建筑力學(xué) 課件 第12章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第4章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

結(jié)構(gòu)在外界因素作用下，會(huì)發(fā)生變形。因此而使結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的位置發(fā)生相應(yīng)的改變，這種改變稱為結(jié)構(gòu)的位移。絕對(duì)位移截面A角位移A點(diǎn)線位移包含：水平線位移豎向線位移一、結(jié)構(gòu)位移的種類

線位移—

結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿直線方向移動(dòng)的距離。角位移—

結(jié)構(gòu)上某截面旋轉(zhuǎn)的角度?！Y(jié)構(gòu)中某一截面位置或方向的改變§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念CD兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移：相對(duì)位移——結(jié)構(gòu)中某兩個(gè)截面之間相對(duì)位置或方向的改變AB兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角：§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念結(jié)構(gòu)中兩截面的相對(duì)位移即為兩個(gè)截面各自沿相反方向的相應(yīng)的絕對(duì)位移之和！二、產(chǎn)生位移的原因

荷載作用

溫度變化和材料脹縮

支座沉降和制造誤差§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念三、位移計(jì)算的目的1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度：檢驗(yàn)位移是否超過允許的位移限制2）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算打基礎(chǔ)§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念疊加原理適用(1)線彈性材料(2)小變形四、位移計(jì)算的假定五、實(shí)功與虛功§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念P1P2Δ11Δ22Δ12ΔPΔ11P1再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功為：在Δ12過程中，P1的值不變，相當(dāng)于常力的功。Δ12與P1無關(guān)OABΔij位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因P1在自身引起的位移Δ11上作的功為：P1在位移Δ12上作的功為：P1P2Δ11Δ22Δ12

實(shí)功：是力在自身引起的位移上所作的功。如W11，W22，實(shí)功恒為正。虛功：是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如W12

如力與位移同向，虛功為正，反向時(shí)，虛功為負(fù)。§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念§4-1結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念P1P2Δ11Δ22Δ12

先后坐進(jìn)汽車?yán)锏膬蓚€(gè)人：

虛功：后坐進(jìn)汽車?yán)锏娜耸蛊囉窒鲁烈欢ǖ奈灰?，前一人的重力在此位移上作虛功?/p>

實(shí)功：先坐進(jìn)汽車?yán)锏娜耸蛊囅鲁烈欢ǖ奈灰?，人的重力在該位移上作?shí)功。虛功——使力作功的位移不是由該力本身引起的，即：作虛功的力與相應(yīng)于力的位移彼此獨(dú)立無關(guān)，不存在因果關(guān)系。P112P212P1在Δ12上作虛功：P2在Δ21上作虛功：計(jì)算虛功的要點(diǎn)：1）對(duì)于單個(gè)力：相應(yīng)的位移是該力作用點(diǎn)的位移在力作用方向上的分量。ΔmP（力）（位移）計(jì)算虛功的要點(diǎn)：mβ2）對(duì)于單個(gè)力偶：則相應(yīng)的位移是它所作用截面的轉(zhuǎn)角。P（力）（位移）計(jì)算虛功的要點(diǎn)：3）對(duì)于等值、反向的一對(duì)力：PPttABΔBΔA4）對(duì)于等值、反向的一對(duì)力偶:AB

ABmm

A

B表示AB兩點(diǎn)間距的改變，即AB兩點(diǎn)的相對(duì)線位移AB兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角（力）（位移）（力）（位移）兩種狀態(tài)：既然力與位移彼此獨(dú)立無關(guān)，故可將力與位移視為兩種獨(dú)立的狀態(tài)。PΔm力狀態(tài)位移狀態(tài)對(duì)于任一結(jié)構(gòu)，其力狀態(tài)上的力在不相干的位移狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功一定是虛功。

任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體系，當(dāng)由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的無限小連續(xù)變形時(shí)，則變形體系所受外力在虛位移上所作的總虛功W，恒等于變形體各微段截面上的內(nèi)力在其虛變形上所作的虛功總和V。即恒有如下虛功方程成立：W

=V外力虛功=內(nèi)力虛功一、變形體系的虛功原理§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法W

=V§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體系（力狀態(tài)），對(duì)于同一體系在其它原因作用下的符合約束條件的變形狀態(tài)（位移狀態(tài)），則變形體系力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上所作的總外力虛功W，恒等于變形體力狀態(tài)各微段截面上的內(nèi)力在其位移狀態(tài)的變形上所作的總內(nèi)力虛功V。變形體系虛功原理的另一種說法：外力虛功=內(nèi)力虛功位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法dsds位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12dsds§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法積分是沿桿長(zhǎng)積分得到該桿件的內(nèi)力虛功求和是將所有桿件的內(nèi)力虛功相加位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12外力虛功=內(nèi)力虛功§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法位移狀態(tài)

F12力狀態(tài)P12——位移計(jì)算一般公式（單位荷載法）（給定）（人為設(shè)立）§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法——位移計(jì)算一般公式（單位荷載法）計(jì)算結(jié)構(gòu)中的指定位移時(shí)，題目給定的狀態(tài)作為位移狀態(tài)，而力狀態(tài)一般根據(jù)所求位移的位置和類型加上相應(yīng)的單位荷載來虛設(shè)，稱為虛力狀態(tài)。——位移計(jì)算一般公式（單位荷載法）虛力狀態(tài)建立的原則：在所求位移的位置沿所求位移的方向加上單位荷載。二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法該公式可用來求解位移狀態(tài)上的任何位移！具體的位移與虛力狀態(tài)上所施加的單位力相對(duì)應(yīng)。dsdsK實(shí)際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法dsdsK實(shí)際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)該公式一次只能求解一個(gè)位移！需要求解多個(gè)位移時(shí)必須分別建立虛力狀態(tài)然后應(yīng)用公式?！獜澢冃螌?duì)位移的影響——軸向變形對(duì)位移的影響——剪切變形對(duì)位移的影響——支座移動(dòng)對(duì)位移的影響§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

上式是普遍公式。（因?yàn)樵谕茖?dǎo)中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可考慮任何情況：①

變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。②產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等。③結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。④材料性質(zhì)：彈性、非彈性。公式中的“△”可以代表任一絕對(duì)位移和相對(duì)位移！即該公式可以求解任一絕對(duì)位移和相對(duì)位移！1ds虛力狀態(tài)位移計(jì)算的一般步驟：(1)建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；(2)求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力表達(dá)式;(3)用位移公式計(jì)算所求位移，注意正負(fù)號(hào)問題。

若求得⊿為正，表明位移⊿的實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向一致；⊿為負(fù)則表明位移⊿的實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向相反?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法三、虛力狀態(tài)的建立方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向施加單位力（或單位力偶）?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法1、求絕對(duì)位移

求圖示結(jié)構(gòu)上A點(diǎn)的豎向線位移或水平線位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上截面A的角位移，可在該處加一單位力偶?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿的角位移，則應(yīng)在桿件上加一個(gè)單位力偶。在鏈桿兩端結(jié)點(diǎn)上施加的一對(duì)力（大小等于桿長(zhǎng)的倒數(shù)，方向垂直于桿軸），相當(dāng)于在該桿上施加了一個(gè)單位力偶。§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上A、B兩點(diǎn)沿其連線方向的相對(duì)線位移，可在該兩點(diǎn)沿其連線加上一對(duì)方向相反的單位力。2、求相對(duì)位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求兩個(gè)截面的相對(duì)角位移，可在這兩個(gè)截面上加兩個(gè)方向相反的單位力偶。（求鉸A左右兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角）AB§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿和CB桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角，即

ABC的改變量，則應(yīng)加一對(duì)方向相反的單位力偶。二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法該公式可用來求解位移狀態(tài)上的任何位移！具體的位移與虛力狀態(tài)上所施加的單位力相對(duì)應(yīng)。dsdsK實(shí)際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式：§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法dsdsK實(shí)際位移狀態(tài)1ds虛力狀態(tài)該公式一次只能求解一個(gè)位移！需要求解多個(gè)位移時(shí)必須分別建立虛力狀態(tài)然后應(yīng)用公式。三、虛力狀態(tài)的建立方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向施加單位力（或單位力偶）。§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法1、求絕對(duì)位移

求圖示結(jié)構(gòu)上A點(diǎn)的豎向線位移或水平線位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上截面A的角位移，可在該處加一單位力偶?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿的角位移，則應(yīng)在桿件上加一個(gè)單位力偶。在鏈桿兩端結(jié)點(diǎn)上施加的一對(duì)力（大小等于桿長(zhǎng)的倒數(shù)，方向垂直于桿軸），相當(dāng)于在該桿上施加了一個(gè)單位力偶?！?-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求圖中結(jié)構(gòu)上A、B兩點(diǎn)沿其連線方向的相對(duì)線位移，可在該兩點(diǎn)沿其連線加上一對(duì)方向相反的單位力。2、求相對(duì)位移§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求兩個(gè)截面的相對(duì)角位移，可在這兩個(gè)截面上加兩個(gè)方向相反的單位力偶。（求鉸A左右兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角）AB§4-2變形體系的虛功原理和單位荷載法

求如圖所示桁架中AB桿和CB桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角，即

ABC的改變量，則應(yīng)加一對(duì)方向相反的單位力偶?！?-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移研究對(duì)象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。dsK1ds實(shí)際位移狀態(tài)虛力狀態(tài)dsdsdsd

,du,dv,dsK實(shí)際位移狀態(tài)d

,du,dv,dsdsds§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移——荷載下的位移計(jì)算公式實(shí)際位移狀態(tài)的荷載引起的內(nèi)力、、虛力狀態(tài)的單位荷載引起的內(nèi)力、、k

截面形狀系數(shù)1.2§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移抗彎剛度抗拉剛度抗剪剛度

梁和剛架

桁架——忽略剪切變形和軸向變形對(duì)位移的影響——內(nèi)力只有軸力，且同一桿件內(nèi)所有截面軸力均相同積分法計(jì)算梁和剛架位移的步驟：（1）求實(shí)際荷載作用下任意截面x的彎矩方程

；（2）求虛設(shè)單位荷載作用下任意截面x的彎矩方程；（3）代入公式計(jì)算所求位移。（直桿）§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移計(jì)算桁架位移的步驟：（1）求實(shí)際荷載作用下各桿的軸力

；（2）求虛設(shè)單位荷載作用下各桿的軸力；（3）代入公式計(jì)算所求位移?！?-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移【例】求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。解：實(shí)際荷載lx虛力狀態(tài)lx1、實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力2、建立虛力狀態(tài)§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移【例】lxlx3、求（）求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。實(shí)際荷載虛力狀態(tài)§4-3靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移【例】圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載作用。試求梁兩端截面A、B的相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：1、實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力2、建立虛力狀態(tài)，求內(nèi)力ablabl（）x虛力狀態(tài)xx00解：求圖示剛架C端的角位移。已知抗彎剛度為EI。實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力為：AB桿BC桿建立虛力狀態(tài)：AB桿BC桿aaxABCq（）【例】xxx虛力狀態(tài)【例】解：求桁架結(jié)點(diǎn)B的豎向位移，各桿EA=常數(shù)。dddddABCDE實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力ABCDE

虛力狀態(tài)下的內(nèi)力（）求ΔDy5P－8PF=15/3－4/30000000000－1－3P（）各桿EA=常數(shù)，PPP4m×3=12m3mABDC

梁和剛架

桁架求梁和剛架位移的積分法能否改進(jìn)？桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個(gè)為直線圖形ABdxABx圖乘法條件dAxy

§4-4圖乘法桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個(gè)為直線圖形ABdxABCx圖乘法條件dAAxy

§4-4圖乘法正負(fù)號(hào)規(guī)則：面積A與縱標(biāo)yC同側(cè)為正，反之為負(fù)圖乘法公式：A不一定是MP圖的面積，但yC必須取自直線彎矩圖！§4-4圖乘法yC

—是與計(jì)算面積A的彎矩圖之形心所對(duì)應(yīng)的在另一個(gè)直線彎矩圖上的彎矩縱標(biāo)！A和yC必須取自兩個(gè)不同的彎矩圖！圖乘法公式：§4-4圖乘法圖乘法計(jì)算步驟：1、作MP圖；2、建立虛力狀態(tài)，作M圖；3、用圖乘法公式求位移。A1圖乘具體問題：1、兩個(gè)直線圖形相乘——可直接圖乘A2§4-4圖乘法A1§4-4圖乘法A12、反梯形與三角形相乘——可直接圖乘A1A23、應(yīng)用疊加法分面積A1A2A3§4-4圖乘法二次拋物線4、曲線圖與折線圖相乘——應(yīng)分段圖乘§4-4圖乘法A1A2A3A4二次拋物線l/3A=hl/2lhl/2l/2h二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線A=hl/3二次拋物線A=2hl/3h頂點(diǎn)幾種常見圖形的面積和形心位置:頂點(diǎn)頂點(diǎn)在彎矩圖形的頂點(diǎn)處，剪力應(yīng)為零！只有當(dāng)頂點(diǎn)存在，才能采用面積公式和形心坐標(biāo)！【例】求圖示矩形截面懸臂梁在A端的豎向位移。解：l實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力圖

虛力狀態(tài)下的內(nèi)力圖l（）A虛力狀態(tài)qllEIB1l求B點(diǎn)豎向位移。ql2/83ql2/2A1A2

非頂點(diǎn)！q（）【例】解：求圖示剛架C端的角位移。已知抗彎剛度為EI。aaABCqABCABCABC11A1A2（）【例】解：求圖示剛架在均布荷載作用下點(diǎn)B的水平位移。EI為常數(shù)。qllABCBAC（）ABCA1A2A3

已知EI

為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。lqll

已知EI

為常數(shù)，求B截面轉(zhuǎn)角。3m4m2m虛力狀態(tài)3m4m2mA1A2

判斷下列圖乘結(jié)果正確與否：

①Ay0②③④A1y1A2y2⑤⑥

（

）√AAy0y0（

）×AAy0y0（

）×（

）×（

）×（

）×桿軸為直線；EI＝常數(shù)；

圖和圖中至少有一個(gè)為直線圖形ABABC圖乘法條件A§4-4圖乘法圖乘法公式：正負(fù)號(hào)規(guī)則：面積A與縱標(biāo)yc同側(cè)為正，反之為負(fù)圖乘法公式：A不一定是MP圖的面積，但yc必須取自直線彎矩圖！§4-4圖乘法yc

—是與計(jì)算面積A的彎矩圖之形心所對(duì)應(yīng)的在另一個(gè)直線彎矩圖上的彎矩縱標(biāo)！A和yc必須取自兩個(gè)不同的彎矩圖！圖乘法公式：§4-4圖乘法圖乘法計(jì)算步驟：1、作MP圖；2、建立虛力狀態(tài)，作M圖；3、用圖乘法公式求位移。A1圖乘具體問題：1、兩個(gè)直線圖形相乘——可直接圖乘A2§4-4圖乘法A1§4-4圖乘法A12、反梯形與三角形相乘——可直接圖乘A1A23、