河北省唐山市曹妃甸區(qū)某中學(xué)2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2

1.雙曲線工-y2=l的漸近線方程是()

4

A.x+2y=0B.2x±y=0C.4x+y=0D.x±4y=0

2.棱長(zhǎng)為2的正方體A3CD-A4GD1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球。，過(guò)正方體中兩條異面直線AB,AA的中點(diǎn)P，。作直

線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為()

5

A.y―B.V2-1c.V2D.1

2

3.已知復(fù)數(shù)：+二二+二i為純虛數(shù)(二為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)二=()

A.-1B.1C.0D.2

4.已知命題。：Vx>。,ln(x+1)>0；命題4：若則片〉〃，下列命題為真命題的是()

A.P^qB.pdfC.D.M八F

已知直線丸X貝！是“乙乙”的

5.：ax+2y+4=0,l2:+(<7-1))；+2=0,a=—1”

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x-4y+4<0

6.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組<2x+y-1040所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)(%,%),使不等式/+m治+1<0

5x-2y+2>0

成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-00,-1]B.(—oo，TC.[4,+oo)D.(-oo,-4]

7.函數(shù)y=/(x),xeR,貝！l“y=W(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=/(x)是奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

z—i

8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足——=i貝!|z=()

z+z9

A.1B.-1C.1-zD.1+i

9.設(shè)全集U=R,集合A={x|(x—l)(x—3)20},B=<x\^〉：，.則集合@A)3等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

,In尤c|

10.已知函數(shù)/'(%)=—『，若關(guān)于X的方程"(x)]2-何'(X)+—=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

x8

()

A.(0,|)B.(0,與C,(^,|)D.(字1)

11.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則該幾何體表面積為()

A.InB.C.5TTD.4)

12.如圖，在平面四邊形ABC。中，滿足45=5。,CD=A。，且46+4。=10,6。=8,沿著把曲折起,

使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且使PC=2,則三棱錐尸-BCD體積的最大值為()

l167216

A.12B.12.J2C.—^―D.—

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4e2

13.已知/(x)=lnx,g(x)=------如果函數(shù)無(wú)。)=/(%)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是_______________

(X-4Z)

14.四面體A—5CD中，AB_L底面BCD,AB=BD=?,CB=CD=1,則四面體A—BCD的外接球的表面積為

15.已知向量a,b，C滿足\b\=2,\c-b\=l,則|a+c|的取值范圍為.

16.已知向量&=(l,x+D,b=(x,2),若滿足ab,且方向相同，則％=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，三棱柱A5C-A31G中，側(cè)面531GC為菱形，AC1AB,,AB=BC.

(1)求證：5C]，平面ABC；

(2)若A3，BCNCBB[=60°,求二面角4—A4-G的余弦值.

18.(12分)已知點(diǎn)4、3分別在x軸、V軸上運(yùn)動(dòng)，|AB|=3,BM=2MA-

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)N[O,-|]且斜率存在的直線/與曲線C交于尸、。兩點(diǎn)，￡(0,1),求|￡「『+|￡。|2的取值范圍.

0T卜集合iT釉+。2｝.

19.(12分)已知集合A=4%|y=

(1)求集合A；

(2)若求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前〃項(xiàng)和分別為5“工，且4=2%=2,

b2s3-54,a2+T2=11.

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

(2)求+々2%+々3匕3++。也；

Sm+圖+1

(3)是否存在正整數(shù)加，使得恰好是數(shù)列｛4｝或｛〃｝中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的根的值；若不

Sm+Tm

存在，說(shuō)明理由.

21.(12分)為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部

選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)，然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過(guò)

程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對(duì)象，最后入戶登記，由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶登記不夠順利，這為正式普

查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶，普查情況如下表所示：

普查對(duì)象類別順利不順利合計(jì)

企事業(yè)單位401050

個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶10050150

合計(jì)14060200

(1)寫出選擇5個(gè)國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法；

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”；

(3)以該小區(qū)的個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶為樣本，頻率作為概率，從全國(guó)個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶中隨機(jī)選擇3家作為普查對(duì)象，入戶登記順利

的對(duì)象數(shù)記為X,寫出X的分布列，并求X的期望值.

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.0100.001

k。2.7066.63510.828

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動(dòng)直線/交拋物線C：^=4%于點(diǎn)p,點(diǎn)尸為c的焦點(diǎn).圓

心不在y軸上的圓M與直線/,PF,x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線4與曲線E相切于點(diǎn)Q(sj),過(guò)。且垂直于4的直線為4,直線4，4分別與y軸相交于點(diǎn)A，8當(dāng)線

段A3的長(zhǎng)度最小時(shí)，求s的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

2

試題分析：漸近線方程是H-y2=l,整理后就得到雙曲線的漸近線.

4

2門

解：雙曲線工-y2

4丫

2

其漸近線方程是工y2=l

4

整理得x±2y=l.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

連結(jié)并延長(zhǎng)P0,交對(duì)棱GA于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)〃，則OT/LMN,推導(dǎo)出O〃〃RQ,且

1、6

-RQ=^,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng).

【詳解】

如圖，

MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段

連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱G1于R,

則代為對(duì)棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)則OH_LMN,

1J2

J.OH//RQ,且。8=丁。=于，

...MH=yjoM2-OH2=?=冬

:,MN=2MH=sj2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

3.B

【解析】

化簡(jiǎn)得到二二二-1-二-；)二根據(jù)純虛數(shù)概念計(jì)算得到答案.

【詳解】

一=?一.為純虛數(shù)，故.=且=7,即—.

故選：二.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

4.B

【解析】

解：命題p：Vx>0,In(x+1)>0,則命題p為真命題，則rp為假命題；

取a=-1,b=-2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題，則是真命題.

，pAq是假命題，pA-'q是真命題，~p/\q是假命題，F(xiàn)p/\—是假命題.

故選B.

5.C

【解析】

先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍，可得到答案.

【詳解】

直線I：奴+2y+4=0,4：x+(a—l)y+2=0,'|4的充要條件是0(。-1)=2=。=2或。=一1,當(dāng)a=2時(shí)，化

簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終2=1因此得到“。=-1”是“/11|/2”的充分必要條件.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

判斷充要條件的方法是：①若pnq為真命題且qnp為假命題，則命題P是命題q的充分不必要條件；②若p=q為假

命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p=q為真命題且q=>p為真命題，則命題p是命題

q的充要條件；④若pnq為假命題且qnp為假命題，則命題P是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與

命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題P與命題q的關(guān)系.

6.B

【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)/+7沖。+1<0恒過(guò)。(-LO),再分別討論心的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)

與可行域的基本關(guān)系，即可求解

【詳解】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示:

其中4(2,6),直線x+%+1=0過(guò)定點(diǎn)。(—1,0),

當(dāng)加=0時(shí)，不等式x+l<0表示直線x+l=0及其左邊的區(qū)域，不滿足題意;

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，直線x+〃zy+l=0的斜率一工<0,

m

不等式x+陽(yáng)+1<0表示直線x+陽(yáng)+1=0下方的區(qū)域，不滿足題意；

當(dāng)m<0時(shí)，直線X+陽(yáng)+1=0的斜率-上〉0,

m

不等式x+陽(yáng)+1<0表示直線x+陽(yáng)+1=0上方的區(qū)域，

要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)(/，%)，

使不等式％+，孫。+1<0成立，只需直線%+%+1=0的斜率—上《"0=2,解得機(jī)<—!.

m2

綜上可得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-8,-g],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

設(shè)g(x)=W(x)|,若函數(shù)y=/(%)是E上的奇函數(shù)，則g(—%)=卜W(一刈=W(x)|=g(x),所以，函數(shù)

y=W(x)|的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱.

所以，“丁=/（力是奇函數(shù)”="丁=|獷（刈的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”；

若函數(shù)y=/（x）是R上的偶函數(shù)，則g（T）=卜W（—x）=kW（x）|=M（x）|=g（x）,所以，函數(shù)y=W（x）|的圖

象關(guān)于V軸對(duì)稱.

所以，”=0（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱“N“y=/（X）是奇函數(shù)”.

因此，“y=I獷（x）l的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱”是“y=f（x）是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等

題.

8.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.

【詳解】

z—i

由--=z=>z—z=z（z+i）=>（1—i）z=i—1=z=-1.

z+i

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

先算出集合aA,再與集合B求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|xN3或x<l}.所以+A={x[l<x<3},又因?yàn)?={x|2*<4}={x所<2}.

所以04）門5={》|1<》<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

10.C

【解析】

求導(dǎo)，先求出〃龍)在xe(0,&)單增，在xe(五,+對(duì)單減，且/(初叱=/(&)=2知設(shè)/(尤)=乙貝歷程

1

[/(x)]29-mf(x)+-=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程

8

11

產(chǎn)9一根f+=0在(0,彳)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.

82

【詳解】

--x2-2xelnx

依題意，,(、e(l-21n%),

/(%)=x

令/'(%)=。，解得ln%=g,x=&,故當(dāng)%￡(0,右)時(shí)，/(%)>0,

當(dāng)X￡(G,+QO),/r(x)<0,K/(Ve)=——,

e2

11

故方程F9-7川+—=0在(0,-)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

82

1

A>0m29——>0

2

(%__f〉0

1m1

故＜-------+—>0

824

0</[+?<1

20<m<1

店>0

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法：

(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)g(x)(g'(x)易求，g'(x)=o可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)

的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；

(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端

點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

11.C

【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

1,

—x3x2^-+27rxl_=5TI.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

12.C

【解析】

過(guò)尸作于E,連接CE,易知CELBD,PE=CE,從而可證平面PCE,進(jìn)而可知

1Q

Vp_BCD=VB-PCE+VD_PCE=PCE,BD=mSPCE，當(dāng)S尸支最大時(shí)，Vp-BCO取得最大值，取尸。的中點(diǎn)尸，可得

EFLPC,再由S,小后=g「0.=JPE'-1，求出PE的最大值即可.

【詳解】

PB=BC

在△BPD和5CD中，\PD=CD,所以BPD"BCD,則NPBD=NCBD,

BD=BD

過(guò)P作PE，應(yīng)）于E,連接CE,顯然BPEWBCE,則CELBD,且PE=CE,

又因?yàn)镻ECE=E,所以班＞，平面PCE,

[8

所以吟.BCD=%一PCE+^D-PCE=g，PCE.BD——SPCE9

當(dāng)Sp〃最大時(shí)，匕iCQ取得最大值，取PC的中點(diǎn)尸，則跖，PC,

所以spcE=gpC-EF=dPE2—l,

因?yàn)槭?+尸。=10,5。=8,所以點(diǎn)P在以5。為焦點(diǎn)的橢圓上（不在左右頂點(diǎn)），其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦距長(zhǎng)為8,

所以PE的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半，故PE最大值為斤*=3,

所以S“CE最大值為2&，故吃.品。的最大值為|義2血=當(dāng)2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(3e,+<?)

【解析】

4片2e2c

首先把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，等價(jià)于lnx=-----a有三個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)開(kāi)方，可得％。土-j=，即a=x±-j=

(%-a)vlnxvlnx

有三個(gè)零點(diǎn)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

若函數(shù)例>)=/(x)—g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，即lnx=----三零點(diǎn)有，顯然％>1,則有(q—x)2=絲，可得

(x-a)2Inx

2e2e2e2e

x=a±R——,即a=x士『——有三個(gè)零點(diǎn),不妨令g(')二%±「——,對(duì)于g(%)=%—r=,函數(shù)單調(diào)遞增，

MlnxVinxvlnxvlnx

22

g(G)=G-2億<0,g(e)=e-e>0f所以函數(shù)在區(qū)間(L+8)上只有一解，對(duì)于函數(shù)g(x)=%+革急，

_3

g(x)T出"2_0,解得x=e,g'(x)<0,解得l<x<e,g(x)>0,解得x〉e,所以函數(shù)在區(qū)間(l,e)

上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+。。)上單調(diào)遞增，g(e)=e+2e=3e,當(dāng)xfl時(shí)，g(x)當(dāng)時(shí)，g(x)

此時(shí)函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有a>3e,綜上可知，若函數(shù)/x)=/(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

(3e,+co).

故答案為：(3e,+s)

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)拈_(kāi)方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問(wèn)題，注意恰有三個(gè)零點(diǎn)條件的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的最值

求解參數(shù)的范圍，屬于難題.

14.4萬(wàn)

【解析】

由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求.

【詳解】

解：如圖，在四面體A—BCD中，底面BCD,AB=BD=C，CB=CD=1,

可得N3CD=90。，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1,1,、/Q,

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為仟+儼+（行產(chǎn)=2，則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為1.

其表面積為4;TX12=4".

故答案為：4萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題.

15.[0,4]

【解析】

設(shè)@=。4，b=OB，c=OC>-a=-OA^OA'，由\b\=2,\c-b\=l,根據(jù)平面向量模的幾何意義，

可得A點(diǎn)軌跡為以。為圓心、1為半徑的圓，。點(diǎn)軌跡為以5為圓心、1為半徑的圓，|a+c|為4c的距離，利用數(shù)

形結(jié)合求解.

【詳解】

設(shè)d=OA，b=OB>c=OC，—a=—OA=OA!，

如圖所示:

y

因?yàn)镮a1=1,|Z?|=2,\c—b|=1,

所以4點(diǎn)軌跡為以。為圓心、1為半徑的圓，。點(diǎn)軌跡為以3為圓心、1為半徑的圓，

則|a+c|即AC的距離，

由圖可知，OW|AC|<4.

故答案為：[0,4]

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.

16.1

【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算.注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同.

【詳解】

ab,：?x(x+1)-2=0,解得x=1或x=—2,

x=l時(shí)，a=(1,2),6=(1,2)滿足題意，

x=—2時(shí)，a=(l,—1))=(—2,2),方向相反，不合題意，舍去.

??x=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時(shí)要注意驗(yàn)證方向相同這個(gè)條件，否則會(huì)出錯(cuò).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)見(jiàn)解析(2)-

7

【解析】

(1)根據(jù)菱形性質(zhì)可知3G，與。，結(jié)合AC1Ag可得。4=。。=。4，進(jìn)而可證明ABQ4MABOC,即

BCi1OA,即可由線面垂直的判定定理證明BCX1平面AB。；

（2）結(jié)合（1）可證明。4,05。四兩兩互相垂直.即以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08的方向?yàn)閤軸正方向，|。8|為單位長(zhǎng)度,

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面與A4和平面GM的法向量，即可求得二面角用-G的

余弦值.

【詳解】

（1）證明：設(shè)5cl「30=0,連接。4,如下圖所示：

?.?側(cè)面3與為菱形，

/.BC}±BXC,且。為瓦。及BQ的中點(diǎn)，

又AC1AB,,則ACABj為直角三角形，

：.0A=0C=0Bx,

又AB=BC,

:.ABOA=ABOC,(SSS)

:.OA±OB,即BCJOA,

而OA,B。為平面ABtC內(nèi)的兩條相交直線,

BC]，平面A4G.

(2)ABlBjC,BQ14CABcBC〔=B

平面ABO,

QAOu平面ABO,

:.BXCLAO,即。4_L0B],

從而OA05O用兩兩互相垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08的方向?yàn)閤軸正方向，|08|為單位長(zhǎng)度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系。-孫z

z

ZCBB1=60°,

AC3%為等邊三角形,

AB=BC,

二.A(0,0,^(0,,0),C(0,-,0)，

333

/.AB1-0,-^-,—-BB1=-,AC{—AC—0,-

—(y-z)=0

n-AB.=0

設(shè)平面BiA4的法向量為■=(%,y,z),貝叫'八，即<

n-AA1=0T+m=0

可取“=(1,"我，

加.AG=0

設(shè)平面GM的法向量為加，貝!I7J八.

m-AA]=0

同理可取加=(1,有,-若)

n-m1_1

cos<n.m>=1-------；

\n\-\m\槨

由圖示可知二面角5,-A^-C,為銳二面角,

二面角5,-A^-Q的余弦值為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時(shí)先證明三條兩兩垂直的直線,

屬于中檔題.

.2

18.(1)———Hy?=1(2)I4,

4-I25

【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出EP,EQ,得到EPLEQ,

所以|EP『+1EQ|2=|PQ\2,代入韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】

⑴設(shè)A(卬0),B(O,yo),則君+君=9,

3

、rx,uuuuum』x=2(%0-x)=xo=~x

設(shè)M(x,y),由瀏得，

y-%=2(o—y)

y0=3y

|x

又由于|+3)2=9,

化簡(jiǎn)得M的軌跡C的方程為—+/=1.

4-

3

(2)設(shè)直線PQ的方程為y=6-

與C的方程聯(lián)立，消去丁得(1+4/)犬-弓依-1|=0,

/>0,設(shè)P(石，％),Q(x2,y2),

24k—64

貝!|西+/=Z",Xi?Xy—T

5+20k2-25+100左2

由已知=—1),EQ=(x2,y2-1),則

EP,EQ=玉%2+(%_])(%-1)-玉%2+g—

8

二(1+4?)玉九2一1歸(玉+%2)+里

25

24k64

------T---

5+20k225

-64-64k2-192k-+64+256k2

25+10042

二0,

故直線EPLEQ.

\EP\2+\EQ\2=\PQ\2=

2-

I.-64640+/2)(25左2+4)

—4x-------------

左2

25+100250+48)2

64(4+29左2+25左。

25(1+4左2『

令1+4左2=/,則

4[-27+66t+25r]

25?

4＜|做/〈善.

(256

所以，|￡「『+|￡。|2的取值范圍為4,石,

【點(diǎn)睛】

此題考查軌跡問(wèn)題，橢圓和直線相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.

19.(1)A={x\x＜—l§Scx..2)；(2)(―℃,-3]_(3,+co).

【解析】

(1)求出函數(shù)了=欄?一1的定義域，即可求出結(jié)論；

(2)化簡(jiǎn)集合3,根據(jù)31A確定集合3的端點(diǎn)位置，建立。的不等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】

9V—1X—2

(1)由二-----1..0,即:—..0得元＜—1或％22,

x+1x+1

所以集合人=口|尤＜-1或"2}.

(2)集合8={%|—掇k+a2}={x|—1—磁出2—。},

由3cA得2-。＜一1或—1一。.2,解得。＞3或-3,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,-3](3,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算，集合間的關(guān)系求參數(shù)，考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

K

20.（1）?！?2〃-1,么=2-3"7；（2）M,i=2（n-l）-3+2；（3）存在，1.

【解析】

（1）利用基本量法直接計(jì)算即可；

（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；

（3）,+勺JT+：eN*,令",T：3二="eN*可得（L一D（>一1）=（3-工）3皿,1<43,討論即可.

7

Sm+Tmm-1+3加-1+3"''

【詳解】

（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為彘

因?yàn)?=2%=2,b2s3-54,%+5=11,

3

⑶(3+3d)=54伍(l+d)=9q=3q=—

所以7cC-，即〈7CC解得或彳2(舍去)?

l+d+2+2g=lld+2q=8d=2

d=5

所以?二2，-1也=2?3f

2n-1

(2)Mn=afy+a2b2+a3b3+-+anbn=1X2+3X2X3+5X2X3+—F(2n-l)x2x3,

2n-1n

3Mn=1X2X3+3X2X3++(2n-3)X2X3+(2n-1)x2x3,

所以一2M“=2+4(3+32++3'i)—(2〃一I)x2x3〃，

3(1-3"T)

=2+4x-(4n-2)x3"=—4—(4“一4)?3"

1-3

所以M.=2(〃-1>3"+2.

n

(3)由(1)可得S"=",Tn=3-1,

所以凡+&-癡-1+3“M

Sm+Tm療—1+3-

因?yàn)榱x弓也是數(shù)列｛&｝或也｝中的一項(xiàng)，所以“「+［：=SeN*,

0加十'故機(jī)-1+3

所以(L-D(川-1)=(3-L)3m,因?yàn)閙2—1..o,3M>0,

所以1<么,3,又LeN*,則L=2或L=3.

當(dāng)L=2時(shí)，有(歷-1)=3-即叵」1=1，令/5)=嗎4

\/3機(jī)3'"

(m+1)2—1—12ITT—2m-3

則/■(機(jī)+1)-/(〃。=

3"，+i3'"3，角

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/(I)</(2)；當(dāng)加之2時(shí)，/(m+l)-/(m)<0,

即/(1)</(2)>/(3)>/(4)>---.

由/(1)=0,/(2)=:，知回二D=i無(wú)整數(shù)解.

3T

2_1,ow+1

當(dāng)L=3時(shí)，有/—1=0,即存在m=1使得二號(hào)廠=3是數(shù)列｛%｝中的第2項(xiàng),

故存在正整數(shù)m=1,使得是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng),錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前"項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問(wèn)題，是

一道較為綜合的題.

21.(1)分層抽樣，簡(jiǎn)