2024年九年級中考數(shù)學復習-二次函數(shù)之面積最值問題（解析版）

二次函數(shù)之面積最值問題

題目［（2023秋?廬陽區(qū)校級月考）如圖，已知:拋物線y=—《a;?+近+0經(jīng)過點4（0,2）點（7（4,0）,且交0

軸于另一點B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上有一點/■，求△ACM面積的最大值及此時點M■的坐標；

（3）加■點坐標為（2）中的坐標，若拋物線的圖象上存在點P,使△ACP的面積等于△4W面積的一半，則P

點的坐標為(2+前，石屋)或(2—0，上浮)或(2+2,或(2

八

yy

/BO\C^.*/BO\

/'備用圖

【解答】解：⑴把4。，2)、(7(4,0)代入"=—^/+b/+c得：(c=2

[-4+4b+c=0'

解得2,

[c=2

/.拋物線的解析式為y=—巳/+《/+2;

42

⑵過河作軸交/。于K,如圖：

yH

設(shè)“(山，一一]M2+]項+2),A4CM面積為S,

由4。，2)、。(4,0)得直線AC解析式為g=~YX+2，

/.K(m,-+2),

/.KM—(+2)—(-+2)=--^m2+m,/BO]

22

/.S=\xc—x^=^-X(一■1-m+m)X4=--^-m+2m==-y(m-2)2+2,

T＜。，

當m=2時，S取最大值2,

此時Af(2,2);y"

.?.△ACM■面積的最大值是2,此時點M的坐標為(2,2);

(3)過P作尸N〃:y軸交AC于N,

設(shè)P(n,卜1'；71+2)，則N(n,―+2),

/B0

PN=(―^n2+yn+2)-(―yn+2)=-^n2+n\,

+2心圖2

S^=-^-PN-\x—x\=}x|--^-n2+n\x4=一■^-n2

ACPcA?M

解得71—2+A/6或2—A/6或2+,x/2"或2--\/2.

/.P點的坐標為（2+V6,1%嗎或（2—幾，:或（2+方，3~^）或（2—四，個返）.

故答案為：（2+乃，上篝）或（2，-%或（2+0，當①）或已—方，法巫）?

題目區(qū)（2022秋?營山縣校級期末）己知拋物線y=-x2+bx+c（b、c為常數(shù)），若此拋物線與某直線相交于A

（—1,0）,。（2,3）兩點,與夕軸交于點N,其頂點為。.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標；

（2）若點P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）點H（n,t）為拋物線上的一個動點，H關(guān)于沙軸的對稱點為亂,當點亂落在第二象限內(nèi)，Ml取得最小

【解答】解:⑴將4—1,0),。(2,3)兩點代入y=—/+W：+c,

.(—1—&+c=0

V—4+2b+c=3

b=2

解得

C3

：.y=-x2-\-2x-\-3,

*.*y——1？+2力+3——(T—1y+4,

(2)設(shè)4。的直線解析式為沙二妞+》,

.(-k-\-b=0

12k+b=3'

k=l

解得

b=1

過點P作PG〃g軸交力。于點G,

設(shè)P(t9-1+2(+3),則G(t,t+1),

/.PG——/+力+2,

S^=-yX3X(—t2+t+2)=-'(力―/y+等，

PAC???

當力=［時，AP4c的面積最大值為名，

此時pg，?）；

（3）點H（n,t）為拋物線上的一個動點，點區(qū)與〃點關(guān)于“軸對稱,

H^—n,t）,Hi在拋物線g=—x2—2x+3上，

t——TI—2n+3,

：.HJA2=（n+l）2+t2=t2-t+4=（t-9+號，

.?.當t=J時，耳/2有最小值，

1

1——TL9+271+3,

解得n=l+乎.

題目區(qū)（2023秋?靳春縣期中）如圖，拋物線y=（x+l）2+fc與2軸交于4B兩點，與夕軸交于點。（0,—3）.

（1）求拋物線的對稱軸及k的值；

（2）拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA+PC的值最小,求此時點P的坐標；

（3）點河是拋物線上一動點，且在第三象限.

①當初點運動到何處時，△⑷WB的面積最大？求出4AMB的最大面積及此時點M的坐標；

【解答】解：（1）。??拋物線g=（6+與/軸交于4、_B兩點，與g軸交于點。（0,—3）,

—3=（。+l）2+fc,

解得：k=—4,

.,?拋物線的解析式為：（力+1）2-4,

故對稱軸為：直線力=—1;

⑵存在.

如圖，連接AC,交對稱軸于點P,此時PA+PC的值最小,

當g=0,則0=（劣+1）2—4,

解得：◎=1,力2=—3,

由題意可得：4ANP?叢AOC,

網(wǎng)&L=2L

AOCO，

故2=坦

攵33,

解得：PN=2,

則點P的坐標為：（一1,—2）;

⑶點河是拋物線上的一動點，且在第三象限，

故一3<cV0;

①如圖，設(shè)點M'的坐標為:（企+1）2—4],

,/AB=4,

22

'''S^AMB=yx4x|（x+I）—4|=2]（c+I）—4|,

?.?點A/在第三象限，

S&AMB=8—2（a;+I）2,

當2=-1時，即點”的坐標為（-1,-4）時，AAMB的面積最大，最大值為8;

②設(shè)點河的坐標為：也3+1）2-4],

設(shè)直線47的解析式為：y=ac+d,

f—3a+d=0

將（一3,0）,（0,一3）代入得:td=—3

解得:「J.

[d=—3

故直線AC:y——x—3,

設(shè)點P的坐標為：(力，—X—3),

故PM——X-3—(2+1)2+4=—X2—3X=—(x+-1-)2+-j-

當x——時，PM最大，最大值為.

題目?（2023秋?江南區(qū)校級期中）如圖，拋物線?/=遍_4網(wǎng)-12a與①軸交于A、B兩點（點A點8點的

左邊），與y軸交于點C.直線I與拋物線交于4、。兩點，與夕軸交于點E,點D的坐標為（4,3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是拋物線上的點且在直線Z上方，連接P4、PD,求當APAD面積最大時點P的坐標及該面積的

最大值；

（3）若點Q是g軸上的點，且/4DQ=45°,求點Q的坐標.

備用圖

【解答】解：(1)二。(4,3)在拋物線夕=a,2_4a/—：12a上，

3=16a—16a—12a,

解得。=一[,

拋物線的解析式為g=―巳/+/+3；

4

(2)當g=0時，0=―^x2-\-x+3,

解得/i=—2,g=6,

???4-2,0)、石(6,0);

如圖1中，過點、P作PK//g軸交4D于點K.設(shè)-l*+nz+B),則K(m,+1).

?*S"AD=]?{XD-XA)*PK=3PK,

???PK的值最大值時，AF4D的面積最大，

11111xo9

?/PK=--m29+m+3——m—91=——-m2+--mz+2=--(m—1)2+-T-,

42424'4

=l時，PK的值最大，最大值為日，此時△PAD的面積的最大值為手，F(xiàn)(l,-j-).

(3)如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT,則T(-5,6),

圖2

5

設(shè)。T交沙軸于點Q,則乙4DQ=45°,

???0（4,3）,

直線DT的解析式為夕=—42+圣，

OO

。（。,號），

作點T關(guān)于AD的對稱點T，（l,一6）,

則直線。7的解析式為y=32一9,

設(shè)DQ'交"軸于點Q',則AADQ'=45°,

Q'（0,—9）,

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（0,學）或（0,-9）.

O

［題目回（2023秋?濱城區(qū)期中）如圖，已知拋物線y=ax2+^-x+4的對稱軸是直線，=3,且與，軸相交于

力、B兩點（B點在力點的右側(cè)），與沙軸交于。點.

（1）求A點、B點坐標；

（2）求直線的解析式；

（3）點P是直線上方的拋物線上的一動點（不與B、。重合）,是否存在點P,使4PBC的面積最大？若

存在,請求出AFBC的最大面積;若不存在,試說明理由.

3

—3,解得：a=-,

2a4

/.拋物線的解析式為y=―+4.

42

當g=0時，一］—+_|■力+4=0,

解得:宏產(chǎn)一2,劣2=8,

???點幺的坐標為（-2,0）,點石的坐標為（8,0）;

⑵當力=0時，。=4,

???點C的坐標為（0,4）.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（kW0）.

8k―i—b-

{b=4

屹=工

解得：2,

Ib=4

直線BC的解析式為夕=—|■力+4;

（3）存在點P,使△PBC的面積最大,理由如下：

設(shè)點P的坐標為（①，一$2+5，+力，過點。作PD〃沙軸，交直線于點。，則點。的坐標為（①，-yZ

PD——-+4—(--+4)=----X2+2X,

4224

S^PBC=qPD?OB=x8"(—^-a;2+2a:)=—x2-h8x——(x—4)2+16.

v-l<0,

當c=4時，△PBC的面積最大，最大面積是16.

?/0<a;<8,

,存在點P,使△PBC的面積最大，最大面積是16.

［題目⑹（2023秋?福清市期中）如圖，拋物線y=-x2-bx+c與2軸交于A（—4,0）,B兩點，與沙軸交于點。

（0,—4）,作直線AC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為線段AC上的一個動點,過點P作，軸的垂線交拋物線于點。，連接當四邊形ADBP的

面積最大時.

①求證:四邊形0cp。是平行四邊形；

②連接AD,在拋物線上是否存在Q,使NADP=/DPQ,若存在求點Q的坐標;若不存在說明理由.

[c=—4

7

則拋物線的表達式為：y=—/—54一4①；

⑵①證明：由拋物線的表達式知，點石（一1,0）,則AB=3,

由點力.、（7的坐標得,直線AC的表達式為：y——x—4,

設(shè)點D（x,—4）,則點P[x,—x—4）,

則PD=—/—46,

四邊形ADBP的面積=1xABxPD=yx3x（-J;2-4T）,

,?,號V0,故四邊形ADBP的面積有最大值，

此時x=—2,

則點O、P的坐標分別為：（一2,2）、（一2,-2）;

由點P、D的坐標得:PD=4=CO,

則OCHPD,

則四邊形OCPD是平行四邊形；

②解：由點_4、P、。的坐標知，△4RD為等腰直角三角形，

則/ADP=45°,則直線的表達式為：y=±+4,

?/ZADP=ZDPQ,

則PQ〃皿

則直線PQ的表達式為：9=（2+2）—2=2②，

聯(lián)立①②得：一丁—5劣—4=a;,

解得：力=—3+逐（不合題意的值已舍去），

則點Q的坐標為：（-3+-x/5,—3+J5）,

當點Q和點力重合時，也符合題意，

則點。（一4,0）,

綜上，點Q的坐標為：（-3+,—3+或（一4,0）.

題目0（2023?臨淄區(qū)一模）如圖，拋物線^=+/_劣—4與力軸交于點A和昂與g軸交于點。.

⑴求A、B、C三點坐標；

（2）如圖1,動點P從點A出發(fā),在線段上以每秒1個單位長度向點B做勻速運動，同時，動點Q從點B

出發(fā),在線段BC上以每秒0個單位長度向點。做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運

動，連接PQ,設(shè)運動時間為t秒，問P、Q兩點運動多久后△PBQ的面積S最大，最大面積是多少？

（3）如圖2,點D為拋物線上一動點，直線AO交v軸于點E,直線BD交g軸于點F,求%的值.

Ur

8

【解答】解：(1)令"=0,即有：-^-x2—x—4=0,

利用因式分解法，求得：/i=-2,g=4,

結(jié)合圖形，可知4—2,0)、B(4,0),

令6=0,g=-x—x—4二-4,

則有。點坐標為：。(0,—4),

即結(jié)果為:A(-2,0)、B(4,0),C(0,-4);

(2)vA(-2,0),B(4,0),C(0,-4),

??.AO=2、BO=4=CO,

??.△BOC是等腰直角三角形，4B=4O+BO=2+4=6,

BC=VOC2+BO2=^42+42=4V2,

過Q點作QN±AB于N點,如圖，

根據(jù)運動的特點，可得：AP=￡,BQ=V2t,

BP=6—力，

---AB=6,BC=4&

0<t<^-=4

?.力的取值范圍為：72

.?△BOC是等腰直角三角形,

?.Z05(7=45°,

：QN±AB,

\ZQNB=90°,

?.NNQB=NOBC=45°,

?.△QNB是等腰直角三角形，QN=BN,

：BQ=V2t,BQ=VBN2+NQ2,QN=BN,

\QN=BN=t,

...SAPBQ=yXBPXQN=1(6-t)t=9(t-3)2V

???0V力＜4,

.?.當t=3時，$步瓦2有最大值，最大值為今，

運動t=3秒時，S”有最大值，最大值為今；

12

(3)根據(jù)題意，設(shè)點。的坐標為：D(m,

設(shè)直線AD的解析式為：y=+b,

<_2k+b=0

,12

.km+b=-z-m-m-4

?,乙,

'b=m-4

<i_m-4

解得k=2,

二nr4

即直線AD的解析式為：y一廠xtm-4

-

_m4-.=-.

人?y—z-x+m4m4

.?.令c=0,2,

點坐標為：(0,m—4),

vC(O,-4),

.?.CE=|m-4+4|=|m|,

v=m+2x—2(m+2)

同理可求出直線BD的解析式為：y2XN'mz,

=m

.入nyQ2x-2(m+2)=-2(m+2)

???F點坐標為：(0,-2m-4),

vC(0,-4),

CF—|—2m—4+4|=|2m|,

根據(jù)題意可知：若m=0,則可知E、F、O、C四點重合，

此時不符合題意，故mW0,

CEmm1

/.CF-l2ml-21ml-2,

即值為

題目0(2023秋?包河區(qū)期中)如圖，已知拋物線y=—/+2。+3與，軸交于點A,B兩點，與g軸交于點C,

點P是BC上方拋物線上的一動點，作PM，/軸于點河，點河的橫坐標為t(O<t<3),交BC于點D

(1)求A,B的坐標和直線BC的解析式；

(2)連接BP,求△CFB面積的最大值；

(3)已知點Q也在拋物線上，點Q的橫坐標為1+2,作軸于點F,交BC于點E,若P,。，Q,E為

頂點的四邊形為平行四邊形，求1的值.

【解答】解：⑴令0=0,則―/+26+3=0,

解得力］=-1,62=3,

.\A(-l,0),B(3,0);

令力=0,則g=3,

AC(O,3),

設(shè)直線的解析式為g=fcr+b,

3%+b=0

把B(3,0),C(0,3)代入解析式得:

b=3

10

k=-l

解得

b=3

???直線石。的解析式為y=-x+3;

(2)??,點河的橫坐標為九點P在拋物線夕=一/+22+3上，。在直線g=—c+3,

P(t,—F+21+3),D(t,—t+3),

PD———/+2力3——(——t+3)———力?+2力+3+力——3—■——/+3力，

Ss=^PD-OB=1(-i2+3i)x3=一和2—3。=-1(i-5)2+戔，

當t=1■時，S^CPB有最大值,最大值為,

Zo

ACPB面積的最大值為當；

O

(3)①如圖所示，當四邊形POEQ為平行四邊形時，

???PM_L1軸，Q斤_L力軸，

：.PD//EQ,

???四邊形PDEQ為平行四邊形，

/.PD=QE,

???點Q的橫坐標為力+2,點Q在拋物線y=-X2-\-2X+3上，石在直線y=—x+3,

Q(t+2,—i?—2t+3),E(t+2,—t+1),

QE——力2—2t+3—(—t+1)——F—2t+3+力-1=—F—t+2,

——力2+3力———力2——t+2,

解得力=.；

②如圖所示，當四邊形POQE為平行四邊形時，

同①得出QE=—t+1—(—力2—2t+3)=廿+力—2,

—1+30—力—2,

解得￡尸石⑤，益="1,

0<t<3,

.1+V5

."一2'

綜上所述，t或個迤.

題目叵(2023秋?鯉城區(qū)校級期中)如圖,拋物線y=ax2-2ax+c的圖象與2軸分別交于點4B,與沙軸交

于點。(0,3),且50=8.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點石在線段OB上,過點石作力軸的垂線交拋物線于點P,連接P4,若P4LCE,垂足為點F,求。石

的長；

(3)在(2)的條件下,直線AP上方的拋物線上是否存在一點Q,使四邊形AQPB面積最大,若存在，求出點

Q坐標，若不存在，說明理由.

【解答】解：⑴???拋物線與0軸交于點。(0,3),

即力=0時，0=3,

?，.c=3,

:.OB—OC—3,

???點B的坐標為(3,0),

,:拋物線y—aa?—2ax+3的圖象過點8(3,0),

?，?0=9。一6a+3,

解得：a=—1,

.,?拋物線的解析式為夕=一力2+2/+3;

⑵設(shè)P4交g軸于點。，如圖1所示：

?：PA±CEf

???/EFA=4EOC=90°.

???4ADO=4CDF,

：.APAB=AOCE,

???PE_L力軸，

???/PEA=/EOC=9N,

??.△PEA?AEOC,

.PE=EA圖1

"~OE~~OC,

設(shè)點E的坐標為(T,0),

則點P的坐標為3,—/+2：c+3),

.—a72+2a;+3_/+1

**x-3，

解得：a;i=/2=-1(不合題意舍去)，即OE的長為

(3)設(shè)點Q(力,—X2+2X+3),過點。作QF_L/軸，交AP于點F,如圖2,

由⑵可得:點E得,0),

???P(小得)，

拋物線y=-X2-\-2X+3當g=0時，

—/+2/+3=0,

解得:g=—1,g=3,

12

?e?4—1,o),

??.AB=3—(—l)=4,

設(shè)直線AP解析式為：g=far+b,

Q(0=—k+b

把4-1,0),%,正)代入:毆=與+V

I164

f.3

解得：:，

直線4P解析式為：“=!”+年,

妝①卷”+卷)'

...QF=(-x2+2x+3)-(fx-k|-)=-x2+jx-^=-(x-1-)

...5四邊形梁陽=52^+$4處8寺"杷弓入4乂得嚕(^號

=5(5_247)

.?.當x~8時，QF取最大值，四邊形AQPB面積最大，此時48‘64.

題目①(2023秋?鶴山市期中)如圖1在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與立軸交于4

B兩點，點A在原點的左側(cè)，點B的坐標為(4,0),與y軸交于點。(0,—4),點P是直線BC下方的拋物線

上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式？

(2)當點P運動到什么位置時，四邊形ABFC的面積最大？并求出此時點P的坐標和四邊形ABPC的最

【解答】解：(1)將B、。兩點的坐標代入得，

(16+4b+c=0

lc=-4,

fb=-3

解得：ic=-4,

所以二次函數(shù)的表達式為：y=X2—3X—4;

⑵如圖，過點P作沙軸的平行線與BC交于點。，與OB交于點F,

P(x,X2-3X—4),設(shè)直線BC的解析式為：沙=krc+d,

fd=-4

則I4k+d=0,

(k=l

解得：fd=-4,

.?.直線_8。的解析式為：夕=2—4,

則Q點的坐標為(x,a;—4);

當0=/-3c-4,

解得：21=-1,g=4,

AO=1,AB=5,

S四邊形ABPC=5/^4^。+SABPQ+S&CPQ

=yAB-OC+yQF-BF+yQP-OF

=]x5x4+](4—x)[x—4—(X2—3X—4)]+-^-x[x—4—(re2—3a;-4)]

=—2/+8/+10

=—2（x—2）2+18,

當力=2時，四邊形4BPO的面積最大，

此時P點的坐標為：（2,—6）,四邊形4BPC的面積的最大值為18.

題目兀（2023秋?東麗區(qū)期中）如圖所示,在平面直角坐標系中，拋物線沙=aa;2+法+c（aW0）的頂點坐標

為。（3,6）,并與沙軸交于點B（0,3）,點A是對稱軸與立軸的交點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①所示，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，連接BP,AP,求△4BP的面積的最大值；

（3）如圖②所示，在對稱軸AC的右側(cè)作NACD=30°交拋物線于點。，直接寫出。點的坐標.

【解答】解：（1）拋物線頂點坐標為。（3,6）,

可設(shè)拋物線解析式為夕=a（x-3）2+6,

將B（O,3）代入可得a=—!，

O

1

y———X9+2/+3;

O

⑵連接PO,

14

設(shè)P(Tl,---^-?12+2?7,+3),

o

G-A

》ABP。一萬九，

SA4PO=-^-n2+3n+-y，

SaABO=4，

2

?*-SMBP=S^BOP^~S^AOP—S^ABO=--^-n-\-^-n=―^-(n--y)+-^

**?當九=-^■時，SA45P的最大值為;

2o

⑶存在，設(shè)_D點的坐標為(力,—1~廿+2力+3),

過。作對稱軸的垂線，垂足為G,

則DG—t—3,CG—6—(—~力?+2力+3)=-2t+3,

OO

?.?ZACD=30°,

2DG=DC,

在Rt/XCGD中，

CG^V3DG,

—3)=—2t+3,

o圖②

.,.t—3+3A/3或t=3(舍)

n(3+3V3,-3).

題目電(2023-平遠縣一模)如圖1,若二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與2軸交于點A(-l,0)、B(4,0),

與y軸交于點。，連接AC.BC.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P是拋物線在第一象限上一動點，連接PB、PC,當△PBC的面積最大時，求出點P的坐標；

(3)如圖2,若點Q是拋物線上一動點,且滿足/QBC=45°—乙48,請直接寫出點Q坐標.

15

【解答】解：(1);二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A(—1,0)、B(4,0),

.\a—6+4=0

*L16a+46+4=0，

“。(a=-1

解得一q,

.??g=—/+31+4；

(2)如圖，過點P作力軸的垂線，交BC于點N,

在y=—/+3力+4中，當力=0時，g=4,

AC(0,4),

設(shè)直線的解析式為g=for+4,

將點_B(4,0)代入y=far+4,

得4k+4=0,

/.k=-1,

???直線/C的解析式為沙=一力+4,

設(shè)P(x,—X2+3X+4),則N(x,—x+4),

PN=—+4—(—1+4)=—a?+4c,

S"BC=~~PN?OB-—砂+4/)X4——2(力一2尸+8,

：.當a=2時，的面積最大，

.-.F(2,6);

⑶設(shè)Q(m,—m2+3m+4),

①當點。在直線6C上方時，如圖2,過點B作軸，過點Q作。交于河,

???BO=OC=4,

??.ZOBC=45°,

??.ZCBM=45°,

??.ZCBQ=45°-AQBM,

???/QBC=45°—乙400,

??.ZQBM=/ACO,

???ZAOC=ZQMB=90°f

???LAOC?LQMB,

.OAPC

**7WQ-

.1=4

4—m—m2+3m+4圖2

解得:m=3或m=4（舍）,

經(jīng)檢驗，771=3是原方程的解，

???Q（3,4）;

②當點Q在直線上下方時，如圖3,過點二軸交于N,

vZOBC=45°,ZQBC=45°-ZACO,

??.ZQBN=AACO,

???ZAOC=ZQ7VB=90°,

???4Aoe?AQNB,

.OA=AC

''~QN~~BN9

.??1=4,

—m2+3m+44—■nz'

解得m=4（舍）或m=―|-,

經(jīng)檢驗，rn=―是原方程的解，

綜上所述：Q點坐標為（3,4）或（/熱.

題目以（2023秋?天山區(qū)校級月考）如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=^+mx+九經(jīng)過點A（3,0）,B

（0,-3）,點P是直線AB上的動點,過點P作c軸的垂線交拋物線于點河，設(shè)點P的橫坐標為t.

（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式；

（2）若點P在第四象限,求線段最長時點P的坐標.

（3）連接AM.BAK求△ABM■面積最大值是多少？

【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

3k+b=0

把A（3,0）,B（0,—3）代入g=for+b得:

b=-3

解得[=1

[b=-3

???直線AB的解析式為g=c—3;

9+3m+n=0

把4（3,0）,B（0,—3）代入9=62+772N+打得:

解得

In=-3

.,?拋物線解析式為y=x2-2x—3;

(2)設(shè)P(t,t—3)(0V2V3),則M(t,1?—2t—3),

：.PM=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t=-(i--y)2+j

當力=,時，線段PM最長，最長為小

此時點P的坐標為(y.-y)；

⑶S2v1sM=SAPTV?+S"MA

--yFM?xP+(xA-Xp)

???線段PA/最長時，/XABM的面積最大，

1Q97

S^ABM=5x3x1=

/\ABM面積最大值是尋.

O

［題目|14〕(2023?白塔區(qū)一模)綜合與探究

如圖,在平面直角坐標系中，直線yb與c軸交于點人(4,0),與V軸交于點B,過A,B兩點的拋物線

交力軸于另一點。，且OA=2OC,點F是直線AB下方拋物線上的動點，連接FA,FB.

(1)求拋物線解析式；

(2)當點F與拋物線的頂點重合時，△ABF的面積為3；

(3)求四邊形FAOB面積的最大值及此時點F的坐標.

(4)在(3)的條件下，點Q為平面內(nèi)沙軸右側(cè)的一點，是否存在點Q及平面內(nèi)另一點使得以A,F,Q,

“為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點Q的坐標;若不存在，說明理由.

【解答】解：(1)把(4,0)代入y=*+b,得,

4+b=0,解得：b=4,

：.y=x-4,

當c=0時，y—0—4——4,

B(。，-4),

??.44,。)，

:.OA=4f

???OA=2OC,

：.OC=2,

???C(—2,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-\-2)(T—4),

把8(0,-4)代入得:-4=a(O+2)(0-4),

解得：Q=/,

拋物線解析式為y=2■(力+2)(re-4)=-^-x2—x—4;

(2切=—4=](%一l)2-y,

二,點尸與拋物線的頂點重合，

F(1，-，

設(shè)拋物線對稱軸與直線AB相交于石,如圖，

???4(4,0),B(0,-4),

???直線4B解析式為：。=6一4,

則當力=1時，g=1—4=—3,

???石(1,—3),

：?S&ABF=y|y—3|x|4—0|=3,

故答案為：3;

⑶如圖，過點F作F石〃g軸，交4B于點E,

設(shè)點F的橫坐標為燈則FQ,-4),

??,直線48的解析式為g=i—4,

E(t,t—4),

22

SABFA=-^-OA'EF=-1-X(4—0)X(t—4—^-t+t+4)=—t+4t,

VS^OA=^OA-OB=yX4x4=8,

t2+4i+8=-(i-2y+12(0<t<4),

...當t=2時，S四邊彩尸4OB有最大值12,t—4=-4,

.?.此時點F的坐標為(2,-4).

⑷過作FE_Lrc軸于E,

?.?A(4,0),F(2,-4),

:.AE=2,EF=4,AF=2V5,

如圖，①當AF為正方形AFMQ的邊時，

1)有正方形AFM^Qy,

過Q作QN」多軸于Ni,

NAEF=NANQ產(chǎn)90°,/FAQ尸90°,

2EAF=NAQiNi,

,/AF^AQr,

：.△AEFW△QiNiA(?L4S),

ANi=EF=4,QiN尸AE=2,

Q(8,—2)；

2)有正方形AFQ昭時，

過Q?作于M,

同理可得4AEF空/\FN2Q2(AAS),

FN2=AE=2,Q2N2=EF=4,

Q2(6,-6);

②當AF為正方形AEMQ的對角線時，設(shè)AF與相交于P,

vA(4,0),F(2,-4),

，P(3,—2),

1)有正方形AQ3FM3時，過作Q3G_Lc軸于G,過昭作M3H±2軸于H,

易4AHM於AQ3GA,

AH=Q3G,M3H=AG,

設(shè)Q(4+a,b),則M)(4+b,—a),

4+a+4+b?

.2"

b-a=-9'

Qs（5,—3）,M3（l,—1）,

2）有正方形AQiFMi時，過Q4作，軸于H,

則Q3與昭重合，

.■.Q.（1,-1）,

綜上，存在，當以A,F,Q,河為頂點的四邊形是正方形時，點。的坐標Q（8,-2）,Q2（6,-6）,Q3（5,-3）,

Q/1,-1）.

題目亙（2023秋?和平區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（-5,0）,B（-4,—3）兩點，與

c軸的另一個交點為C,頂點為。，連接CD.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點P為該拋物線上一動點（與點B,。不重合），設(shè)點P的橫坐標為t.

①當點P在直線B。的下方運動時,求APBC的面積的最大值及點P的坐標；

②該拋物線上是否存在點P,使得/P5C=/BCD?若存在，求出所有點P的坐標;若不存在，請說明理

由.

20

【解答】解：⑴將點A(—5,0)、1(—4,—3)代入拋物線g=Q/+6%+5,

f25a—5b+5=0

仔：(，

116a—4b+5=—3

解得:R,

該拋物線的表達式為：y—力之+6力+5…①；

⑵①令y=0,得/+61+5=0,

解得：/1=-1,宓2=-5,

?,?點(7(—1,0),

(_4k—I—d_

設(shè)直線BC的解析式為g=fcr+d,將點B、C的坐標代入得：

[—k+d=0

解得:[『，

(d=1

???直線石。的解析式為g=/+l…②，

如圖1,過點P作g軸的平行線交BC于點G,

設(shè)點G（t,2+1）,則點P（t,F+6力+5）,

PG—t+1—（廿+6力+5）——1?—5力一4,

S"BC=JPG?（60—如）=[x（一廿一52—4）x3二—1■/一號力—6=—1~（力+4"）旺手,

S"BC有最大值，當t=―時，其最大值為年~,此時F（―,—牛）；

No24???

②?：y=/+6力+5=(劣+3)2—4,

:.頂點D(—3,—4),

設(shè)直線與CD交于點

當點P在直線下方時,

???ZFBC=/BCD,

???點打在的中垂線上，

???線段BC的中點坐標為（號，-y）,過該點與垂直的直線的k值為-1,

設(shè)8。中垂線的表達式為：g=—力+館,1號點（一—|-）代入上式得一多=—（―^-）+m,

解得：m=—4,

直線BC中垂線的表達式為：沙=一/—4…③，

f-kz+b'=0

設(shè)直線CD的解析式為g=k'c+，,把。（一1,0）,。（一3,—4）代入得：f-3k'+b'=-4

fk7=2

解得：ib'=2,

直線CD的解析式為：y=2a;+2…④，

聯(lián)立③④得平—一4,

［。=26+2

解得：［"=一;,

ly=-2

:.點、H（—2,—2）,

［-4k"+b"=-3

設(shè)直線的解析式為y=A/G+b",則1-2k"+b”=-2,

fk〃二

.2

解得:1b"=-1,

直線的解析式為："=9/一1…⑤，

22

y=x2+6x+5

<=1-i

聯(lián)立①⑤得(y^2x-i

(3

解得：1丫1=~?,iy2=-3（舍去），

故點F（一■;

當點P（P）在直線上方時，

NPBC=々BCD,

：.BP'//CD,

則直線BP'的表達式為：沙=2c+s,招■點B坐標代入上式并解得：s=5,

即直線BP的表達式為：夕=22+5…⑥，

聯(lián)立①⑥并解得：C=0或一4（舍去一4）,

故點P（0,5）;

綜上所述，點、P的坐標為P（—*,—亭）或（0,5）.

題目,（2023秋?越秀區(qū)校級月考）如圖,拋物線y=^+bx+c與a;軸交于兩點（點A在點B左

邊），與V軸交于點。，直線?/=十2—2經(jīng)過B、。兩點，點P是拋物線上一動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當拋物線上的點P的在BC下方運動時，求△BCP面積的最大值；

（3）連接OP,把△OCP沿著y軸翻折，使點P落在P'的位置，四邊形CPOP'能否構(gòu)成菱形，若能，求出點

P的坐標，如不能,請說明理由.

【解答】解：⑴對于直線9=1■/—2,

令2=0,則y=—2,

：.C(O,-2),

令沙=0,則0=-^-x—