模擬）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)

有4,B,C三點(diǎn)，且/,B,。在同一水平面上的投影48',C'滿足=45°,乙4?C'=60°.由

。點(diǎn)測(cè)得3點(diǎn)的仰角為15°,53'與CC的差為100；由8點(diǎn)測(cè)得N點(diǎn)的仰角為45。，則/,C兩點(diǎn)

到水平面Z5C'的高度差44'-CC'約為（）（百。1.732）.

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【詳解】過0作8,8Q，過8作

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AA-CC=AA'-(BB'-BH)=AA'-BB'+WQ=AD+\W

故

由于B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，知A4D3為等腰直角三角形，所以

所以44'—CC'=03+100=4?+100,

CH=C'B'=-^~

因?yàn)?BC〃=15。，所以tanl50,

在AA'BC中，NCW8'=180--60°-45°=75°

A'B'C'B'100100

由正弦定理得：sin45°sin75°tanl5°cosl5°sinl5°,

/7_5

sinl5°=sin[45°°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=-----------

而l,4

100x4x—

A'B'=—六-義=100(V3+lU273

所以V6-V2''

所以44'-CC'=HB'+100x373,

故選：B.

3.（2024下?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱為“阿里之巔"岡仁波齊山峰的高度，通常采

用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過程中，已知豎立在B點(diǎn)處

的測(cè)量覘標(biāo)高20米，攀登者們?cè)贏處測(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn)B和頂點(diǎn)C的仰角分別為45。,75。，則4方的

高度差約為（）

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

【答案】A

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模型可簡(jiǎn)化為如上圖，在RM/DC中，NBAD=45。,NCAD=75。,

tan45°+tan30°_3+g

tan75°=tan（45°+30°）=

TiT\1-tan45°xtan30°3-6

--xtan75O-BD=20

所以tan45°而

代入上式并化簡(jiǎn)可得BD=7.32米,

故選：A.

5.（2024下?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻

雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來雁

塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)/為

塔底，4C,。在水平地面上，來雁塔和建筑物均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得

CD=18m,/O=15m,在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30。，在E點(diǎn)處測(cè)得8點(diǎn)的仰角為60。，則來雁

塔的高度約為（）（6B1.732,精確到0.1m）

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

【答案】B

【詳解】過點(diǎn)E作E廠，月8,交4B于點(diǎn)F,

在直角三角形AEC。中，因?yàn)?ECD=30。，

所以DE=CD-tan^DCE-18xtan30°=6五,

在直角三角形42好中，因?yàn)轷?60。，

所以BF=EF-tan/FEB=15xtan60°=156,

則N3=3尸+/尸++673=2173=36.4（均

故選：B.

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B

題型04解三角形在幾何中的應(yīng)用

1.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）在AZ8C中，角4瓦。的對(duì)邊分別是見仇C,且asinC=csinQ+$.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若6=2,。=3,。是邊3c的中點(diǎn)，求4D的長(zhǎng).

JT⑵叵

【答案】⑴

32-

【解析】

【小問1詳解】

在AT!5c中，由正弦定理及asinC=csinQ+；）,得sin/sinC=sinCsin（/+；）,

jrIT47r

而sinC〉0,貝I」sinZ=sin（Z+］）,由0</<兀，知0<4<4+^<彳，

jrTT

因此/+1=兀_/,解得N=

TT

所以角A的大小為2.

3

【小問2詳解】

由（1）知/=三，由。是邊的中點(diǎn)，得2。=—（48+ZC）,

32

所以|詬|=-^（AB+ACf=7k+。2+2bccos/g+32+2義2義3』=①.

222V22

2.（2024下?廣東珠海?高三聯(lián)考）在△45C中，a,b,c分別是角Z,B,。所對(duì)的邊，點(diǎn)。在

邊/C上，且滿足3sin/=tan//BCcosC+sinC,csinC=3BDsinZBDC.

（1）求2的值；

a

（2）若4D=3DC,求sinZASO.

【解析】（1）方法1：如圖，在△BCD中，由正弦定理知軍-=———,

sinCsinZ.BDC

第10頁共"頁

所以BDsin/BDC=asinC,所以csinC=3QsinC,

因?yàn)镃e(O,7i),所以sinCwO,貝Uc=3a①，

由3sin/=tan/ABCcosC+sinC,

則3sinAcosAABC=sinAABCcosC+sinCcosZABC=smA,

因?yàn)?e(O,7i),所以sin/wO,貝UcosNZ8C=；,

22_A22

在△48C中，由余弦定理知cos/4SC=----------，則/—0②,

2QC3

由①②2=2亞.

a

BDJD

萬法2：在中，由正弦定理知-----=----------，

sinAsinABDA

所以aDsin/BD4=csin/,又因?yàn)閟in/ADZ=sin/ADC,所以sinC=3sin/,

由3sin/=tanZ.ABCcosC+sinC,則tanZABCcosC=0,

因?yàn)閠an/ASCwO,所以cosC=0,因?yàn)镃e(0,兀)，所以。=]

由3sin/=tan/ABCcosC+sinC,

則3sinAcosZABC=sinZABCcosC+sinCcosZABC=sin4,

因?yàn)?e(O,7i),所以sin/wO,貝Ucos448c=§

bsinZABCsinZABC

由正弦定理知--sin/—sin（N45C+C）=tanAABC,

因?yàn)镃OS/4BC=L所以sin48C=宜2,貝！|2=2立.

33a

由正弦定理知c=3a,所以2=

（或：在6分點(diǎn)后，因?yàn)閟inC=3sin4,

a

31

(2)方法1：因?yàn)?D=3DC,所以4D=—6,DC=-b,

44

第11頁共"頁

BD?+DC?-BC?

在△BCD中，由余弦定理知cos/ADC=

2BDDC

nr）2.Ar\2_An2

同理在ABAD中，cosZBDA=

2BDAD

因?yàn)閆BDC+ZBDA=71,所以cosZBDC+cosABDA=0,

則48。2+__—3a2-c2=0,

4

由（1）知c=3a,-=272,所以BD=?,

a2

（注：若學(xué)生得到。=4,則cosN8￡?C=0，BD=飛BC?+5=典也能得分）

2BD2

DF）2,An2_Arxl

在ABAD中，由余弦定理知cosZABD=——

2BD-AB

所以sin/48￡>=工.

3

31

方法2：因?yàn)?￡>=3￡>C,所以ZD=—b,DC=-b,

44

o」AB-BDsinZABD,.,.Dr.

所以號(hào)3=2=3sm幺BD

S^CBD-BD-ABsinZCBDsmZCBD

2

又因?yàn)閷W(xué)也=*=3,所以sinNA8￡>=sinNCB￡>,

、ACBDCD

因?yàn)镹ZBD,NC3￡>均為銳角，所以乙4BD=NCBD,

則cosZABC=cos（2NZ80=1-2sin2/ABD,

所以sin/ZBD=J

3

第12頁共17頁

31

方法3：因?yàn)?0=3。。，所以4D=—b,DC=—b,

44

—?3—?1—>

所以BD=—BC+—BA.

44

1—,

-BAcosZABC，

4

由（1）知c=3a,—=2V2,\BD\=-^-a-

aII2

在△840中，由余弦定理知cosNABD=+"一

2BD-AB

所以sinNZRD=^^

3

題型05解三角形有關(guān)最值問題

1.（2024下?廣東?梅州市一模）已知小5。是銳角三角形，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,

c,S為一5。的面積，2s=〃+°2一Y，則二的取值范圍為（）

b

【答案】A

【解析】

【詳解】依題意，2S=bcsmA=b2+c2-a\

sinZ=2b+。一"=2cosA,tanZ=2

2bc

sinZ=2cosA

sin2TI+COS2A=1

smA=^-,cosA=—

0<A<—

由2解得55

第13頁共17頁

c_sinC_sin（4+JB）_sin/cos3+cos/sinB

bsin5sin5sin5

2751V5

---------------------1--------

5tanB5,

7T

0<5<-

2

由于三角形4sC是銳角三角形，所以

0<--A<B<-

所以22,所以

sinA

=tanA-2

cosA

n2V51475V52751V5r

所以5tanB555tanB5

故選：A

2.（2024下?廣東江門?高三聯(lián)考）已知在中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

acos（B~C）+acosA-2y/3csinBcosA=0.

（1）求/；

（2）若外接圓的直徑為26,求2c-b的取值范圍.

【答案】（1）A=^（2）（—3,6）

【解析】

【小問1詳解】

由/+5+C=7i可得：4=兀一（3+C）,所以cos4=—cos（3+C）,

所以acos（B-C）-acos（B+C）=2欄csinBcosA,

acosBcosC+asin5sinC-acosBcosC+asin5sinC=2樞csinBcosA，

sin5sinC'J^csinBcosZ，由正弦定理可得sin/sin5sinC=V3sinCsinBcosA，

因?yàn)閟inC>0,sin5>0,所以sin/二百cos/，所以tan/二百，

第14頁共"頁

因?yàn)?e（0,兀），所以Z

【小問2詳解】

由正弦定理可得上b—=2R=243,