專題09 勾股定理及其逆定理壓軸題九種模型全攻略（原卷版）

專題09勾股定理及其逆定理壓軸題九種模型全攻略考點(diǎn)一用勾股定理解三角形考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題考點(diǎn)五判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點(diǎn)六在網(wǎng)格中判斷直角三角形考點(diǎn)七圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)考點(diǎn)八利用勾股定理逆定理求解考點(diǎn)九勾股定理逆定理解決實(shí)際問題典型例題典型例題考點(diǎn)一用勾股定理解三角形例題：（2022·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，則AC的長(zhǎng)應(yīng)是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）已知一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)可以是__________．（寫出一個(gè)即可）2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長(zhǎng)．考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積例題：（2022·天津二中八年級(jí)期中）如圖所示，三個(gè)大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（

）A．225 B．144 C．81 D．無法確定【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是________．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為______．考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題例題：（2022·福建福州·八年級(jí)期末）在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點(diǎn)上，長(zhǎng)度是的線段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為__________．2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題例題：（2022·湖北咸寧·八年級(jí)期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長(zhǎng)為__________．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長(zhǎng)為______．考點(diǎn)五判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例題：（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）以下列各組數(shù)為三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)開學(xué)考試）若的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是____________．2．（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學(xué)校八年級(jí)期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC是_____三角形．考點(diǎn)六在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題：（2022·湖北·谷城縣教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中的度數(shù)為___________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林松原·八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為___．2．（2022·青海西寧·八年級(jí)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，．(1)__________；(2)判斷△的形狀，并說明理由．考點(diǎn)七圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，，兩點(diǎn)之間的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)有______個(gè)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)_________s時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)_________s時(shí)，是直角三角形．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．考點(diǎn)八利用勾股定理逆定理求解例題：（2022·河北衡水·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，．（1）的度數(shù)為_____；（2）若是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度數(shù)．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一點(diǎn)，BD＝9，CD＝12(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)九勾股定理逆定理解決實(shí)際問題例題：（2022·湖南張家界·八年級(jí)期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川廣安·八年級(jí)期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，已知，，，，．現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草，若每平方米草地造價(jià)30元，在這塊空地上全部種草的費(fèi)用是多少元？2．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）“村村通”公路是我國(guó)的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A，B，C三個(gè)村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個(gè)景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測(cè)得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判斷△ACM的形狀，并說明理由；(2)求公路AB的長(zhǎng).3．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）聊城市在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測(cè)量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·黑龍江·林口縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期末）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（

）A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 B．BC∶AC∶AB＝5∶12∶14C．BC＝1，AC＝2，AB＝ D．BC＝3，AC＝4，AB＝52．（2022·寧夏·吳忠市第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2022·西藏昂仁縣中學(xué)八年級(jí)期中）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和5，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（

）A．4 B．16 C． D．4或4．（2022·廣東·廣州市五中附屬初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）若、、滿足，則、、為邊的三角形面積是（

）A． B． C． D．以上答案均不對(duì)5．（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分別以AB，BC，AC為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分的面積等于（

）cm2A．18 B．24 C．36 D．48二、填空題6．（2022·西藏昂仁縣中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線BD＝5，BC＝4，則△ABD的周長(zhǎng)＝______．7．（2022·河南·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方形的一邊在數(shù)軸上，寬為1，，則數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為______．8．（2022·新疆塔城·八年級(jí)期末）如圖，園丁住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示．已知米，米，米，米，且，這塊草坪的面積是_______．9．（2022·寧夏·吳忠市第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行________m．10．（2021·河南·鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）動(dòng)手操作：如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______．三、解答題11．（2022·重慶·八年級(jí)期中）有一旅游景點(diǎn)在一條筆直河流的一側(cè)，河邊有兩個(gè)碼頭，并且，由于某種原因，由到的路已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊點(diǎn)新建一個(gè)碼頭點(diǎn)，，在同一直線上，并新修一條筆直的公路，測(cè)得千米，千米，千米．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求原路線的長(zhǎng)．12．（2020·四川涼山·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，(1)求證：；(2)求四邊形ABCD的面積．13．（2021·江西·崇仁縣第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC與△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB，AB＝DE．(1)求證：BC＝DB；(2)若BD＝6cm，求AB的長(zhǎng)．14．（2021·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的△A