廣西賀州市桂梧高中2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

賀州市桂梧高中2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過(guò)研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切

正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開(kāi)創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法,而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得萬(wàn)

的近似值，他的方法被后人稱(chēng)為割圓術(shù).近代無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種乃值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使

得乃值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式：^=2X2X4X4X6X6X根據(jù)該公式繪制出了估

2Ix3x3x5x5x7x

計(jì)圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T>2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為左上相？，

則正整數(shù)機(jī)的最小值是

A.2B.3C.4D.5

13

2.已知a=logi213/=,c=log1314,則”,仇c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

3.已知點(diǎn)A是拋物線爐=4>的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)/為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足=/司尸同，

若加取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A,歹為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（）

cD.U

A.73-1B.72-1小一、

,22

4.已知a,力為兩條不同直線，a,0,7為三個(gè)不同平面，下列命題：①若all/3,ally,貝!），〃/；②若a〃1,

a1113,則?！?；③若夕,人則。，笈；④若bVa,則?！◤钠渲姓_命題序號(hào)為（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

5.設(shè)機(jī)=In2,"=lg2,貝（）（）

A.m-n>mn>m-\-nB.m-n>m-\-n>mn

C.m+n>mn>m—nD.m-\-n>m—n>mn

6.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積等于（）cm3

.2n.37r/2〃「3?

A.4+-B.4+-C.6+-D.6+一

3232

7.已知全集。=R,函數(shù)y=ln（l—力的定義域?yàn)榧?，集合N={Rf—尤<（））,則下列結(jié)論正確的是

A.MN=NB.Mi（許N）=0

C.MN=UD.出口（七刈

8.已知集合A={x|x>—1},集合3={x|x（x+2）<0},那么A8等于（）

A.{%|x>-2}B.1%|-1<x<0}C.{%|%>-1}D.{x|-l<x<2}

9.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.

（注：同比是指本期與同期作對(duì)比；環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱(chēng)同比，2019

年2月與2019年1月相比較稱(chēng)環(huán)比）根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

0.0

舉

◎

A.2019年12月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平

B.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲

C.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲

D.2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格

10.洛書(shū)，古稱(chēng)龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一,

左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中

分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則其和等于11的概率是（）.

11.由曲線y==?圍成的封閉圖形的面積為（）

12.已知命題0：若4>1,b>c>l,則10gzla<log,a；命題q：3XO（O,4W）,使得2~<log3/”，則以下命題為

真命題的是（）

A.P^QB.Iq)C.(—p)八qD.(蟲(chóng))八(—Iq)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

17

13.已知點(diǎn)歹是拋物線丁=2爐的焦點(diǎn)，M,N是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|板|+|八不|=1，則線段中點(diǎn)的縱

坐標(biāo)為.

5

14.已知實(shí)數(shù)對(duì)任意有（1一依）5=%+qx+〃2%2--------pa5x,且4囚十出=。，貝！|

Q0+q+〃2--------%=

22

15.已知雙曲線C：T—2=1（口力＞。）的左右焦點(diǎn)為片，工，過(guò)工作工軸的垂線與。相交于A,3兩點(diǎn)，￡8與V軸

相交于。.若耳5,則雙曲線。的離心率為.

2+nZr?

16.函數(shù)/\x）=---的圖象在x=￡處的切線方程為_(kāi)________.

x2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開(kāi)端.某種植戶對(duì)一塊地的”（“eN*）

個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為5，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言，

如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.

（1）當(dāng)〃取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？

（2）當(dāng)〃=4時(shí)，用X表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.（12分）某校共有學(xué)生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間，采

用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)）.

（1）應(yīng)抽查男生與女生各多少人？

（2）根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表：

時(shí)間（小時(shí)）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]

頻率0.050.200.300.250.150.05

若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,

并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”？

男女總

生生計(jì)

每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)

每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)

總計(jì)

n(ad-bc)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(昭次0)0.1000.0500.0100.005

402.7063.8416.6357.879

19.(12分)已知函數(shù)〃x)=J,g(%)=2(x-lnx)

(I)當(dāng)x>0時(shí)，證明/(x)>g(x)；

(II)已知點(diǎn)P(x，4(x)),點(diǎn)。(-sinx,cosx),設(shè)函數(shù)〃(x)=OPOQ,當(dāng)xe—時(shí)，試判斷/z(光)的零點(diǎn)

個(gè)數(shù).

20.(12分)如圖所示,在四棱錐尸-A5CD中，底面ABC。是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面上4。為正三角形,且面PAD±

面ABCD,及尸分別為棱至,尸。的中點(diǎn).

(1)求證：E同平面R4D；

(2)求二面角P—EC—。的正切值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx-21n尤+3%—5,^(x)=lnx+—~-+

XX'

37)

(1)求證：f(x)在區(qū)間(1,舊。)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)七,且2,4?

(2)若當(dāng)時(shí)，不等式g(x)20恒成立，求證：?！匆?

4

22.(10分)記函數(shù)/(x)=x+g+|2x—l|的最小值為加.

(1)求加的值;

(2)若正數(shù)。，b,c滿足"c=m，證明：ab+bc+ca>--------

a+b+c

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

978

初始：k=l,T=2,第一次循環(huán)：T=2x-x-=|<2.8,k=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)：r-|x-x-=^1>2.8,k=3,此時(shí)T>2.8,滿足條件，結(jié)束循環(huán)，

所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是％23?,所以正整數(shù)，〃的最小值是3,故選B.

2、D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得萬(wàn)最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較a和c的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<6=("<],

U3J

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知。=log"13>1,c=logl314>L所以b最小；

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

2

由基本不等式可知lgl2,lgl4V1(lgl2+lgl4)

,代入上式可得

,lg213--(Igl2+lgl4)

域13-?2y14>[

Igl24gl3Igl2-lgl3

/1V

lg213-lgl68

_____12J

Igl2-lgl3

riwiA

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

Igl2-lgl3

Igl2-lgl3

所以a>c,

綜上可知a>c>Z>,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

3、B

【解析】

設(shè)P（x,y）,利用兩點(diǎn)間的距離公式求出現(xiàn)的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出機(jī)的最大值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢

圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.

【詳解】

設(shè)P（%y）,因?yàn)锳是拋物線Y=4》的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)/為拋物線的焦點(diǎn),

所以4（0,—1），/（0,1）,

則「心1r尸三

|相V（y-l）2+x2^（y-l）2+4y

Xy2+2y+l

當(dāng)y=0時(shí)，m=l,

當(dāng)且僅當(dāng)y=l時(shí)取等號(hào)，，此時(shí)P（±2,l）,

\PA\=2s/2,\PF\=2,

點(diǎn)尸在以A,E為焦點(diǎn)的橢圓上，2c=\AF\=2,

???由橢圓的定義得2a=|PA|+|PF|=2A/2+2,

所以橢圓的離心率，=%c=五2c=運(yùn)2行=應(yīng)/—-,1,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率

有以下幾種情況：①直接求出a，C,從而求出e；②構(gòu)造a,C的齊次式，求出e；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定

義來(lái)求解.

4、C

【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若?！ǚ?，ally,則尸〃人故①正確;

若alia,a/1（3,平面。，，可能相交，故②錯(cuò)誤；

若a，/,則。,，可能平行，故③錯(cuò)誤；

由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

5、D

【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)闄C(jī)=ln2,〃=lg2,貝!]〃z〉〃，且加e（0,1）,

所以相十〃>zm,m+n>m—n,

11111sl1101cl

又------==—==lo§2l°Tog2e=log—>log2=1,

nm1g2In22e2

m—n

即----->1,則加一〃>加〃，

mn

即m-\-n>m—n>mn,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：

21

v=v三棱柱+V半圓柱=—x2x2xl+—?7t?lxl=(6+1.5?r)cm.

一22

故答案為6+1.5九

點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.

7、A

【解析】

求函數(shù)定義域得集合M,N后，再判斷.

【詳解】

由題意M={x|x<l},N={x[0<x<l},/.MN=N.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域,

還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集，都由代表元決定.

8、A

【解析】

求出集合B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

'：A=[x\x>-1},B=(x|-2<x<0},

/.AB=[x\x>-2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理，再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可

【詳解】

由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的，所以5錯(cuò)誤；設(shè)2018年12月份,

CL—C

2018年11月份，2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為。,4c,由題意可知，b=a,——=1.9%,則有

c

c=——-——<a=b,所以O(shè)正確.

1+1.9%

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.

10、A

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x5=20,利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出其和等于11的概率.

【詳解】

解：從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),

基本事件總數(shù),7=4x5=20,

其和等于11包含的基本事件有：(9,2),(3,8),(7,4),(5,6),共4個(gè),

41

其和等于n的概率。=與=不

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為(0,0),(1,1),再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.

【詳解】

封閉圖形的面積為-d)公=Q￡卜選A.

o3412

【點(diǎn)睛】

本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.

12、B

【解析】

先判斷命題。應(yīng)的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【詳解】

,1,111

loaloa

gz,=-----,gf=-----，因?yàn)椤?gt;1,b>c>l,所以0<108“。<108“〃，所以------>------即命題p

log。6log“clog?clog加

為真命題；畫(huà)出函數(shù)y=2*和y=log3》圖象，知命題g為假命題，所以為真.

本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，然后求解結(jié)果.

【詳解】

拋物線丁=2爐的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=-y,則拋物線的準(zhǔn)線方程為'=-』，設(shè)為)，N(/,%)，則

28

\MF\+\NF\=yM+^+yN+^=^,所以'"+)^=4,則線段"N中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為之二？"=2.

8842

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用，

本題較為基礎(chǔ).

14、-1

【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法得4?！?力+仁(-02=0,又awO,所以0=2,令x=l得：

5

(1-2xI)=a0+a,+a2+a3+a4+?5,所以4+q+外+4+%+/=-1,得解.

【詳解】

由(1—ax')=g+ciyX+ciryX-+...+%龍',日.4%+a2=0,

則4G(-十+C；(-a)2=0,

又aw0,

所以a=2,

令x=l得：

(1—2XI)，=g+q+%+%+%，

所;以67g+4]+%+%+"4+。5=—1，

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

15、73

【解析】

由已知可得AK=43=也，結(jié)合雙曲線的定義可知卜用―|AEj=C=2a,結(jié)合c2=a2+〃，從而可求出離心

率.

【詳解】

解：\Ffi\=\F2O\,OD//F2B,|D^|=|DB|,又一AD_L班;,則g國(guó)=|AB|=2|明|.

r2r2r2

\AF2\=—9:.AFl=AB=—,:.\AFi\-\AF2\=-=2a9即/=2/=。2一〃2

aaa

解得c=y/3a,即e=#f.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】

卜2

本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系，分析出=幺.關(guān)于圓錐曲線的問(wèn)題,

一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計(jì)算量.

16、40x+e3y-32e-0

【解析】

2+In2Y。

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)于⑺=---求導(dǎo)后在計(jì)算在x=-處導(dǎo)函數(shù)的值，再利用點(diǎn)斜式列出方程化簡(jiǎn)即可.

x2

【詳解】

1,

一-(2+ln2x)-2x

x-2x(2+In2x)，則切線的斜率為f

八x)=2--------；--------II

[e\12e1240，e、

又‘力=7'所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，一/=一7卜一2/即4°x+/，—32e=0.

故答案為：40x+e3y—32e=0

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程問(wèn)題，需要注意求導(dǎo)法則與計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)當(dāng)〃=5或〃=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為三；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨〃的變化情況，即可得到"為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概

率最大.(2)"=1時(shí)，X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期

望即可.

【詳解】

(1)對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率P=C(3]=\'

有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.

所以當(dāng)〃=5或〃=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為匚.

16

(2)由已知，X的可能取值為0,1,2,3,1.X?84,g,

所以X的分布列為

X01231

1]_3￡1

P

1648416

X的數(shù)學(xué)期望歐=4x^=2.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)算，屬于中檔題.

18、(1)男生人數(shù)為45人，女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛

煉時(shí)間與性別有關(guān).

【解析】

(1)求出男女比例，按比例分配即可；

(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表，先求出二聯(lián)表中數(shù)值，再結(jié)合K?公式計(jì)算，利用表格數(shù)據(jù)對(duì)比判斷即可

【詳解】

(1)因?yàn)槟猩藬?shù)：女生人數(shù)=900：1100=9：11,

9

所以男生人數(shù)為一X100=45人，女生人數(shù)100-45=55人，

20

(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為：(1x0.3+1x0.25+1x0.15+1x0.05)xlOO

=75人,

每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的女生人數(shù)為37人,

聯(lián)表如下:

男女總

生生計(jì)

每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)71825

每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)383775

總計(jì)4555100

因?yàn)镽=100(18x38-7x37)2

—45x55x25x75

所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣，獨(dú)立性檢驗(yàn)，熟記公式，正確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題.

19、(I)詳見(jiàn)解析；(II)1.

【解析】

(I)令①-g(%)=二一2(%-Inn),x>0;則①=G—iKf——也.易得e"-2%>0,

%x2

O(x)>O(l)=e-2>0.即可證明/(x)>g(x)；

(II)h(x)=OP-OQ=-xsinx+e'cosx,分①xe-^-,0,②xe］。,?,③當(dāng)時(shí)，討論的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】

X

解：(I)令①(%)=/(%)-g(%)=---2(x-lnx),x>0;

則①，3=(1)(r2x).

X

令G(x)=ex-2Mx>0),

Gr(x)=ex-2(x>0),

易得G(x)在(o,加2)遞減，在(山2,+8)遞增，

/.G(x)NG(ln2)=2-21n2>0,2x>0在(。，+8)恒成立.

???①(%)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增.

/.①(x)N①⑴=e-2>0.

；/(x)>g(x)；

(II),:點(diǎn)尸(x，v(x)),點(diǎn)Q(-s加X(jué),cosx),

/?(x)=。尸.OQ=-xsinx+e，cosx,

(x)=—sinx—xcosx+excosx—exsim={ex—x)cosx—(e*+^sinx.

71

①當(dāng)元￡--,0時(shí)，可知???/-x>0

/.(/—九)cosx>0,{^ex+\^sinx<0,

/.〃(％)=(e"—xjcosx—{ex+i^sinx>0.

A7l(九)在-1-oj單調(diào)遞增，A(0)=l>0,/z(-|)<0.

/z(x)在go上有一個(gè)零點(diǎn)，

(71

②當(dāng)0,—時(shí)，cosx>sinxex>X9

I4j9

?'?excosx>xsinx,.?"(%)>0在(0,9恒成立，

小)在“(x)在無(wú)零點(diǎn).

「萬(wàn)?］上(7171,

③當(dāng)3XeI~9~時(shí)，0<cosx<sinx,

//(%)=ex(cosx-sinx)-(xcosx+sinx)<0.

/./z(x)在［o,］=>0

3)在序5單調(diào)遞減，\fj=-f<0>CT-

:.7z(x)在(o,/存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，々(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為L(zhǎng).

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想，屬于壓軸題.

岳

20、(1)見(jiàn)證明；(2)

丁

【解析】

(1)取尸。中點(diǎn)G,可證E尸GA是平行四邊形，從而EFAG,得證線面平行;

(2)取AO中點(diǎn)。,連結(jié)尸O,可得尸。，面ABC。，連08交CE于可證NPMO是二面角尸—EC—。的平

面角，再在APMO中求解即得.

【詳解】

(1)證明：取尸。中點(diǎn)G,連結(jié)GN、AG

GR為△尸。。的中位線，且GB=LC。,

2

又AE//CD且AE=L。。，.?.GE/ME且GF=AE,

2

.?.EFGA是平行四邊形，則防AG,

又EFa面PAD，AGu面QAD,

二所〃面PAD；

(2)解：取AO中點(diǎn)。，連結(jié)PO,

?面從D_L面ABC。，為正三角形，

.,.。。，面回。。，且PO=6,

連08交CE于“，可得Rt_EBCmRt_OAB,

:.NMEB=ZAOB,則/MEB+ZMBE=90°,即OM1.EC.

連又PO1EC,

可得EC,平面PQM,則WLEC,

即ZPMO是二面角P-EC-D的平面角，

在放￡BC中，BM=BE.BC=^_OM=OB—BM=

CE55

tanZPMO=絲=巫，即二面角P-EC-D的正切值為且.

0M33

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行證明，考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角，然后證明此

角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中計(jì)算.

21、(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用求導(dǎo)數(shù)，判斷Ax)在區(qū)間(1,y)上的單調(diào)性，然后再證/§),/(：)異號(hào)，即可證明結(jié)論；

(2)當(dāng)xNl時(shí)，不等式g(x)?O恒成立，分離參數(shù)只需x>l時(shí)，「V廠Qnx+2)恒成立,

x-1

設(shè)心)jQnx+2)(尤>i),需必為皿〈與，根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出近x)1nl0,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，

x-14

49

證明力(動(dòng)向<丁即可?

【詳解】

22

(1)ff(x)=1+Inx---1-3=Inx----1-4,

xx

1?

令/(x)=〃(％),則"?x)=一+=>0,

XX

所以根(％)=f\x)在區(qū)間(l,y)上是增函數(shù),

則廣(無(wú))>廣(1)=2,所以f(x)在區(qū)間(1,?功上是增函數(shù).

(3、131

又因?yàn)?5=_不也不一不<0

⑷444414)

所以/(X)在區(qū)間(1,y)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)X。，且不C

(2)由題意，8(刈=111%+生望+=之0在區(qū)間［1,+?))上恒成立,

X

即(x-l)a<x2(lnx+2)在區(qū)間［1,+8)上恒成立,

當(dāng)x=l時(shí)，a￡R；

當(dāng)時(shí)'avR日恒成立'

x2(lnx+2)

設(shè)h(x)=(x>l),

x-1

x[(x-2)Inx+3x-5]_%?/(%)

所以“（%）

(x-1)2(X-1)2

37

由（D可知，3mG,使70)=0,

254

所以，當(dāng)xe(l,〃z)時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)xe(機(jī),+8)時(shí)，〃(x)>0,

由此以x）在區(qū)間（1,加）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（私+8）上單調(diào)遞增,

m2(Inm+2)

所以/z(x)1nhi=皿?=

m-1

又因?yàn)?（加）=（加一2）ln/〃+3加一5=0,

5—

所以ln加=-------,從而％(%)*=//(加)

m-22-m

22

所以〃V——?令h(m)=——，mG

2-m2—m13

r一，/、一根2+4m八

貝!]h(m)=-------z->0,

(2-m)

37

所以久加）在區(qū)間上是增函數(shù),

2,4

74949

所以“(〃t)<h—-，故〃?h(m)<—,

44

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)