2024屆遼寧省部分學(xué)校高三第二次聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3遼寧省部分學(xué)校2024屆高三第二次聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知一組數(shù)據(jù)為50，40，39，45，32，34，42，37，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為（）A.39 B.40 C.45 D.32〖答案〗A〖解析〗將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：32，34，37，39，40，42，45，50，共8個，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為39，故選：A.2.已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，所以，解得且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：D.3.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（）．A.13 B.26 C.39 D.78〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以.故選：D.4.設(shè)是兩個平面，是三條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，，，則相交或平行，故A錯誤；對于B，若，，，由線面平行的性質(zhì)可得，故B正確；對于C，若，，，當(dāng)兩兩相交時，兩兩相交，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：B.5.甲、乙、丙、丁4人參加活動，4人坐在一排有12個空位的座位上，根據(jù)要求，任意兩人之間需間隔至少兩個空位，則不同的就座方法共有（）A.120種 B.240種 C.360種 D.480種〖答案〗C〖解析〗先假設(shè)每個人坐一個位置相當(dāng)于去掉4個位置，再將4個人中間任意兩個人之間放入2個空位，此時空位一共還剩2個，若將這兩個空位連在一起插入4人之間和兩側(cè)空位，有5種放法；若將這兩個空位分開插入4人之間和兩側(cè)空位，有種放法，故不同的就座方法共有種.故選：C.6.設(shè)直線被圓所截弦的中點(diǎn)為M，點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線過定點(diǎn)設(shè)為，圓心，半徑，設(shè)，則，即，即，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，除去原點(diǎn)，（因?yàn)橹本€不能表示軸）所以結(jié)合圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，軌跡上點(diǎn)與點(diǎn)距離范圍即為所求，所以，故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以，所?故選：B.8.已知橢圓與拋物線在第一象限的公共點(diǎn)為A，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,其中右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，依題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，作軸，交于點(diǎn),則，設(shè)，則，則，，，所以，故選：B.二、選擇題9.設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（）A. B.C.與均為的最大值 D.滿足的n的最小值為14〖答案〗BCD〖解析〗A：因?yàn)?，所以，所以，故A錯誤；B：由A的〖解析〗可得B正確；C：因?yàn)?，，所以與均為最大值，故C正確；D：因?yàn)?，由，，故D正確；故選：BCD.10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C. D.若，則〖答案〗AD〖解析〗設(shè)，，其中，且復(fù)數(shù)均不為0，則選項(xiàng)A：由可得，所以，即，A說法正確；選項(xiàng)B：，所以，又因?yàn)?，?dāng)，即時，可得，兩邊平方整理得，所以不一定成立，C說法錯誤；選項(xiàng)C：，所以，又，當(dāng)時可得，所以不一定成立，C說法錯誤；選項(xiàng)D：若，則，所以，D說法正確；故選：AD.11.已知定義城為R的函數(shù)．滿足，且，，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A項(xiàng)，由，令，則，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，令，則，因，故，令，則①，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，令，則，令，則②，由①可得：③，由②③可知：，且函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，令，則，因?yàn)?，，，代入上式中得，故得：，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由上可知：，則，故函數(shù)的一個周期為4，故，令，則，所以，則，故D項(xiàng)錯誤．故選：ABC．三、填空題12.已知集合，，若．則m的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，故，所以且，所以，解?故〖答案〗為：.13.已知在伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為，我們稱將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生r次為止，試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記.若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，由題意當(dāng)時，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個正三角形，將這個截面上方部分去掉，得到一個七面體，則這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是______．〖答案〗〖解析〗如圖，七面體為正方體截去三棱錐的圖形，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個七面體內(nèi)部能容納的球最大時，該球與三個正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對角線上，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)球心，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則球心到平面的距離為，因?yàn)榍蚺c三個正方形面和等邊三角形面相切，所以，解得，所以這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線的平行于x軸的切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)；（2）證明曲線與x軸恰有兩個交點(diǎn)．（1）解：因?yàn)?，所以，即，依題意若曲線的切線平行于x軸，則切線的斜率為，令，即，解得或，又，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）證明：由（1）可知時或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又有，，而對于函數(shù)，當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，恒成立，且當(dāng)時，，所以只存在，使得；存在，使得，即曲線與x軸恰有兩個交點(diǎn)．16.小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，（1）求取出的2只鞋都不來自同一雙的概率；（2）若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，解：（1）由題可得：取出2只都不來自同一雙的概率為：.（2）由題可知X的取值為：0，1，2，，，，故X的分布列為：X012P，故.17.在中，為邊上一點(diǎn)，，且面積是面積的2倍．（1）若，求的長；（2）求的取值范圍．解：（1）設(shè)邊上的高為，垂足為，因?yàn)槊娣e是面積的2倍，所以有，設(shè)，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，設(shè)，由且，由余弦定理可得：，，在中，因?yàn)?，所以由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，于是有，因此的取值范圍?.18.如圖，在三棱錐中，側(cè)面是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側(cè)面是正三角形．（1）求證：；（2）在圖中作出點(diǎn)到底面的距離，并說明理由；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．（1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）解：作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，在中，，，則，所以，故，因?yàn)椋?，故，在中，，所以為鈍角，所以點(diǎn)在延長線上，在中，，故，所以，所以，所以垂足與構(gòu)成一個正方形，故線段即為點(diǎn)到底面的距離；（3）解：結(jié)合（2）過作交于，連接，因此平面，所以，記，則，，所以，解得，即存在點(diǎn)，且點(diǎn)在的位置．19.已知點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)．（1）證明：恰為的中點(diǎn)；（2）過點(diǎn)分別作漸近線的平行線，與OA、OB分別交于M、N兩點(diǎn)，判斷PMON的面積是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由；（1）證明：由切線不可能平行于軸，即切線的斜率不可能為0，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，可得，即，所以，即，所以，則，所以點(diǎn)，又由雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立方程組，可得，即，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)與的中點(diǎn)重合.（2）解：由，，可得，，所以，即，又由，可得，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形的面積為定值.遼寧省部分學(xué)校2024屆高三第二次聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知一組數(shù)據(jù)為50，40，39，45，32，34，42，37，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為（）A.39 B.40 C.45 D.32〖答案〗A〖解析〗將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：32，34，37，39，40，42，45，50，共8個，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為39，故選：A.2.已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，所以，解得且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：D.3.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（）．A.13 B.26 C.39 D.78〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以.故選：D.4.設(shè)是兩個平面，是三條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，，，則相交或平行，故A錯誤；對于B，若，，，由線面平行的性質(zhì)可得，故B正確；對于C，若，，，當(dāng)兩兩相交時，兩兩相交，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：B.5.甲、乙、丙、丁4人參加活動，4人坐在一排有12個空位的座位上，根據(jù)要求，任意兩人之間需間隔至少兩個空位，則不同的就座方法共有（）A.120種 B.240種 C.360種 D.480種〖答案〗C〖解析〗先假設(shè)每個人坐一個位置相當(dāng)于去掉4個位置，再將4個人中間任意兩個人之間放入2個空位，此時空位一共還剩2個，若將這兩個空位連在一起插入4人之間和兩側(cè)空位，有5種放法；若將這兩個空位分開插入4人之間和兩側(cè)空位，有種放法，故不同的就座方法共有種.故選：C.6.設(shè)直線被圓所截弦的中點(diǎn)為M，點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線過定點(diǎn)設(shè)為，圓心，半徑，設(shè)，則，即，即，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，除去原點(diǎn)，（因?yàn)橹本€不能表示軸）所以結(jié)合圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，軌跡上點(diǎn)與點(diǎn)距離范圍即為所求，所以，故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以，所?故選：B.8.已知橢圓與拋物線在第一象限的公共點(diǎn)為A，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,其中右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，依題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，作軸，交于點(diǎn),則，設(shè)，則，則，，，所以，故選：B.二、選擇題9.設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（）A. B.C.與均為的最大值 D.滿足的n的最小值為14〖答案〗BCD〖解析〗A：因?yàn)椋?，所以，故A錯誤；B：由A的〖解析〗可得B正確；C：因?yàn)椋?，所以與均為最大值，故C正確；D：因?yàn)?，由，，故D正確；故選：BCD.10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C. D.若，則〖答案〗AD〖解析〗設(shè)，，其中，且復(fù)數(shù)均不為0，則選項(xiàng)A：由可得，所以，即，A說法正確；選項(xiàng)B：，所以，又因?yàn)?，?dāng)，即時，可得，兩邊平方整理得，所以不一定成立，C說法錯誤；選項(xiàng)C：，所以，又，當(dāng)時可得，所以不一定成立，C說法錯誤；選項(xiàng)D：若，則，所以，D說法正確；故選：AD.11.已知定義城為R的函數(shù)．滿足，且，，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A項(xiàng)，由，令，則，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，令，則，因，故，令，則①，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，令，則，令，則②，由①可得：③，由②③可知：，且函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，令，則，因?yàn)椋?，，代入上式中得，故得：，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由上可知：，則，故函數(shù)的一個周期為4，故，令，則，所以，則，故D項(xiàng)錯誤．故選：ABC．三、填空題12.已知集合，，若．則m的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，故，所以且，所以，解?故〖答案〗為：.13.已知在伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為，我們稱將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生r次為止，試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記.若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，由題意當(dāng)時，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個正三角形，將這個截面上方部分去掉，得到一個七面體，則這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是______．〖答案〗〖解析〗如圖，七面體為正方體截去三棱錐的圖形，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個七面體內(nèi)部能容納的球最大時，該球與三個正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對角線上，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)球心，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則球心到平面的距離為，因?yàn)榍蚺c三個正方形面和等邊三角形面相切，所以，解得，所以這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線的平行于x軸的切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)；（2）證明曲線與x軸恰有兩個交點(diǎn)．（1）解：因?yàn)?，所以，即，依題意若曲線的切線平行于x軸，則切線的斜率為，令，即，解得或，又，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）證明：由（1）可知時或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又有，，而對于函數(shù)，當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，恒成立，且當(dāng)時，，所以只存在，使得；存在，使得，即曲線與x軸恰有兩個交點(diǎn)．16.小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，（1）求取出的2只鞋都不來自同一雙的概率；（2）若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，解：（1）由題可得：取出2只都不來自同一雙的概率為：.（2）由題可知X的取值為：0，1，2，，，，故X的分布列為：X012P，故.17.在中，為邊上一點(diǎn)，，且面積是面積的2倍．（1）若，求的長；（2）求的取值范圍．解：（1）設(shè)邊上的高為，垂足為，因?yàn)槊娣e是面積的2倍，所以有，設(shè)，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，設(shè)，由且，由余弦定理可得：，