2024屆山西省運(yùn)城市芮城縣高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆山西省運(yùn)城市芮城縣高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列說法錯誤的是（）A．若樣本的平均數(shù)為5，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則樣本的平均數(shù)為11，標(biāo)準(zhǔn)差為2B．身高和體重具有相關(guān)關(guān)系C．現(xiàn)有高一學(xué)生30名，高二學(xué)生40名，高三學(xué)生30名，若按分層抽樣從中抽取20名學(xué)生，則抽取高三學(xué)生6名D．兩個變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越大2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A．10 B．7 C．12 D．33．已知三棱柱的底面為直角三角形，側(cè)棱長為2，體積為1，若此三棱柱的頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球半徑的最小值為（）A．1 B．2 C． D．4．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．5．在空間中，可以確定一個平面的條件是（）A．一條直線B．不共線的三個點(diǎn)C．任意的三個點(diǎn)D．兩條直線6．下列各角中，與126°角終邊相同的角是（）A． B． C． D．7．中，角的對邊分別為，且，則角（）A． B． C． D．8．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．49．已知數(shù)列滿足，，則的值為（）A． B． C． D．10．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上遞增的函數(shù)的個數(shù)是（）.①；②；③；④向右平移后得到的函數(shù).A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．三階行列式中，元素4的代數(shù)余子式的值為________.12．若則的最小值是__________．13．若直線y＝x＋m與曲線x＝恰有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.14．在中，角,,所對的邊分別為，，，若的面積為，且,,成等差數(shù)列，則最小值為______．15．某銀行一年期定期儲蓄年利率為2.25%，如果存款到期不取出繼續(xù)留存于銀行，銀行自動將本金及80%的利息（利息須交納20%利息稅，由銀行代交）自動轉(zhuǎn)存一年期定期儲蓄，某人以一年期定期儲蓄存入銀行20萬元，則5年后，這筆錢款交納利息稅后的本利和為________元.（精確到1元）16．定義為數(shù)列的均值,已知數(shù)列的均值,記數(shù)列的前項(xiàng)和是,若對于任意的正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.18．如圖半圓的直徑為4，為直徑延長線上一點(diǎn)，且，為半圓周上任一點(diǎn)，以為邊作等邊（、、按順時針方向排列）（1）若等邊邊長為，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）問為多少時，四邊形的面積最大？這個最大面積為多少？19．如圖，平行四邊形中，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)，.(1)分別用，表示向量，；(2)若，，求.20．已知函數(shù)，（1）若，求a的值，并判斷的奇偶性；（2）求不等式的解集.21．如圖，當(dāng)甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援？（角度精確到1°，參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用平均數(shù)和方差的定義，根據(jù)線性回歸的有關(guān)知識和分層抽樣原理，即可判斷出答案．【詳解】對于A：若樣本的平均數(shù)為5，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則樣本的平均數(shù)2×5+1＝11，標(biāo)準(zhǔn)差為2×1＝2，故正確對于B：身高和體重具有相關(guān)關(guān)系，故正確對于C：高三學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為：所以抽取20名學(xué)生中高三學(xué)生有名，故正確對于D：兩個變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，應(yīng)是相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，故錯誤故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸的有關(guān)知識，以及平均數(shù)和方差、分層抽樣原理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2、C【解析】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解得，由，得，由此能求出的值?！驹斀狻拷猓翰顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，，解得，解得，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

先證明棱柱為直棱柱，再求出棱柱外接球的半徑，利用基本不等式求出其最小值.【詳解】∵三棱柱內(nèi)接于球，∴棱柱各側(cè)面均為平行四邊形且內(nèi)接于圓，所以棱柱的側(cè)棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱.設(shè)底面三角形的兩條直角邊長為，，∵三棱柱的高為2，體積是1，∴，即，將直三棱柱補(bǔ)成一個長方體，則直三棱柱與長方體有同一個外接球，所以球的半徑為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的半徑的計算和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由,得，,故選A.5、B【解析】試題分析：根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論，即確定平面的幾何條件，即可知道答案．解：對于A．過一條直線可以有無數(shù)個平面，故錯；對于C．過共線的三個點(diǎn)可以有無數(shù)個平面，故錯；對于D．過異面的兩條直線不能確定平面，故錯；由平面的基本性質(zhì)及推論知B正確．故選B．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．6、B【解析】

寫出與126°的角終邊相同的角的集合，取k=1得答案．【詳解】解：與126°的角終邊相同的角的集合為{α|α=126°+k?360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴與126°的角終邊相同的角是486°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同角的計算，是基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)題意結(jié)合正弦定理，由題，可得三角形為等邊三角形，即可得解.【詳解】由題：即，中，由正弦定理可得：，即，兩邊同時平方：，由題，所以，即，所以，即為等邊三角形，所以.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，根據(jù)邊的關(guān)系判斷三角形的形狀，求出三角形的內(nèi)角.8、C【解析】

先求出基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，由此能求出在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率．【詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，∴基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，則在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．9、B【解析】

由，得，然后根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)計算出、的值，即可得出的值.【詳解】，，則，，，因此，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的計算，解題的關(guān)鍵就是遞推公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

將①②③④中的函數(shù)解析式化簡，分析各函數(shù)的奇偶性及其在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出結(jié)論.【詳解】對于①中的函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于②中的函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減；對于③中的函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于④，將函數(shù)向右平移后得到的函數(shù)為，該函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，同時也考查了三角函數(shù)的相位變換，熟悉正弦、余弦和正切函數(shù)的基本性質(zhì)是判斷的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

利用代數(shù)余子式的定義直接求解.【詳解】三階行列式中，元素4的代數(shù)余子式的值為：.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三階行列式中元素的代數(shù)余子式的求法，屬于中檔題.12、【解析】

根據(jù)對數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對數(shù)相等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.13、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解析】

由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個曲線應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因?yàn)橹本€與其只有一個交點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個曲線應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因?yàn)橹本€與其只有一個交點(diǎn)，從圖上看出其三個極端情況分別是：①直線在第四象限與曲線相切，②交曲線于（0，﹣1）和另一個點(diǎn)，③與曲線交于點(diǎn)（0，1）．直線在第四象限與曲線相切時解得m=﹣，當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，1）時，m=1．當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時，m=﹣1，所以此時﹣1＜m≤1．綜上滿足只有一個公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案為：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．14、4【解析】

先根據(jù),,成等差數(shù)列得到，再根據(jù)余弦定理得到滿足的等式關(guān)系，而由面積可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因?yàn)?,成等差數(shù)列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因?yàn)椋?，所以即，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故填4.【點(diǎn)睛】三角形中與邊有關(guān)的最值問題，可根據(jù)題設(shè)條件找到各邊的等式關(guān)系或角的等量關(guān)系，再根據(jù)邊的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征選用合適的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把與邊有關(guān)的目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與角有關(guān)的三角函數(shù)式后再求其最值.15、218660【解析】

20萬存款滿一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（【詳解】20萬存款滿一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（200000×(1.018)故填218660.【點(diǎn)睛】本題主要考查了銀行存款的復(fù)利問題，由固定公式可用，本息和=本金×（1+利率×(1-16、【解析】

因?yàn)?,從而求出,可得數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為,從而將對任意的恒成立化為,,即可求得答案.【詳解】,,故,,則,對也成立,,則,數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為.故對任意的恒成立,可化為:,；即,解得,,故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性,掌握判斷數(shù)列前項(xiàng)和最大值的方法是解題關(guān)鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）、.【解析】

（1）由先求的值，再求角即可；（2）先由求出，再根據(jù)求出即可.【詳解】（1）由已知，又，所以，即，或；（2）因?yàn)椋煽傻?，又因?yàn)椋?，即，總之?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.18、（1）；（2）θ＝時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【解析】

（1）根據(jù)余弦定理可求得（2）先表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進(jìn)而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解．【詳解】（1）由余弦定理得則（2）四邊形OACB的面積＝△OAB的面積+△ABC的面積則△ABC的面積△OAB的面積?OA?OB?sinθ?2?4?sinθ＝4sinθ四邊形OACB的面積4sinθ=sin（θ﹣）∴當(dāng)θ﹣＝，即θ＝時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理求解面積最值，其中準(zhǔn)確列出面積表達(dá)式是關(guān)鍵，考查化簡求值能力，是中檔題19、（1），（2）2【解析】

（1）由平面的加法可得，又根據(jù)三角形相似得到，再根據(jù)向量的減法可得的不等式.

（2）由平面向量數(shù)量積運(yùn)算得，然后再將條件代入可得答案.【詳解】（1）.由∽,又所以,即（2）由，【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及平面向量數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題．20、（1），，是偶函數(shù)（2）或【解析】

（1）先由已知求出，然后結(jié)合利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性即可；（2）討論當(dāng)時，當(dāng)時對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】解：（1）由題意得，，即，則，，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，是偶函數(shù)；（2）當(dāng)時，在上是減函數(shù)，，，解得，所以原不等式的解集為；當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，，即，所以原不等式的