2024屆北京市順義區(qū)高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題）一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所?故選：C3.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80〖答案〗A〖解析〗由二項(xiàng)式的通項(xiàng)為可得，當(dāng)，即時(shí)，展開(kāi)式中含有項(xiàng)，此時(shí)，因此的系數(shù)為.故選：A.4已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，所?故選：D5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（）A.511 B.61 C.41 D.9〖答案〗B〖解析〗由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以故選：B6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則（）A.4 B.6 C. D.8〖答案〗B〖解析〗，準(zhǔn)線的方程為，過(guò)點(diǎn)左，垂足為，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，則，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)在第一象限，則，則，所以直線的方程為，令，則，即，所以.故選：B.7.若函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意可知：的定義域?yàn)?，且，若，則，可知，若，同理可得，所以為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知在上單調(diào)遞增，若，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.如圖，正方體中，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，有下列四個(gè)說(shuō)法：①存在點(diǎn)P，使得平面；②對(duì)于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值；③存在點(diǎn)P，使得平面；④對(duì)于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形.其中，不正確的是（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，設(shè)，，，，平面的一個(gè)法向量為，，令，則，即，若，得，則時(shí)，，又平面，所以平面，即點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，平面，說(shuō)法①正確；正方體中，平面平面，平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又正方形面積為定值，所以對(duì)于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值，說(shuō)法②正確；，，,若平面，則有，方程組無(wú)解，所以不存在點(diǎn)P，使得平面，說(shuō)法③錯(cuò)誤；，，，，，則中，，都是銳角，，也是銳角，所以對(duì)于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形，說(shuō)法④正確.只有說(shuō)法③不正確.故選：C.9.已知在平面內(nèi)，圓，點(diǎn)P為圓外一點(diǎn)，滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．若圓O上存在異于A，B的點(diǎn)M，使得，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，做出圖形，設(shè)與以原點(diǎn)為圓心半徑為2的圓交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c圓O相切于A，B，所以，在中，因?yàn)?，所以，同理可得，又因?yàn)?，由垂徑定理得，，因?yàn)?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，則點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，故選：A．10.設(shè)，，，…，是1，2，3，…，7的一個(gè)排列.且滿(mǎn)足，則的最大值是（）A23 B.21 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗即為相鄰兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值之和，則在數(shù)軸上重復(fù)的路徑越多越好，又，比如，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)排列為則的最大值是故選：B第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________.〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，只需解得：且，從而的定義域?yàn)?故〖答案〗為：12.在中，，，，則面積為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得①，又，得②，聯(lián)立①②解得，因?yàn)椋?，所以，所?故〖答案〗為：13.若非零向量滿(mǎn)足，且，則能使得成立的一組可以是______，______〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)?，即，所以，且，即，又，即，所以滿(mǎn)足，且的向量都滿(mǎn)足條件，故可取.故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）.14.已知雙曲線的焦距為，若點(diǎn)在雙曲線上，則的離心率等于______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，代入坐標(biāo)有，且雙曲線滿(mǎn)足，離心率，所以有，即，化簡(jiǎn)可得，所以，因?yàn)殡p曲線離心率，所以或（舍去），故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有1個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，存在，使得存在極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有一個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，存在，使得有3個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.〖答案〗①④〖解析〗對(duì)①：當(dāng)時(shí)，，，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故對(duì)任意，有1個(gè)極大值點(diǎn)，故①正確；對(duì)②：當(dāng)時(shí)，，若存在極值點(diǎn)，則有變號(hào)零點(diǎn)，則必須有解，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，，即恒成立，故當(dāng)時(shí)，無(wú)解，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：當(dāng)時(shí)，若存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有三個(gè)不同交點(diǎn)，由直線過(guò)點(diǎn)，曲線過(guò)點(diǎn)，又，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在第二象限必有一交點(diǎn)，同理，當(dāng)時(shí)，直線與曲線在第一象限必有一交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即，則，由，則，即，即，即，故當(dāng)時(shí)，存在，使曲線有過(guò)點(diǎn)的切線，且切點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，切線斜率為，則當(dāng)時(shí)，有，又，則存在，使，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，而恒成立，故存在，使，即當(dāng)時(shí)，存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)，同理可得，當(dāng)時(shí)，存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求的值；（2）已知時(shí)，單調(diào)遞增，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求m的最大值.條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）法一：，即可得，又，所以；法二：，所以即得，又，所以；（2），選擇②，，，因?yàn)椋?，因?yàn)榈淖钚≌芷?，，所以由可得，所以，；或法二：因?yàn)?，，所以即，因?yàn)椋裕?；選擇③，，的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可得，所以，又，所以，法一：令，，解得，即的單增區(qū)間為，又時(shí)，單調(diào)遞增，所以，是的一個(gè)子區(qū)間，所以，，即可得，又，所以，故是的一個(gè)子區(qū)間，所以m的最大值為；法二：因?yàn)?，，所以，因?yàn)樵谏蠁卧?，所以，，即可得，，，所以，所以，可得m的最大值為.不可選擇條件①，理由如下：若，則，即，由，故該方程無(wú)解，故函數(shù)不存在，故不可選①.17.在直三棱柱中，，D，E分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí).（ⅰ）求平面與平面夾角的余弦值；（ⅱ）若平面與直線交于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出的值.（1）證明：連接，因?yàn)?，E為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭侵比庵膫?cè)棱，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋矫?，所以平面；因?yàn)槠矫?，所?（2）解：（?。┮?yàn)椋詾榈冗吶切?，設(shè)中點(diǎn)為O，則，因?yàn)槠矫?，設(shè)的中點(diǎn)為M，則，，以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，，，，，，，因?yàn)镈，E為中點(diǎn)，所以，，所以，，因?yàn)?，，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，可得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.（ⅱ），原因如下：設(shè)，易知，所以，又，則，易知平面，因此，解得；因此，即.18.某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計(jì)得分；方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進(jìn)行第2次投籃，如第2次投中可進(jìn)行第3次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計(jì)得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨(dú)立.（1）求甲得分不低于2分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望；（3）甲，乙誰(shuí)勝出的可能性更大？直接寫(xiě)出結(jié)論.解：（1）設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為，，，設(shè)甲得分不低于2分為事件A，則；（2）設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為Y，Y的可能取值為0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列為：Y0246P所以；（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，故甲獲勝的可能性更大.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.過(guò)F作斜率為的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為的直線交E于C，D兩點(diǎn)，設(shè)，的中點(diǎn)分別為M，N.（1）求橢圓E的方程；（2）若，設(shè)點(diǎn)F到直線的距離為d，求d的取值范圍.解：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，又焦點(diǎn)為，所以，所以，所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，消去y得，易知，所以，又M為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，又N為的中點(diǎn)，不妨用代換，可得，，討論：①當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)的方程為，所以，點(diǎn)到直線的距離d為，同理，當(dāng)，，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，法一：點(diǎn)到直線的距離，又，所以，因?yàn)椋?，所以綜上可知，.法二：直線的方程為，令，可得，綜上可知，直線恒過(guò)定成，故點(diǎn)到直線的距離d的最大值為，此時(shí)直線的斜率不存在，又直線的斜率一定不為0，所以..20.設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；（3）對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.（1）解：因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在切線上，所以，所以，即.（2）證明：欲證方程僅有一個(gè)實(shí)根，只需證明僅有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，令，則，討論：①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)綜上可得，僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證.（3）解：當(dāng)時(shí)，，即恒成立，令，則，由（2）可知，時(shí)，所以，討論：①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以，即?dāng)時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以恒成立，即滿(mǎn)足條件，②當(dāng)時(shí)，由可知，又，所以存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即不能保證恒成立，綜上可知，正數(shù)k的取值范圍是.21.已知點(diǎn)集滿(mǎn)足，，.對(duì)于任意點(diǎn)集，若其非空子集A，B滿(mǎn)足，，則稱(chēng)集合對(duì)為的一個(gè)優(yōu)劃分.對(duì)任意點(diǎn)集及其優(yōu)劃分，記A中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，B中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為.（1）寫(xiě)出的一個(gè)優(yōu)劃分,使其滿(mǎn)足；（2）對(duì)于任意點(diǎn)集，求證：存在的一個(gè)優(yōu)劃分，滿(mǎn)足；（3）對(duì)于任意點(diǎn)集，求證：存在的一個(gè)優(yōu)劃分，滿(mǎn)足且.（1）解：由題因?yàn)?，所以若使，則可以，此時(shí)，滿(mǎn)足題意.（2）解：根據(jù)題意對(duì)于任意點(diǎn)集，不妨設(shè)，且，，，若，則，令，則，此時(shí)恒有；若，則，可令，此時(shí)，則，滿(mǎn)足題意；若，則，令，此時(shí)，則，滿(mǎn)足題意；若，則，則令，此時(shí)，則，滿(mǎn)足題意；所以對(duì)于任意點(diǎn)集，都存在的一個(gè)優(yōu)劃分，滿(mǎn)足.（3）證明：不妨設(shè)，若，則B取其中一點(diǎn)即可滿(mǎn)足；若，則必存在正整數(shù)k使得，則有，于是，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；于是取，即可滿(mǎn)足且，命題得證.北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題）一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C3.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80〖答案〗A〖解析〗由二項(xiàng)式的通項(xiàng)為可得，當(dāng)，即時(shí)，展開(kāi)式中含有項(xiàng)，此時(shí)，因此的系數(shù)為.故選：A.4已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，，所?故選：D5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（）A.511 B.61 C.41 D.9〖答案〗B〖解析〗由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以故選：B6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則（）A.4 B.6 C. D.8〖答案〗B〖解析〗，準(zhǔn)線的方程為，過(guò)點(diǎn)左，垂足為，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，則，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)在第一象限，則，則，所以直線的方程為，令，則，即，所以.故選：B.7.若函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意可知：的定義域?yàn)?，且，若，則，可知，若，同理可得，所以為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知在上單調(diào)遞增，若，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.如圖，正方體中，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，有下列四個(gè)說(shuō)法：①存在點(diǎn)P，使得平面；②對(duì)于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值；③存在點(diǎn)P，使得平面；④對(duì)于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形.其中，不正確的是（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，設(shè)，，，，平面的一個(gè)法向量為，，令，則，即，若，得，則時(shí)，，又平面，所以平面，即點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，平面，說(shuō)法①正確；正方體中，平面平面，平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又正方形面積為定值，所以對(duì)于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值，說(shuō)法②正確；，，,若平面，則有，方程組無(wú)解，所以不存在點(diǎn)P，使得平面，說(shuō)法③錯(cuò)誤；，，，，，則中，，都是銳角，，也是銳角，所以對(duì)于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形，說(shuō)法④正確.只有說(shuō)法③不正確.故選：C.9.已知在平面內(nèi)，圓，點(diǎn)P為圓外一點(diǎn)，滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．若圓O上存在異于A，B的點(diǎn)M，使得，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋渣c(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，做出圖形，設(shè)與以原點(diǎn)為圓心半徑為2的圓交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c圓O相切于A，B，所以，在中，因?yàn)?，所以，同理可得，又因?yàn)椋纱箯蕉ɡ淼?，，因?yàn)?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，則點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，故選：A．10.設(shè)，，，…，是1，2，3，…，7的一個(gè)排列.且滿(mǎn)足，則的最大值是（）A23 B.21 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗即為相鄰兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值之和，則在數(shù)軸上重復(fù)的路徑越多越好，又，比如，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)排列為則的最大值是故選：B第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________.〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，只需解得：且，從而的定義域?yàn)?故〖答案〗為：12.在中，，，，則面積為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得①，又，得②，聯(lián)立①②解得，因?yàn)?，，所以，所?故〖答案〗為：13.若非零向量滿(mǎn)足，且，則能使得成立的一組可以是______，______〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)?，即，所以，且，即，又，即，所以滿(mǎn)足，且的向量都滿(mǎn)足條件，故可取.故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）.14.已知雙曲線的焦距為，若點(diǎn)在雙曲線上，則的離心率等于______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，代入坐標(biāo)有，且雙曲線滿(mǎn)足，離心率，所以有，即，化簡(jiǎn)可得，所以，因?yàn)殡p曲線離心率，所以或（舍去），故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有1個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，存在，使得存在極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有一個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，存在，使得有3個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.〖答案〗①④〖解析〗對(duì)①：當(dāng)時(shí)，，，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故對(duì)任意，有1個(gè)極大值點(diǎn)，故①正確；對(duì)②：當(dāng)時(shí)，，若存在極值點(diǎn)，則有變號(hào)零點(diǎn)，則必須有解，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，，即恒成立，故當(dāng)時(shí)，無(wú)解，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：當(dāng)時(shí)，若存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有三個(gè)不同交點(diǎn)，由直線過(guò)點(diǎn)，曲線過(guò)點(diǎn)，又，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在第二象限必有一交點(diǎn)，同理，當(dāng)時(shí)，直線與曲線在第一象限必有一交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即，則，由，則，即，即，即，故當(dāng)時(shí)，存在，使曲線有過(guò)點(diǎn)的切線，且切點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，切線斜率為，則當(dāng)時(shí)，有，又，則存在，使，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，而恒成立，故存在，使，即當(dāng)時(shí)，存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)，同理可得，當(dāng)時(shí)，存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求的值；（2）已知時(shí)，單調(diào)遞增，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求m的最大值.條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）法一：，即可得，又，所以；法二：，所以即得，又，所以；（2），選擇②，，，因?yàn)椋?，因?yàn)榈淖钚≌芷?，，所以由可得，所以，；或法二：因?yàn)椋?，所以即，因?yàn)?，所以，；選擇③，，的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可得，所以，又，所以，法一：令，，解得，即的單增區(qū)間為，又時(shí)，單調(diào)遞增，所以，是的一個(gè)子區(qū)間，所以，，即可得，又，所以，故是的一個(gè)子區(qū)間，所以m的最大值為；法二：因?yàn)?，，所以，因?yàn)樵谏蠁卧?，所以，，即可得，，，所以，所以，可得m的最大值為.不可選擇條件①，理由如下：若，則，即，由，故該方程無(wú)解，故函數(shù)不存在，故不可選①.17.在直三棱柱中，，D，E分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí).（?。┣笃矫媾c平面夾角的余弦值；（ⅱ）若平面與直線交于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出的值.（1）證明：連接，因?yàn)?，E為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭侵比庵膫?cè)棱，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面；因?yàn)槠矫妫?（2）解：（?。┮?yàn)?，所以為等邊三角形，設(shè)中點(diǎn)為O，則，因?yàn)槠矫?，設(shè)的中點(diǎn)為M，則，，以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，，，，，，，因?yàn)镈，E為中點(diǎn)，所以，，所以，，因?yàn)?，，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，可得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.（ⅱ），原因如下：設(shè)，易知，所以，又，則，易知平面，因此，解得；因此，即.18.某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計(jì)得分；方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進(jìn)行第2次投籃，如第2次投中可進(jìn)行第3次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計(jì)得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨(dú)立.（1）求甲得分不低于2分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望；（3）甲，乙誰(shuí)勝出的可能性更大？直接寫(xiě)出結(jié)論.解：（1）設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為，，，設(shè)甲得分不低于2分為事件A，則；（2）設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為Y，Y的可能取值為0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列為：Y0246P所以；（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，故甲獲勝的可能性更大.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.過(guò)F作斜率為的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為的直線交E于C，D兩點(diǎn)，設(shè)，的中點(diǎn)分別為M，N.（1）求橢圓E的方程；（2）若，設(shè)點(diǎn)F到直線的距離為d，求d的取值范圍.解：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，又焦點(diǎn)為，所以，所以，所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，