河南省三門峽市2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

河南省三門峽市2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1.若加、〃表示空間中兩條不重合的直線，。、尸表示空間中兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是（）

A芾m(xù)lln,nua,則機(jī)//orB.若muu/7,a///7,則相〃〃

C.若機(jī)則（z_L尸D.若<z_L/7,Mua,“u/7,則m

2.函數(shù)y=log。（x—3）+1（a〉0且awl）的圖象恒過定點A,若點A在直線如+"VT=0上，其中

m>0,n>0,則加〃的最大值為

1

A.1B.-

24

11

C.—D.—

816

3.命題。：a>l,命題夕：-<i（其中〃￡/?）,那么夕是q的。

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/（x+l）=3x+16,若/⑷=3吟°,則實數(shù)0的值為（）

A.1B.-1

C.2D.-2

5.化簡sin6+百cos。=（）

TTjr

A.2sin(^--)B.2sin(<9--)

7T7T

C.2sin(/9+-)D.2sin(6+?

6.計算4；-§尸=

A.-2B.-l

C.OD.l

7.設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

A.3^a2B.6^a2

C.12^a2D.24萬a?

2

8.已知％-3=4,則x等于()

A.±-B.±8

8

班L

C.^-D.±2蚯

9.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+1),則下列關(guān)于函數(shù)八力的說法中，正確的是()

A.將圖象向左平移個單位可得到y(tǒng)=sin2x的圖象

B.將/(九)圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于(0,0)對稱

57r

C.》=?是函數(shù)/(尤)的一條對稱軸

6

D.最小正周期為上TT

2

10.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y="(a>0且awl)的反函數(shù)，且"2)=1,則/(#=()

A.—B.log2x

C.log產(chǎn)D.2*-2

2

11.函數(shù)丁=優(yōu)+2(?！?且awl)圖象一定過點

A.(0,1)B.(1,0)

C.(0,3)D.(3,0)

12.如圖，在平面內(nèi)放置兩個相同的直角三角板，其中NA=3O。，且瓦三點共線，則下列結(jié)論不成立的是

A.CD=6BCB.G4CE=0

C.A5與OE共線D.CACB=CECD

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點刀(不，兒)在單位圓O上，設(shè)=且ee［若cosla+￡

則Xo的值為.

14.下列說法中，所有正確說法的序號是

①終邊落在V軸上角的集合是］。|a=當(dāng)，左ez1；

②函數(shù)>=2cos［x-3］圖象一個對稱中心是［今,o］；

③函數(shù)V=tanx在第一象限是增函數(shù)；

④為了得到函數(shù)y=SinQx-的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度

15.定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足/'(%+：!)=—/(%),且在［2021,2022］上是減函數(shù)，若A、3是鈍角三角形的兩

個銳角，對⑴=左為奇數(shù)；⑵/(cosA)</(cosB)；(3)/(sinA)>/(sinB)；(4)

/(sinA)</(cosB)；⑸/(cosA)>〃sin5).則以上結(jié)論中正確的有.(填入所有正確結(jié)論的序號).

16.我國古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》(楊輝著)一書中有關(guān)于三階幻方的問題：將1,2,3,4,5,6,7,8,9

分別填入3x3的方格中，使得每一行，每一列及對角線上的三個數(shù)的和都相等(如圖所示)，我們規(guī)定：只要兩個幻

方的對應(yīng)位置(如每行第一列的方格)中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個數(shù)是

□□

□□

□O3

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.某手機(jī)生產(chǎn)商計劃在2022年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本200

10x2+100x,0<x<25

萬元，每生產(chǎn)x(千部)手機(jī)，需另投人成本R(x)萬元，且R(x)=<9000，由市場調(diào)研知,

510%+^^-4250,%>25

x

每部手機(jī)售價0.5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求出2022年的利潤W(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式；(利潤=銷售額-成本)

(2)2022年產(chǎn)量為多少干部時，該生產(chǎn)商所獲利潤最大?最大利潤是多少？

18.函數(shù)/(x)=Asin(0x+。)卜〉0,0＞0,0＜。＜3在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，0為坐標(biāo)原點，M,N為圖

象上相鄰的最高點與最低點，；,o］也在該圖象上，且［0〃|=半,|頊|=2逐

(1)求A》)的解析式；

(2)的圖象向左平移1個單位后得到g(x)的圖象，試求函數(shù)")=/(%)超⑴在上的最大值和最小值

19.已知函數(shù)f(x)=log2(22x+1)+ax

(1)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；

(2)在(1)條件下，若g(x)=f(x)K，求函數(shù)g(x)的零點

20.如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在/(單位：S)時相對于平衡位置(靜止時的位置)的高度介(單位：cm)

由關(guān)系式〃=Asin［of+：］確定，其中A〉0,。〉0,fe［0,+8).在一次振動中，小球從最高點運(yùn)動至最低點所

用時間為1s.且最高點與最低點間的距離為10cm

(1)求小球相對平衡位置高度〃(單位：cm)和時間/(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)小球在。內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，求辦的取值范圍

21.如圖，幾何體上四力中，四邊形。如是正方形，四邊形地力為直角梯形，AB//CD,ADVDC,是腰長為

2夜的等腰直角三角形，平面頗7U平面儂》

(1)求證：BCVAF-,

（2）求幾何體斫位的體積

22.運(yùn)貨卡車以x千米/時的速度勻速行駛300千米，按交通法規(guī)限制50Wx<100（單位千米/時），假設(shè)汽車每小時耗

油費(fèi)用為（24+前）元，司機(jī)的工資是每小時46元.（不考慮其他因所素產(chǎn)生的費(fèi)用）

（1）求這次行車總費(fèi)用》（元）關(guān)于8（千米/時）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)％為何值時，這次行車的總費(fèi)用V最低？求出最低費(fèi)用的值

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1、C

【解析】利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷或舉反例判斷

【詳解】對于A,若nu平面a,顯然結(jié)論錯誤，故A錯誤；

對于B,若mua,nuB,a//&,則m〃n或m,n異面，故B錯誤；

對于C,若111_111,m±a,n±g,貝a_LB,根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判定，故C正確;

對于D,若a0,mua,nuB,則m,n位置關(guān)系不能確定，故D錯誤

故選C

【點睛】本題考查了空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題

2、D

【解析】???由X—3=1得X=4,

工函數(shù)y=log/x-3）+1（〃>0且awl）的圖像恒過定點A（4,l）,

??,點A在直線加v+町^—1=。上，/.Am+n-XfI4m+口22J4加?n，

當(dāng)且僅當(dāng)4m即加=L,時取等號，

282

mn<—,相，最大值為—，

1616

故選D

【名師點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或

和為定值；三相等——等號能否取得“，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤

3、A

【解析】根據(jù)充分性、必要性的定義，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】當(dāng)。>1時，--i=—<0^-<1,所以由。>1能推出工<1,

aaaa

當(dāng),<1時，顯然當(dāng)a=—1時，滿足,<1,但是。>1不成立，

aa

因此。是4的充分不必要條件，

故選：A

4、B

【解析】首先求出了（X）的解析式，再根據(jù)指數(shù)對數(shù)恒等式得到/（。）=10,即可得到方程，解得即可；

【詳解】解：根據(jù)題意，/（x+l）=3x+16=3（x+l）+13,

則有/（x）=3x+13,若〃。）=3晦1。=10,即3a+13=10,解可得a=-L,

故選：B

5、D

【解析】利用輔助角公式化簡即可.

【詳解】sin+V3COS6

Qf1?/□Vf'A

=2x-sm〃H----cost/

□2J

（兀.c、兀d

=2xcos—sint/+sin—cost/

I33）

=2sin[e+/].

故選：D

6、C

【解析】4?-（口=2-2=0.

故選c.

7、B

【解析】方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，長方體的對角線的

長就是外接球的直徑，所以球直徑為：、演,

所以球的半徑為逅a,

所以球的表面積是4萬=68兀故選B

2

8、A

【解析】把已知等式變形，可得祥=工,進(jìn)一步得到X2=L,則X值可求

464

【詳解】由題意，可知一|_4,可得親=4,即#7=9，所以x2=《，解得x=土!

X—4W4648

故選A

【點睛】本題主要考查了有理指數(shù)塞與根式的運(yùn)算，其中解答中熟記有理指數(shù)塞和根式的運(yùn)算性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答

的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象變換性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的對稱性和周期性逐一判斷即可.

【詳解】A："%)圖象向左平移三個單位可得到函數(shù)的解析式為：y=/(x+=)=cos(2x+2+W)=—sin2x,故

本選項說法不正確；

B：”力圖象向右平移￡個單位，所得函數(shù)的解析式為；y=/(x—$)=cos(2x—￡+￡)=COS2X,因為

6633

cos2x=cos(-2%),所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于原點對稱，故本選項說法不正確；

C：因為;■(學(xué))=1,所以x=?是函數(shù)/(%)的一條對稱軸，因此本選項說法正確;

66

2兀

D：函數(shù)的最小正周期為：——=兀，所以本選項說法不正確，

2

故選:C

10、B

【解析】由題意可得出/(x)=log“x,結(jié)合"2)=1可得出。的值，進(jìn)而可求得函數(shù)/(尤)的解析式.

【詳解】由于函數(shù)y=/(x)是函數(shù)丁=優(yōu)(a>0且awl)的反函數(shù)，則/(%)=logaX,

則〃2)=loga2=l,解得。=2,因此，/(x)^log2x.

故選:B.

11、c

【解析】根據(jù)>=優(yōu)過定點（0,1）,可得函數(shù)>=優(yōu)+2過定點（0,3）.

【詳解】因為在函數(shù)>=優(yōu)+2中，

當(dāng)％=0時，恒有y=a°+2=3,

函數(shù)y=a'+2的圖象一定經(jīng)過點（0,3）,故選C.

【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的幾何性質(zhì)，屬于簡單題.函數(shù)圖象過定點問題主要有兩種類型：（1）指數(shù)型，主要

借助丫=優(yōu)過定點（0,1）解答；（2）對數(shù)型：主要借助y=log〃x過定點（1,0）解答.

12、D

【解析】設(shè)BC=DE=m,VZA=30°,且B,C,D三點共線，貝！|

CD=AB=6/n,AC=EC=2m,/.ZACB=ZCED=60°,ZACE=90°,CD=y/3BC,CACE=0,AB//DE,

故A、B、C成立；而CB=2m<0$60=m2>CE-CD—2m-y/3m-cos30=3〃/，

即。4?。8=。石?。不成立，故選D.

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

13,--

10

兀、兀、(n.\7T].71

【解析】由題意，和=cosa,cosa=cos[(a+w)-]]=cosl6Z+—l-cos—+sinl6Z+—Ism—,只需求出

sin]a+即可.

E、，(713n\71(71

【詳解】由題意，%o=cosa,因為aGI—I,所以二+了61',/

sin|6Z+—j=J1-COS2(6Z+—)=-,所以cosa=cos[(a+:)一二]=

4jV4544

萬、?"4V23V26

cosCLH~~—*cos—+sina—sin—=—x----1—x—=-------.

I44j4525210

故答案為：—巫

10

【點睛】本題考查三角恒等變換中的給值求值問題，涉及到三角函數(shù)的定義及配角的方法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,

是一道中檔題.

14、②④

【解析】當(dāng)左=2時，a=〃，終邊不在y軸上，①錯誤；因為2時乎一訃0,所以圖象的一個對稱中心是嚀0

77

②正確；函數(shù)的單調(diào)性相對區(qū)間而言，不能說在象限內(nèi)單調(diào)，③錯誤；函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移7個單位長度,

6

的圖象，④正確.故填②④

15、(1)(4)(5)

【解析】令龍=-；，結(jié)合偶函數(shù)得到/==根據(jù)題意推出函數(shù)的周期為2,可得(1)正確；根據(jù)函

數(shù)在［2021,2022］上是減函數(shù)，結(jié)合周期性可得了(%)在［0,1］上是增函數(shù)，利用A、3是鈍角三角形的兩個銳角，結(jié)

合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得sinA<cos5,cosA>sinB,再利用函數(shù)7(%)的單調(diào)性可得(4)(5)正確,

TT

當(dāng)A=B=—時，可得(2)(3)不正確.

6

【詳解】???/(x+l)=_/(x),令龍=_g，得d=_/［-￡|，又"X)是偶函數(shù),

且/(x+2)=—/(X+1)=—［―/(X)］=/(無)，可得函數(shù)〃尤)是周期為2的函數(shù).故/0,人為奇數(shù).故⑴

正確；

?:A、3是鈍角三角形的兩個銳角，

TVTT

：.A+B<-,可得A<——B,

22

?.?'=$皿》在區(qū)間(0,1］上是增函數(shù)，0<A〈工—3〈工,

I2)22

sinA<sinUcosB,即鈍角三角形的兩個銳角A、B滿足sinA<cos6,

由V=cosx在區(qū)間0,g上是減函數(shù)得cosA>sinB,

?.?函數(shù)/(%)是周期為2的函數(shù)且了(尤)在［2021,2022］上是減函數(shù)，在［—1,0］上也是減函數(shù)，又函數(shù)/(%)

是定義在R上的偶函數(shù)，可得/(%)在［0』上是增函數(shù).

???鈍角三角形的兩個銳角A、5滿足sinA<cos5,cosA>sinB,

且，sinA,cosB,cosA,sinBe(0,1),

/.f(sinA)</(cosB),/(cosA)>/(sin5).故(4)(5)正確；

當(dāng)A=B=工時，cosA=cosB,sinA=sinB=-,/(cosA)=/(cos5),/(sinA)=/(sin5),故(2)

622

(3)不正確.

故答案為：(1)(4)(5)

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.

16、8

【解析】三階幻方，是最簡單的幻方，由1,2,3,4,5,6,7,8,9.其中有8種排法

492、357、816；276、951、438；

294、753、618；438、951、276；

816、357、492；618、753、294；

672、159、834；834、159、672

故答案為：8

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

-10%2+400%-200,0<x<25

17、(1)W(x)=--10x-^^+4050,x>25

(2)2022年產(chǎn)量為20千部時，該生產(chǎn)商所獲利潤最大，最大利潤是3800萬元

—10%2+400%—200,0<%<25

【解析】(D根據(jù)題意，建立分段函數(shù)模型得W(力=9000

'7—10%------+4050,%>25

(2)結(jié)合(1)的函數(shù)模型，分類討論求解最值即可得答案.

【小問1詳解】

解：銷售無干部手機(jī)獲得的銷售額為：0.5x1000%=500%.

當(dāng)0vxv25時，W(x)=500x-10x2-100x-200=-10x2+400x-200；

9000

當(dāng)xN25時，=500x-510x-+4250-200=-10x-+4050

XX

—IO%2+400x—200,0<x<25

故(

W%)=<-10%-^^+4050,^>25

x

【小問2詳解】

解：當(dāng)0<x<25時,W(x)=-10x2+400x-200,

當(dāng)尤=20時，W(x)=-4000+8000-200=3800,

\/max

當(dāng)％之25時，W(x)=—10x—+4050<-2790000+4050=3450,

X

當(dāng)且僅當(dāng)—10x=—豈也，即x=30時，等號成立，

X

因為3800>3450,

所以當(dāng)％=20（千部）時，所獲利潤最大，最大利潤為：3800萬元.

71幾

18、(1)/(x)=2sin(—%+—)

（2）最大值和最小值分別為血和-2

【解析】（D連接交8軸于點E,過點M作于點Q,設(shè)OQ=f,通過勾股定理計算出和/,再結(jié)

合尸1-也在該圖象上可求解；

jr37r

（2）根據(jù)平移得到g（x）=2sin（2尤+蘭），再化簡得R（X）=2COSG,從而可求最值.

24

【小問1詳解】

連接肱V交x軸于點E,過點用作于點Q.

產(chǎn)

MQ1=OM2-t2MQ2=1Z—「1

4=><!it-——

設(shè)OQ=r,則有W-c1.J即<2

MQ2=ME2-(t+^)2

MQ2=5-(Z+-)2MQ=2

、2

所以PE=2,A=2,因此T=4,

所以有丁=2工=4,解得。=g,所以/(x)=2sin(gx+0),又因為其過尸(―g,0

①2212

ITTTTTTC

貝!|25111(-1+夕)=0=>一^+夕=左"(左€2),又0<°<,，從而得0=^,

兀冗

所以/'(x)=2sin(5X+i).

【小問2詳解】

由/(x)=2sin(-x+-)向左平移1個單位后，得g(x)=2sin(gx+當(dāng),

2424

所以尸(無)=4sin(g尤+f)?sin(￡x+苧)

2424

.,A/2.7iA/2兀、，亞.兀A/2萬、

=4(—sin—xH-----cos—x)(------sin—xH------cos—X)

22222222

兀冗冗冗

-2(cos—x+sin—x)(cos—x-sin—x)

2222

=2cos;rx?

j_5?,71571

因為xe貝!I萬

了3

所以當(dāng)7TX=7T時有最小值，F(xiàn)(x)1nhi=-2；

當(dāng)萬x=?時有最大值，F(xiàn)(x)max=72.

19、(1)a=-1;(2)g(x)有兩個零點，分別為log2(2T、/§)和log2(2+

【解析】(D由函數(shù)為偶函數(shù)得f(-l)=f(l)即可求實數(shù)a的值；

2x2xx+:x

(2)g(x)=log2(2+1)T_2=log2(2+1)-log22=0?計算(2')2-4(2)+1=0令2"=t(t>0),則

t2-4t+1=0即可?

試題解析：

⑴解：；f(x)是定義在R上的偶函數(shù).

,\f(—1)=f(1),即，5

ku7log2--a=loggS+a

故:工.經(jīng)檢驗滿足題意

l?og27Togs5l?og2j?

a-2~~T~~T

(2)依題意g(x)=log2(22x+1)-K-2

2xx

=log2(2+1)-Log22+2.

則由22、+1=2，+2,得⑵)2T⑵)+1=0，

令2X=t(t>0)，則12yt+1=0

解得ti二二2+\/§?

即X1=log2(2-^\/3),X2=log2(2+依)?

?,?函數(shù)g(x)有兩個零點，分別為log2(2f/§)和log2(2+V§)?

20、(1)/z=5sin［兀/+0；(2)98—,100—

【解析】(1)首先根據(jù)題意得到4=竺=5,7=2=—,從而得到/7=5sin17i/+；］,Z>0

2(D\4J

(2)根據(jù)題意，當(dāng)/=工時，小球第一次到達(dá)最高點，從而得到工+497<%<l+507，再根據(jù)周期為2,即可得到

444

98-<Z<100-.

44

【詳解】(1)因為小球振動過程中最高點與最低點的距離為10cm,所以4=竺=5

2

因為在一次振動中，小球從最高點運(yùn)動至最低點所用時間為1S,所以周期為2,

即丁=2=&，所以。=兀

CD

所以〃=5sin［m+：］,/>0

(2)由題意，當(dāng)￡=工時，小球第一次到達(dá)最高點，

4

以后每隔一個周期都出現(xiàn)一次最高點，

因為小球在格內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，

所以工+49TK%<^+50T

44

因為T=2,所以98工4<1002，

44

所以辦的取值范圍為98:100；1

(注：力的取值范圍不考慮開閉)

21、(1)詳見解析；(2)—.

3

【解析】(1)